2017年-2019年北京卷理數(shù)高考試題含答案

絕密★本科目考試啟用前

2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)(理)(北京卷)

本試卷共5頁(yè)，15()分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚?/p>

結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

(1)已知復(fù)數(shù)z=2+i,則z?5=

(A)6(B)V5(C)3(D)5

(2)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為

開(kāi)始

A=1，s=1

/輸出S/

結(jié)束

(A)1(B)2(C)3(D)4

x=1+3，，

(3)已知直線/的參數(shù)方程為〈-)。為參數(shù))，則點(diǎn)(1,0)到直線/的距離是

y=2+4l

、6

(D)-

5

1

(4)已知橢圓=+2T=1(a>b>0)的離心率為大，則

a"b"2

(A)a^=2b2(B)3a2=4/72(C)a=2b(D)3a=4b

(5)若x,y滿(mǎn)足I幻且正T,則3x+y的最大值為

(A)-7(B)1(C)5(D)7

5E

(6)在天文學(xué)中，天體的明喑程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿(mǎn)足〃?2-如=彳怛才，

2匕2

其中星等為旗的星的亮度為&(仁1，2).已知太陽(yáng)的星等是-26.7,天狼星的星等是T.45,則太陽(yáng)與

天狼星的亮度的比值為

(A)IO101(B)10.1(C)IglO.l(D)1O-10-1

(7)設(shè)點(diǎn)A,B,C不共線，則“AB與4C的夾角為銳角”是(，\AB+AC\>\BC\，>的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

(8)數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線Gf+y=1+|幻y就是其中之一(如圖).給出

下列三個(gè)結(jié)論：

①曲線C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))；

②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)正；

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是

(A)①(B)②(C)①②(D)①②③

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。

(9)函數(shù)/(x)=sin2〃的最小正周期是.

(10)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為5,”若念=-3,S5=-10,則“5=，S”的最小值為.

(11)某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)

為1,那么該幾何體的體積為.

(12)已知/，根是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷：

①/_1_如②機(jī)〃a；③/_La.

以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：.

(13)設(shè)函數(shù)/CO=/+“/'(。為常數(shù)).若/(%)為奇函數(shù)，則“=；若/(x)是R上的增函數(shù)，

則〃的取值范圍是.

(14)李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷(xiāo)售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60

元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷(xiāo)量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷(xiāo)：一次購(gòu)買(mǎi)水果的總價(jià)

達(dá)到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%.

①當(dāng)410時(shí)，顧客一次購(gòu)買(mǎi)草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促銷(xiāo)活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷(xiāo)前總價(jià)的七折，則x的最大值為

三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。

(15)(本小題13分)

在△ABC中，a=3,b-c=2,cosB=--.

2

(I)求b,c的值；

(II)求sin(B-C)的值.

(16)(本小題14分)

如圖，在四棱錐P-A8C。中，平面ABC。，ADLCD,AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E為PD

PF1

的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在「C上，且』=

PC3

(I)求證：平面PA。；

(II)求二面角F-AE-P的余弦值；

(III)設(shè)點(diǎn)G在P8上，且絲=2.判斷直線AG是否在平面4EF內(nèi)，說(shuō)明理由.

PB3

(17)(本小題13分)

改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一.為了

解某校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中

A,B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

寸金額(元)(0,1000](1000,2000]大于2000

支付方式、

僅使用A18人9人3人

僅使用B10人14人1人

(I)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的概率；

(II)從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于

1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(III)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，

發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金

額大于2000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由.

(18)(本小題14分)

已知拋物線C：5=_2py經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-1).

(I)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；

(II)設(shè)。為原點(diǎn)，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線/交拋物線C于兩點(diǎn)M,N,直線尸T分

別交直線OM,ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò))，軸上的兩個(gè)定點(diǎn).

(19)(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=^-x3-x2+X.

(I)求曲線y=/(x)的斜率為i的切線方程;

(II)當(dāng)xe［-2,4］時(shí)，求證：x-6<f(x)<x-

(III)設(shè)尸(x)="(x)—(x+a)|(aeR),記-(x)在區(qū)間［-2,4］上的最大值為M(?).當(dāng)M(a)

最小時(shí)，求。的值.

(20)(本小題13分)

已知數(shù)列｛斯｝,從中選取第八項(xiàng)、第辦項(xiàng)、…、第篇項(xiàng)(ii<i2V…4)，若%,則稱(chēng)新

數(shù)列多,”,…，為｛斯｝的長(zhǎng)度為根的遞增子列.規(guī)定：數(shù)列｛斯｝的任意一項(xiàng)都是｛小｝的長(zhǎng)度為1

的遞增子列.

(I)寫(xiě)出數(shù)列1,8,3,7,5,6,9的一個(gè)長(zhǎng)度為4的遞增子列；

(II)已知數(shù)列｛斯｝的長(zhǎng)度為P的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為a,%,長(zhǎng)度為q的遞增子列的末項(xiàng)的最小

值為4?若P<4，求證：4b<4,；

(III)設(shè)無(wú)窮數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等.若｛斯｝的長(zhǎng)度為s的遞增子列末項(xiàng)的

最小值為北-1,且長(zhǎng)度為s末項(xiàng)為2s-l的遞增子列恰有2'"個(gè)(s=l,2,…)，求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式.

絕密★啟用前

2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（理）（北京卷）參考答案

一、選擇題（共8小題,每小題5分，共40分）

(1)D(2)B(3)D(4)B(5)C(6)A(7)C(8)C

二、填空題（共6小題,每小題5分，共30分）

⑼I(10)0-10(11)40(12)若/_L，〃，11a,則m//a.（答案不唯一）

(13)-1(-8,0](14)13015

三、解答題（共6小題,共80分）

(15)(共13分)

解：（I）由余弦定理—2accosB,得

Z?2=32+C2-2X3XCX--

I2.

因?yàn)閎=c+2,

22

所以(c+2)2=3+C-2X3XCX

解得c=5.

所以b=7.

(II)由cos8=—L得sinB=^

22

由正弦定理得sinC=￡sin6=5A/3

b14

在△ABC中，N8是鈍角,

所以NC為銳角.

所以cosC--sin2C--

14

4G

所以sin(3-C)=sin3cosc—cos5sinC=7

(16)(共14分)

解：(I)因?yàn)镻A_L平面A88,所以PA_LCD.

又因?yàn)锳O_LC￡),所以CD_L平面PAC.

(II)過(guò)4作4。的垂線交BC于點(diǎn)M.

因?yàn)镻A_L平面ABC。，所以PAJ_4M,PAA.AD.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),。(0,2,0),

P(0,0,2).

因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以E(0,1,1).

所以AE=(0,1,1),PC=(2,2,—2),AP=(0,0,2).

1<222^,224、

所以PF=-PC=—,一,——,AF=AP+PF^

3133(333)

設(shè)平面AE尸的法向量為”=(x,y,z),則

fXr[v+z=0,

n-AE^n0,'

<即《224八

n-AF=0,--^+-y+-2=0.

i1333

令z=l,則y=-I,x=-l.

于是“=(T,-1,1).

又因?yàn)槠矫鍼AO的法向量為p=(1,0,0),所以cos〈〃,p)=」咨=—@

I/illp|3

由題知，二面角F-AE-P為銳角，所以其余弦值為亞

3

(HI)直線AG在平面AEF內(nèi).

因?yàn)辄c(diǎn)G在PB上，且竺=2,PB=(2,-l,-2),

PB3

2,424、,422、

所以PG=—尸8=—,一一\,AG=AP+PG=一一.

3(333J(333)

由(II)知，平面AEF的法向量〃=(一1,一1,1).

422

所以AG-〃=一一+—+—=0.

333

所以直線AG在平面AEF內(nèi).

(17)(共13分)

解：(I)由題意知1,樣本中僅使用A的學(xué)生有18+9+3=30人，僅使用B的學(xué)生有10+14+1=25人，A,B

兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人.

故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100-30-25-5=40人.

所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的概率估計(jì)為±=0.4.

100

(IDX的所有可能值為0,1,2.

記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”，事件。為“從

樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”.

由題設(shè)知，事件C,。相互獨(dú)立，且P(C)=^9+^3=0.4,P(D)=1-4--+--1--=0.6.

3025

所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,

p(X=l)=P(C方CD)

=P(C)P(D)+P(C)P(D)

=0.4x(1-0.6)+(1-0.4)x0.6

=0.52,

P(X=0)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24.

所以X的分布列為

X012

P0.240.520.24

故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0X0.24+1x0.52+2x0.24=1.

(Ill)記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額都大于2000元”.

假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒(méi)有變化，則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得

P（E）=，-=---.

Co4060

答案示例1：可以認(rèn)為有變化.理由如下：

P（￡）比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生.一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2000

元的人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認(rèn)為有變化.

答案示例2：無(wú)法確定有沒(méi)有變化.理由如下：

事件E是隨機(jī)事件，P（￡）比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無(wú)法確定有沒(méi)有變化.

（18）（共14分）

解：（I）由拋物線。：爐=一2期經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,-1）,得p=2.

所以?huà)佄锞€C的方程為,其準(zhǔn)線方程為y=l.

（II）拋物線C的焦點(diǎn)為E（0,-1）.

設(shè)直線/的方程為y=依一1（女工0）.

由|）'「"―1'得*2+46_4=0.

x2=-Ay

設(shè)A/（ApX）,N（%2，y2），則石X2=T.

直線OM的方程為y=

罰

令y=—l,得點(diǎn)4的橫坐標(biāo).=一上.

y

同理得點(diǎn)8的橫坐標(biāo)4=-三.

設(shè)點(diǎn)。（0,〃），則ZM=-&,—1—〃,DB=一三,一1—〃，

Iy）I%）

說(shuō)。8=必+（n+1）2

7雷

I4火4)

=-^-+(n+l)2

xtx2

=-4+(〃+l)2.

令DA-OB=0,即T+(〃+l)2=0,則〃=1或〃=—3.

綜上，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的定點(diǎn)(0,1)和(0,-3).

(19)(共13分)

?3

解：(I)由/(》)=-X3-/+%得/，(幻=一工2-2》+1.

44

32

令/'(x)=l,即q/-2x+l=l,得x=0或x=Q.

又/(0)=0,/(|)=松，

QQ

所以曲線丁=/(x)的斜率為1的切線方程是y=x與y-攝=》一三,

64

即>=》與y=x-----.

-27

(II)令g(x)=/(x)-x,xe[-2,4].

1,3

由g(X)=-A：?一二得且口)=一1一2》.

44

O

令g'(x)=0得x=0或x=§.

g'(x),g(x)的情況如下:

(0，1)8,8八

X-2(-2,0)0(q，4)4

3

g'(x)+—+

_64

—600

g(x)~27

所以g(x)的最小值為-6,最大值為0.

故-6<g(x)<0,即x-64/(x)〈x.

(Ill)由(II)知,

當(dāng)a<-3時(shí)，M(a)>F(0)Mg(0)-?|=-?>3；

當(dāng)a>-3時(shí)，"(a)>F(-2)=|g(-2)—a|=6+a>3；

當(dāng)。=-3時(shí)，M(a)=3.

綜上，當(dāng)A/(a)最小時(shí)，a--3.

(20)(共13分)

解：(1)1,3,5,6.(答案不唯一)

(II)設(shè)長(zhǎng)度為g末項(xiàng)為a,,°的一個(gè)遞增子列為4,4,

由P<q，得％<9

因?yàn)椋桑拈L(zhǎng)度為p的遞增子列末項(xiàng)的最小值為a,%,

又多,,4是｛a?｝的長(zhǎng)度為p的遞增子列，

所以4<a.

nn\)rp

所以《用<%

(HI)由題設(shè)知，所有正奇數(shù)都是｛%｝中的項(xiàng).

先證明：若2根是｛%｝中的項(xiàng)，貝1]2加必排在2〃L1之前(機(jī)為正整數(shù)).

假設(shè)2%排在2/n-l之后.

設(shè)髭,af,t,2m-1是數(shù)列｛q｝的長(zhǎng)度為〃？末項(xiàng)為2m-l的遞增子列，則

冊(cè)，a八，2/71-1,2m是數(shù)列｛4｝的長(zhǎng)度為nt+1末項(xiàng)為2m的遞增子列.與已知矛盾.

再證明：所有正偶數(shù)都是｛《,｝中的項(xiàng).

假設(shè)存在正偶數(shù)不是｛q｝中的項(xiàng)，設(shè)不在｛為｝中的最小的正偶數(shù)為2九

因?yàn)?Z排在261之前(k=l,2,…，山-1),所以2%和2Z-1不可能在｛叫的同一個(gè)遞增子列中.

又｛4｝中不超過(guò)2，"+1的數(shù)為1,2,2m-2,2m-\,2m+\,所以｛a.｝的長(zhǎng)度為，”+1且末項(xiàng)為2〃?+1

的遞增子列個(gè)數(shù)至多為2x2x2xx2xlxl=2"i<2".

("I)個(gè)

與已知矛盾.

最后證明：2加排在2,丁3之后（論2為整數(shù)）.

假設(shè)存在2,"（論2）,使得2機(jī)排在2*3之前，則｛4｝的長(zhǎng)度為根+1且末項(xiàng)為2，”+1的遞增子列的個(gè)數(shù)小

于2”.與已知矛盾.

綜上，數(shù)列｛〃”｝只可能為2,1,4,3,…，2w-3,2m,2m-\,

經(jīng)驗(yàn)證，數(shù)列2,1,4,3,…，2/M-3,2m,2，〃T,…符合條件.

一。+1,〃為奇數(shù)，

所以〃為偶數(shù).

2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）

數(shù)學(xué)（理工類(lèi)）

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一

項(xiàng).

1.若集合4=卜料＜2},B={x|-2,0,l,2},則AIB=

(A){0,1}(B){-1,0,1}(C){-2,0,1}(D){-1,0,1,2}

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)二-的共樞復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

l-i

（A）第一象限（B）第二象限

（C）第三象限（D）第四象限

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（).

\_

A.

2

5

B.

6

7

C.

6

7

D.

12

（開(kāi)始］

1

^=^+(-1)*?---

k=g

結(jié)束

4.“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載墻最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出

了重要的貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一

個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于蚯.若第一個(gè)單音的頻率為了,則第八個(gè)單音的頻率為

).

A.好1于

B.疹/

C.療/

D.近f

5.某四棱錐的三視圖如圖所示，在此三棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為().

A.I

B.2

C.3

俯視圖

6.設(shè)a力均為單位向量，貝IJ“卜-34=卜4+匕|”是“aLb”的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

7.在平面直角坐標(biāo)系中，記4為點(diǎn)p(cos(9,sin。)到直線Xy_2=0的距離?當(dāng)仇加變化時(shí)，〃的最大

值為

(A)1(B)2(C)3(D)4

8.設(shè)集合A={(x,y)|x-yNl,av+y>4,x-ay42},則

(A)對(duì)任意實(shí)數(shù)a,(2,l)eA(B)對(duì)任意實(shí)數(shù)a,(2,1)e4

(C)當(dāng)且僅當(dāng)°<0時(shí):(2,1)gA(。)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，(2，1)￡A

二.填空

(9)設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，且q=3,4+4=36,則｛%｝的通項(xiàng)公式為。

(10)在極坐標(biāo)系中，直線夕cos8+Qsin8=a(a>0)與圓0=2cos8相切，則。=

(11)設(shè)函數(shù)/(x)=cos"—?J(?>())?若〃對(duì)任意的實(shí)數(shù)%都成立，則口的最小值

為。

(12)若x,y滿(mǎn)足x+l4y42x，則2y-x的最小值是。

(13)能說(shuō)明“若"X)>/(())對(duì)任意的xe((),2］都成立，則“X)在［0,2］上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函

數(shù)是?

2222

(14)已知橢圓M:、+5=l(a>%>0),雙曲線N:二—馬=1。若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的

abmn

四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓"的離心率為；雙曲線N的離心

率為o

三.解答題

(15)(本小題13分)

在ABC中，a=7,b=8,cosB=」。

7

(I)求ZA；

(II)求AC邊上的高。

(16)(本小題14分)

如圖，在三棱柱48C-A4G中，CCJ平面ABC,D,E,F,G分別為AA，AC，AG,BB1的中點(diǎn),

AB=BC=45,AC=AAi=2.

(I)求證：AC平面應(yīng)廣；

(II)求二面角B-CO-G的余弦值；

（in）證明：直線FG與平面BC。相交.

（16）（本小題12分）

電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類(lèi)整理得到下表:

電影類(lèi)型第一類(lèi)第二類(lèi)第三類(lèi)第四類(lèi)第五類(lèi)第六類(lèi)

電影部數(shù)14050300200800510

好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1

好評(píng)率是指：一類(lèi)電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類(lèi)電影的部數(shù)的比值

假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立

（1）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類(lèi)電影的概率；

（2）從第四類(lèi)電影和第五類(lèi)電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率；

（3）假設(shè)每類(lèi)電影得到人們喜歡的概率與表格中該類(lèi)電影的好評(píng)率相等，用“&=1”表示第&類(lèi)電影得到

人們喜歡，“女=0”表示第k類(lèi)電影沒(méi)有得到人們喜歡（左=1,2,3,4,5,6）.寫(xiě)出方差

D^,D^2,D^,D^,D^,D^的大小關(guān)系

（18）（本小題13分）

設(shè)函數(shù)/（》）=皿2_（4fl+]）x+w+3]e”,

（1）若曲線y=/（x）在點(diǎn)處的切線方程與x軸平行，求a；

（2）若/（X）在x=2處取得極小值，求a的取值范圍.

（19）（本小題14分）

已知拋物線C：V=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（1,2）.過(guò)點(diǎn)0（0,1）的直線/與拋物線C有兩個(gè)

不同的交點(diǎn)A,B,且直線玄交y軸于A7,直線尸8交y軸于N.

（1）求直線/的斜率的取值范圍；

（2）設(shè)。為原點(diǎn)，QM=2QO,QN=pQO,求證：工+_1為定值.

20.（本小題14分）

設(shè)〃為正整數(shù)，集合A={a|a=（4，，2，..“J，4e{0,1},/:=1,2,...,nJ.對(duì)于集合A中的任意元素a=（玉,&,...,乙）

和/=（%%，???，”），記

M30=（[&+%）-、-W+（々+為）T%-%|+…+（%+券）-上-y?|]

⑴當(dāng)〃=30寸，若夕=（1,1,0）,2=（0,1,1）,求M（a,c）和M（c,夕）的值；

（II）當(dāng)”=4時(shí);設(shè)8是A的子集，且滿(mǎn)足：對(duì)于8中的任意元素a,￡,當(dāng)a,￡相同時(shí)，M（a,⑶是奇數(shù);

當(dāng)a,0不同時(shí)，M（a,⑶是偶數(shù).求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值；

（III）給定不小于2的〃，設(shè)8是A的子集，且滿(mǎn)足：對(duì)于8中的任意兩個(gè)不同的元素a,"M（a,0=0.

寫(xiě)出一個(gè)集合8,使其元素個(gè)數(shù)最多，并說(shuō)明理由.

答案：

選擇題

1.【答案】A

2.【答案】D

；

則2=上1-上，故1」一的共輒復(fù)數(shù)在第四象限,

221-i

故選D

3.【答案】B

【解析】根據(jù)程序框圖可知，開(kāi)始％=1,s=l,

執(zhí)行s=l+（_『.,=Lk=2,此時(shí)a3不成立，循環(huán),

V71+12

2

,y=l+（-l）.-L=-,k=3,此時(shí)％23成立，結(jié)束，

輸出s=,.

6

故選B.

4.【答案】D

【解析】根據(jù)題意可得，此十三個(gè)單音形成一個(gè)以/為首項(xiàng)，蚯為公比的等比數(shù)列,

故第八個(gè)單音的頻率為/.（蚯廠U療f.

故選D.

5.【答案】C

【解析】由三視圖可知，此四棱錐的直觀圖如圖所示，

在正方體中，均為直角三角形，

PB=3,BC=&PC=2后,故^PBC不是直角三角形.

故選C.

6.【答案】C

【解析】充分性：|〃-3川=|3々+。|,

|非-642+9網(wǎng)2=91"用?2+網(wǎng)?，

又|a|=|/?|=1,可得a?)=0,故a_L力.

必要性：aLb,故〃?/?=(),

所以|a|2-6Q/+9|62=9|a|2討〃2+|加2,

所以|。一36=|3〃+加.

7.【答案】C

【解析】：p(cosgsine)，所以p點(diǎn)的軌跡是圓。

直線x——2=()恒過(guò)(。，2)點(diǎn)。

轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離加上半徑取到最大值，所以答案為3.

8.【答案】：D

2-1>0

3

【解析】：若(2,1"A,貝IJ2〃+1〉4a>—o

2

2-a<2

33

則當(dāng)。>一時(shí)，(2,l)cA；當(dāng)OK—時(shí),(2,1)任4選D

2'/2

二.填空題

9.答案：4=6n-3(ncNA

4=3

4=3a,=3

解析：由題知，設(shè)等差數(shù)列公差為"，所以：《%=%+"，即”解得，，所

4+d+“1+4d=36d=6

%=4+4d

以=6〃-3(〃wNj。

10.答案：1+

解析：夕cos8+psin0=a

直線方程轉(zhuǎn)化為x+y=。即x+y-〃=()

夕=2cos8

"=2pcos6

圓的方程轉(zhuǎn)化為Y+y2=2xB[J(x-l)2+y2=l、

-a\

直線與圓相切.二4—=1

解得a二1±\[2a>0/.a=1+V2

i2

II.答案：一

3

解析：由題知：/(x)“、=/O=l,即cos—7)=1,所以卜一專(zhuān)=2版■(我

22

解得：0=8k+§(ZeZ),0>0,所以k=0時(shí)，?ymin=-.

12.答案：3

解析：將不等式轉(zhuǎn)換成線性規(guī)劃，即

x+1<y

<y<2x

x>l

目標(biāo)函數(shù)z=2y-x

如右圖z在4(1,2)處取最小值

=3

13.答案：/(x)=—f+3x,(答案不唯一)

解析：函數(shù)需要滿(mǎn)足在［0,2］上的最小值為/(0),并且在［0,2］上不單調(diào)。選取開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸在(0,2)

上的二次函數(shù)均可，其余正確答案也正確。

14.【答案】：百-1,2

【解析】：設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為仙根據(jù)橢圓的定義2a=(石+力，2c=2t,e1M=(=G-1

雙曲線的漸近線方程為y=±Gx,'=百，所以e雙曲線=*。

三.解答題

15.【解析】

(I)ABC中，cosB=--,所以ZB為鈍角，sinB=>/l-cos2B=—；

77

由正弦定理：—,所以$山4=里普=坐，

sinAsinBb2

所以A=2+2Z肛ZGZ;或者A=殳+2攵/MEZ；

33

又ABB,NS為鈍角，所以NA為銳角，所以A=&。

3

(II)A3C中,sinC=sin(A+B)=sin(B+—)=—sinB+—cosB=,

32214

三角形ABC的面積5ABe=LibsinC=6G,設(shè)AC邊上的高為h,Swc=—Z?/z=—-8'/?=66，所以h=^^~,

/lot-2/ioi-22，2

即AC邊上的高為地。

2

16.【解析】

(I)證明：：A8=8C,且E是AC的中點(diǎn)，

AC1BE,

???在三棱柱ABC一A與￡中，E,F分別是AC,AG的中點(diǎn)，

...EF//CC,

平面ABC,

/.EFJ*平面ABC,

；ACu平面ABC,

EFLAC,

,：EF,BEu平面BEF,

EFBE

(II)由(I)知，EF1AC,ACLBE,EF±EB,

...以E為原點(diǎn)，E4,m,E尸分別為x軸，y軸，z軸

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

H

則有,B(0,2,0),C(-l,0,0),￡>(1,0,1),C,(-1,0,2)

BC=(-l,-2,0),CD=(2,0,1)

設(shè)平面BCD的法向量〃=(x,y,z),

.BCn=0'x-2y=0

??<，即1,

CDn=0|2x+z=°

易知平面C￡>G法向量初=(o，i，o)

.mn-1>/21

??cos<nt,n>=?~~j-i—r=-7=_F=-----，

時(shí)加與M21

由圖可知，二面角B-8-G的平面角為鈍角，

玩

.,.二面角B—CD—C,的余弦值—了-.

(III)方法一：

；產(chǎn)(0,0,2),G(0,2,1),，尸G=(O,2,—1)

;平面BCD的法向量〃=(2,-l,T),

設(shè)直線FG與平面BCD的夾角為。，

..n\”|FGn||-2+4|2

??sinJ=cos<rG,/7>1=(----(―rn-=-f=~~7==-j=-y=豐。，

I|FG|-|/?||V5-V21V5-V21

，。w0

直線FG與平面BCD相交.

方法二：

假設(shè)直線FG與平面BCO平行，

設(shè)CO與￡尸的交點(diǎn)為M，連結(jié)BM，

:尸Gu平面BB、FE，且平面BB.FE平面BCD=BM,

/.FG//BM,

BG//FM,

/.四邊形BMFG為平行四邊形，

BW=8G,易知尸M#8G,

假設(shè)不成立，

，直線FG與平面BCD相交.

17.【解析】(1)由表格可知電影的總部數(shù)140+50+3(X)+200+800+510=2000

獲得好評(píng)的第四類(lèi)電影200x0.25=50

設(shè)從收集的電影中選1部，是獲得好評(píng)的第四類(lèi)電影為事件A，則P(A)=^-=—

200040

(2)由表格可得獲得好評(píng)的第五類(lèi)電影800x0.2=160

第五類(lèi)電影總數(shù)為800未獲得好評(píng)的第五類(lèi)電影800-160=640

第四類(lèi)電影總數(shù)為20()未獲得好評(píng)的第四類(lèi)定影200-50=150

設(shè)從第四類(lèi)電影和第五類(lèi)電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)為事件8

則尸(B)=叫+c；*c：蒯=XL

eg100

(3)嶼>嶼>%=%>”3>.6

18.【解析】(1)函數(shù)定義域?yàn)閤eR,

f\x)-(4a+l)]e'+[ar2-(4a+l)x+4a+3]e*

-ev[ax2-(2a+l)x+2j

=e'(ar-l)(x-2),

若函數(shù)在(1,/(l))處切線與x軸平行，則

/'⑴=-e(a-1)=0,即a=l.

(2)由(1)可知r(x)=[ar2—(2a+l)x+2]e*=(x—2)(ar—l)e",

①當(dāng)a=0時(shí)，令/(x)=0,x=2,

X2

(■M（2,+8）

+0—

z極大值]

不滿(mǎn)足題意；

當(dāng)awO時(shí)，令尸（x）=O,x=2或x=L

a

②當(dāng)a<0時(shí)，即，<2,

X2

（2，內(nèi)）

a

—0+—

;⑴

]極小值z(mì)極大值]

不滿(mǎn)足題意；

③當(dāng)a>0時(shí)，

1）當(dāng)）=2，即a=9寸，/（x）20，函數(shù)f（x）無(wú)極值點(diǎn);

2）當(dāng),<2,即時(shí)，

a2

X2

J_(2,+oo)

a

ra)+0—+

z極大值]極小值Z

滿(mǎn)足題意；

3）當(dāng)工>2,即0<a<1時(shí),

a2

X2

(f2)

H)a

+0—+

r（x）

z極大值]極小值z(mì)

/(x)

不滿(mǎn)足題意.

綜上所述，若/（X）在x=2處取得極小值，?>1.

19.【解析】（1）由已知可得4=2p,所以?huà)佄锞€C的方程為y2=4x.

令4(Xi，X),B(x2,y2),

直線/顯然不能與x軸垂直，令其方程為y="+l,

2

帶入V=4x整理得y=h5+l,

即ky2-4y+4=0.

所以由已知可得［“二°,解得％<1且&*0.

IA=16—16^>0

所以直線/的斜率A的取值范圍為(-00,0)(0,1).

44

(2)由(1)知％+必=7，

KK

而點(diǎn)A(X］，x),8(*2,%)均在拋物線上，所以x2=?

因?yàn)橹本€PA與直線依與y軸相交，

則直線Q4與直線P8的斜率均存在，即yx-2,

y-2_y2_4(》-2)_4

因?yàn)?/p>

百T2L__IV-4%+2

4

4

所以直線的方程為y-2=」一(x-1)，

y+2

令x=0,可得y,“=2--=鼻，即M(0,鼻)