第二章概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)

第二章概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)第一頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日提要介紹計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析的概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)包括隨機(jī)性和概率、隨機(jī)變量和概率分布、參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)在相同的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)平臺(tái)上學(xué)習(xí)計(jì)量對(duì)于學(xué)習(xí)和理解計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析方法有啟發(fā)有較好概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)的讀者閱也會(huì)有所收獲。

第二頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日隨機(jī)現(xiàn)象事件事件概率隨機(jī)現(xiàn)象：事前不可預(yù)言的現(xiàn)象，即在相同條件下重復(fù)對(duì)一個(gè)現(xiàn)象進(jìn)行觀察，每次觀察的結(jié)果具有多種可能性，而且在每次觀察之前都無(wú)法預(yù)言會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果，這種現(xiàn)象稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象。事件：對(duì)現(xiàn)象觀察（試驗(yàn)）的結(jié)果。對(duì)某種自然現(xiàn)象作一次觀察稱(chēng)為一個(gè)試驗(yàn)。

第三頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日事件在一次觀察（試驗(yàn)）中是否發(fā)生是不確定的，但在大量重復(fù)觀察（試驗(yàn)）中，它的發(fā)生具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率具有一定的穩(wěn)定性，當(dāng)事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動(dòng)，則稱(chēng)常數(shù)p為事件A的概率。第四頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日概率的頻率定義概率定義：第五頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日條件概率和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性

條件概率

已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，稱(chēng)為A以B為條件的“條件概率”。第六頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日事件獨(dú)立性若果事件A發(fā)生的可能性不受事件B發(fā)生與否的影響則稱(chēng)它們是“統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的”。

第七頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日隨機(jī)變量和概率分布在概率統(tǒng)計(jì)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析中，人們更關(guān)心的是有隨機(jī)性的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)水平，都是數(shù)量化的隨機(jī)事件。例如某時(shí)刻的股票價(jià)格，某天某銀行吸收的存款數(shù)量，某商場(chǎng)某月的銷(xiāo)售額，某商品的市場(chǎng)價(jià)格水平等。第八頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日隨機(jī)事件都可以采取數(shù)量標(biāo)識(shí)，扔骰子的點(diǎn)數(shù)、某地區(qū)的降雨量。對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象觀察的結(jié)果有多種可能性（多個(gè)事件），每一個(gè)可能結(jié)果（每一事件），都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)隨觀察的結(jié)果而改變，觀察的結(jié)果是一個(gè)變量，稱(chēng)之為隨機(jī)變量。第九頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日例如：(1)射擊擊中目標(biāo)記為1分，未中目標(biāo)記0分。用ξ表示射擊的得分，它是隨機(jī)變量，可取0和1兩個(gè)值。(2)拋一枚硬幣，ξ表示正面出現(xiàn)的次數(shù)，它是隨機(jī)變量，可取0和1兩個(gè)值。(3)某段時(shí)間內(nèi)候車(chē)室旅客數(shù)目記為ξ，它可取0及一切不大于最大容量M的自然數(shù)。(4)一塊土地上農(nóng)作物的產(chǎn)量ξ是隨機(jī)變量，它可以取區(qū)間[0，T]的一切值。第十頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日隨機(jī)變量按取值情況分為兩類(lèi)：(1)離散型隨機(jī)變量只可能取有限個(gè)或無(wú)限可列個(gè)值。(2)非離散型隨機(jī)變量可以在整個(gè)數(shù)軸上取值，或至少有一部分值取某實(shí)數(shù)區(qū)間的全部值。非離散型隨機(jī)變量中最常用的是連續(xù)型隨機(jī)變量。即取值于一個(gè)連續(xù)區(qū)間全部數(shù)值的隨機(jī)變量。第十一頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日（二）概率分布隨機(jī)變量重要的是它們?nèi)√囟ㄖ档目赡苄?，稱(chēng)為隨機(jī)變量的“概率分布”（Probabilitydistribution）（概率函數(shù)）。離散型隨機(jī)變量只能取有限或可數(shù)個(gè)值，概率分布可以用羅列、表格、圖形表示等。連續(xù)要用分布函數(shù)。第十二頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日

ξ123456P 1/61/61/61/61/61/6

連續(xù)型隨機(jī)變量要用分布函數(shù)和概率密度函數(shù)第十三頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日（三）分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量可能的取值無(wú)窮多，每個(gè)取值（每個(gè)事件）的概率無(wú)窮小，無(wú)法用羅列概率方法表達(dá)研究。只能用反映隨機(jī)變量的取值在某個(gè)特定范圍內(nèi)的概率“分布函數(shù)”來(lái)描述。分布函數(shù)——隨機(jī)變量取值不大于給定水平的概率構(gòu)成的函數(shù)：

第十四頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日分布函數(shù)反應(yīng)的是隨機(jī)變量取值落在（-∞，x）這個(gè)區(qū)間的概率大小。已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)就知道了隨機(jī)變量在任何區(qū)間上取值的概率，分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的情況，掌握分布函數(shù)就等于掌握了隨機(jī)變量的隨機(jī)性規(guī)律。第十五頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日（四）密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布另一個(gè)概念，“密度函數(shù)”（Densityfunction）或稱(chēng)“概率密度函數(shù)”。密度函數(shù)密度與分布函數(shù)關(guān)系第十六頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日

1.定義(p33)

對(duì)于隨機(jī)變量X，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，(-<x<+)，使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度或密度函數(shù).常記為X～f(x),(-<x<+)第十七頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日密度函數(shù)的幾何意義為第十八頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征

（一）期望

（二）方差

（三）期望和方差的性質(zhì)

（四）協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

第十九頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日（一）數(shù)學(xué)期望的定義例1設(shè)某班40名學(xué)生的概率統(tǒng)計(jì)成績(jī)及得分人數(shù)如下表所示：分?jǐn)?shù)4060708090100人數(shù)1691572則學(xué)生的平均成績(jī)是總分÷總?cè)藬?shù)。即數(shù)學(xué)期望——描述隨機(jī)變量取值的平均特征（集中趨勢(shì)）第二十頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日為X的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱(chēng)期望或均值。第二十一頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日例：擲一顆均勻的骰子，以X表示擲得的點(diǎn)數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望。定義3若X~f(x),-<x<,

為X的數(shù)學(xué)期望。則稱(chēng)第二十二頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日（二）方差方差是衡量隨機(jī)變量取值波動(dòng)程度的一個(gè)數(shù)字特征。？如何定義？第二十三頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日1.

定義若E(X),E(X2)存在，則稱(chēng)E[X-E(X)]2為r.v.X的方差，記為D(X),或Var(X).稱(chēng) 為的標(biāo)準(zhǔn)差可見(jiàn)第二十四頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日（四）協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)1.協(xié)方差定義若X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,則稱(chēng)COV(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}.當(dāng)COV(X,Y)=0時(shí)，稱(chēng)X與Y不相關(guān)。？“X與Y獨(dú)立”和“X與Y不相關(guān)”有何關(guān)系？第二十五頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日

2.定義若X，Y的方差和協(xié)方差均存在,且DX>0,DY>0，則稱(chēng)為X與Y的相關(guān)系數(shù).

3.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

(1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常數(shù)a,b使P{Y=aX+b}=1；(3)X與Y不相關(guān)XY=0;第二十六頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日四、常見(jiàn)分布

（一）正態(tài)分布

（二）分布

（三）t分布

（四）F分布

第二十七頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計(jì)中占有特別重要的地位。A，B間真實(shí)距離為，測(cè)量值為X。X的概率密度應(yīng)該是什么形態(tài)？AB（一）正態(tài)分布第二十八頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日其中為實(shí)數(shù)，

>0，則稱(chēng)X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布,記為N(,2)，可表為X～N(,2).若隨機(jī)變量第二十九頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日

(1)單峰對(duì)稱(chēng)

密度曲線關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)； f()＝maxf(x)＝.正態(tài)分布有兩個(gè)特性：第三十頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日(2)的大小直接影響概率的分布越大，曲線越平坦，越小，曲線越陡峻，。正態(tài)分布也稱(chēng)為高斯(Gauss)分布第三十一頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日4.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

參數(shù)＝0，2＝1的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作X~N(0,1)。第三十二頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日分布函數(shù)表示為其密度函數(shù)表示為第三十三頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日一般的概率統(tǒng)計(jì)教科書(shū)均附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表供讀者查閱(x)的值。如，若Z~N（0，1）,（0.5)=0.6915,P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32)注：(1)(x)＝1－(－x)；(2)若X～N(,2)，則第三十四頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日例：一種電子元件的使用壽命Ｘ（小時(shí)）服從正態(tài)分布Ｎ(100,152),某儀器上裝有3個(gè)這種元件，三個(gè)元件損壞與否是相互獨(dú)立的.求：使用的最初90小時(shí)內(nèi)無(wú)一元件損壞的概率.解:設(shè)Y為使用的最初90小時(shí)內(nèi)損壞的元件數(shù),故則Y~B(3,p)其中第三十五頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日判斷正態(tài)分布根據(jù)密度函數(shù)的形態(tài)進(jìn)行判斷：用頻數(shù)直方圖的上方邊緣作為密度函數(shù)的近似，判斷隨機(jī)變量是否服從正態(tài)分布。

根據(jù)偏度、峰度特征檢驗(yàn)：利用觀測(cè)樣本計(jì)算三階矩和四階矩的近似值（與后面講的抽樣分布有關(guān)），偏度和峰度近似值，如果接近0和3，則認(rèn)為隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，也稱(chēng)“通過(guò)了正態(tài)性檢驗(yàn)”。

第三十六頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日第三節(jié)參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)

隨機(jī)變量取值往往無(wú)窮多，不可能通過(guò)全面調(diào)查了解總體分布，只能根據(jù)從總體抽取的部分樣本推斷總體情況。這稱(chēng)為“統(tǒng)計(jì)推斷”，包括參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)等。計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析的觀測(cè)數(shù)據(jù)相當(dāng)于隨機(jī)變量總體抽取的樣本，計(jì)量經(jīng)濟(jì)的回歸分析就是根據(jù)樣本推斷總體情況，因此計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析與統(tǒng)計(jì)推斷有非常密切的聯(lián)系。第三十七頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日一、總體與樣本

1.總體：研究對(duì)象的全體。通常指研究對(duì)象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)。組成總體的元素稱(chēng)為個(gè)體。從本質(zhì)上講，總體就是所研究的隨機(jī)變量或隨機(jī)變量的分布。第三十八頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日2.樣本：來(lái)自總體的部分個(gè)體X1，…，Xn如果滿(mǎn)足：（1）同分布性：

Xi，i=1,…,n與總體同分布.（2）獨(dú)立性：

X1，…，Xn

相互獨(dú)立；則稱(chēng)為容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱(chēng)樣本。而稱(chēng)X1，…，Xn

的一次取值為樣本觀察值，記為x1，…，xn

第三十九頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日3.總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系總體樣本樣本觀察值？理論分布統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料——樣本觀察值，去推斷總體的情況——總體分布。樣本是聯(lián)系兩者的橋梁?？傮w分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本觀察值的規(guī)律，因而可以用樣本觀察值去推斷總體第四十頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日二、統(tǒng)計(jì)量定義：稱(chēng)樣本X1，…，Xn的函數(shù)g(X1，…，Xn)是總體X的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量,如果g(X1，…，Xn)不含未知參數(shù)幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量：

第四十一頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日三、抽樣分布

統(tǒng)計(jì)量的分布稱(chēng)為抽樣分布。數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用到如下三個(gè)分布：

2—分布、

t—分布F—分布。第四十二頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日（一）

2—分布第四十三頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日2.2—分布的密度函數(shù)曲線a.分布可加性若X

~2(n1)，Y~2(n2)，X，Y獨(dú)立，則

X

+

Y

~2(n1+n2)b.期望與方差

若X~2(n)，則E(X)=n，D(X)=2n第四十四頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日1.構(gòu)造若~(yú)N(0,1),~2(n),與獨(dú)立，則t(n)稱(chēng)為自由度為n的t—分布。（二）t—分布第四十五頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日t(n)

的概率密度為第四十六頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日2.基本性質(zhì):

(1)f(t)關(guān)于t=0(縱軸)對(duì)稱(chēng)。

(2)f(t)的極限為N(0，1)的密度函數(shù)，即

3.分位點(diǎn)設(shè)T～t(n)，若對(duì):0<<1,存在t(n)>0，滿(mǎn)足P{Tt(n)}=，則稱(chēng)t(n)為t(n)的上側(cè)分位點(diǎn)第四十七頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日注:第四十八頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日（三）F—分布

1.構(gòu)造若1

~2(n1)，2~2(n2)，1，2獨(dú)立，則

稱(chēng)為第一自由度為n1，第二自由度為n2的F—分布,其概率密度為第四十九頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日2.F—分布的分位點(diǎn)對(duì)于：0<<1，若存在F(n1,n2)>0，滿(mǎn)足P{FF(n1,n2)}=，則稱(chēng)F(n1,n2)為F(n1,n2)的上側(cè)分位點(diǎn)；第五十頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日四、正態(tài)總體的抽樣分布定理證明:是n個(gè)獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合,故服從正態(tài)分布第五十一頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日(3)證明:且U與V獨(dú)立,根據(jù)t分布的構(gòu)造得證!第五十二頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日五、參數(shù)估計(jì)的概念

定義設(shè)X1，…，Xn是總體X的一個(gè)樣本，其分布函數(shù)為F(x;),。其中為未知參數(shù),為參數(shù)空間,若統(tǒng)計(jì)量g(X1，…，Xn)可作為的一個(gè)估計(jì),則稱(chēng)其為的一個(gè)估計(jì)量，記為注：F(x;)也可用分布律或密度函數(shù)代替.第五十三頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日若x1，…，xn是樣本的一個(gè)觀測(cè)值。

由于g(x1，…，xn)

是實(shí)數(shù)域上的一個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)用它來(lái)估計(jì)，故稱(chēng)這種估計(jì)為點(diǎn)估計(jì)。

點(diǎn)估計(jì)的經(jīng)典方法是矩估計(jì)法與極大似然估計(jì)法。第五十四頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)第五十五頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日區(qū)間估計(jì)

一、概念

定義：設(shè)總體X的分布函數(shù)F(x；)含有未知參數(shù)，對(duì)于給定值（0<<1),若由樣本X1,…,Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量使則稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間為的置信度為1的置信區(qū)間注：F(x;)也可換成概率密度或分布律。第五十六頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日第五十七頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日

正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)1、2已知第五十八頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日/2/21-可取第五十九頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日(1-)1-的置信度為1的置信區(qū)間為注：的1置性區(qū)間不唯一。都是的1置性區(qū)間.但=1/2時(shí)區(qū)間長(zhǎng)最短.第六十頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日求正態(tài)總體參數(shù)置信區(qū)間的解題步驟：

(1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題構(gòu)造樣本的函數(shù)，要求僅含待估參數(shù)且分布已知；(2)令該函數(shù)落在由分位點(diǎn)確定的區(qū)間里的概率為給定的置信度1，要求區(qū)間按幾何對(duì)稱(chēng)或概率對(duì)稱(chēng)；(3)解不等式得隨機(jī)的置信區(qū)間；(4)由觀測(cè)值及值查表計(jì)算得所求置信區(qū)間。第六十一頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日

2、2未知m的1-a置信區(qū)間為1-即得第六十二頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日第六十三頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日六、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)（一）統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)基本原理（二）假設(shè)檢驗(yàn)第六十四頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日（一）假設(shè)檢驗(yàn)的原理首先設(shè)想H0是真的，然后考慮在H0成立的條件下，將觀測(cè)到的樣本應(yīng)出現(xiàn)的區(qū)間（樣本以很大的概率落入的區(qū)間）。如果樣本落入該區(qū)間，則接受原假設(shè)。如果樣本沒(méi)有落入該區(qū)間，則稱(chēng)一個(gè)小概率事件發(fā)生了，根據(jù)小概率原理，概率很小的事件在一次試驗(yàn)中是不可能發(fā)生的，因此否定原假設(shè)。第六十五頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日（一）假設(shè)檢驗(yàn)的原理第六十六頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日由樣本推斷總體，可能會(huì)犯錯(cuò)誤第一類(lèi)錯(cuò)誤：原假設(shè)H0符合實(shí)際情況，檢驗(yàn)結(jié)果將它否定了，稱(chēng)為棄真錯(cuò)誤。第二類(lèi)錯(cuò)誤：原假設(shè)H0不符合實(shí)際情況，檢驗(yàn)結(jié)果無(wú)法否定它。稱(chēng)為取偽錯(cuò)誤。第六十七頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于給定的一對(duì)H0和H1,總可找出許多臨界域,人們自然希望找到這種臨界域W,使得犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率都很小。奈曼—皮爾遜(Neyman—Pearson)提出了一個(gè)原則：“在控制犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率不超過(guò)指定值的條件下,盡量使犯第二類(lèi)錯(cuò)誤小”按這種法則做出的檢驗(yàn)稱(chēng)為“顯著性檢驗(yàn)”,稱(chēng)為顯著性水平或檢驗(yàn)水平。第六十八頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日？怎樣構(gòu)造的拒絕域方可滿(mǎn)足上述法則？如:對(duì)總體X~N(,1),要檢驗(yàn)H0：=0；H1：=1顯著性檢驗(yàn)的思想和步驟：(1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題作出假設(shè)H0與H1；(2)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)