哈爾濱工業(yè)大學(xué) 05 結(jié)構(gòu)力學(xué)-平面有限元2課件

結(jié)構(gòu)力學(xué)學(xué)科組HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY

結(jié)構(gòu)力學(xué)

<II>1§5-5平面等參數(shù)單元對(duì)于曲線邊界問(wèn)題，矩形或三角形單元不僅精度低，而且必然產(chǎn)生離散誤差。如果通過(guò)縮小單元尺寸來(lái)改善計(jì)算結(jié)果，又將使未知量數(shù)目劇增。為了提高精度減少未知量，本節(jié)介紹一種工程有限元分析中廣泛應(yīng)用的等參數(shù)單元

[簡(jiǎn)稱等參元(isoparametricelement)]2哈工大土木工程學(xué)院等參元的基本思想是：首先建立規(guī)整形狀單元[稱為母單元(motherelement)]的形函數(shù)；然后用母單元形函數(shù)和實(shí)際單元的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)坐標(biāo)映射確定所劃分單元的幾何形狀，這個(gè)實(shí)際劃分的單元稱為“子單元”(mappingelement)；利用母單元形函數(shù)和單元結(jié)點(diǎn)位移建立子單元的位移場(chǎng)。進(jìn)而利用勢(shì)能原理進(jìn)行一定的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，建立等參元的單元?jiǎng)偠确匠?哈工大土木工程學(xué)院母單元的形函數(shù)由結(jié)點(diǎn)座標(biāo)映射出與（,

）點(diǎn)對(duì)應(yīng)的任意一的（x,y）座標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系5哈工大土木工程學(xué)院子單元內(nèi)任意一點(diǎn)的座標(biāo)矩陣結(jié)點(diǎn)座標(biāo)矩陣子單元結(jié)點(diǎn)座標(biāo)矩陣母－子座標(biāo)間的變換形式矩陣母元形函數(shù)矩陣6哈工大土木工程學(xué)院由此得到結(jié)論1、由母元形函數(shù)性質(zhì)可知，母元結(jié)點(diǎn)座標(biāo)通過(guò)映射可得到子單元結(jié)點(diǎn)直角坐標(biāo)；2、母元中的某條座標(biāo)線通過(guò)映射可得到子單元中的一條斜直線；3、母元中正交座標(biāo)軸映射的子單元的一個(gè)斜角座標(biāo)系。斜角座標(biāo)系是固定于子單元的局部座標(biāo)系，而子單元的另一座標(biāo)系是整體座標(biāo)系。7哈工大土木工程學(xué)院座標(biāo)（，）既是的直角坐標(biāo)，又是子單元的斜角座標(biāo)，因此可用母元形函數(shù)建立子單元的位移場(chǎng)。2、建立單元位移場(chǎng)9哈工大土木工程學(xué)院1子單元位移場(chǎng)與母單元的位移場(chǎng)是一樣的，但子單元的位移場(chǎng)是以斜角(或曲線)坐標(biāo)表達(dá)的，而母單元的位移場(chǎng)是以正則坐標(biāo)表達(dá)的。因此，子單元的位移分布與母單元的位移分布即使在結(jié)點(diǎn)位移相同的情況下也可能是不同的。3、幾點(diǎn)說(shuō)明2、座標(biāo)場(chǎng)和位移場(chǎng)它們是相似的，因?yàn)槭褂孟嗤男魏瘮?shù)構(gòu)造的，并且用相同個(gè)數(shù)的結(jié)點(diǎn)參數(shù)(結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)坐標(biāo))來(lái)描述，因此稱這類單元為等參數(shù)單元。由此定義可見，等參元分析的關(guān)健在于建立各種結(jié)點(diǎn)數(shù)量時(shí)母單元的形函數(shù)。10哈工大土木工程學(xué)院3、若由結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)插值構(gòu)造單元幾何形狀所用的形函數(shù)比由結(jié)點(diǎn)位移插值構(gòu)造單元位移場(chǎng)的形函數(shù)階次低，并且所用結(jié)點(diǎn)參數(shù)個(gè)數(shù)少，則稱為亞參元；反之，若階次高，結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)多，則稱為超參元。11哈工大土木工程學(xué)院由13哈工大土木工程學(xué)院雅克比矩陣14哈工大土木工程學(xué)院5-5-2幾種常用單元描述和位移模式1、8結(jié)點(diǎn)四邊形等參元123456781526378415哈工大土木工程學(xué)院（1）統(tǒng)一方法1、由形函數(shù)的性質(zhì)。用直接試湊法建立邊界上新增結(jié)點(diǎn)的形函數(shù)由低階母元形函數(shù)生成高階母元形函數(shù)17哈工大土木工程學(xué)院2、計(jì)算低階母元形函數(shù)在新增結(jié)點(diǎn)處的值。18哈工大土木工程學(xué)院3、對(duì)低階母元角頂結(jié)點(diǎn)形函數(shù)進(jìn)行“它點(diǎn)為零”的修正。19哈工大土木工程學(xué)院1、6結(jié)點(diǎn)三角形等參元152634152634L2=0L1=0L1－1/2=0L2－1/2=021哈工大土木工程學(xué)院母元形函數(shù)角結(jié)點(diǎn)

邊中點(diǎn)

22哈工大土木工程學(xué)院圖形變換位移場(chǎng)23哈工大土木工程學(xué)院25哈工大土木工程學(xué)院?jiǎn)卧獞?yīng)力場(chǎng)26哈工大土木工程學(xué)院dL的計(jì)算在邊界123456781526378429哈工大土木工程學(xué)院在結(jié)點(diǎn)上30哈工大土木工程學(xué)院31哈工大土木工程學(xué)院3、單元?jiǎng)偠忍匦怨秸叫文竼卧?2哈工大土木工程學(xué)院33哈工大土木工程學(xué)院三角形母單元34哈工大土木工程學(xué)院152634積分線要有所改變35哈工大土木工程學(xué)院對(duì)于邊界表面力的等效荷載的微分弧長(zhǎng)應(yīng)視不同邊界而異36哈工大土木工程學(xué)院37哈工大土木工程學(xué)院5-5-4數(shù)值積分等參元的單元?jiǎng)偠染仃嚭偷刃ЫY(jié)點(diǎn)荷載的計(jì)算公式中被積函數(shù)是十分復(fù)雜的，很難用精確積分得到顯式(解析)積分結(jié)果。因而要采用數(shù)值積分方法，即在單元內(nèi)選出某些點(diǎn)(稱為積分點(diǎn))，算出被積函數(shù)在這些點(diǎn)處的值，再分別乘以權(quán)系數(shù)，然后以求其和作為積分的近似值。數(shù)值積分方法很多，在有限元分析中通常采用高斯積分法，因?yàn)樗梢杂幂^少的積分點(diǎn)達(dá)到較高的精度，從而可以節(jié)省計(jì)算時(shí)間。38哈工大土木工程學(xué)院1、一維高斯積分高斯積分點(diǎn)的座標(biāo)高斯積分點(diǎn)的加權(quán)系數(shù)高斯積分點(diǎn)的函數(shù)值39哈工大土木工程學(xué)院2、二維高斯積分方形域三角域40哈工大土木工程學(xué)院5-5-5注意事項(xiàng)1、Jacobi行列式等于零，將使等參元分析失效。經(jīng)映射的單元邊界發(fā)生嚴(yán)重扭曲。正方形母單元映射成三角單元。某角點(diǎn)處映射后單元邊界的切線夾角接近180。導(dǎo)致Jacobi行列式等于零的可能原因：41哈工大土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)離散過(guò)程中避免出現(xiàn)單元過(guò)分畸形避免出現(xiàn)Jacobi行列式等于零的措施：邊界單元過(guò)分畸形退化成三角形角點(diǎn)切線夾角接近18042哈工大土木工程學(xué)院3、根據(jù)變換可知母單元中的點(diǎn)在子單元中的位置。但無(wú)法從子單元中的點(diǎn)確定其在母單元中的位置。2、母單元中邊點(diǎn)是等距離分布的，在子單元?jiǎng)澐执_定邊線結(jié)點(diǎn)位置時(shí)也應(yīng)盡量等距離分布4、當(dāng)子單元網(wǎng)格劃分的邊界結(jié)點(diǎn)位于兩角點(diǎn)連接線上時(shí)，映射后子單元的此邊界將為一直線。但沿邊界所求得的位移并不一定是線性變化的（因?yàn)榻Y(jié)點(diǎn)位移并不一定在一條直線上）。43哈工大土木工程學(xué)院5-5-6計(jì)算實(shí)例見130頁(yè)例題44哈工大土木工程學(xué)院5-5-7二維和三維計(jì)算程序簡(jiǎn)要說(shuō)明閱讀光盤介紹45哈工大土木工程學(xué)院§5-6Wilson非協(xié)調(diào)元*理論和計(jì)算經(jīng)驗(yàn)表明，單元的計(jì)算精度取決于單元位移模式中所包含的完全多項(xiàng)式的次數(shù)，而非完全的高次項(xiàng)一般不能提高精度。WisonE提出一種構(gòu)造非協(xié)調(diào)元的方法，對(duì)提高等參元計(jì)算精度和計(jì)算效率很有指導(dǎo)意義。46哈工大土木工程學(xué)院5-6-1雙線性單元計(jì)算純彎曲問(wèn)題誤差考察受純彎曲作用單元

精確解反映了純彎曲應(yīng)力47哈工大土木工程學(xué)院采用雙線性單元，其位移解

應(yīng)力解不是純彎曲應(yīng)力導(dǎo)致誤差的原因是位移模式中缺少x2和y2項(xiàng)48哈工大土木工程學(xué)院5-6-2Wilson非協(xié)調(diào)元為提高精度，Wilson提出在位移場(chǎng)中附加內(nèi)部無(wú)結(jié)點(diǎn)的位移項(xiàng)附加位移參數(shù)向量，是單元內(nèi)部自由度49哈工大土木工程學(xué)院50哈工大土木工程學(xué)院消去單元內(nèi)部自由度經(jīng)過(guò)凝聚處理的這種非協(xié)調(diào)元精度有顯著提高。51哈工大土木工程學(xué)院5-6-3Wilson非協(xié)調(diào)元的收斂性不同單元的位移參數(shù)是不同的，因此這種單元的位移是不協(xié)調(diào)的，其收斂性不能得到保證?？墒且呀?jīng)證明非協(xié)調(diào)元滿足一定條件下，結(jié)果是收斂的。由于在和邊界上分別為：52哈工大土木工程學(xué)院1當(dāng)網(wǎng)格劃分是矩形或是平行四邊形單元時(shí)(此時(shí)|J|為常數(shù))，非協(xié)調(diào)位移在單元尺寸不斷減小時(shí)協(xié)調(diào)性能得到改善，能保證趨于常應(yīng)變狀態(tài)，因此分析是收斂的。2對(duì)任意的四邊形劃分，Wilson指出，以＝＝0（單元中心點(diǎn)）的Jacobi矩陣值作為整個(gè)單元各點(diǎn)的J矩陣，在此條件下計(jì)算單剛，則用非協(xié)調(diào)元也是收斂的。一些結(jié)論53哈工大土木工程學(xué)院§5-7結(jié)論與討論5-7-1幾點(diǎn)結(jié)論

三角形和矩形單元及等參元都是協(xié)調(diào)元，理論分析和算例都表明，協(xié)調(diào)元一定收斂，非協(xié)調(diào)元滿足一定條件也是收斂的，而且有時(shí)收斂的速度更快。

三角形單元用面積座標(biāo)描述較簡(jiǎn)便，而四邊形單元用正則座標(biāo)描述，公式統(tǒng)一簡(jiǎn)便。54哈工大土木工程學(xué)院

等參元可以是曲邊單元，同樣也可分為兩大類，即三角形類和四邊形類，選什么樣的單元作母單元即產(chǎn)生什么樣的等參元。正則母單元的形函數(shù)是構(gòu)造等參元的必備條件。

母單元的形函數(shù)，可用試湊法或統(tǒng)一法由低階(常應(yīng)變?nèi)切魏碗p線性矩形)單元的形函數(shù)來(lái)得到。對(duì)于書上已介紹之外更高階的母單元形函數(shù)，直接試湊可能遇到困難，而按統(tǒng)一方法雖然稍麻煩些但不會(huì)有任何困難。55哈工大土木工程學(xué)院

等參元單元?jiǎng)偠染仃嚭偷刃Ш奢d計(jì)算公式中被積函數(shù)都十分復(fù)雜，一般只能采用數(shù)值積分方法獲得近似積分結(jié)果。

等參元(子單元)幾何形狀、位移模式都是由對(duì)應(yīng)的母單元形函數(shù)插值構(gòu)造的。母單元的點(diǎn)對(duì)應(yīng)子單元點(diǎn)。但由子單元指定點(diǎn)一般不可能求得母元對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。

等參元當(dāng)det[J]=0時(shí)將失效，因此在離散化時(shí)要注意避免出現(xiàn)det[J]=0的一些情況。56哈工大土木工程學(xué)院5-7-2幾點(diǎn)討論協(xié)調(diào)的單元其位移解答一般都小于精確解(真實(shí)解答)，也即協(xié)調(diào)單元的剛度比實(shí)際值大。請(qǐng)考慮為什么?(提示：所設(shè)位移模式一般并非實(shí)際位移。)