理論力學(xué)第十六章虛位移原理

理論力學(xué)第十六章虛位移原理第一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日約束——非自由質(zhì)點(diǎn)系在空間的位置以及在運(yùn)動(dòng)中受到的限制.1.幾何約束與運(yùn)動(dòng)約束幾何約束在質(zhì)點(diǎn)系中，所加的約束只能限制各質(zhì)點(diǎn)在空間的位置或質(zhì)點(diǎn)系的位形。

§16-1

約束約束的分類(lèi)或yxOAA0l第二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日COyxvCC*運(yùn)動(dòng)約束在質(zhì)點(diǎn)系中，所加的約束不僅限制各質(zhì)點(diǎn)在空間的位置，還限制它們運(yùn)動(dòng)的速度。第三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日第四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日運(yùn)動(dòng)約束OyxAxByBxAyABvA其約束方程的一般形式:第五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日2.定常約束與非定常約束定常約束－約束方程中不顯含時(shí)間的約束：非定常約束－約束方程中顯含時(shí)間的約束：yxvOM第六頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日3.單面約束與雙面約束雙面約束

——約束方程可以寫(xiě)成等式的約束。

單面約束

——約束方程不能寫(xiě)成等式、但是可以寫(xiě)成不等式的約束。BByxOyxO第七頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日yxO單面約束還是雙面約束？約束方程？yxOAAA0lA0l3.單面約束與雙面約束第八頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日4.完整約束與非完整約束

完整約束

——約束方程不包含質(zhì)點(diǎn)速度，或者包含質(zhì)點(diǎn)速度但約束方程是可以積分的約束。

非完整約束

——約束方程包含質(zhì)點(diǎn)速度、且約束方程不可以積分的約束。第九頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日約束方程不可積分，所以導(dǎo)彈所受的約束為非完整約束。圓輪所受約束為完整約束。OyxAxByBxAyABvACOyxvCC*第十頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日§16-2廣義坐標(biāo)與自由度yxOlA(x,y)yxOA(x1,y1)B(x2,y2)ab廣義坐標(biāo)

——確定質(zhì)點(diǎn)系位形的獨(dú)立參變量。第十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日廣義坐標(biāo)

——確定質(zhì)點(diǎn)系位形的獨(dú)立參變量。用q1，q2，…表示。自由度

——在完整約束條件下，確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參變量的數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。對(duì)于穩(wěn)定的完整約束，各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)可以寫(xiě)成廣義坐標(biāo)的函數(shù)形式:N=3n—s

第十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日§16-3虛位移和理想約束1.虛位移BAM質(zhì)點(diǎn)系在給定瞬時(shí)，為約束所允許的無(wú)限小位移——虛位移（1）虛位移是假定約束不改變而設(shè)想的位移；（2）虛位移不是任何隨便的位移，它必須為約束所允許；（3）虛位移是一個(gè)假想的位移，它與實(shí)位移不同；（4）在完整定常約束下，虛位移方向沿其速度方向。xyOF第十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日虛位移與實(shí)位移的區(qū)別和聯(lián)系（1）在完整定常約束下，實(shí)位移是諸多虛位移中的一個(gè)；MM1drdrerdr——實(shí)位移

r

——虛位移實(shí)位移——質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在其真實(shí)運(yùn)動(dòng)中，在一定的時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生的位移。（2）在完整定常約束下，虛位移方向沿其速度方向。第十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

2.虛功質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系所受的力在虛位移上所作的功——虛功。

W=F·

r

3.理想約束質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的約束反力在虛位移上所作的虛功等于零，我們把這種約束系統(tǒng)稱(chēng)為理想約束。

W=M·

∑FNi·

ri

=0第十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日§16-4虛位移原理FiFNim1

rim2miFi

——主動(dòng)力FNi——約束反力

ri——虛位移Fi+FNi=0Fi·

ri+FNi·

ri

=0∑Fi·

ri+∑FNi·

ri

=0

∑Fi·

ri=0∑FNi·

ri

=0理想約束第十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日FiFNim1

rim2miFi

——主動(dòng)力FNi——約束反力

ri——虛位移

∑Fi·

ri=0

對(duì)于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力在任何虛位移中所作的虛功的和等于零——虛位移原理§16-4虛位移原理第十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

∑Fi·

ri=0

上式稱(chēng)為虛位移原理的解析表達(dá)式應(yīng)用虛位移原理解題時(shí)，主要是建立虛位移間的關(guān)系，通常采用以下方法：（1）通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，直接找出虛位移間的幾何關(guān)系；（2）建立坐標(biāo)系，選廣義坐標(biāo)，然后仿照函數(shù)求微分的方法對(duì)坐標(biāo)求變分，從而找出虛位移（坐標(biāo)變分）間的關(guān)系。第十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日BAOMF例題1已知：OA=r

,AB=l,不計(jì)各桿質(zhì)量。求：平衡時(shí)F與M間的關(guān)系。解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象∑Fi·

ri=0

由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可知：第十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日CBADM例題2已知：菱形邊長(zhǎng)為a

,螺距為h，頂角為2

，主動(dòng)力偶為M.求：

物體C所受到的壓力。第二十頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日CBADMFNrArC解：(1)取系統(tǒng)為研究對(duì)象(2)建立虛位移間的關(guān)系第二十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日xy解法二：取建立圖示坐標(biāo)系FNCBADM第二十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日OABCDPQ例題3圖示操縱汽門(mén)的杠桿系統(tǒng)，已知OA/OB=1/3，求此系統(tǒng)平衡時(shí)主動(dòng)力P

和Q間的關(guān)系。第二十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日OABCDPQ解：(1)取系統(tǒng)為研究對(duì)象由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可知：rCrBrA第二十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日例題4圖示系統(tǒng)中除連接H點(diǎn)的兩桿長(zhǎng)度為l

外,其余各桿長(zhǎng)度均為2l,彈簧的彈性系數(shù)為k,當(dāng)未加水平力P

時(shí)彈簧不受力，且

=0

，求平衡時(shí)水平力P

的大小。第二十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日解：(1)建立圖示坐標(biāo)系(2)系統(tǒng)的虛功方程第二十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日第二十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日PMqll2lABCDPMqABCDFDsEsD例題5求圖示連續(xù)梁的支座反力。解：(1)解除D處約束，代之以反力FD

，并將其視為主動(dòng)力。其中:解得:第二十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日PMqll2lABCDFBsEsCPMqABCDsB(2)解除B處約束，代之以反力FB

，并將其視為主動(dòng)力。其中:解得:由虛功方程，得代入虛功方程，得第二十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日PMqll2lABCDFAsEsCPMqABCDsA(3)解除A處約束，代之以反力FA

，并將其視為主動(dòng)力。由虛功方程，得其中:代入虛功方程，得解得:第三十頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日考察由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的、具有理想約束的系統(tǒng)。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，有主動(dòng)力約束力慣性力令系統(tǒng)有任意一組虛位移系統(tǒng)的總虛功為§16-5動(dòng)力學(xué)普遍方程第三十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日利用理想約束條件得到

——?jiǎng)恿W(xué)普遍方程

任意瞬時(shí)作用于具有理想、雙面約束的系統(tǒng)上的主動(dòng)力與慣性力在系統(tǒng)的任意虛位移上的元功之和等于零。第三十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日動(dòng)力學(xué)普遍方程的直角坐標(biāo)形式動(dòng)力學(xué)普遍方程適用于具有理想約束或雙面約束的系統(tǒng)。動(dòng)力學(xué)普遍方程既適用于具有定常約束的系統(tǒng)，也適用于具有非定常約束的系統(tǒng)。動(dòng)力學(xué)普遍方程既適用于具有完整約束的系統(tǒng)，也適用于具有非完整約束的系統(tǒng)。動(dòng)力學(xué)普遍方程既適用于具有有勢(shì)力的系統(tǒng)，也適用于具有無(wú)勢(shì)力的系統(tǒng)。第三十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日動(dòng)力學(xué)普遍方程

主要應(yīng)用于求解動(dòng)力學(xué)第二類(lèi)問(wèn)題，即：已知主動(dòng)力求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程

求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，重要的是正確分析運(yùn)動(dòng)，并在系統(tǒng)上施加慣性力。由于動(dòng)力學(xué)普遍方程

中不包含約束力，因此，不需要解除約束，也不需要將系統(tǒng)拆開(kāi)。

應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程

，需要正確分析主動(dòng)力和慣性力作用點(diǎn)的虛位移，并正確計(jì)算相應(yīng)的虛功。動(dòng)力學(xué)普遍方程的應(yīng)用第三十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日例題6已知：m

，R,f

，。求：圓盤(pán)純滾時(shí)質(zhì)心的加速度。CmgaCFIRMICx解：1、分析運(yùn)動(dòng)，施加慣性力

2、本系統(tǒng)有一個(gè)自由度，令其有一虛位移x。3、應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程其中：第三十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日C2DC1ACB求：1、三棱柱后退的加速度a1；2、圓輪質(zhì)心C2相對(duì)于三棱加速度ar。例題7質(zhì)量為m1的三棱柱ABC通過(guò)滾輪擱置在光滑的水平面上。質(zhì)量為m2、半徑為R的均質(zhì)圓輪沿三棱柱的斜面AB無(wú)滑動(dòng)地滾下。第三十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日C2DC1ACB解：1、分析運(yùn)動(dòng)三棱柱作平動(dòng)，加速度為a1。圓輪作平面運(yùn)動(dòng)，質(zhì)心的牽連加速度為ae=a1；質(zhì)心的相對(duì)加速度為ar；圓輪的角加速度為2。a1aear2第三十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日C2DC1ACBa1aear22、施加慣性力FI2eFI2rMI2FI1m1gm2g3、確定虛位移考察三棱柱和圓盤(pán)組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度。第一組第二組二自由度系統(tǒng)具有兩組虛位移：x,x第三十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日C2DC1ACBFI2eFI2rMI2FI1m1gm2gx4、應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程令第三十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日C2DC1ACBFI2eFI2rMI2FI1m1gm2gx令第四十頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8