簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

南師附中2011屆高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)課課練§64 簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)班級(jí)姓名 等級(jí)一、填空題：1.(選修1-1p74練習(xí)第1題改編)函數(shù)y=30-21nX的單調(diào)增區(qū)間是 答案:答案:2.(選修1-1p74例1改編)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(X)的圖像如左圖所示，那么函數(shù)f(x)的圖像最有可能的是(填寫符合題意的代號(hào))答案：A(填寫符合題意的代號(hào))答案：A3.已知f(X)="X+X5+sinX，則其導(dǎo)函數(shù)f/(X)3.X2一、 3 5cc.答案：f/(X)=-—X-2+3X2-2x-3sinx+x-2cosx^24.已知函數(shù)g(4.已知函數(shù)g(X)=則其導(dǎo)函數(shù)g/(X)=答案：g/(X)=2(1-X)2.已知函數(shù)h(X)=(2x-3)5，則其導(dǎo)函數(shù)h/(X)=答案：h/(X)=10(2x-3)4.設(shè)函數(shù)f(X)=(X-1)(X-2)(X-3)(X-4)，則關(guān)于f/(X)二0有如下四個(gè)結(jié)論：⑴分別位于區(qū)間(1,2),(2,3),(3,4)內(nèi)的三個(gè)根；⑵有四個(gè)不等的實(shí)根；⑶分別位于區(qū)間(0,1)42( 內(nèi)的四個(gè)根;

南師附中2011屆高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)課課練⑷分別位于區(qū)間(0,1),2( 內(nèi)的三個(gè)根。解析：令f(x)=0得x=1,2,3,4，則f/(x)=0的根在(1,2),(2,3),(3,4)內(nèi)，答案：⑴二、解答題：.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性；f(x)=bx(b豐0,-1<x<1)；x2-1f(x)=x-2sinx,xg(0,2冗)解：(解：(1)f(x)=-b(x2+1)

(x2-1)2當(dāng)b>0時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)f(x)在(-1,1)內(nèi)是減函數(shù);當(dāng)b<0時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)f(x)在(-1,1)內(nèi)是增函數(shù);1⑵"x)二1-2cosx,xg(00),由f(x)>0，得cosx<21 兀5兀由f(x)<0，得cosx>2,，0<x<3,3<x<2兀,.兀5兀、 .兀、，5兀一、故f(x)在(—,——)內(nèi)是增函數(shù)；在。=乂飛-，2兀)內(nèi)是減函數(shù)。..…、ax-68.已知函數(shù)f(x)=——的圖象在點(diǎn)M(-1,f(-1))處的切線萬(wàn)程為x+2y+5=0.x2+b⑴求函數(shù)y=fx)的解析式；⑵求函數(shù)y=fx)的單調(diào)區(qū)間.解⑴由函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(-1,f(-1))處的切線方程為x+2y+5=0，知-1+2f(-1)+5=0,八， 1即八， 1即f(-1)=-2,f(-1)=--.Vf a(x2+b)-2x(ax-6)J(x)= 7TT(x2+b)2±6=-21+ba(1+b)+2(-a-6)(1+b)2a=2b-4即L(1+b)-2(a+6) 1解得a=2,b=3(Vb+1W0,??.b=-1舍去) =-一[ (1+b)2 22x-6???所求函數(shù)y=f(x)的解析式是y=——x2+3⑵f'(x)=—(x2+3)2—，令-2x2+12x+6=0，解得X[=3-2%：3,x2=3+2。3當(dāng)x<3-2<3,或x>3+2<3時(shí),f'(x)<0；當(dāng)3-2<3<x<時(shí),f(x)>0,南師附中2011屆高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)課課練所以于(x)=2：?在(-8,3—2%：3)內(nèi)是減函數(shù);在(3—2。3,3+2心)內(nèi)是增函數(shù);x2+3在(3+2。3,+8)內(nèi)是減函數(shù)。(08南通一模)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)2—2klnx.(1)當(dāng)k=2時(shí)，求函數(shù)f(x)的增區(qū)間；(2)當(dāng)k<0時(shí)，求函數(shù)g(x)=f(x)在區(qū)間(0,2］上的最小值.―一_ . 4 2解：(1)k=2,f(x)=(x+1)2一4lnx.則f(x)=2x+2——=—(x-1)(x+2)>0,xx注意到x>0,故x>1,于是函數(shù)的增區(qū)間為(1,+R).(寫為［1,+R)同樣給分)(2)當(dāng)k<0時(shí)，g(x)=f(x)=2x+2-生.g(x)=2(x+士)+2三4。一！+2,x x當(dāng)且僅當(dāng)x=-kk時(shí)，上述“三”中取“二”.①若v'-k￡(0,2］，即當(dāng)k￡［-4,0)時(shí)，函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,2］上的最小值為4v'-k+2；k②若k<-4,則g'(x)=2(1+一)在(0,2］上為負(fù)恒成立，x2故g(x)在區(qū)間(0,2］上為減函數(shù)，于是g(x)在區(qū)間(0,2］上的最小值為g(2)=6-k.綜上所述，當(dāng)k￡［-4,0)時(shí)，函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,2］上的最小值為4%匚一+2；當(dāng)k<-4時(shí)，函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,2］上的最小值為6-k.10,設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+In(2-x)+ax(a>0)(1)當(dāng)a=1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間。(2)若f(x)在(01］上的最大值為1，求a的值。【解析】考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)最值等知識(shí)?！?、1 1解：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：f(x)=---+a，定義域?yàn)?0,2)x2-x單調(diào)性的處理，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行穿線判別符號(hào)完成。當(dāng)a=1時(shí)，令f(x)=0得4-—^—+1=0n一;+：=0x2-x (2-x)當(dāng)xe(0,v2),fXx)>0,為增區(qū)間；當(dāng)xe?2,2),f\x)<0,為減函數(shù)。區(qū)間(01］上的最值問(wèn)題，通過(guò)導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)和端點(diǎn)的比較得到，確定待定量a的值。南師附中2011屆高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)課課練11當(dāng)xe(01]有最大值，則必不為減函數(shù)，且f(X)=- +a>0,為單調(diào)遞增區(qū)間。x2一x1最大值在右端點(diǎn)取到。于=/(D=a=。max 2X-1.已知函數(shù)f(X)= +ln(x+1),其中實(shí)數(shù)a豐1。x+a若a=-2,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；若f(x)在x=1處取得極值，試討論f(x)的單調(diào)性。當(dāng)②=2時(shí)/⑼=蔣￡尸十二尢而削)=因此曲線”『⑴在點(diǎn)(0,/(G))處的切線方程為V--y)= -U),即74-廿-2=0,(H)因。由￡1)知廣(1)=科+占=占+上又因武玲在郎聲t處取得極值，所以/'(I)再0,即丁X+/t0,解得口工-工此時(shí)代/)=段+ln(x+1),其定義域?yàn)長(zhǎng)3)u(3,*8),且廣①涓再』="般:;3"*)*。得“J=7.當(dāng)一】《與H】或#>7時(shí),『?￥)>0；當(dāng)1工雪H7且M播3時(shí)，/'(M)<0.由以上討論知，/(#)在區(qū)間(- +?)上是增函數(shù),在區(qū)間口，3),(3.7]上是減函數(shù)..已知函數(shù)f(x)=In(1+x)-x+^x2(k三0)。(I)當(dāng)k=2時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；(II)求f(x)的單調(diào)區(qū)間。解：(I)當(dāng)k=2時(shí)，f(x)=ln(1+x)一x+x2,f'(x)= -1+2x1+x由于f(1)=ln2,f,(1)=3,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為南師附中2011屆高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)課課練3y-ln2=2a-1)即 3x-2y+2ln-2=30x(kx+k-1) /( 、(II)f(x)= ,xG(-1,+8).1+xx當(dāng)k=0時(shí)，f'(x)=---.1+x所以，在區(qū)間(-1,0)上，f'(x)>0;在區(qū)間(0,+8)上，f'(x)<0.故f(x)得單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(。,+8).當(dāng)0<k<1時(shí)，由f'(x)=x("x+卜_)1=0，得x=0，x=-~->01+x 1 2k— 1-k, …一 一1-k.所以，在區(qū)間(-1,0)和(丁,+8)上，f'(x)>0；在區(qū)間(0,1一)上，kkf'(x)<0一 一1-k. 1-k.故f(x)得單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,0)和(丁,+8)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0,—).kkTOC\o"1-5"\h\z一 x2當(dāng)k=1時(shí)，f'(x)=--+x故f(x)得單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,+8).x(kx+k-1) 1-k當(dāng)k>1時(shí)，f(x)= =0，得x= G(-1,0)，x=0.1+x 1k 2,一1-k 1-k?所以沒(méi)在區(qū)間(-1,——)和(0,+8)上，f'(x)>0；在區(qū)間(—―,0)上，kkf'(x)<0…、 ,一1-k、… . 1-k?故f(x)得單調(diào)遞增區(qū)間是(-1, )和(0,+8)，單調(diào)遞減區(qū)間是( ，0)kk13.已知函數(shù)f(x)=xc-x(xgR)(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(11)已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，證明當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>g(x)(III)如果、wx2，且f(xj=f(x2)，證明x1+x2>2【解析】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查南師附中2011屆高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)課課練運(yùn)算能力及用函數(shù)思想分析解決問(wèn)題的能力，滿分14分（I）解：f,（X）=（1-X）e-x令f’（x）=0，解得x=1當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）,f（x）的變化情況如下表X(-8,1)1(1,+8)f'(x)+0 f(x)□極大值□所以￡6）在（-8,1）內(nèi)是增函數(shù)，在（1,+8）內(nèi)是減函數(shù)。1函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=-e(II)證明：由題意可知g(x)=f(2-x)，得g(x)=(2-x)ex-2令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=xe-x+(x—2)ex-2于是F'(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x當(dāng)x>1時(shí)，2x-2>0,從而e2x-2-1>0,又e-x>0,所以F’(x)>0,從而函數(shù)F(x)在[1,+8)是增函數(shù)。又F(1)=e-1-e-1=0,所以x>1時(shí)，有F(x)>F(1)=0，即f(x)>g(x).Ill)證明：(1)若(x1-1)(x2-1)=0,由(I)及f(xj=f(x2),則x]=x2=1.與x1^x2矛盾。(2)若(x1-1