環(huán)境規(guī)劃與管理的數(shù)學(xué)

環(huán)境規(guī)劃與管理的數(shù)學(xué)第一頁，共八十一頁，2022年，8月28日第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法

一、數(shù)據(jù)的表示方法和數(shù)據(jù)特征二、異常數(shù)據(jù)的剔除三、數(shù)據(jù)的誤差分析四、數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理第二頁，共八十一頁，2022年，8月28日一、數(shù)據(jù)的表示方法和數(shù)據(jù)特征（一）數(shù)據(jù)的表示方法列表法：將數(shù)據(jù)列成表格，將各變量的數(shù)值依照一定的形式和順序一一對應(yīng)起來，它通常是整理數(shù)據(jù)的第一步，能為標(biāo)繪曲線圖或整理成數(shù)學(xué)公式打下基礎(chǔ)。圖示法：將數(shù)據(jù)用圖形表示出來，它能用更加直觀和形象的形式將復(fù)雜的數(shù)據(jù)表現(xiàn)出來，可以直觀地看出數(shù)據(jù)變化的特征和規(guī)律，為后一步數(shù)學(xué)模型的建立提供依據(jù)。插值法第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法第三頁，共八十一頁，2022年，8月28日1、列表法例:研究電阻的阻值與溫度的關(guān)系時(shí)，測試結(jié)果如下：測量序號溫度(t)/℃電阻(R)/Ω110．510．42229．410．92342．711．32460．011．80575．012．24691．012．67第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法第四頁，共八十一頁，2022年，8月28日篩下累計(jì)頻率（Fi）粒徑（dp）/μm2、圖示法粒徑與篩下累積頻率關(guān)系曲線第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法第五頁，共八十一頁，2022年，8月28日3、插值法例：用分光光度法測定溶液中鐵的含量，測得標(biāo)準(zhǔn)曲線數(shù)據(jù)如下，試求未知液中吸光度為0.413時(shí)鐵的含量。（1）作圖插值法Fe濃度/（μg·mL-1）24681012吸光度（A）0.0970.200

0.3040.408

0.5100.613

在圖的縱坐標(biāo)上0.413處找到直線上對應(yīng)點(diǎn)，讀出其對應(yīng)的橫坐標(biāo)數(shù)值8.122即為未知液中鐵的含量。第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法第六頁，共八十一頁，2022年，8月28日此式即為比例法內(nèi)插公式，從圖上可看出，因?yàn)橛脃c代替了yd

，產(chǎn)生了△y=yd-yc的誤差用直線代替曲線（2）比例公式法所以第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法第七頁，共八十一頁，2022年，8月28日（3）牛頓內(nèi)插公式xy△y△2y△3y△4y01234562412327013222428203862926121824306666000一般的非線性函數(shù)都可以展開為多項(xiàng)式:例：制作y=2+x+x3

的差分表。表中△y表示y的1次差值，△2y表示y的差值的差值，以此類推。第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法第八頁，共八十一頁，2022年，8月28日在上面的例子中，x的差值為1，實(shí)際上x的差值可以為任意恒量，令此恒量為h，做出差分表的通式如下。xy△y△2y△3y△4yaa+ha+2ha+3h

a+4h...yaya+hya+2hya+3hya+4h...△ya△ya+h△ya+2h△ya+3h...△2ya△2ya+h△2ya+2h...△3ya△3ya+h..△4ya...

表中：△ya=ya+h-ya△2ya=△ya+h-△y

△3ya=△2ya+h-△2ya

△4ya=△3ya+h-△3ya

……可以推得：△nya=△n-1ya+h-△n-1ya第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法第九頁，共八十一頁，2022年，8月28日（二）數(shù)據(jù)特征數(shù)據(jù)特征通?？煞譃橐韵氯悾何恢锰卣鲾?shù):表示數(shù)據(jù)集中趨勢或刻畫頻數(shù)分布圖中心位置的特征數(shù)；離散特征數(shù):用來描述數(shù)據(jù)分散程度；分布形態(tài)特征數(shù):刻劃分布曲線圖的形態(tài)。第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法第十頁，共八十一頁，2022年，8月28日表示數(shù)據(jù)集中趨勢或刻畫頻數(shù)分布圖中心位置的特征數(shù)；1.位置特征數(shù)（1）算術(shù)平均數(shù)：（2）加權(quán)平均數(shù)：如果樣本個(gè)體數(shù)據(jù)x1，x2，…,xn取值因頻數(shù)不同或?qū)傮w重要性有所差別，則常采取加權(quán)平均方法。第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法第十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日

（4）調(diào)和平均數(shù)：（3）幾何平均數(shù)：第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法第十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日（5）中位數(shù)環(huán)境數(shù)據(jù)有時(shí)顯得比較分散，甚至個(gè)別的數(shù)據(jù)離群偏遠(yuǎn)，難以判斷去留，這時(shí)往往用到中位數(shù)。樣本數(shù)據(jù)依次排列（從大到小或者從小到大），居中間位置的數(shù)即為中位數(shù)，若數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則中位數(shù)為正中兩個(gè)數(shù)的平均值。只有當(dāng)數(shù)據(jù)的分布呈正態(tài)分布時(shí)，中位數(shù)才代表這組數(shù)據(jù)的中心趨向，近似于真值。第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法第十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日（1）級差（全距）：

（2）差方和、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差差方和：

樣本方差：樣本標(biāo)準(zhǔn)差：（3）變異系數(shù)：

2.離散特征數(shù)（描述數(shù)據(jù)離散程度）

第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法第十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日（1）偏態(tài)系數(shù)主要描述數(shù)據(jù)頻率分布不對稱特征，是反映數(shù)據(jù)分布不對稱性的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。其絕對值越大，偏斜越遠(yuǎn)。以平均值與中位數(shù)之差對標(biāo)準(zhǔn)差之比來衡量偏斜程度。3.分布形態(tài)特征數(shù)（刻劃分布曲線圖的形態(tài)）（2）峰態(tài)系數(shù)峰態(tài)系數(shù)描述數(shù)據(jù)分布陡峭程度。xk中位數(shù)s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法Cs<0，平均數(shù)在眾數(shù)之左，左偏Cs>0，平均數(shù)在眾數(shù)之右，右偏第十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日二、異常數(shù)據(jù)的剔除在處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的時(shí)候，我們常常會遇到個(gè)別數(shù)據(jù)偏離預(yù)期或大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)結(jié)果的情況如果我們把這些數(shù)據(jù)和正常數(shù)據(jù)放在一起進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可能會影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的正確性，如果把這些數(shù)據(jù)簡單地剔除，又可能忽略了重要的實(shí)驗(yàn)信息。下面主要介紹幾種剔除法。第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法第十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日1.格拉布斯準(zhǔn)則用格拉布斯準(zhǔn)則檢驗(yàn)可疑數(shù)據(jù)xp時(shí)，選取一定的顯著性水平α，若：

則應(yīng)將xp從該組數(shù)據(jù)中剔除，稱為格拉布斯檢驗(yàn)臨界值，其值見表4-1。

以上準(zhǔn)則是以數(shù)據(jù)按正態(tài)分布為前提的，當(dāng)數(shù)據(jù)偏離正態(tài)分布,特別是測量次數(shù)很少時(shí)，則判斷的可靠性就差。因此，對粗大誤差除用剔除準(zhǔn)則外，更重要的是要提高工作人員的技術(shù)水平和工作責(zé)任心。另外,要保證測量條件穩(wěn)定，防止因環(huán)境條件劇烈變化而產(chǎn)生的突變影響。第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法該法是一種統(tǒng)計(jì)判別法，即給定一個(gè)置信概率，并確定一個(gè)置信限，凡超過此限的誤差，就認(rèn)為它不屬于隨機(jī)誤差范圍，將其視為異常數(shù)據(jù)剔除。第十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日用容量法測定某樣品鉻的含量，9次平行測定數(shù)據(jù)為：9.21，9.15，9.02，8.99，8.87，8.76，8.65，8.53，8.01（%），試用格拉布斯準(zhǔn)則分析其中有無異常數(shù)據(jù)?！窘狻浚海瑯?biāo)準(zhǔn)差s=0.37，取顯著性水平ɑ=0.05，查表λ=2.11。該組數(shù)據(jù)中，8.01的偏差最大，故應(yīng)首先檢驗(yàn)該數(shù)據(jù)。故8.01應(yīng)被剔除。剔除8.01后，重新計(jì)算得，s=0.24，查表λ=2.038.53偏差最大，檢驗(yàn)8.53：故8.53不是異常數(shù)據(jù)，應(yīng)保留。【例4-1】第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法1-α稱為置信概率，表示未知參數(shù)落在置信區(qū)間中的可靠程度。通常取1-α的值為99%、95%、90%。第十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日2.拉依達(dá)準(zhǔn)則則應(yīng)將xp從該組數(shù)據(jù)中剔除。至于選擇3s還是2s與顯著性水平α有關(guān)，3s相當(dāng)于顯著水平＝0.01，2s相當(dāng)于顯著水平＝0.05。顯著性水平α表示的是檢驗(yàn)出錯(cuò)的幾率為α，或檢驗(yàn)的可置信度為1－α。

若可疑數(shù)據(jù)xp與樣本數(shù)據(jù)之算術(shù)平均值的偏差的絕對值大于3倍（或2倍）的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即：第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法第十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日

3.狄克遜（dixon）法狄克遜法是采用極差比的方法，經(jīng)嚴(yán)密推算和簡化而得到的準(zhǔn)則。狄克遜研究了n次測量結(jié)果，按其數(shù)值大小排列：x(1)≤x(2)≤…≤x(n)

當(dāng)xi

服從正態(tài)分布時(shí)，用不同的公式求得下表中的f

值，再經(jīng)過查表，得到相應(yīng)的臨界值，進(jìn)行比較，若計(jì)算值>f(n,ɑ)視為異常值，舍棄；再對剩余數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn)，直到?jīng)]有異常值為止。第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法第二十頁，共八十一頁，2022年，8月28日nf(n,α)f的計(jì)算公式α

=0.01α

=0.05x(1)30.9880.94140.8890.76550.7800.64260.6980.56070.6370.50780.6830.55490.6350.512100.5970.447110.6790.576120.6420.546130.6150.521140.6410.546150.6160.525160.5950.507170.5770.490180.5610.475190.5470.462200.5350.450210.5240.440220.5140.430230.5050.421240.4970.413250.4890.406第二十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日【例】用狄克遜法判斷下列測試數(shù)據(jù)(40.02，40.15，40.20，40.13，40.16)中的40.02是否應(yīng)舍棄？解：將數(shù)據(jù)從小到大排列，取α=0.05，

40.0240.1340.1540.1640.20

因?yàn)椋?.611＜0.642

所以40.02應(yīng)保留。第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法第二十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日三、數(shù)據(jù)的誤差分析（一）幾種誤差的基本概念

絕對誤差：觀測值與真值之差。反映了觀測值偏離真值的大小。通常所說的誤差一般是指絕對誤差。

絕對誤差＝觀測值-真值

相對誤差：絕對誤差和真值的比值，常用百分?jǐn)?shù)表示。

相對誤差=絕對誤差/真值（%）

算術(shù)平均誤差△x

標(biāo)準(zhǔn)誤差σ也稱均方根誤差或標(biāo)準(zhǔn)偏差，它常用來表示觀測數(shù)據(jù)的精密度，標(biāo)準(zhǔn)誤差越小，說明數(shù)據(jù)精密度越好。第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法第二十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日（二）誤差的分類及來源

隨機(jī)誤差：是在一定條件下以不可預(yù)知的規(guī)律變化著的誤差，屬于偶然誤差。偶然因素是操作者無法嚴(yán)格控制的，故無法完全避免隨機(jī)誤差。但它的出現(xiàn)一般具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律，大多服從正態(tài)分布。系統(tǒng)誤差：又叫做規(guī)律誤差。它是在一定的測量條件下，對同一個(gè)被測尺寸進(jìn)行多次重復(fù)測量時(shí)，誤差值的大小和符號（正值或負(fù)值）保持不變；或者在條件變化時(shí)，按一定規(guī)律變化的誤差。系統(tǒng)誤差來源有儀器誤差、理論誤差、操作誤差、試劑誤差。

過失誤差：是由于操作人員不仔細(xì)、操作不正確等原因引起的，它是完全可以避免的。第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法【舉例】第二十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日（三）誤差分析誤差分析中，常采用精密度、正確度和準(zhǔn)確度來表示誤差的性質(zhì)。精密度反映了隨機(jī)誤差大小的程度，是指在相同條件下，對被測對象進(jìn)行多次反復(fù)測量，測量值之間的一致(符合)程度。正確度指測量值與其“真值”的接近程度。對于一組數(shù)據(jù)來說，精密度高并不意味著正確度也高；反之，精密度不好，但當(dāng)測量次數(shù)相當(dāng)多時(shí)，有時(shí)也會得到好的正確度。準(zhǔn)確度指被測對象測量值之間的一致程度以及與其“真值”的接近程度。第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法第二十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日準(zhǔn)確度、正確度和精密度的關(guān)系第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法為各組數(shù)據(jù)的平均值。真值為37.4。精密度：測量值之間的一致(符合)程度。正確度：測量值與其“真值”的接近程度。準(zhǔn)確度：被測對象測量值之間的一致程度以及與其“真值”的接近程度。第二十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日四、數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理

在大批的環(huán)境統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中，當(dāng)數(shù)據(jù)的物理量不同、單位或量值差別較大時(shí)，常常會給下一步分析帶來困難，這時(shí)就有必要對數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，從而提高計(jì)算的精度。環(huán)境管理與規(guī)劃中，常采用下面的公式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理：uij為xij標(biāo)準(zhǔn)化后對應(yīng)的數(shù)據(jù)xij(i=1，2，3，…，m；j=1，2，3，…，n)為第i個(gè)因子的第j個(gè)數(shù)據(jù)，Si_第i個(gè)因子的平均值，為第i個(gè)因子的標(biāo)準(zhǔn)差。第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法第二十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日第二節(jié)最優(yōu)化分析方法一、環(huán)境系統(tǒng)分析基本知識二、線性規(guī)劃三、非線性規(guī)劃四、動態(tài)規(guī)劃第二十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日一、環(huán)境系統(tǒng)分析基本知識1、系統(tǒng)錢學(xué)森：把及其復(fù)雜的研究對象稱為系統(tǒng)，即由相互作用、相互依賴的若干組成部分結(jié)合成具有特定功能的有機(jī)整體，而且這個(gè)系統(tǒng)本身又是它從屬的一個(gè)更大系統(tǒng)的組成部分。作為一個(gè)系統(tǒng)，必須具備三個(gè)條件：一是有兩個(gè)以上相互聯(lián)系的要素；二是要素之間必須按一定方式有機(jī)整合而不是胡亂拼湊；三是具有并能輸出特定的整體功能。第二十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日2、環(huán)境系統(tǒng)分析系統(tǒng)分析就是對一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)的基本問題，用系統(tǒng)觀點(diǎn)思維推理，在確定和不確定的條件下，探索可能采取的方案，通過分析對比，為達(dá)到預(yù)期目標(biāo)選出最優(yōu)方案的一種輔助決策的方法。環(huán)境問題是各相關(guān)要素綜合作用的結(jié)果。例如：污水排入河流造成水的污染，涉及到眾多因素（排放口位置、排放方式、處理程度、河流背景值等）。將環(huán)境問題作為一個(gè)系統(tǒng)來研究，從整體上考慮問題，從而找出最有效的控制對策（最優(yōu)決策方案），即為環(huán)境系統(tǒng)分析。例如：在決策污水排放方案時(shí)，應(yīng)對污染物處理量和排放量、處理方法和處理程度、排放口位置、水質(zhì)要求以及河流背景情況等進(jìn)行綜合分析，從而得到費(fèi)用最少或效益最高的最優(yōu)決策方案。第三十頁，共八十一頁，2022年，8月28日3、系統(tǒng)分析的基本要素目的：系統(tǒng)分析必須明確系統(tǒng)所期望達(dá)到的目的?？尚行苑桨福簽閷?shí)現(xiàn)目的的手段和措施稱為可行性方案。例如規(guī)劃某沿河城市的污水處理系統(tǒng)，可采用分區(qū)處理后排放或集中排放兩種措施（方案）。模型：建立模型的目的是為了把復(fù)雜的問題簡單化，便于描述或預(yù)測可能出現(xiàn)的結(jié)果。模型有三類：實(shí)物模型、圖形模型、數(shù)學(xué)模型。費(fèi)用：實(shí)施方案所需的投資，在模型中體現(xiàn)。效果：衡量效果一般由效益或有效性指標(biāo)。評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：衡量可行性方案優(yōu)劣的指標(biāo)是評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。通過評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)可以對各個(gè)可行性方案進(jìn)行綜合評價(jià)。第三十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日4、系統(tǒng)最優(yōu)化及其模型系統(tǒng)最優(yōu)化通常是通過最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型實(shí)現(xiàn)的。最優(yōu)化的方法很多。目前通用的方法如線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、網(wǎng)絡(luò)與圖論等。最優(yōu)化模型通常是由狀態(tài)方程（約束條件）和目標(biāo)函數(shù)構(gòu)成，一般形式為s.t.最優(yōu)化模型由決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件構(gòu)成。第三十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日二、線性規(guī)劃

在環(huán)境規(guī)劃管理中，線性規(guī)劃常常用來解決兩類優(yōu)化問題：一是如何優(yōu)化資源配置使產(chǎn)值最大或利潤最高，二是如何統(tǒng)籌安排以便費(fèi)用最少（或消耗最少的資源）或排放最少的污染物。一般線性規(guī)劃問題的求解，最常用的算法是單純形法。第二節(jié)最優(yōu)化分析方法目標(biāo)函數(shù)St約束條件規(guī)劃變量第三十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日【解】：設(shè)決策變量為xi，為工廠采用i

種除塵設(shè)備時(shí)的燃煤量。

【例4-2】

某地區(qū)的總懸浮顆粒物TSP來源于某工廠，該工廠每年燃煤量為400000t，燃燒每噸煤TSP的產(chǎn)生量為95kg。為了滿足環(huán)境質(zhì)量要求，TSP的最大允許排放量為17600t/a。試以最小的治理費(fèi)用達(dá)到環(huán)境目標(biāo)。第二節(jié)最優(yōu)化分析方法產(chǎn)值最大或利潤最高費(fèi)用最少或排放最少的污染物除塵器種類決策變量費(fèi)用/元.t-1除塵效率（%）重力沉降室x1C11.080噴霧洗滌器x2C21.490目標(biāo)函數(shù)St約束條件第三十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日【例4-3】

某地區(qū)的總懸浮顆粒物TSP來源于三個(gè)當(dāng)?shù)氐墓S，基礎(chǔ)數(shù)據(jù)如下表。為了滿足環(huán)境質(zhì)量要求，TSP的最大允許排放量為17600t/a。試以最小的治理費(fèi)用達(dá)到環(huán)境目標(biāo)。第二節(jié)最優(yōu)化分析方法產(chǎn)值最大或利潤最高費(fèi)用或排放最少的污染物TSP產(chǎn)生量(kg/t)產(chǎn)量（t/a）燃煤量(t/a)工廠195400000工廠295300000工廠385250000表4-2表示各種除塵設(shè)備的效率。各種除塵設(shè)備的效率不一定適應(yīng)于每個(gè)污染源，可行的各種除塵方法及相應(yīng)費(fèi)用見表4-3。第三十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日序號設(shè)備類型除塵效率（%）0無01重力沉降室592慣性除塵器743旋風(fēng)除塵器844噴霧洗滌器945電除塵器97各種除塵設(shè)備的效率TSP除塵方法工廠1工廠2工廠3決策變量費(fèi)用/元.t-1決策變量費(fèi)用/元.t-1決策變量費(fèi)用/元.t-10x10C100.0x20C200.0x30C300.01x11C111.0x21C201.4x31C311.12不可行不可行不可行不可行x32C321.23不可行不可行不可行不可行x33C331.54x14C142.0x24C242.2x34C343.05x15C152.8x25C253.0不可行不可行各種除塵方法費(fèi)用第三十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日污染源1TSP排放量為95（x10+0.41x11+0.06x14+0.03x15）=95x10+39x12+5.7x14+2.9x15同理，可得到其他污染源的排放量，則TSP總排放量約束（95x10+39x11+5.7x14+2.9x15）+（95x20+39x21+5.7x24+2.9x25）+（85x30+34.9x31+22.1x32+13.6x33+5.1x34）≤17600生產(chǎn)能力（燃煤量或產(chǎn)品產(chǎn)量）約束

x10+x11+x14+x15=400000x20+x21+x24+x25=300000

x30+x31+x32+x33+x34=250000【解】：設(shè)決策變量為xij，為i工廠采用j種除塵設(shè)備時(shí)的燃煤量（工廠1、工廠2）或產(chǎn)品產(chǎn)量（工廠3）。

TSP控制方法工廠1工廠2工廠3決策變量費(fèi)用/元.t-1決策變量費(fèi)用/元.t-1決策變量費(fèi)用/元.t-10（0）x100.0x200.0x300.01（59）x111.0x211.4x311.12（74）不可行不可行不可行不可行x321.23（84）不可行不可行不可行不可行x331.54（94）x142.0x242.2x343.05（97）x152.8x253.0不可行不可行第二節(jié)最優(yōu)化分析方法TSP產(chǎn)生量(kg/t)產(chǎn)量（t/a）燃煤量(t/a)工廠195400000工廠295300000工廠385250000目標(biāo)函數(shù)為（治理費(fèi)用最?。┑谌唔?，共八十一頁，2022年，8月28日采用單純形法，得到最優(yōu)解為X=(x11，x14，x24，x32)T=(242739，157207，300000，250000)T由該結(jié)果可見：工廠1采用重力沉降室1和噴霧洗滌器4除塵；工廠2采用噴霧洗滌器4除塵；工廠3采用慣性除塵器2除塵。將規(guī)劃變量代入目標(biāo)函數(shù)第二節(jié)最優(yōu)化分析方法得到除塵最小總費(fèi)用Z=1517207元/a。第三十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日二、非線性規(guī)劃

在環(huán)境規(guī)劃與管理中，某些問題的決策模型可能會出現(xiàn)下面的情況：①目標(biāo)函數(shù)非線性，約束條件為線性；②目標(biāo)函數(shù)為線性，約束條件非線性；③目標(biāo)函數(shù)與約束條件均為非線性函數(shù)。上述情況均屬于非線性規(guī)劃問題，其數(shù)學(xué)模型的一般形式是：

第二節(jié)最優(yōu)化分析方法第三十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日數(shù)值求解非線性規(guī)劃的算法大體分為兩類：一是采用逐步線性逼近的思想，通過一系列非線性函數(shù)線性化的過程，利用線性規(guī)劃獲得非線性規(guī)劃的近似最優(yōu)解；二是采用直接搜索的思想，根據(jù)部分可行解或非線性函數(shù)在局部范圍內(nèi)的某些特性，確定迭代程序，通過不斷改進(jìn)目標(biāo)值的搜索計(jì)算，獲得最優(yōu)或滿足需要的局部最優(yōu)解。第二節(jié)最優(yōu)化分析方法第四十頁，共八十一頁，2022年，8月28日三、動態(tài)規(guī)劃在環(huán)境規(guī)劃管理中，經(jīng)常遇到多階段最優(yōu)化問題，即各個(gè)階段相互聯(lián)系，任一階段的決策選擇不僅取決于前一階段的決策結(jié)果，而且影響到下一階段活動的決策，從而影響到整個(gè)決策過程的優(yōu)化問題。這類問題通常采用動態(tài)規(guī)劃方法求解。動態(tài)規(guī)劃(dynamicprogramming)是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支，是求解多階段決策過程(decisionprocess)最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法。多階段決策過程的最優(yōu)化，是將過程分成若干個(gè)互相聯(lián)系的階段，在它的每一階段都需要作出決策，從而使整個(gè)過程達(dá)到最好的活動效果。各個(gè)階段決策的選取依賴于當(dāng)前面臨的狀態(tài)，又影響以后的發(fā)展，這種把一個(gè)問題看作是一個(gè)前后關(guān)聯(lián)具有鏈狀結(jié)構(gòu)的多階段過程就稱為多階段決策過程，這種問題就稱為多階段決策問題。第二節(jié)最優(yōu)化分析方法第四十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日基本原理：作為多階段決策問題，其整個(gè)過程的最優(yōu)策略應(yīng)具有這樣的性質(zhì)，即無論過去的狀態(tài)和決策如何，對前面的決策所形成的狀態(tài)而言，其后一系列決策必須構(gòu)成最優(yōu)決策。求解方法：把多階段決策問題分解成許多相互聯(lián)系的小問題，從而把一個(gè)大的決策過程分解成一系列前后有序的子決策過程，分階段實(shí)現(xiàn)決策的“最優(yōu)化”，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“總體最優(yōu)化”方案。第二節(jié)最優(yōu)化分析方法第四十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日式中：k—階段數(shù)，k=n-1，…，3，2，1xk——第k階段的狀態(tài)變量，即k－1階段決策的結(jié)果。第k階段所有狀態(tài)成一狀態(tài)集；——第k階段的決策變量，它代表第k階段處于狀態(tài)xk時(shí)的選擇，即決策；——第k階段從狀態(tài)xk轉(zhuǎn)移到下一階段狀態(tài)uk(xk)時(shí)的階段效果。第二節(jié)最優(yōu)化分析方法動態(tài)規(guī)劃求解可用下列遞推關(guān)系式表示：第四十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日第三節(jié)常用決策分析方法一、決策樹二、決策矩陣三、多目標(biāo)決策方法第四十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日決策是指通過對解決問題備選方案的比較，從中選出最好的方案。含義：決策樹法是把方案的一系列因素按它們的相互關(guān)系用樹狀結(jié)構(gòu)表示出來，再按一定程序進(jìn)行優(yōu)選和決策的技術(shù)方法。適用對象：多階段決策，前一階段的決策影響后續(xù)階段的結(jié)構(gòu)和決策的項(xiàng)目。

——決策點(diǎn)，從它引出的分枝稱為策略方案分枝，分枝樹反映可能的方案數(shù)；一、決策樹法○——表示策略方案節(jié)點(diǎn)，其引出的分枝稱為概率分枝，分枝數(shù)目反映可能的自然狀態(tài)數(shù)；

△——表示事件節(jié)點(diǎn)，又稱末梢。第三節(jié)常用決策分析方法方案分支概率分支決策點(diǎn)策略方案節(jié)點(diǎn)末梢第四十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日運(yùn)用決策樹進(jìn)行決策的方法和步驟：方法：從左向右（從決策點(diǎn)開始）展開方案枝，按照可能產(chǎn)生的狀態(tài)和結(jié)果，繪出決策樹；逆序求解，從決策樹的末梢向決策點(diǎn)倒退，計(jì)算出不同決策方案下的期望值

期望值=∑各分枝上的概率×相應(yīng)終點(diǎn)損益值最后根據(jù)各策略方案期望值的大小確定最優(yōu)決策方案。步驟：（1）繪制決策樹圖；（2）預(yù)計(jì)可能事件（可能出現(xiàn)的自然狀態(tài)）及其發(fā)生的概率；（3）計(jì)算各策略方案的損益期望值；（4）比較各策略方案的損益期望值，進(jìn)行擇優(yōu)決策。

若決策目標(biāo)是效益，應(yīng)取期望值大的方案；若決策目標(biāo)是費(fèi)用或損失，應(yīng)取期望值小的方案。第三節(jié)常用決策分析方法第四十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日【例】（參考書目：環(huán)境管理學(xué)-楊賢智編著）有一石油化工企業(yè)，對一批廢油渣進(jìn)行綜合利用。它可以先做實(shí)驗(yàn)，然后決定是否綜合利用；也可以不做實(shí)驗(yàn)，只憑經(jīng)驗(yàn)決定是否綜合利用。做實(shí)驗(yàn)的費(fèi)用每次為3000元，綜合利用費(fèi)每次為10000元。若做出產(chǎn)品，可收入40000元；做不出產(chǎn)品，沒有收入。各種不同情況下的產(chǎn)品成功概率均已估計(jì)出來，都標(biāo)在圖1上。試問：欲使收益期期望值為最大，企業(yè)應(yīng)如何作出決策。

第三節(jié)常用決策分析方法第四十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日1234①試驗(yàn)概率為0.6②綜合利用△-3000△-10000產(chǎn)品成功概率為0.85產(chǎn)品不成功概率為0.15不綜合利用△0△0△40000③④產(chǎn)品成功概率為0.1產(chǎn)品成功概率為0.55產(chǎn)品不成功概率為0.9產(chǎn)品不成功概率為0.45不綜合利用不綜合利用0△0△△

0△

0△40000△

40000不試驗(yàn)概率為0.4綜合利用綜合利用△-10000△-10000效果好效果不好1、繪出決策樹第三節(jié)常用決策分析方法2．計(jì)算事件點(diǎn)②、③、④的期望值狀態(tài)節(jié)點(diǎn)②40000×0.85＋0×0.15＝34000狀態(tài)節(jié)點(diǎn)③40000×0.10＋0×0.90＝4000狀態(tài)節(jié)點(diǎn)④40000×0.55＋0×0.45＝22000概率分支決策點(diǎn)策略方案節(jié)點(diǎn)末梢方案分支方案分支方案分支方案分支事件點(diǎn)第四十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日狀態(tài)節(jié)點(diǎn)②34000狀態(tài)節(jié)點(diǎn)③4000狀態(tài)節(jié)點(diǎn)④22000根據(jù)以上結(jié)果可將決策樹簡化為下圖：第三節(jié)常用決策分析方法3.在決策點(diǎn)2、3、4作出決策在決策點(diǎn)2：按max[（34000－10000），0]＝24000，決定綜合利用。在決策點(diǎn)3：按max[（4000－10000），0]＝0，決定不綜合利用。在決策點(diǎn)4：按max[（22000－10000），0]＝12000，決定綜合利用。第四十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日在決策點(diǎn)：按max[（34000－10000），0]＝24000，決定綜合利用。在決策點(diǎn)：按max[（4000－10000），0]＝0，決定不綜合利用，放棄。在決策點(diǎn)：按max[（22000－10000），0]＝12000，決定綜合利用。決策樹進(jìn)一步簡化為下圖：234第三節(jié)常用決策分析方法4.計(jì)算狀態(tài)點(diǎn)①的期望值：24000×0.6＋0×0.4＝144005.在決策點(diǎn)1作出決策：做實(shí)驗(yàn)和不做實(shí)驗(yàn)，收入期望值為[（14400-3000），12000]=12000

最后得出整個(gè)問題的決策為：不做實(shí)驗(yàn)、直接綜合利用，收入期望值為12000元。第五十頁，共八十一頁，2022年，8月28日二、決策矩陣

決策矩陣又稱為損益矩陣，它是利用損益的期望值進(jìn)行決策，常用于有限條件下資源分配的最優(yōu)化決策問題。方案自然狀態(tài)s1(P1)…sj(Pj)…sn(Pn)1V11…V1j…V1n………………iVi1…Vij…Vin………………mVm1…Vmj…Vmn第三節(jié)常用決策分析方法

1，…，i，…，m是滿足決策目標(biāo)要求的m個(gè)可行的獨(dú)立備選方案；S1，S2，…，Sn是每一種方案都可能遇到的外部條件，所有外部條件的集合S={S1，S2，…，Sn}稱為狀態(tài)空間；P1，P2，…，Pn是各種外部狀態(tài)可能發(fā)生的概率，其發(fā)生的概率總和為1；決策矩陣的矩陣元素Vij表示第i個(gè)方案在第j種外部條件下所產(chǎn)生的收益或損失。第五十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日

各方案期望損益值為損益值與概率的乘積之和

最終選擇期望收益最大的方案為決策方案。第三節(jié)常用決策分析方法第五十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日

則最終選擇期望收益最大的甲方案為決策方案。第三節(jié)常用決策分析方法【例】某企業(yè)研制某種產(chǎn)品，有三種生產(chǎn)方案（甲、乙、丙），試進(jìn)行方案的決策。方案S1（銷路好）P1=0.3S2（銷路一般）P2=0.5S3（銷路差）P3=0.2甲402615乙353020丙302420甲方案乙方案丙方案表中效益值的單位為萬元。第五十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日三、多目標(biāo)決策方法

在環(huán)境管理與規(guī)劃問題中,同時(shí)存在著多個(gè)目標(biāo)，每個(gè)目標(biāo)都要求達(dá)到其最優(yōu)值，并且各目標(biāo)之間往往存在著沖突和矛盾，這類問題就是多目標(biāo)決策問題。解決這類決策問題的方法就是多目標(biāo)決策方法。多目標(biāo)決策是對多個(gè)相互矛盾的目標(biāo)進(jìn)行科學(xué)、合理的選優(yōu)，然后作出決策的理論和方法。例如：制定水污染控制規(guī)劃，既要考慮費(fèi)用最低，又要處理效果最好，還要滿足環(huán)境目標(biāo)要求。再例如：在進(jìn)行生產(chǎn)過程的組織決策時(shí)，既要考慮產(chǎn)量最大，又要使產(chǎn)品質(zhì)量高，生產(chǎn)成本低，同時(shí)還要污染物排放量少。

第三節(jié)常用決策分析方法第五十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日多目標(biāo)決策方法很多，如目標(biāo)規(guī)劃法、化多為少法、分層序列法等，此處介紹目標(biāo)規(guī)劃法，該方法與線性規(guī)劃方法相同。該方法首先按重要性對多個(gè)目標(biāo)排序?yàn)閜1、p2、…、pm個(gè)等級，然后設(shè)定決策變量、列出目標(biāo)函數(shù)和約束條件，用單純性法進(jìn)行求解。

【例】謀工廠產(chǎn)生兩種環(huán)保材料，有兩個(gè)生產(chǎn)流水線，每周產(chǎn)生時(shí)間為80h，1000件/h。材料1的計(jì)劃銷量為70000件/周，材料2的計(jì)劃銷量為45000件/周，利潤分別為2.5元/件和1.5元/件。該廠根據(jù)市場供需狀況提出了四個(gè)按重要性大小排列的目標(biāo)：（1）避免生產(chǎn)下降，以維持穩(wěn)定的工作時(shí)數(shù)；（2）每周加班時(shí)數(shù)不超過10h

（3）產(chǎn)品銷量盡可能達(dá)到計(jì)劃要求（4）盡可能減少加班時(shí)數(shù)試做出滿足上述目標(biāo)下的生產(chǎn)安排。

第三節(jié)常用決策分析方法多目標(biāo)決策方法第五十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日第三節(jié)常用決策分析方法【解】

決策變量x1、x2分別為生產(chǎn)兩種材料的時(shí)數(shù)；偏差變量d+、d-分別為未達(dá)目標(biāo)的差額和超過目標(biāo)的差額。偏差變量d1+、d1-分別為生產(chǎn)時(shí)間超過80h和不足80h的正、負(fù)偏差；偏差變量d2-為銷售材料1未達(dá)到70000件的負(fù)偏差；偏差變量d3-為銷售材料2未達(dá)到45000件的負(fù)偏差；偏差變量d11-、d11+分別為加班不足10h和超過10h的正、負(fù)偏差；目標(biāo)函數(shù)：約束條件：

變量約束：（1）避免生產(chǎn)下降，以維持穩(wěn)定的工作時(shí)數(shù)；（2）每周加班時(shí)數(shù)不超過10h（3）產(chǎn)品銷量盡可能達(dá)到計(jì)劃要求（4）盡可能減少加班時(shí)數(shù)每周產(chǎn)生時(shí)間為80h，1000件/h。材料1的計(jì)劃銷量為70000件/周，材料2的計(jì)劃銷量為45000件/周，利潤分別為2.5元/件和1.5元/件。第五十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日第三節(jié)常用決策分析方法處理多目標(biāo)決策問題遵循的原則：

在滿足決策需要的前提下，盡量減少目標(biāo)個(gè)數(shù)。常用的方法有：（1）除去從屬目標(biāo)，歸并類似目標(biāo)。（2）把那些只要求達(dá)到一般標(biāo)準(zhǔn)而不要求達(dá)到最優(yōu)的目標(biāo)降為約束條件。（3）采取綜合方法將能歸并的目標(biāo)用一個(gè)綜合指數(shù)來反映。第五十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日第四節(jié)環(huán)境數(shù)學(xué)模型一、數(shù)學(xué)模型概述二、模型的建立三、模型參數(shù)的估算方法四、模型的檢驗(yàn)第四節(jié)環(huán)境數(shù)學(xué)模型第五十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日一、數(shù)學(xué)模型概述

環(huán)境數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言和方法來描述環(huán)境污染過程中的物理、化學(xué)、生物化學(xué)、生物生態(tài)等方面的內(nèi)在規(guī)律和相互關(guān)系的數(shù)學(xué)方程。它是建立在對環(huán)境系統(tǒng)進(jìn)行反復(fù)的觀察研究，通過實(shí)驗(yàn)或現(xiàn)場監(jiān)測，取得大量的有關(guān)信息和數(shù)據(jù)，經(jīng)過簡化和數(shù)學(xué)演繹而得出的一些數(shù)學(xué)表達(dá)式，這些表達(dá)式描述了環(huán)境系統(tǒng)中各變量及其參數(shù)間的關(guān)系。應(yīng)用于環(huán)境規(guī)劃與管理和環(huán)境影響評價(jià)等方面的環(huán)境數(shù)學(xué)模型，主要包括大氣擴(kuò)散模型、水文與水動力模型、水質(zhì)模型、土壤侵蝕模型、沉積物遷移模型和物種棲息地模型等，每一類模型又可按模型的空間維數(shù)、時(shí)間相關(guān)性、數(shù)學(xué)方程特征等來進(jìn)行分類。第四節(jié)環(huán)境數(shù)學(xué)模型第五十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日按空間維數(shù)分類零維模型一維模型二維模型三維模型按時(shí)間相關(guān)性分類動態(tài)模型穩(wěn)態(tài)模型按數(shù)學(xué)方程特征分類按模型是否含隨機(jī)變量分類按模型中變量階次分類按模型所屬數(shù)學(xué)分支分類代數(shù)模型微分方程模型函數(shù)方程模型不等式模型隨機(jī)模型確定性模型線性模型非線性模型第四節(jié)環(huán)境數(shù)學(xué)模型第六十頁，共八十一頁，2022年，8月28日初等數(shù)學(xué)模型幾何模型圖論模型馬氏鏈模型規(guī)劃模型按數(shù)學(xué)方法分類按建模目的分類描述模型分析模型預(yù)報(bào)模型優(yōu)化模型決策模型控制模型

白箱模型黑箱模型灰箱模型按對模型結(jié)構(gòu)了解程度分類第四節(jié)環(huán)境數(shù)學(xué)模型第六十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日1.圖解法采用點(diǎn)和線組成的用以描述系統(tǒng)的圖形稱為圖模型。圖模型形象、直觀，對決策者了解系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和功能之間的關(guān)系很有幫助。但圖解建模法作為一種描述性方法，往往精確度較差，而且受人的視覺影響而局限于三維空間中，因此它通常作為建立系統(tǒng)方程式模型的輔助分析工具來用。

二、建立模型的方法第四節(jié)環(huán)境數(shù)學(xué)模型第六十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日2.質(zhì)量平衡法根據(jù)質(zhì)量平衡原則建立微分方程是最常用的建立白箱模型的方法。應(yīng)用質(zhì)量平衡方法必須知道物質(zhì)流的方向和通量，污染物質(zhì)反應(yīng)的方式和速度，以及各種污染物之間的相關(guān)關(guān)系和關(guān)聯(lián)作用（機(jī)理分析）。模型中都包含了一個(gè)或多個(gè)待定參數(shù)，有些參數(shù)可以通過機(jī)理分析確定，而有些參數(shù)很難由機(jī)理分析確定，且數(shù)值又隨時(shí)間、空間變化，因此需要借助于大量的觀測數(shù)據(jù)最終確定。第四節(jié)環(huán)境數(shù)學(xué)模型第六十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日【舉例】水質(zhì)完全混合模型(零維模型)第四節(jié)環(huán)境數(shù)學(xué)模型

Cp、Qp——分別為排放廢水中污染物濃度和流量Ch、Qh——分別為河流中污染物濃度和流量2.質(zhì)量平衡法第六十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日3.概率統(tǒng)計(jì)法概率統(tǒng)計(jì)法中，回歸分析預(yù)測法和時(shí)間序列預(yù)測法是廣泛采用的方法。（1）回歸分析法回歸分析法是研究兩個(gè)及兩個(gè)以上變量之間相互關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析預(yù)測方法?；貧w分析的變量中有一個(gè)是因變量，其余是自變量，通過分析各因素之間的因果關(guān)系和影響程度，用環(huán)境監(jiān)測數(shù)據(jù)擬合函數(shù)關(guān)系式，按最小二乘法原則確定函數(shù)式中的參數(shù)值，進(jìn)而建立回歸預(yù)測模型，預(yù)測環(huán)境要素變化規(guī)律。第四節(jié)環(huán)境數(shù)學(xué)模型第六十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日

對如下一元回歸模型：

y=b+ax

采用最小二乘法可求得a和b第四節(jié)環(huán)境數(shù)學(xué)模型第六十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日根據(jù)變量之間函數(shù)形式的不同，回歸分析分為線性回歸和非線性回歸；根據(jù)自變量個(gè)數(shù)的多少，可分為一元回歸和多元回歸。線性回歸：一元線性回歸

y=b+ax多元線性回歸y=a1x1+a2x2+…+aixi+…+anxn+b第四節(jié)環(huán)境數(shù)學(xué)模型3.概率統(tǒng)計(jì)法非線性回歸：冪函數(shù)y=axb

指數(shù)函數(shù)y=aebx對數(shù)函數(shù)y=a+blgx

雙曲函數(shù)1/y=a+b/x第六十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日2、時(shí)間序列法該法是將歷史統(tǒng)計(jì)資料按時(shí)間順序排列，利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，建立預(yù)測模型，進(jìn)而預(yù)測其未來變化趨勢的方法。根據(jù)數(shù)據(jù)處理方法的不同，時(shí)間序列預(yù)測方法主要分為移動平均法、加權(quán)滑動平均法和指數(shù)平均法。時(shí)間序列預(yù)測模型

一次曲線模型y=a+bt

二次曲線模型y=a+bt+ct2第四節(jié)環(huán)境數(shù)學(xué)模型3.概率統(tǒng)計(jì)法第六十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日(1)移動平均法移動平均法假設(shè)環(huán)境變化只受臨近期間數(shù)據(jù)變化的影響。具體做法是：在一定的時(shí)間間隔內(nèi)，對給定數(shù)據(jù)求其平均值，每次求平均值時(shí)，按數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)據(jù)依次后移一個(gè)周期。即只要選定一個(gè)時(shí)距，在每次順序推移時(shí)，將原時(shí)距內(nèi)的第一項(xiàng)舍去，進(jìn)行移動平均。該法用于給定的時(shí)間序列時(shí)，數(shù)值異常大或異常小的數(shù)據(jù)將被修勻第四節(jié)環(huán)境數(shù)學(xué)模型第六十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日（2）加權(quán)滑動平均法對時(shí)距內(nèi)各個(gè)時(shí)間的各項(xiàng)數(shù)據(jù)，按時(shí)間的遠(yuǎn)近，乘以不同的權(quán)值，進(jìn)行加權(quán)平均，再進(jìn)行預(yù)測的方法。（3）指數(shù)平均法按處理數(shù)據(jù)點(diǎn)的性質(zhì)分為離散系列指數(shù)平滑法和連續(xù)系列指數(shù)平滑法；按數(shù)據(jù)處理方法分為一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法。

一次指數(shù)平滑法

X′=ɑXt-1+(1-ɑ)Xt-1′

此式表示預(yù)測值X′是前次實(shí)測值Xt-1與預(yù)測值Xt-1′的加權(quán)平均值，其權(quán)系數(shù)分別為ɑ和（1-ɑ）

二次指數(shù)平滑法：是對一次指數(shù)平滑數(shù)據(jù)再做一次指數(shù)平滑而得到預(yù)測值的方法。第四節(jié)環(huán)境數(shù)學(xué)模型第七十頁，共八十一頁，2022年，8月28日三、模型參數(shù)的估值方法由于環(huán)境系統(tǒng)中的模型基本上都是灰箱模型，其中存在著一個(gè)或多個(gè)待定參數(shù)，因此參數(shù)的估計(jì)是建立環(huán)境數(shù)學(xué)模型非常重要的一項(xiàng)工作。下面介紹幾種主要的估值方法。第四節(jié)環(huán)境數(shù)學(xué)模型第七十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日（一）圖解法

凡是給定的公式或數(shù)據(jù)可以直接描述成一條直線，或經(jīng)過一定處理后可以轉(zhuǎn)化為直線時(shí)，常常采用圖解法估計(jì)參數(shù)。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

y=b+ax

直線的斜率a和截距b