積分變換第五章

積分變換第五章1第一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日§1孤立奇點1.可去奇點2.極點3.本性奇點4.函數(shù)的零點與極點的關(guān)系5.函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)第二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日在第二章曾定義函數(shù)不解析的點為奇點。如果函數(shù)f(z)雖在z0不解析,但在z0的某個去心鄰內(nèi)處處解析,則z0為f(z)的孤立奇點。函數(shù)的奇點都是孤立的。例如都以z=0為孤立奇點。但不能認為的一個奇點，此外當n的絕對值逐漸增大時,可任意接近z=0。域例如函數(shù)，z=0是它也是它的奇點。第三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日換句話說,在z=0的不論怎樣小的去心領(lǐng)域內(nèi)總有f(z)的奇點存在。所以z=0不是孤立奇點。把函數(shù)f(z)在它的孤立奇點z0的去心鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)。根據(jù)展開式的不同情況對孤立奇點進行如果在洛朗級數(shù)中不含點z0稱為f(z)的可去奇點。這時,f(z)在z0的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)實際上就是一個普通的冪級數(shù)：的負冪項，則孤立奇1.可去奇點如下分類。第四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日因此,這個冪級數(shù)的和函數(shù)F(z)是在z0解析的函數(shù),且時,F(z)=f(z);當z=z0時,F(z0)=c0。由于當從而函數(shù)f(z)在z0就成為解析的了.由于這個原因,所以z0稱為可去奇點。所以不論f(z)原來在z0是否有定義,如果令f(z0)=c0,則在圓域內(nèi)就有第五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例如，z=0是的可去奇點，因為這個函數(shù)在z=0的去心領(lǐng)域內(nèi)的洛朗級數(shù)中不含負冪項。如果約定在z=0的值為1(即c0)，則在z=0就成為解析的了。第六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日2.極點其中如果在洛朗級數(shù)中只有有限多個其中關(guān)于,即則孤立奇點z0稱為函數(shù)f(z)的m級極點。上式也可寫成的負冪項,且的最高冪為在內(nèi)是解析的函數(shù),且。第七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日反過來,當任何一個函數(shù)f(z)能表示為(5.1.1)的形式,且g(z0)0時,則z0是f(z)的m級極點。如果z0為f(z)的極點,由(5.1.1)式,就有例如，對有理分式函數(shù)它的三級極點，是它的一級極點?；?qū)懽?z=1是第八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日3.本性奇點中含有無窮多個z的負冪項。如果在洛朗級數(shù)中含有無窮多個孤立奇點z0稱為f(z)的本性奇點。的負冪項,則例如，函數(shù)以z=0為它的本性奇點。因為在級數(shù)在本性奇點的鄰域內(nèi),f(z)有以下性質(zhì)(證明從略):第九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日在本性奇點的鄰域內(nèi),f(z)有以下性質(zhì)(證明從略):如果z0為函數(shù)f(z)的本性奇點,則對任意給定的復數(shù)A,總可以找到一個趨向于z0的數(shù)列,當z沿這個數(shù)列趨向于z0時,f(z)的值趨向于A。。則由，可得,顯然，當時，，所以，當z沿趨向于i。而趨向于零時，f(z)的值例如,給定復數(shù)A=i,可把它寫成第十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日存在且有限；如果z0為f(z)的極點，則如果z0為f(z)的本性奇點，則不存在且不為反過來結(jié)論也成立。這就是說，可以利用上述極限的；。不同情形來判別孤立奇點的類型。綜上所述,如果z0為f(z)的可去奇點，則第十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日4.函數(shù)的零點與極點的關(guān)系不恒等于零的解析函數(shù)f(z)如果能表示成其中f(z)的m級零點。例如當級零點,根據(jù)這個定義,可以得到以下結(jié)論：若f(z)在z0解析，則z0是f(z)的m級零點的充要在z0解析且,m為某一正整數(shù),則z0稱為時,z=0與z=1是它的一級與三條件是第十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日事實上，如果z0是f(z)的m級零點，那么f(z)可表成如下形式：其中

,那么f(z)在z0的泰勒展開式為設在z0的泰勒展開式為第十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日易證z0是f(z)的m級極點的充要條件是前m項系數(shù)從而知z=1是f(z)的一級零點。如z=1是f(z)=z3-1的零點，由于f'(1)=3z2|z=1=30,,這等價于第十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日順便指出，由于在z0的去心鄰域內(nèi)不為零，即的鄰域內(nèi)不為零。這是因為解析函數(shù)的零點是孤立的。，必存在，由此得時，有在z0解析且因而它在z0在z0解析,必在z0連續(xù),所以給定，當所以不恒為零，只在z0等于零。也就是說，一個不恒為零的第十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日定理如果z0是

f(z)的m級極點，則z0就是的m級[證]如果z0是f(z)的m級極點，則有零點，反過來也成立。其中g(shù)(z)在z0解析，且m級極點，則有。所以當時，有函數(shù)h(z)也在z0解析，且。又由于第十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日因此只要令，則可得z0是的m級零點。反過來，如果z0是的m級零點，那么這里在z0解析，且，由此，當時，得第十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日而在z0解析，并且，所以z0是f(z)的m級極點。這個定理為判斷函數(shù)的極點提供了一個較為簡單的方法。第十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例1函數(shù)有些什么奇點？如果是極點，指出它的級。[解]函數(shù)1/sinz的奇點顯然是使sinz=0的點。這些奇點是。因為從sinz＝0得或。顯然它們是孤，從而有，所以立奇點。由于所以都是sinz的一級零點,也就是sinz的一級極點。第十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日注意：在求函數(shù)的孤立奇點時，不能一看函數(shù)表面極點，其實是一級極點。因為其中的z=0解析，并且.類似地，z=0是的2級極點而不是3級極點。形式急于作結(jié)論。像函數(shù)，初看似乎z=0是它的2級第二十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例

下列函數(shù)有些什么奇點？如果是極點，指出它的級。[解](1)顯然是三級極點，是二級極點。所以是可去奇點。第二十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例

下列函數(shù)有些什么奇點？如果是極點，指出它的級。[解](3)顯然是函數(shù)的奇點。所以是六級極點。又第二十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日5.函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)如果函數(shù)f(z)在無窮遠點z=的去心鄰域R<|z|<內(nèi)解析，稱點為f(z)的孤立奇點。作變換規(guī)定這個變換把擴充z平面上的無窮遠點擴充t平面上的點，并且映射成，則擴充z平面上每一個向無窮到現(xiàn)在為止，討論函數(shù)f(z)的解析性和它的孤立奇點時，都設z為復平面內(nèi)的有限遠點。至于函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)，尚未提及?，F(xiàn)在在擴充復平面上對此加以討論。第二十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日與擴充t平面上向零收斂的序列對應。反過來也是這樣。無窮遠點收斂的序列相對應。反過來也是這樣。同時，把擴充z平面上的去心領(lǐng)域映射成擴充t平面上原點的去心領(lǐng)域，又這樣，可把在去心領(lǐng)域?qū)(z)的研究化為在內(nèi)對的研究。顯然在內(nèi)解析，第二十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日所以z=0是的孤立奇點。規(guī)定，如果t=0是本性奇點，則稱點z=是f(z)的可去奇點，m級極點或本性奇點。由于f(z)在R<|z|<+內(nèi)解析，所以在此圓環(huán)域內(nèi)可以展開成洛朗級數(shù),即有的可去奇點，m級極點或其中C為R<|z|<+內(nèi)繞原點任何一條簡單正向閉曲線。第二十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日如果在上面級數(shù)中因此，在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)可由得到上式得到為為最高冪,i)可去奇點,則t=0是iii)含有無窮多的負冪項,ii)含有有限多的負冪項,且i)不含負冪項,的ii)m級極點,iii)本性奇點。第二十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日因此，根據(jù)前面的規(guī)定，有：i)不含正冪項；ii)含有限多的正冪項,且zm為最高冪；iii)含有無窮多的正冪項；則z=是f(z)的i)可去奇點；ii)

m級極點；iii)本性奇點。如果在級數(shù)中，這樣一來，對于無窮遠點來說，它的特性與其洛朗級數(shù)之間的關(guān)系就跟有限遠點的情形一樣，不過只是把正冪項與負冪項的作用互相對調(diào)就是了。第二十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例

下列函數(shù)中，∞的奇點類型。[解](1)顯然是二級極點，所以是二級極點。當z=∞，令，則第二十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例

下列函數(shù)中，∞的奇點類型。[解]

所以是本性奇點。第二十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例

下列函數(shù)中，∞的奇點類型。[解](3)所以是本性奇點。當z=∞，令，則第三十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日由前面分析又知道，要確定t=0是不是去奇點，極點或本性奇點，可以不必把展開成洛值)，為無窮大或即不存在又不為無窮大數(shù)就可以了。，對于無窮遠點也有同樣的確定方法，即z=是f(z)的可去奇點,極點或本性奇點,完全看是否存在(有限值)，為無窮大或即不存在的可朗級數(shù)來考慮，只要分別看極限是否存在(有限又不是無窮大來決定。由于極限第三十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日的，只要取當z=是f(z)的可去奇點,可以認為f(z)在是解析例如函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)可展開成它不含正冪項,所以是f(z)的可去奇點。若取f()=1，則f(z)在解析。。第三十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日又如函數(shù)項，所以為它的一級極點。含有無窮多的正冪項，所以是它的本性奇點。，含有正冪項，且z為最高正冪函數(shù)sinz的展開式：第三十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日－1是f(z)的2級極點。例2函數(shù)類型的奇點？如果是極點，指出它的級。以1與-1為一級零點，所以1與因[解]易知，函數(shù)f(z)除使分母為零的點外，在內(nèi)解析。零點。所以這些點中除去1,-1,2外都是f(z)的三級極點。在擴充平面內(nèi)有些什么在由于處均不為零，因的一級零點，從而是此這些點都是的三級第三十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日所以z=2是f(z)的可去奇點。關(guān)于，因為至于z=2，因為使分母為零，當n=1時，可知，即z=1；第三十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日當n=2時，，即z=2。這兩點上面已經(jīng)討也就是不是f(z)的孤立奇點。為論過。所以當n>2時，的極點。顯見當。所以不是時，的孤立奇點，第三十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例

判定z=∞是下列函數(shù)的什么奇點？[解](1)所以是可去奇點。所以是本性奇點。所以是可去奇點。第三十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日§2留數(shù)1.留數(shù)的定義及留數(shù)定理2.留數(shù)的計算規(guī)則3.在無窮遠點的留數(shù)第三十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日1.留數(shù)的定義及留數(shù)定理但是,如果z0為f(z)的一個孤立奇點,則沿在z0的某一般就不等于零。如果函數(shù)f(z)在z0的鄰域內(nèi)解析,那末根據(jù)柯西－古薩基本定理個去心鄰域其中C為z0領(lǐng)域內(nèi)任意一條簡單閉曲線。內(nèi)包含z0的任意一條正向簡單閉曲線C的積分第三十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日因此將f(z)在此鄰域內(nèi)展開為洛朗級數(shù)其中c-1就稱為f(z)的留數(shù),也就是上面積分兩邊除以后，兩端沿C逐項積分,右端各項積分除留下的一項等于外,其余各項積分都等于零,所以后所得的數(shù)稱為f(z)在z0的留數(shù),記作Res[f(z),z0],即第四十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日即從而有也就是說，f(z)在z0的留數(shù)就是f(z)在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)中負冪項的系數(shù)。第四十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日定理一(留數(shù)定理)設函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個Dz1z2z3znC1C2C3CnC孤立奇點z1,z2,...,zn外處處解析。C是D內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線,則關(guān)于留數(shù)，有下面的基本定理(k=1,2,...,n)用互不包含的正向[證]把在C內(nèi)的孤立奇點zk簡單閉曲線Ck圍繞起來,則根據(jù)復合閉路定理有第四十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日即利用這個定理，求沿封閉曲線C的積分，就轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C中的各孤立奇點處的留數(shù)。由此可見，留數(shù)定理的效用有賴于如何能有效地求出是f(z)以除等式兩邊，得第四十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日在孤立奇點處z0處的留數(shù)。一般說來,求函數(shù)在奇點z0處的留數(shù)即求它在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)洛朗級數(shù)中對求留數(shù)可能更有利。如果z0是f(z)的可去奇點,則

Res[f(z),z0]=0,因為此時f(z)在z0的展開式是泰勒展開式。如果z0是本性奇點,則沒有太好的辦法,只好將其按洛朗級數(shù)展開。如果z0是極點,則有一些對求項的系數(shù)即可。但如果知道奇點的類型,c-1有用的規(guī)則。第四十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日2.留數(shù)的計算規(guī)則規(guī)則II如果z0為f(z)的m級極點,則規(guī)則I如果z0為f(z)的一級極點,則事實上,由于以乘上式的兩端，得第四十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日令兩端zz0,右端的極限是(m-1)!c-1,兩端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0],因此即得規(guī)則II,當m=1時就是規(guī)則I。兩邊求m-1階導數(shù)，得規(guī)則III設，P(z)及Q(z)在z0都解析，則z0為f(z)的一級極點，而如果第四十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日事實上，因為及，所以為Q(z)的一級零點，從而z0為的一級極點。因此其中在z0解析，且。故z0為f(z)的一級極點。由此得其中在z0解析，第四十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例1計算積分，C為正向圓周|z|=2。[解]由于有兩個一級極點而這兩個極點都在圓周|z|=2內(nèi)，所以由規(guī)則I,得而根據(jù)規(guī)則I，令，即得規(guī)則III。所以第四十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日因此我們也可以用規(guī)則III來求留數(shù):這比用規(guī)則1要簡單些.第四十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例求下各函數(shù)f(z)在有限奇點處的留數(shù)：[解](1)有兩個一級極點方法一由規(guī)則I,得第五十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例求下各函數(shù)f(z)在有限奇點處的留數(shù)：[解](1)有兩個一級極點方法二由規(guī)則III,得第五十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例求下各函數(shù)f(z)在有限奇點處的留數(shù)：[解](2)的極點為(一)為一級極點。所以第五十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例求下各函數(shù)f(z)在有限奇點處的留數(shù)：[解](2)的極點為(二)的一級極點，是從而是的二級極點，所以第五十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例求下各函數(shù)f(z)在有限奇點處的留數(shù)：[解](3)有一個n+1級極點方法一由規(guī)則II,得第五十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例求下各函數(shù)f(z)在有限奇點處的留數(shù)：[解](3)方法二將函數(shù)在上展開成洛朗級數(shù)，即所以有一個n+1級極點第五十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例求下各函數(shù)f(z)在有限奇點處的留數(shù)：[解](4)方法一將函數(shù)在上展開成洛朗級數(shù)，所以有一個5級極點第五十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例求下各函數(shù)f(z)在有限奇點處的留數(shù)：[解](4)方法二由規(guī)則II，取m比實際級數(shù)高，即m=5，有有一個5級極點第五十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例2計算積分，C為正向圓周|z|=2。[解]被積函數(shù)有四個一級極點都在圓周|z|=2內(nèi)，所以由規(guī)則III，，故第五十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例3計算積分，C為正向圓周|z|=2。[解]z=0為被積函數(shù)的一級極點,z=1為二級極點,而所以第五十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日級數(shù)。由于在z=0處的留數(shù)。為了要用公式，先應定出極點z=0的以上介紹了求極點處留數(shù)的若干公式。用這些公式解題有時雖感方便，但也未必盡然。例如欲求函數(shù)因此z=0是z-sinz的三級零點，從而由f(z)的表達式知,z=0是f(z)的三級極點。應用規(guī)則II，得第六十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日就比較方便。因為如果利用洛朗展開式求由此可見，往下的運算既要先對一個分式函數(shù)求二階函數(shù)，然后又要對求導結(jié)果求極限，這就十分繁雜。第六十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日所以可見解題的關(guān)鍵在于根據(jù)具體問題靈活選擇方法，不要拘泥于套用公式。第六十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日3.在無窮遠點的留數(shù)的值與C無關(guān),稱其為f(z)在點的留數(shù),記作積分路線的方向是負的，也就是順時針方向。繞原點的任何一條簡單閉曲線,則積分設函數(shù)f(z)在圓環(huán)域R<|z|<+內(nèi)解析,C為圓環(huán)域內(nèi)從第一節(jié)可知，當n=-1時，有第六十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日因此，由(5.2.7)可得這就是說，f(z)在點的留數(shù)等于它在點的去心領(lǐng)域R<|z|<+內(nèi)洛朗展開式中z-1的系數(shù)變號。定理二如果函數(shù)f(z)在擴充復平面內(nèi)只有有限個孤立奇點,那末f(z)在所有各奇點(包括點)的留數(shù)總和必等于零。下面的定理在計算留數(shù)時是很有用的。第六十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日[證]除點外,設f(z)的有限個奇點為zk(k=1,2,...,n)。又設C為一條繞原點的并將zk(k=1,2,...,n)包含在它內(nèi)部的正向簡單閉曲線,則根據(jù)留數(shù)定理與在無窮遠點的留數(shù)定義,有規(guī)則IV關(guān)于在無窮遠點的留數(shù)計算，有以下的規(guī)則：第六十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日，那末事實上，在無窮遠點的留數(shù)定義中，取正向簡單閉曲線C為半徑足夠大的正向圓周：。令，，于是有為正向)。并設第六十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日所以規(guī)則IV成立。由于f(z)在內(nèi)解析,從而內(nèi)解析，因此在外沒有其他奇點。由留數(shù)定理，得定理二與規(guī)則IV為提供了計算函數(shù)沿閉曲線積分在內(nèi)除的又一種方法，在很多情況下，它比利用上一段中的方法更簡便。第六十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例求函數(shù)在∞點的留數(shù)。[解]由而故的項系數(shù)為第六十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例求函數(shù)在∞點的留數(shù)。[解]而故在有限點處有一級極點：第六十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例求函數(shù)在∞點奇點類型和留數(shù)？[解]由故z=∞是的本性奇點，第七十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例4計算積分，C為正向圓周：|z|=2。[解]在|z|=2的外部除外無奇點，因此又根據(jù)定理二與規(guī)則IV，因此第七十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例5計算,C為正向圓周:|z|=2。[解]被積函數(shù)除外還有奇點：－i，1與3。由定理二，有其中由于－i與1在C的內(nèi)部，所以從上式、留數(shù)定理與規(guī)則IV得到第七十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日如果用上一段的方法，由于－i是10級極點，并且在C的內(nèi)部，因而計算必然很繁瑣。第七十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例利用留數(shù)計算積分：[解]函數(shù)在|z|=2的外部除外無奇點，因此在又內(nèi)把被積函數(shù)展開成洛朗級數(shù)，有第七十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例利用留數(shù)計算積分：[解]所以所以第七十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例利用留數(shù)計算積分：[解]函數(shù)在|z|=2的外部除外無奇點，因此根據(jù)又定理二與規(guī)則IV，則第七十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例利用留數(shù)計算積分：[解]所以所以第七十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日§3留數(shù)在定積分計算上的應用1.形如2.形如3.形如的積分的積分的積分第七十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日根據(jù)留數(shù)定理，用留數(shù)來計算定積分是計算定積分顯得有用。即使尋常的方法可用，如果用留數(shù)，也往往首先，被積函數(shù)必須要與某個解析函數(shù)密切相關(guān)。這一的一個有效措施，特別是當被積的原函數(shù)不易求得時更感到很方便。當然這個方法的使用還受到很大的限制。點，一般講來，關(guān)系不大，因為被積函數(shù)常常是初等函數(shù)，而初等函數(shù)是可以推廣到復數(shù)域中去的。其次，定積分的積分域是區(qū)間，而用留數(shù)來計算要牽涉到把問題化為沿閉曲線的積分。這是比較困難的一點。下面來闡述怎樣利用復數(shù)求某幾種特殊形式的定積分的值。第七十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日其中從而積分化為沿正向單位圓周的積分1.形如的積分,為與的有理函數(shù)。令

，則第八十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日其中f(z)是z的有理函數(shù),且在單位圓周|z|=1上分母不為其中zk(k=1,2,...,n)為單位圓|z|=1內(nèi)的f(z)的孤立奇點。零,

根據(jù)留數(shù)定理，得所求的積分值：第八十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日[解]由于0<p<1,被積函數(shù)的分母在內(nèi)不為零,因而積分是有意義的。由于因此的值。例1計算第八十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日在被積函數(shù)的三個極點z=0,p,1/p中只有前兩個在圓周|z|=1內(nèi)其中,z=0為二級極點,z=p為一級極點。所以在圓周|z|=1上被積函數(shù)無奇點。則第八十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日因此第八十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日[解]設代入得的值。例計算，將被積函數(shù)在被積區(qū)域內(nèi)只有一個一級極點又所以第八十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日為一已約分式。當被積函數(shù)R(x)是x的有理函數(shù),而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次,且R(z)在實軸上沒有孤立奇點時，積分是存在的。不失一般性，設積分2.形如第八十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日取積分路線如圖所示,其中CR是以原點為中心,R為半z1z2z3yCR-RROx徑的在上半平面的半圓周。取R適當大,使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點zk都包在這積分路線內(nèi)。由留數(shù)定理，得第八十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日此等式不因CR的半徑R不斷增大而有所改變。因為而當|z|充分大時，總可使第八十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日由于，故有因此，在半徑R充分大的CR上，有如果R(x)為偶函數(shù)，所以第八十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日的一級極點為例2計算積分的值.[解]這里，并且實軸上R(z)沒有孤立奇點，因此積分是存在的。函數(shù)，其中ai與bi在上半平面內(nèi)。由于第九十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日所以第九十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日在上半平面有二級極點為例計算積分的值.[解]這里，并且實軸上R(z)沒有孤立奇點，因此積分是存在的。函數(shù)第九十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日在上半平面有二級極點為例計算積分的值.[解]這里，并且實軸上R(z)沒有孤立奇點，因此積分是存在的。函數(shù)，一級極點為第九十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例計算積分的值.[解]第九十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日當R(x)是x的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次,且R(z)在實數(shù)軸上沒有奇點時,積分是存3.形如的積分在的象2中處理的一樣,由于m-n1,故對充分大的|z|有因此,在半徑R充分大的CR上,有第九十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日上面用到不等式于是得或yOx第九十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日在上半平面內(nèi)有一級極點ai,例3計算的值。[解]這里。R(z)的實軸上無孤立奇點，因而所求的積分是存在的。因此第九十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日因此還可以利用復變函數(shù)計算出下列積分值:第九十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日在上半平面內(nèi)有一級極點z=-2+i，例計算的值。[解]這里。R(z)的實軸上無孤立奇點，因而所求的積分是存在的。第九十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日因此例計算的值。[解]第一百頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日在上半平面內(nèi)有一級極點z=i,例計算的值。[解]這里。R(z)的實軸上無孤立奇點，因而所求的積分是存在的。第一百零一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例計算[解]因此的值。第一百零二頁，共一百一十八頁，202