第五章參數(shù)估計(jì)基礎(chǔ)

第五章參數(shù)估計(jì)基礎(chǔ)第一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日抽樣分布與抽樣誤差

抽樣研究的目的是用樣本信息推斷總體特征，即用樣本資料計(jì)算的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)推斷總體參數(shù)常用的統(tǒng)計(jì)推斷方法有參數(shù)估計(jì)（總體均數(shù)和總體概率的估計(jì)）和假設(shè)檢驗(yàn)第二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日抽樣分布與抽樣誤差

樣本均數(shù)的抽樣分布與抽樣誤差

假定某年某地所有13歲女學(xué)生身高服從總體均數(shù)=155.4cm,總體標(biāo)準(zhǔn)差=5.3cm的正態(tài)分布N（，2）。在這樣一個(gè)有限的總體中作隨機(jī)抽樣，共抽100次。每次均抽取30例（ni=30）組成一份樣本，可以算出每一份樣本的平均身高.最終計(jì)算得到153.6,153.1,154.9,····157.7等100個(gè)樣本均數(shù),列于表5-1第2欄?，F(xiàn)將這100個(gè)樣本均數(shù)看成新的隨機(jī)變量繪制頻數(shù)分布表，如表5-2所示第三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日抽樣分布與抽樣誤差樣本均數(shù)的抽樣分布具有以下特點(diǎn)：1.各樣本均數(shù)未必等于總體均數(shù);2.樣本均數(shù)之間存在差異;3.樣本均數(shù)的分布很有規(guī)律，圍繞著總體均數(shù)（155.4cm），中間多、兩邊少，左右基本對(duì)稱(chēng)，也服從正態(tài)分布。4．樣本均數(shù)的變異較之原變量的變異大大縮小第四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日抽樣分布與抽樣誤差

抽樣誤差：抽樣造成的這種樣本均數(shù)與樣本均數(shù)之間、樣本均數(shù)與總體均數(shù)之間的差異。標(biāo)準(zhǔn)誤：用于表示均數(shù)抽樣誤差大小的指標(biāo)，也叫樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，它反映了樣本均數(shù)之間的離散程度。第五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日抽樣分布與抽樣誤差

第六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日抽樣分布與抽樣誤差

表5-2從正態(tài)總體N(155.4,5.32)抽樣得到中的100個(gè)樣本均數(shù)的頻數(shù)分布（ni=30）組段下限值(cm)頻數(shù)頻率%152.6~153.2~153.8~154.4~155.0~155.6~156.2~156.8~157.4~158.0~144222521173211.04.04.022.025.021.017.03.02.01.0合計(jì)100100.0第七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日抽樣分布與抽樣誤差標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算公式(5-1),(5-2)：樣本均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的大小與標(biāo)準(zhǔn)差成正比，則與樣本含量n的平方根成反比，即在同一總體中隨機(jī)抽樣，樣本含量n越大，抽樣誤差越小。所以在實(shí)際應(yīng)用中可通過(guò)增加樣本含量n來(lái)減小樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，從而降低抽樣誤差。第八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日抽樣分布與抽樣誤差非正態(tài)總體樣本均數(shù)的抽樣實(shí)驗(yàn)（實(shí)驗(yàn)5-2）。圖5-1（a）是一個(gè)正偏峰的分布，用電腦從中隨機(jī)抽取樣本含量分別為5，10，30和50的樣本各1000次，計(jì)算樣本均數(shù)并繪制4個(gè)直方圖第九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日抽樣分布與抽樣誤差圖5-1（b）~(e)顯示，樣本均數(shù)的總體均數(shù)也為仍等于原來(lái)的總體均數(shù)，樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤為仍滿(mǎn)足（5-1）式；當(dāng)樣本量n較小時(shí)，樣本均數(shù)的分布當(dāng)然并非正態(tài)分布，樣本量足夠大時(shí)（例如，n

50），樣本均數(shù)的分布近似于正態(tài)分布。第十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日抽樣分布與抽樣誤差第十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日抽樣分布與抽樣誤差第十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日抽樣分布與抽樣誤差第十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日抽樣分布與抽樣誤差第十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日抽樣分布與抽樣誤差第十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日抽樣分布與抽樣誤差例5-12000年某研究者隨機(jī)調(diào)查某地健康成年男子27人，得到血紅蛋白量的均數(shù)為125g/L，標(biāo)準(zhǔn)差為15g/L。試估計(jì)該樣本均數(shù)的抽樣誤差。

===2.89g/L

第十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日抽樣分布與抽樣誤差樣本頻率的抽樣分布與抽樣誤差

實(shí)驗(yàn)4.2：在一口袋內(nèi)裝有形狀、重量完全相同的黑球和白球，已知黑球比例為20%（總體概率π=20%），從口袋中每摸一次看清顏色后放回去，攪勻后再摸，重復(fù)摸球35次（n=35）,計(jì)算摸到黑球的百分比（樣本頻率p

i）。重復(fù)這樣的實(shí)驗(yàn)100次，每次得到100個(gè)黑球的比例分別為14.4%,19.8%,20.2%,22.5%,······等，將其頻數(shù)分布列于表5-3。第十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

表5-3總體概率為20%時(shí)的隨機(jī)抽樣結(jié)果（ni=35）黑球比例%樣本頻數(shù)%5.0~33.08.0~77.011.0~55.014.0~88.017.0~1616.020.0~2222.022.0~1515.025.0~77.028.0~77.031.0~55.034.0~33.040.0~22.0合計(jì)100100.0第十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日抽樣分布與抽樣誤差頻率的抽樣誤差：這種樣本率樣本頻率與樣本率樣本頻率之間、樣本率樣本頻率與總體率總體概率之間的差異。頻率的標(biāo)準(zhǔn)誤：表示頻率的抽樣誤差的指標(biāo)第十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日抽樣分布與抽樣誤差樣本頻率的總體均數(shù)參數(shù)為π，

率的標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算公式（5-3）：公式（5-4）第二十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日抽樣分布與抽樣誤差例5-2某市隨機(jī)調(diào)查了50歲以上的中老年婦女776人，其中患有骨質(zhì)疏松癥者322人，患病率為41.5%，試估計(jì)該樣本頻率的抽樣誤差。p=41.5%=0.415，n=776=第二十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

t分布t分布的概念從正態(tài)分布N（,2）抽得樣本的均數(shù)也服從正態(tài)分布,記為N（,）。對(duì)正態(tài)變量作變換實(shí)際工作中，當(dāng)未知時(shí)，常用來(lái)代替對(duì)正態(tài)變量采用的不是z變換,而是t變換第二十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日t分布英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家W.S.Gosset于1908年以“Student”筆名發(fā)表論文，證明它服從自由度=n

1的t分布，即

~t分布，

=n

1(5-7)

又稱(chēng)Studentt分布（Student’st-distribution）。實(shí)際上，t分布十分有用，它是總體均數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的理論基礎(chǔ)。第二十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日t分布t分布的圖形和t分布表從前述實(shí)驗(yàn)4.1的13歲女學(xué)生身高這個(gè)正態(tài)總體中分別作樣本量為3和50的隨機(jī)抽樣，各抽取1000份樣本，并分別得到1000個(gè)樣本均數(shù)及其標(biāo)準(zhǔn)誤。對(duì)它們分別作(5-6)式的t轉(zhuǎn)變換，并將t值繪制相應(yīng)的直方圖（見(jiàn)實(shí)驗(yàn)5-4）。如圖5-12(a)、(b)所示?？梢钥闯?，這兩個(gè)t值分布圖并不完全一樣，樣本量為3的圖(a)較之樣本量為50的圖(b)顯得矮胖，兩側(cè)尾部稍高。第二十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日t分布第二十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日t分布第二十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日t分布t值的分布與自由度

有關(guān)（實(shí)際是樣本含量n不同）。t分布的圖形不是一條曲線(xiàn)，而是一簇曲線(xiàn)。υ=∞(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)υ=5υ=1012345-1-2-3-4-5f(t)0.10.20.3圖5-3不同自由度下的t分布圖第二十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日t分布t分布的圖形有如下特征：①單峰分布，以0為中心，左右對(duì)稱(chēng)，類(lèi)似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。②自由度

越小，則越大，t值越分散，曲線(xiàn)的峰部越矮，尾部越高；③隨著自由度

逐漸增大，t分布逐漸逼近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；當(dāng)趨于時(shí)，t分布就完全成為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是t分布的特例。第二十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日t分布統(tǒng)計(jì)學(xué)家將t分布曲線(xiàn)下的尾部面積（即概率P）與橫軸t值間的關(guān)系編制了不同自由度下的t界值表（附表2）。

t界值表：橫標(biāo)目為自由度，縱標(biāo)目為概率P。

t臨界值：表中數(shù)字表示當(dāng)和P確定時(shí)，對(duì)應(yīng)的值。

單側(cè)概率(one-tailedprobability)：用t,υ表示雙側(cè)概率(two-tailedprobability)：用t/2,υ表示第二十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日t分布例如,當(dāng)=16，單側(cè)概率P=0.05時(shí)，由表中查得單側(cè)t0.05,16=1.746；而當(dāng)=16，雙側(cè)概率P=0.05時(shí)，由表中查得雙側(cè)t0.05/2,16=2.120。按t分布的規(guī)律，理論上有 單側(cè)：P（t

t0.05,16）=0.05和P（t

t0.05,16）=0.05雙側(cè)：P（t

t0.05/2,16）＋P（t

t0.05/2,16）=0.05第三十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日t分布更一般的表示方法如圖5-4(a)和(b)中陰影部分所示為：?jiǎn)蝹?cè)：P（t

t,

）=和P（t

t,

）=雙側(cè)：P（t

t/2,

）＋P（t

t/2,

）=第三十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日t分布從t界值表中或表的右上角圖列亦可看出：①在相同自由度時(shí)，│t│值越大，概率P越??；②而在相同t值時(shí)，雙側(cè)概率P為單側(cè)概率P的兩倍，即t0.10/2,16=t0.05,16=1.746。第三十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日總體均數(shù)及總體概率的估計(jì)參數(shù)估計(jì)的概念參數(shù)估計(jì)：指用樣本指標(biāo)（統(tǒng)計(jì)量）估計(jì)總體指標(biāo)（參數(shù)）。參數(shù)估計(jì)有點(diǎn)估計(jì)（pointestimation）區(qū)間估計(jì)（intervalestimation）第三十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日總體均數(shù)及總體概率的估計(jì)點(diǎn)估計(jì)：用樣本統(tǒng)計(jì)量直接作為總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值，即直接用隨機(jī)樣本的樣本均數(shù)作為總體均數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值,用樣本頻率p作為總體概率

的點(diǎn)估計(jì)值。用27例健康成年男性血紅蛋白量的樣本均數(shù)作為總體均數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值，用776名50歲以上的中老年婦女骨質(zhì)疏松癥的樣本患病率作為總體患病率的點(diǎn)估計(jì)值缺點(diǎn)：沒(méi)有考慮抽樣誤差，無(wú)法評(píng)價(jià)其可信度估計(jì)值它與真值之間的差距。第三十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日總體均數(shù)及總體概率的估計(jì)區(qū)間估計(jì)：結(jié)合樣本統(tǒng)計(jì)量和標(biāo)準(zhǔn)誤可以確定一個(gè)具有較大的可信度置信度（如95%或99%）的包含總體參數(shù)的區(qū)間，該區(qū)間稱(chēng)為總體參數(shù)的1

可信區(qū)間或置信區(qū)間（confidenceinterval,CI）。置信度：

值一般取0.05或0.01，故1

為0.95或0.99。通常用樣本均數(shù)和均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤估計(jì)總體均數(shù)的95%（或99%）置信區(qū)間，或用樣本頻率和率的及其標(biāo)準(zhǔn)誤估計(jì)總體概率的95%（或99%）置信區(qū)間。如果沒(méi)有特別說(shuō)明，一般作雙側(cè)的區(qū)間估計(jì)第三十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日總體均數(shù)及總體概率的估計(jì)置信區(qū)間的計(jì)算總體均數(shù)的置信區(qū)間根據(jù)總體標(biāo)準(zhǔn)差是否已知及樣本含量n的大小，總體均數(shù)置信區(qū)間的計(jì)算有t分布和Z分布（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布）兩種方法。1.t分布方法當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)，正態(tài)總體N（,2）的樣本均數(shù)的t變換結(jié)果第三十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日總體均數(shù)及總體概率的估計(jì)服從t分布，若“砍去”t分布雙側(cè)尾部面積

=0.05=5%，故有95%的t值滿(mǎn)足不等式：

t0.05/2,<<t0.05/2,

t0.05/2,

<<+t0.05/2,

：（t0.05/2,，+t0.05/2,）第三十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日總體均數(shù)及總體概率的估計(jì)總體均數(shù)

的(1-)可信區(qū)間置信區(qū)間的一般計(jì)算式為t/2,

均數(shù)的單側(cè)置信區(qū)間為

>t/2,

或<+t/2,

第三十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日總體均數(shù)及總體概率的估計(jì)例5-3：已知某地27名健康成年男子的血紅蛋白量均數(shù)=125g/L，標(biāo)準(zhǔn)差S=15g/L。試問(wèn)該市地健康正常成年男子血紅蛋白血清膽固醇平均含量的95%置信區(qū)間和99%置信區(qū)間各是多少？解：本例n=27，

=27–1=26，查t界值表（附表2），

=0.05時(shí)，雙側(cè)t0.05/2,26=2.056，

=0.01時(shí)，t0.01/2,26=2.779；按公式（5-9）第三十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日總體均數(shù)及總體概率的估計(jì)95%CL:1252.056=(119.06，130.94)g/L99%CL：1252.779=（116.98,133.02）g/L該市健康成年男子血紅蛋白平均含量：95%置信區(qū)間為（119.06,130.94）g/L，99%置信區(qū)間為（116.98,133.02）g/L。第四十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日總體均數(shù)及總體概率的估計(jì)正態(tài)分布近似方法（1）當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知時(shí)總體均數(shù)的雙側(cè)置信區(qū)間為

z/2

第四十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日總體均數(shù)及總體概率的估計(jì)（2）當(dāng)未知但n足夠大時(shí)（n50），t分布的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可用z/2代替公式（5-9）中的t/2,，則總體均數(shù)的雙側(cè)置信區(qū)間為

z/2

第四十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日總體均數(shù)及總體概率的估計(jì)同理,與（5-8）和（5-9）式相對(duì)應(yīng),單側(cè)置信區(qū)間則為z

或

z

+z

或+z

第四十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日總體均數(shù)及總體概率的估計(jì)例5-4某市2000年隨機(jī)測(cè)量了90名19歲健康男大學(xué)生的身高，其均數(shù)為172.2cm，標(biāo)準(zhǔn)差為4.5cm，試估計(jì)該市2000年19歲健康男大學(xué)生平均身高的95%置信區(qū)間。1.96=172.21.96=（171.3，173.1）

該市2000年19歲健康男大學(xué)生平均身高的95%置信區(qū)間為（171.3，173.1）cm。第四十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日總體均數(shù)及總體概率的估計(jì)總體概率的置信區(qū)間根據(jù)樣本含量n和樣本頻率p的大小，可以采用查表法和正態(tài)近似法計(jì)算總體概率的置信區(qū)間。查表法當(dāng)樣本含量n較小，比如n50，特別是p很接近0或100%時(shí)，可以通過(guò)查相應(yīng)統(tǒng)計(jì)用表（附表3），確定總體概率的置信區(qū)間。第四十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日總體均數(shù)及總體概率的估計(jì)例5-6某醫(yī)院對(duì)39名前列腺癌患者實(shí)施開(kāi)放手術(shù)治療，術(shù)后有合并癥者2人，試估計(jì)該手術(shù)合并癥發(fā)生概率的95%置信區(qū)間查概率的置信區(qū)間表（附表3），在n=39的橫行，X=2的縱列交叉處的數(shù)值為1~17即該手術(shù)合并癥發(fā)生概率的95%置信區(qū)間為1%~17%第四十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日總體均數(shù)及總體概率的估計(jì)注意：附表3中僅列出X

n/2部分；當(dāng)X>n/2時(shí)，應(yīng)以nX值查表，然后從100中減去查得的數(shù)值即為所求的置信區(qū)間