矩陣變換的特征值與特征向量

矩陣變換的特征值與特征向量第一頁，共二十九頁，2022年，8月28日矩陣變換的特征值與特征向量第二頁，共二十九頁，2022年，8月28日復(fù)習(xí)若向量=,利用逆矩陣解二元一次方程組則與共線,即與平行,即∥.第三頁，共二十九頁，2022年，8月28日表示一個壓縮變換BCAxyO11MB’C’AxyO1121第四頁，共二十九頁，2022年，8月28日ABCxy11-1OABCB’A’xy11-1ON關(guān)于y軸的反射變換第五頁，共二十九頁，2022年，8月28日一般地,給定矩陣M,若存在一個非零向量和實數(shù),滿足M=則稱為矩陣M的特征值,為矩陣M的屬于特征值的特征向量.特征向量變換后的像與原向量是共線的特征向量的不變換性第六頁，共二十九頁，2022年，8月28日還有沒有其他的特征值和特征向量?如何確定矩陣的特征值和特征向量呢?第七頁，共二十九頁，2022年，8月28日實例分析由定義知第八頁，共二十九頁，2022年，8月28日特征向量是非零向量,將問題轉(zhuǎn)化為:二元一次方程組何時有非零解.存在逆矩陣N-1M無特征向量第九頁，共二十九頁，2022年，8月28日當(dāng)2-5-24=0時,才可能是M的特征值解方程得1=82=-3第十頁，共二十九頁，2022年，8月28日將1=8代入(5.2)1=8是M的特征值都是屬于特征值1=8的特征向量.第十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日將2=-3代入(5.2)x+y=0對每一個x≠0的值,都是屬于2=-3的特征向量2=-3是M的特征值第十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日對于矩陣M,若有特征值及相應(yīng)的特征向量,即M=,則對任意實數(shù)t(t≠0),t也必是矩陣M對應(yīng)于特征值的特征向量.由于它們是共線的第十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日堂上練習(xí)1.求下列矩陣的特征值和特征向量第十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日堂上練習(xí)2.利用特征向量的定義證明,若是矩陣M對應(yīng)于特征值的特征向量,則t(實數(shù)t≠0)也必是矩陣M對應(yīng)于特征值的特征向量.第十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日抽象概括若矩陣M存在特征值,及其對應(yīng)的特征向量第十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日因此,矩陣M的特征值必須滿足方程方程的根即為矩陣M的特征值一個二階方陣最多可以有兩個特征值方程最多有兩根解得特征值代入第十七頁，共二十九頁，2022年，8月28日第十八頁，共二十九頁，2022年，8月28日當(dāng)b≠0時,由(-a)x–by=0當(dāng)x≠0時第十九頁，共二十九頁，2022年，8月28日例1解矩陣M的特征值滿足方程解得M的兩個特征值1=2,2=3設(shè)屬于特征值1=2的特征向量為滿足方程組第二十頁，共二十九頁，2022年，8月28日這樣的向量有無窮多個,可表示為為屬于特征值1=2的一個特征向量設(shè)屬于特征值2=3的特征向量為滿足方程組這樣的向量有無窮多個,可表示為為屬于特征值2=3的一個特征向量第二十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日綜上所述,有兩個特征值1=2,2=3第二十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日對上例中連續(xù)實施n次矩陣M的變換,則第二十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日一般地,當(dāng)矩陣M有特征值及對應(yīng)的特征向量,即M=則有Mn=給定兩個不同線向量1,2及任意向量,總存在實數(shù)s,t,

使得=s1+t2如果矩陣M有兩個不同線的特征向量1,2,及其相應(yīng)的特征值1,2,有M1=

11,M2=

22

對任意向量有M=M(s1+t2)=s(M1)+t(M2)=s(

11)+

t(22)

第二十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日變換結(jié)果,任意向量在矩陣M作用下的變換結(jié)果均可以用它們表示.對一般向量連續(xù)實施矩陣M所表示的變換時,M2=M2(s1+t2)=s(

M21)

+t(M2

2)第二十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日一般地第二十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日例2解利用例1結(jié)果是矩陣M分別對