計(jì)算機(jī)組成基礎(chǔ)3教程資料

計(jì)算機(jī)組成基礎(chǔ)

第二版

FundamentalsofComputerOrganization

孫德文章鳴嬛

2016年9月

面向CS2013專業(yè)規(guī)范教材2023/3/26上海交通大學(xué)2

第3章

數(shù)值的機(jī)器運(yùn)算

3教學(xué)建議

數(shù)值的機(jī)器運(yùn)算是運(yùn)算器的主要功能本章共分5節(jié)定點(diǎn)數(shù)加、減法運(yùn)算和加減法電路的實(shí)現(xiàn)定點(diǎn)數(shù)的乘、除法運(yùn)算和乘、除法電路的實(shí)現(xiàn)

邏輯運(yùn)算定點(diǎn)運(yùn)算器的基本結(jié)構(gòu)與工作原理浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算和浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算器的實(shí)現(xiàn)。本章的重點(diǎn)是定點(diǎn)數(shù)加、減法和乘、除法運(yùn)算與實(shí)現(xiàn)以及浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算和浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算器的實(shí)現(xiàn)，而難點(diǎn)是乘、除法運(yùn)算與實(shí)現(xiàn)。4教學(xué)建議在硬件電路方面要掌握：1）從半加器到算術(shù)邏輯部件ALU；2）行波進(jìn)位的補(bǔ)碼加法/減法器3）BCD碼（十進(jìn)制）加法器；4）先行進(jìn)位的并行加法器；5）定點(diǎn)運(yùn)算器的基本結(jié)構(gòu)；6）浮點(diǎn)運(yùn)算器的基本結(jié)構(gòu)。5第3章數(shù)值的機(jī)器運(yùn)算3.1定點(diǎn)數(shù)的加、減法運(yùn)算和加、減法電路的實(shí)現(xiàn)3.2定點(diǎn)數(shù)的乘、除法運(yùn)算和乘、除法電路的實(shí)現(xiàn)3.3

邏輯運(yùn)算3.4定點(diǎn)運(yùn)算器的基本結(jié)構(gòu)與工作原理3.5浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算和浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算器的實(shí)現(xiàn)3.1定點(diǎn)數(shù)的加、減法運(yùn)算

和加、減法電路的實(shí)現(xiàn)3.1.1定點(diǎn)數(shù)的加減運(yùn)算3.1.2從半加器到算術(shù)邏輯部件ALU73.1.1定點(diǎn)數(shù)的加減運(yùn)算二進(jìn)制的運(yùn)算規(guī)則為：0+0=0加法規(guī)則：0+1=1+0=11+1=10(1為向高位的進(jìn)位)0-0=0減法規(guī)則0-1=1（向高位借位1）1-0=1 1-1=00×0=0乘法規(guī)則：0×1=1×0=01×1=18補(bǔ)碼表示法由于補(bǔ)碼表示法使同一個(gè)電路既可以用于無(wú)符號(hào)數(shù)相加，又可用于有符號(hào)數(shù)相加；同時(shí)利用補(bǔ)碼運(yùn)算能使減法轉(zhuǎn)為加法，因此目前絕大多數(shù)計(jì)算機(jī)都采用補(bǔ)碼表示法來(lái)進(jìn)行加減運(yùn)算。91.補(bǔ)碼的加減運(yùn)算規(guī)則設(shè)：[X]補(bǔ)=Xs.X1X2···Xn-1Xn[Y]補(bǔ)=Ys.Y1Y2···Yn-1Yn為兩個(gè)n＋1位補(bǔ)碼表示的二進(jìn)制小數(shù)，Xs、Ys。為兩數(shù)的符號(hào)位，在補(bǔ)碼加減運(yùn)算中同數(shù)據(jù)位一起參與運(yùn)算

10補(bǔ)碼數(shù)的加減運(yùn)算規(guī)則為

[X+Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)[X-Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[-Y]補(bǔ)減法運(yùn)算可以通過(guò)加法運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)，只是在運(yùn)算之前，必須對(duì)[Y]補(bǔ)進(jìn)行一次求補(bǔ)運(yùn)算求得[-Y]補(bǔ)，即將減數(shù)的補(bǔ)碼表示［Y］補(bǔ)變成其負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼表示[-Y]補(bǔ)，其轉(zhuǎn)換過(guò)程為：將[Y]補(bǔ)的各位（包括符號(hào)位的代碼）按位取反加“1”。

112.加減運(yùn)算中溢出的判別兩個(gè)定點(diǎn)數(shù)經(jīng)過(guò)加減運(yùn)算后，其結(jié)果（和數(shù)或差數(shù)）超過(guò)了定點(diǎn)數(shù)的表示范圍，就會(huì)發(fā)生溢出，從而導(dǎo)至運(yùn)算結(jié)果出錯(cuò)，因此在加減運(yùn)算后必須判別是否發(fā)生溢出。判別溢出的常用方法有三種12⑴符號(hào)比較法兩個(gè)同符號(hào)數(shù)相加，若和數(shù)符號(hào)與原數(shù)符號(hào)不同，則表示發(fā)生溢出；而兩個(gè)異符號(hào)數(shù)相減，若差數(shù)符號(hào)與減數(shù)符號(hào)相同，則亦表示發(fā)生溢出。而兩異符號(hào)數(shù)相加或兩同符號(hào)數(shù)相減是不會(huì)發(fā)生溢出的?？傻靡绯鰳?biāo)志V=(X＋Y)s＋XsYsYs（X－Y）s＋Xs13例3-1例3-1：X=-1310，Y=-1110

求X+Y（取5位二進(jìn)制，含1位符號(hào)位）[X]補(bǔ)=10011，[Y]補(bǔ)=10101[X+Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=10011+10101=101000=01000(符號(hào)位前的“1‘自動(dòng)丟棄)。X+Y=+8本例中，“和數(shù)”的符號(hào)位（“0”）與原數(shù)的符號(hào)位（“1”）相異，發(fā)生溢出。14例3-2例3-2：

X=+1010，Y=-710

求X-Y（取5位二進(jìn)制，含1位符號(hào)位）[X]補(bǔ)=01010，[Y]補(bǔ)=11001，[-Y]補(bǔ)=00111[X-Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[-Y]補(bǔ)=01010+00111=10001X-Y=-15本例中，“差數(shù)”的符號(hào)位（“1”）與“減數(shù)”的符號(hào)位（“1”）相同，發(fā)生溢出。例3-3例3-3X=-1310，Y=+510

求X+Y[X]原=11101，[Y]原=00101，[X]補(bǔ)=10011，[Y]補(bǔ)=00101，[X+Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=10011+00101=11000[X+Y]原=11000X+Y=-8本例中，兩異符號(hào)數(shù)相加不會(huì)發(fā)生溢出。15例3-4例3-4X=+1010

，Y=+910

求X-Y[X]補(bǔ)=01010，[Y]補(bǔ)=01001，[-Y]補(bǔ)=10111[X-Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[-Y]補(bǔ)=01010+10111=00001X-Y=+1本例中，兩同符號(hào)數(shù)相減是不會(huì)發(fā)生溢出的。采用這種判別法必須保留加法運(yùn)算中“加數(shù)”和減法運(yùn)算中“減數(shù)”的符號(hào)，這是可以實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)樵诩臃ㄟ\(yùn)算中“加數(shù)”及“減數(shù)”一般是保持不變。1617⑵雙進(jìn)位法加減運(yùn)算后“和數(shù)”及“差數(shù)”中的符號(hào)位的進(jìn)位輸入Cin(即數(shù)值位的最高位向符號(hào)位的進(jìn)位)與進(jìn)位輸出Cout（即符號(hào)位在運(yùn)算中向高一位的進(jìn)位）相異，則有溢出，表示為：溢出標(biāo)志V=Cin⊕Cout

雙進(jìn)位法以上述4例說(shuō)明之：例3-1運(yùn)算過(guò)程中Cin=0,Cout=1，V=Cin⊕Cout=1,溢出例3-2運(yùn)算過(guò)程中Cin=1，Cout=0，V=Cin⊕Cout=1,溢出。例3-3運(yùn)算過(guò)程中Cin=0,Cout=0，

V=Cin⊕Cout=0,無(wú)溢出例3-4運(yùn)算過(guò)程中Cin=1，Cout=1，V=Cin⊕Cout=0,無(wú)溢出。1819⑶雙符號(hào)位法對(duì)參加運(yùn)算的數(shù)在運(yùn)算過(guò)程中采用兩個(gè)符號(hào)位，若運(yùn)算結(jié)果“和數(shù)”或“差數(shù)”的兩個(gè)符號(hào)位不相同，表示結(jié)果有溢出，而運(yùn)算最后結(jié)果仍取一個(gè)符號(hào)位。結(jié)果的雙符號(hào)位為00或11表示結(jié)果無(wú)溢出。例3-5例3-5X=-1310，Y=-1110

求X+Y（取6位二進(jìn)制，含2位符號(hào)位）[X]補(bǔ)=10011，[Y]補(bǔ)=10101[X+Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=110011+110101=101000=01000X+Y=+8兩個(gè)符號(hào)位為10，相異，有溢出。20例3-6例3-6X=+1010，Y=-710

求X-Y（取6位二進(jìn)制，含2位符號(hào)位）[X]補(bǔ)=01010，[Y]補(bǔ)=11001，[-Y]補(bǔ)

=00111[X-Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[-Y]補(bǔ)=001010+000111=010001=10001X-Y=-15兩個(gè)符號(hào)位為01，相異，有溢出。21例3-7例3-7X=-1310，Y=+510

求X+Y（取6位二進(jìn)制，含2位符號(hào)位）[X]原=111101，[Y]原=000101，[X]補(bǔ)=110011，[Y]補(bǔ)=000101，[X+Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=110011+000101=111000[X+Y]原=11000X+Y=-8兩個(gè)符號(hào)位為11，相同，無(wú)溢出22例3-8例3-8X=+1010

，Y=+910

求X-Y[X]補(bǔ)=001010，[Y]補(bǔ)=001001，[-Y]補(bǔ)=110111[X-Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[-Y]補(bǔ)=001010+110111=1000001=000001X-Y=+1兩個(gè)符號(hào)位為=00，相同，無(wú)溢出。2324雙符號(hào)位法結(jié)果的雙符號(hào)位為10，表示兩個(gè)負(fù)數(shù)之和小于計(jì)算機(jī)所能表示的最小負(fù)數(shù)，稱為“下溢”（“10”也表示負(fù)數(shù)被正數(shù)相減后所得結(jié)果小于計(jì)算機(jī)所能表示的最小負(fù)數(shù)）；

結(jié)果的雙符號(hào)位為01，表示正數(shù)被負(fù)數(shù)相減后所得結(jié)果大于計(jì)算機(jī)所能表示的最大正數(shù)，稱為“上溢”（“01”也表示兩個(gè)正數(shù)之和大于計(jì)算機(jī)所能表示的最大的正數(shù)）。

253.1.2從半加器到算術(shù)邏輯部件ALU算術(shù)邏輯部件ALU（ArithmeticLogicUnit）是運(yùn)算器的核心，用來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)加工和處理所必需的各種整型數(shù)據(jù)和邏輯型數(shù)據(jù)的算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算功能。算術(shù)運(yùn)算包括加、減、乘、除運(yùn)算，但不論是那種運(yùn)算都離不開(kāi)加法運(yùn)算，因此加法器是ALU中最基本的部件。261.半加器二進(jìn)制加法法則是：

0+0=00+1=11+0=11+1=0（進(jìn)位為1）對(duì)2個(gè)1位的2進(jìn)制數(shù)Xi與Yi的加法運(yùn)算，其輸出與輸入關(guān)系可用下列真值表表示，見(jiàn)表3-1。27表3-1

28半加器據(jù)此真值表可知，和數(shù)Si同被加數(shù)Xi、加數(shù)Yi的關(guān)系可用一個(gè)異或門表示，而向高位的進(jìn)位值Ci同Xi、Yi的關(guān)系可用一個(gè)與門表示，因此可畫出相應(yīng)的邏輯電路如圖3-1所示。這種只考慮被加數(shù)和加數(shù)，不考慮低位向本位的進(jìn)位值的加法器稱為半加器。在多位2進(jìn)制數(shù)進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，最低位的加法就可采用半加器電路。

29圖3-1

302.全加器如果考慮低位向本位的進(jìn)位Ci-1，則2個(gè)1位二進(jìn)制數(shù)Xi與Yi的加法運(yùn)算，其輸出與輸入的關(guān)系可用表3-2所示的真值表表示。這種考慮低位向本位的進(jìn)位值的加法器稱為全加器，在多位2進(jìn)制數(shù)進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，除最低位外，其余各位都必須采用全加器電路。

31全加器真值表32全加器從表3-2可見(jiàn)

33全加器的邏輯電路由此可畫出全加器的邏輯電路如圖3-2所示34全加器的邏輯電路

353.并行加法器1）串行進(jìn)位的并行加法器圖3-3為n位并行加法器，由n個(gè)全加器串接構(gòu)成，進(jìn)行兩個(gè)n位數(shù)的相加，n位數(shù)據(jù)的各位同時(shí)運(yùn)算，每一級(jí)的進(jìn)位輸入直接依賴前一級(jí)的進(jìn)位輸出，進(jìn)位信號(hào)逐級(jí)形成的。這種加法器稱為“串行進(jìn)位的并行加法器”?；蚍Q“行波進(jìn)位加法器”。36串行進(jìn)位的并行加法器37串行進(jìn)位的并行加法器

38總延遲時(shí)間上述串行進(jìn)位的n位并行加法器的總延遲時(shí)間較長(zhǎng)且與字長(zhǎng)成正比，設(shè)一級(jí)“與門”、“或門”的延遲時(shí)間為t，每一級(jí)全加器的進(jìn)位延遲時(shí)間為2t（即從Ci-1→Ci經(jīng)過(guò)2個(gè)基本門電路），在n位并行加法器中從C0→Cn的總延遲時(shí)間為2nt。為提高加法器的速度，要求減少進(jìn)位延遲時(shí)間，為此引入快速進(jìn)位的問(wèn)題。392)先行進(jìn)位的并行加法器為了減少進(jìn)位延遲時(shí)間引入了“先行進(jìn)位”的概念，其特點(diǎn)是n級(jí)加法器各級(jí)進(jìn)位信號(hào)同時(shí)形成，故又稱為“并行進(jìn)位”或“同時(shí)進(jìn)位”。40“進(jìn)位生成函數(shù)”Gi進(jìn)位表達(dá)式Ci=XiYi+（Xi⊕Yi）Ci-1，向高位的進(jìn)位由兩部分組成，Xi、Yi取決于本位參于運(yùn)算的兩個(gè)數(shù)，而與Ci-1（低位進(jìn)位）無(wú)關(guān)。將Xi、Yi用“進(jìn)位生成函數(shù)”Gi表示，這是本位運(yùn)算產(chǎn)生的進(jìn)位，即Xi與Yi同時(shí)為1必然產(chǎn)生向高一位的進(jìn)位；41“進(jìn)位傳送函數(shù)”Pi而（Xi⊕Yi）Ci-1表示這一部分進(jìn)位值不僅與本位參于運(yùn)算的兩個(gè)數(shù)有關(guān)，還同低位送來(lái)的進(jìn)位值Ci-1有關(guān)，當(dāng)Ci-1為“1”時(shí)，必需（Xi⊕Yi）=1，才能產(chǎn)生向高位的進(jìn)位?？蓪i表達(dá)式中（Xi⊕Yi）用“進(jìn)位傳送函數(shù)”Pi表示，則42先行進(jìn)位的并行加法器由此，n級(jí)并行加法器中各級(jí)的進(jìn)位信號(hào)表達(dá)式為43先行進(jìn)位的并行加法器以Gi及Pi表達(dá)式代入得：44先行進(jìn)位的并行加法器從上述的進(jìn)位信號(hào)表示式可見(jiàn)：第i位的進(jìn)位Ci僅由G1G2…Gi，P1P2…Pi以及最低進(jìn)位輸入C0決定，而與C1～Ci-1無(wú)關(guān)，因此各級(jí)進(jìn)位輸出可以同時(shí)產(chǎn)生。若不計(jì)Pi、Gi的形成時(shí)間，從C0→Ci的延遲時(shí)間為2t。注意此時(shí)的n位并行加法器中Cn的邏輯表達(dá)式為：Cn=Gn+PnGn-1+PnPn-1Gn-2+PnPn-1Pn-2Gn-3+…+PnPn-1…P2P1+PnPn-1…P2P1C0

n位并行加法器中Cn的形成電路采用上述邏輯表達(dá)式組成。圖3-4為4位先行進(jìn)位并行加法器的并行進(jìn)位鏈電路圖，稱為4位先行進(jìn)位電路CLA(CarryLookAhead)。45圖3-44位先行進(jìn)位并行加法器的并行進(jìn)位鏈46圖3-44位先行進(jìn)位并行加法器的并行進(jìn)位鏈

47圖3-54位CLA加法器電路將4位先行進(jìn)位電路CLA同4位求和電路（包含進(jìn)位生成/進(jìn)位傳送電路）結(jié)合可得到4位CLA加法器如圖3-5所示4816位單級(jí)先行進(jìn)位加法器用4個(gè)4位CLA加法器電路可構(gòu)成16位單級(jí)先行進(jìn)位加法器，如3-6所示。494.加減法部件ASU行波進(jìn)位的補(bǔ)碼加法/減法器（加減法部件ASU）利用補(bǔ)碼加減法公式

[X+Y]補(bǔ)

=[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)

[X–Y]補(bǔ)=[X－Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[－Y]補(bǔ)50加減法部件ASU用補(bǔ)碼加法可實(shí)現(xiàn)兩數(shù)相減的操作，即用一套加法器電路可以完成[X+Y]補(bǔ)和[X-Y]補(bǔ)，在進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)Y用原值，在實(shí)現(xiàn)減法運(yùn)算時(shí)，對(duì)-Y求一次補(bǔ)，即得到[-Y]補(bǔ)，然后同[X]補(bǔ)作加法操作。具體操作中求補(bǔ)操作通過(guò)在輸入端加—個(gè)反相操作，加1操作可在最低位上置進(jìn)位輸入為1來(lái)實(shí)現(xiàn)。具體線路如圖3-7所示51圖3-7n位加法/減法器ASU

52n位加法/減法器ASU圖中加數(shù)Yi經(jīng)過(guò)一個(gè)異或門送全加器FA，由方式控制信號(hào)M控制加減操作。當(dāng)M=0時(shí)Yn-1＇…Y0＇=Yn-1…Y0，n個(gè)全加器將X、Y兩個(gè)n位二進(jìn)制數(shù)X、Y進(jìn)行加法運(yùn)算；當(dāng)M=1時(shí)Yn-1＇…Y0＇取反加1變?yōu)?Y的補(bǔ)碼，同［X］補(bǔ)進(jìn)行加法運(yùn)算。535.BCD碼（十進(jìn)制）加法器計(jì)算機(jī)除能進(jìn)行二進(jìn)制數(shù)據(jù)的運(yùn)算外還能進(jìn)行十進(jìn)制數(shù)據(jù)的運(yùn)算，十進(jìn)制數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)中一般采用BCD碼（Binarycodeddecimal）的形式，即二進(jìn)制編碼的十進(jìn)制數(shù)，用4位二進(jìn)制數(shù)0000～1001表示1位十進(jìn)制數(shù)0～9。BCD碼加法器的邏輯框圖如圖3-8所示。54

圖3-8BCD碼（十進(jìn)制）加法器

55BCD碼（十進(jìn)制）加法器BCD碼加法器由2部分電路組成，一為FA3、FA2、FA1和FA0組成的4位2進(jìn)制加法器。二為FA3＇、FA2＇和FA1＇以及一個(gè)或門，2個(gè)與門組成的修正電路。56BCD碼（十進(jìn)制）加法器BCD碼加法同二進(jìn)制加法的區(qū)別在于：用4位二進(jìn)制加法器進(jìn)行BCD碼加法運(yùn)算時(shí)，當(dāng)兩數(shù)之和小于等于9時(shí)結(jié)果是正確的，而當(dāng)兩數(shù)之和大于9時(shí)，必須進(jìn)行修正，具體的修正方法是當(dāng)X+Y+Cin≤9，S=S‘，當(dāng)X+Y+Cin＞9時(shí)S=S＇+6。57BCD碼（十進(jìn)制）加法器由圖3-8可見(jiàn)，當(dāng)C3＇=1或S3＇S2＇=11或S3＇S1＇=11時(shí)，修正電路中FA2＇和FA1＇輸入1，即：S3S2S1S0=S3＇S2＇S1＇S0＇+0110得到加6修正。586.算術(shù)邏輯部件ALU算術(shù)邏輯部件ALU除了完成加、減法等算術(shù)運(yùn)算外，還必須具有邏輯運(yùn)算功能，可采用如圖3-9所示的電路實(shí)現(xiàn)多功能算術(shù)/邏輯部件。圖3-9算術(shù)邏輯部件ALU5960算術(shù)邏輯部件ALU圖中選擇器A是一種二選一電路，由控制信號(hào)M控制，選擇器B是一種八選一電路，由三位控制信號(hào)S2S1S0控制。其中點(diǎn)劃線框內(nèi)即一位加法/減法電路ASU與圖3-7（b）的框圖相似，其中非門和選擇器A與異或門的作用相同。ASU可實(shí)現(xiàn)補(bǔ)碼的加法和減法操作，已如前述，增加的7個(gè)門電路分別實(shí)現(xiàn)等7種常用的邏輯操作，由3位控制信號(hào)S2S1S0來(lái)控制輸出信號(hào)Z來(lái)自哪種運(yùn)算的結(jié)果?？傻肁LU算術(shù)邏輯運(yùn)算功能如表3-3所示。61表3-3算術(shù)邏輯部件ALU

62

表3-10n位行波進(jìn)位的ALU電路

637.

4位二進(jìn)制算術(shù)邏輯部件74181647.

4位二進(jìn)制算術(shù)邏輯部件74181654位二進(jìn)制算術(shù)邏輯部件74181M端為控制端，用來(lái)控制ALU的運(yùn)算方式—算術(shù)運(yùn)算還是邏輯運(yùn)算。M=0時(shí)，經(jīng)反相后為1，對(duì)進(jìn)位信號(hào)無(wú)影響。輸出結(jié)果Fi不僅與本位操作數(shù)Xi、Yi有關(guān)，而且與向本位的進(jìn)位值Ci-1有關(guān)，因此：當(dāng)M=0時(shí)，ALU進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算。M=1時(shí)，經(jīng)反相后為0，封鎖了各位的進(jìn)位輸出，即Ci=0，各位運(yùn)算結(jié)果Fi僅與本位操作數(shù)Xi、Yi有關(guān)，因此當(dāng)M=1時(shí)，ALU進(jìn)行邏輯運(yùn)算。輸出端“A=B”可指示兩個(gè)操作數(shù)是否相等。P、G為兩個(gè)本組先行進(jìn)位輸出端，P為進(jìn)位傳送函數(shù)，G為進(jìn)位生成函數(shù)，其含義見(jiàn)3.1.13。

66表3-4 74181ALU運(yùn)算功能表

67表3-4 74181ALU運(yùn)算功能表從表3-4可見(jiàn)，工作方式選擇信號(hào)為S3S2S1S0，有16種狀態(tài)組合，M為算術(shù)操作和邏輯選擇信號(hào)，當(dāng)M=L為算術(shù)操作，M=H為邏輯操作。B3～B0與A3～A0為兩個(gè)4位的操作數(shù)，F(xiàn)3～F0為4位的目的操作數(shù)，Cn為低位向本位進(jìn)位輸入，Cn+4為本位向高位的進(jìn)位輸出。表中算術(shù)運(yùn)算是用補(bǔ)碼表示法表示，“加”是指“算術(shù)加”，運(yùn)算時(shí)要考慮進(jìn)位，“+”是指“邏輯加”，減法是用補(bǔ)碼方法進(jìn)行，數(shù)的反碼是器件內(nèi)部產(chǎn)生的，輸出結(jié)果“A減B減1”，在進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)需在最末位產(chǎn)生一個(gè)進(jìn)位（加1），以產(chǎn)生“A減B”的結(jié)果。注意：上述表中所描述的正邏輯操作方式的一組算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算與負(fù)邏輯操作數(shù)方式的一組算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算是等效的。該器件把邏輯輸入信號(hào)都反相所產(chǎn)生的功能，亦在此集合中。683.2定點(diǎn)數(shù)的乘、除法運(yùn)算和

乘、除法電路的實(shí)現(xiàn)數(shù)制3.2.1定點(diǎn)數(shù)的乘法運(yùn)算和乘法電路的實(shí)現(xiàn)3.2.2定點(diǎn)數(shù)的除法運(yùn)算和除法電路的實(shí)現(xiàn)693.2.1定點(diǎn)數(shù)的乘法運(yùn)算和乘法電路的實(shí)現(xiàn)1.原碼乘法原碼表示對(duì)乘法運(yùn)算比較方便，原碼表示的兩數(shù)相乘，乘積的符號(hào)位為相乘兩數(shù)符號(hào)位的按位加之和，數(shù)值部分為兩數(shù)絕對(duì)值之積。原碼乘法實(shí)際上是兩個(gè)正數(shù)相乘的方法。這里“按位加”就是不考慮進(jìn)位的加法，即“異或”運(yùn)算，記作+，所以原碼乘法的表達(dá)式為；70原碼乘法設(shè)被乘數(shù)為X、乘數(shù)為Y。用原碼表示為：被乘數(shù)[X]原

=Xs.X1X2···Xn-1Xn乘數(shù)[Y]原=Ys.Y1Y2···Yn-1Yn71原碼乘法原碼一位乘法用兩個(gè)操作數(shù)（被乘數(shù)和乘數(shù)）的絕對(duì)值相乘，乘積的符號(hào)位是兩個(gè)操作數(shù)符號(hào)位的異或值。在計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)乘法運(yùn)算的方法是移位和相加，所謂“一位乘法”運(yùn)算是根據(jù)乘數(shù)Y的每一位Yi(i=1,2，…,n-1,n,從低位Yn到高位Y1)的取值是“0”還是“1”來(lái)決定對(duì)上次部分積作什么運(yùn)算，若Yi為“1”，則在部分積上加被乘數(shù)；若為“0”，則加上“0”。每次獲得新的部分積后，右移一位，直到乘數(shù)Y的最高位Y1。兩個(gè)n位數(shù)相乘，只需要（n+1）位全加器，運(yùn)算結(jié)果最多為2n位。72原碼乘法同手算乘法相仿，計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)乘法操作也是將乘數(shù)的每一位自低位至髙位分別與被乘數(shù)相乘求得部分積，然后將全部部分積相加，求得最終結(jié)果——乘積值。但必須注意的是每次部分積相加時(shí)，新產(chǎn)生的部分積必須左移一位再與原部分積之和相加。因此，n位乘法操作可轉(zhuǎn)化為n次“累加與移位”。計(jì)算機(jī)在進(jìn)行乘法操作時(shí)是用原部分積之和的“右移”來(lái)替代欲相加的新部分積的“左移”，可節(jié)省參予操作的元器件。原碼一位乘法運(yùn)算規(guī)則及過(guò)程如下：73原碼乘法（1）取被乘數(shù)X和乘數(shù)Y的絕對(duì)值｜X｜=0.X1X2···Xn-1Xn｜Y｜=0.Y1Y2···Yn-1YnN位部分積的初值為全“0”；（2）以乘數(shù)Y的最低位Yn作為判斷位。若Yn=1，原部分積之和＋被乘數(shù)得新部分積之和；

Yn=0，原部分積之和＋0（即不加）得新部分積之和；（3）新部分積之和同乘數(shù)｜Y｜一起右移一位；（4）依次檢查Yn-1、Yn-2···Y1，重復(fù)上二步操作，最終得乘積Z=X×Y的絕對(duì)值；（5）符號(hào)位Zs=Xs+Ys

得ZsZ1Z2···Z2n-1Z2n

即X×Y74例3-9原碼乘法例3-9設(shè)[X]原=0.1011，[Y]原=0.1101,求[X]原×[Y]原

=[Z]原按乘法規(guī)則，符號(hào)位Zs=Xs⊕Ys=0⊕0=0；絕對(duì)值相乘如下75例3-9得：[Z]原=0.10001111

7677例3-10原碼乘法例3-10設(shè)[X]原=1.1010，[Y]原=1.1111,求[X]原×[Y]原

=[Z]原按乘法規(guī)則，符號(hào)位Zs=Xs⊕Ys=1+1=0；絕對(duì)值相乘如下78例3-10得：[Z]原=0.100101107980例3-11原碼乘法例3-11設(shè)[X]原=0.0101，[Y]原=1.1010,求[X]原×[Y]原

=[Z]原按乘法規(guī)則，符號(hào)位Zs=Xs⊕Ys=0⊕1=1；絕對(duì)值相乘如下81例3-11得：[Z]原=1.0011001082832.原碼一位乘法運(yùn)算器框圖原碼一位乘法運(yùn)算實(shí)現(xiàn)的原理框圖如圖3-13所示。8485乘法運(yùn)算器框圖這是一個(gè)5位二進(jìn)制數(shù)X=(＋/－)0.X1X2X3X4

與Y=（＋/－）0.Y1Y2Y3Y4采用原碼一位乘法運(yùn)算的原理框圖，圖中，被乘數(shù)[X]原=Xs.X1X2X3X4

乘數(shù)[Y]原=Ys.Y1Y2Y3Y4C寄存器為4位寄存器存放部分積，初值為0；B寄存器為4位寄存器存放乘數(shù)Y的絕對(duì)值｜Y｜； A寄存器為4位寄存器存放被乘數(shù)X的絕對(duì)值｜X｜；C_B組成8位寄存器，用來(lái)存放每次求得的部分積之和，并可實(shí)現(xiàn)右移，最后結(jié)果——8位乘積值即存于此。86乘法運(yùn)算器框圖D為2選1的選擇器CSR為右移控制信號(hào)（脈沖信號(hào)），每發(fā)一脈沖信號(hào)，控制有關(guān)寄存器C_B右移一次，移出位（bs）信號(hào)值

——1或0控制選擇器D的輸出：bs=1時(shí)，選擇器D輸出被乘數(shù)X的絕對(duì)值｜X｜到ALU，與部分積相加后輸出，形成新的部分積送寄存器C同寄存器B一起右移決定下一次操作；bs=0時(shí)，選擇器D輸出0到ALU，與部分積相加后輸出（即僅輸出上次的部分積），形成新的部分積送寄存器C同寄存器B一起右移決定下一次操作；87乘法運(yùn)算器框圖計(jì)數(shù)器CR為減法計(jì)數(shù)，初始值為操作數(shù)中數(shù)值位的位數(shù)，用來(lái)控制操作中部分積的右移次數(shù)，當(dāng)CR為0時(shí)結(jié)束操作。P為（2n＋1）位寄存器，用來(lái)存放最終結(jié)果，2n位存放乘積的數(shù)值，最高位Ps為符號(hào)位，由異或門輸出Xs+Ys生成。

883.補(bǔ)碼乘法由于目前絕大多數(shù)計(jì)算機(jī)都采用補(bǔ)碼表示法來(lái)進(jìn)行加減運(yùn)算。因此在采用補(bǔ)碼加誠(chéng)運(yùn)算的計(jì)算機(jī)中也常采用補(bǔ)碼乘法。在補(bǔ)碼乘法中被乘數(shù)為X和乘數(shù)為Y釆用補(bǔ)碼表示——[X]補(bǔ)和[Y]補(bǔ)，運(yùn)算結(jié)果Z也用補(bǔ)碼表示——[Z]補(bǔ)，運(yùn)算時(shí)符號(hào)位Xs和Ys參與運(yùn)算。89補(bǔ)碼乘法被乘數(shù)X=（＋/－）Xs.X1X2···Xn-1Xn乘數(shù)Y=（＋/－）Ys.Y1Y2···Yn-1Yn按原碼規(guī)則運(yùn)算：1,當(dāng)乘數(shù)Y＞0（即Y為正數(shù)，Ys=0），將按原碼乘法運(yùn)算，但按補(bǔ)碼規(guī)則移位；2,當(dāng)乘數(shù)Y＜0（即Y為負(fù)數(shù)，Ys=1），先去掉[Y]補(bǔ)中的Ys，再按原碼乘法運(yùn)算，3,最后的部分積與[－X]補(bǔ)相加，得最后結(jié)果[Z]補(bǔ)。90補(bǔ)碼乘法補(bǔ)碼一位乘法的表達(dá)式為：[Z]補(bǔ)=[X×Y]補(bǔ)

=[X]補(bǔ)×[0.Y1Y2···Yn]＋[－X]補(bǔ)×Ys當(dāng)Ys=0，[Z]補(bǔ)=[X]補(bǔ)×[0.Y1Y2···Yn]Ys=1，[Z]補(bǔ)=[X]補(bǔ)×[0.Y1Y2···Yn]＋[－X]補(bǔ)即在乘數(shù)X為負(fù)數(shù)時(shí)，用＋[－X]補(bǔ)進(jìn)行校正。上述補(bǔ)碼乘法中，當(dāng)乘數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，必須在最終部分積和上再加[－X]補(bǔ)進(jìn)行校正，控制較復(fù)雜，據(jù)此引出Booth乘法。91補(bǔ)碼乘法由前式[Z]補(bǔ)=[X×Y]補(bǔ)

=[X]補(bǔ)×[0.Y1Y2···Yn]＋[－X]補(bǔ)×Ys=[X]補(bǔ)×[2-1Y1

＋2-2Y2＋···＋2-nYn]＋[－X]補(bǔ)×Ys=[X]補(bǔ)×[2-1Y1

＋2-2Y2＋···＋2-nYn]＋｛-[X]補(bǔ)｝×Ys=[X]補(bǔ)×[-Ys＋2-1Y1

＋2-2Y2＋2-3Y3···＋2-nYn]=[X]補(bǔ)×[-Ys＋（Y1－2-1Y1）＋（2-1Y2

－2-2Y2）＋（2-2Y3

－2-3Y3）＋···＋(2-(n-1）Yn－2-nYn)]=[X]補(bǔ)×[-Ys＋（Y1－2-1Y1）＋（2-1Y2

－2-2Y2）＋（2-2Y3

－2-3Y3）＋···＋(2-(n-1）Yn－2-nYn)＋0]=[X]補(bǔ)×[（Y1-Ys）＋（Y2－Y1）2-1

＋（Y3

－Y2）2-2＋···＋(Yn－Yn-1)2-(n-1)＋(0－Yn)2-n]=[X]補(bǔ)×[（Y1-Ys）＋（Y2－Y1）2-1

＋（Y3

－Y2）2-2＋···＋(Yn－Yn-1)2-(n-1)＋(Yn+1－Yn)2-n]92補(bǔ)碼乘法式中Yn+1為加在乘數(shù)最低位Yn右邊的“附加位”，初值為0，不影響運(yùn)算結(jié)果。據(jù)此可得如下遞推公式[Z0]補(bǔ)=0[Z1]補(bǔ)=2-1｛[Z0]補(bǔ)＋（Yn+1－Yn）[X]補(bǔ)｝[Z2]補(bǔ)=2-1｛[Z1]補(bǔ)＋（Yn－Yn-1）[X]補(bǔ)｝[Z3]補(bǔ)=2-1｛[Z2]補(bǔ)＋（Yn-1－Yn-2）[X]補(bǔ)｝···[Zn]補(bǔ)=2-1｛[Zn-1]補(bǔ)＋（Y2－Y1）[X]補(bǔ)｝93補(bǔ)碼乘法

[Z0]補(bǔ)=0，為初始積部分[Z1]補(bǔ)～[Zn]補(bǔ)為每次求得的累加值右移后的部分積。[Zn]補(bǔ)第一次求得的累加值右移后之值，由（Yn+1－Yn）之值決定是否在累加后的原部分積上加[X]補(bǔ)（被乘數(shù)的補(bǔ)碼）。94補(bǔ)碼一位乘法補(bǔ)碼一位乘法——Booth算法的運(yùn)算規(guī)則為：1,參加運(yùn)算被乘數(shù)和乘數(shù)都釆用補(bǔ)碼表示，符號(hào)位參加運(yùn)算；2,乘數(shù)最低位Yn后加一位附加位Yn+1，初值為0；3,求得每次部分積和后必須與乘數(shù)一起右移一位，由乘數(shù)的最低二位Yn+1Yn的值決定下一次執(zhí)行的操作——累加與右移（按補(bǔ)碼右移規(guī)則移位），具體規(guī)則如下：YnYn+1=00原部分積＋0，并右移一位YnYn+1=01原部分積＋[X]補(bǔ)，并右移一位YnYn+1=10原部分積＋[－X]補(bǔ)，并右移一位YnYn+1=11原部分積＋0，并右移一位4,操作次數(shù)，累加n＋1次，移位n次（最后一次不移位）5,被乘數(shù)和部分積采用雙符號(hào)位，乘數(shù)采用單符號(hào)位。95例3-12X=－0.11010，Y=－0.01110用Booth法求X×Y解[X]補(bǔ)=11.00110,[Y]補(bǔ)=11.10010,[－X]補(bǔ)=00.110109600.000001.100100

加‘0’＋000.00000_______________________=00.0000000.000000110010

加[－X]補(bǔ)＋[－X]補(bǔ)00.11010______________________=00.1101000.011010011001

加[X]補(bǔ)＋[X]補(bǔ)11.00110_______________________=11.1001111.110011001100

加‘0’

＋000.00000________________________=11.1100111.111001100110

加[－X]補(bǔ)＋[－X]補(bǔ)00.11010________________________=00.1011000.010110110011

加‘0’

＋000.00000________________________=00.01011

[X]補(bǔ)×[Y]補(bǔ)=00.0101101100

X×Y=＋0.0101101100

9798例3-13例3-13：X=21/32=＋0.10101，Y=－26/32=—0.11010用Booth法求X×Y解[X]補(bǔ)=00.10101,[Y]補(bǔ)=11.00110,[－X]補(bǔ)=11.01011991004.補(bǔ)碼一位乘法運(yùn)算器框圖補(bǔ)碼一位乘法運(yùn)算實(shí)現(xiàn)的原理框圖如圖3-14所示101102補(bǔ)碼一位乘法運(yùn)算器框圖這是一個(gè)n位二進(jìn)制數(shù)X=(＋/－)0.Xs.X1X2···Xn-1Xn

與Y=（＋/－）0.[Y]補(bǔ)=Ys.Y1Y2···Yn-1Yn采用補(bǔ)碼一位乘法（Booth乘法）運(yùn)算的原理框圖，圖中，被乘數(shù)[X]補(bǔ)=Xs.X1X2···Xn-1Xn乘數(shù)[Y]補(bǔ)=Ys.Y1Y2···Yn-1Yn被乘數(shù)和部分積采用雙符號(hào)位，乘數(shù)采用單符號(hào)位。C寄存噐為n＋2位寄存器存放部分積，初值為0；A寄存噐為n＋2位寄存器存放被乘數(shù)X的補(bǔ)碼[X]補(bǔ)、NEG為求補(bǔ)器，輸入被乘數(shù)X的補(bǔ)碼[X]補(bǔ)，輸出[－X]補(bǔ)103補(bǔ)碼一位乘法運(yùn)算器框圖B寄存器為n+2位寄存器存放乘數(shù)Y的補(bǔ)碼[Y]補(bǔ)，最低位Y0為乘數(shù)的附加位初值置“0”，由Y1Y0的取值決定累加時(shí)的數(shù)值：YnYn+1作為選擇器D

的控制信號(hào)，選揮器的輸出送加法器。YnYn+1=00或11,原部分積＋0；YnYn+1=01,原部分積＋[X]補(bǔ)；YnYn+1=10,原部分積＋[－X]補(bǔ)

104補(bǔ)碼一位乘法運(yùn)算器框圖C_B組成2n＋4位寄存器，用來(lái)存放每次求得的部分積之和，并可實(shí)現(xiàn)右移，最后結(jié)果——2n＋2位乘積值即存于此?！剖且粋€(gè)（n＋2）位加法器CSR為右移控制信號(hào)（脈沖信號(hào)），每發(fā)一脈沖信號(hào)，控制有關(guān)寄存器C_B右移一次，最后2位控制選擇器D的輸出：計(jì)數(shù)器CR為減法計(jì)數(shù)，初始值為操作數(shù)中數(shù)值位的位數(shù)n，用來(lái)控制操作中部分積的右移次數(shù)，當(dāng)CR為0時(shí)結(jié)束操作。P為（2n＋2）位寄存器，用來(lái)存放最終結(jié)果，2n位存放乘積的數(shù)值，最高兩位為符號(hào)位（雙符號(hào)位）。1053.2.2定點(diǎn)數(shù)的除法運(yùn)算和除法電路的實(shí)現(xiàn)參加運(yùn)算的兩個(gè)數(shù)以原碼表示，取兩數(shù)的絕對(duì)值相除，商的符號(hào)由兩數(shù)的符號(hào)位按位相加求得。在計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)除法運(yùn)算的方法是移位相減，而減法又可用補(bǔ)碼相加來(lái)完成。因此其基本操作也是移位和加法。原碼除法常用“恢復(fù)余數(shù)法”和“加減交替法”。1061.原碼除法——恢復(fù)余數(shù)法

在除法過(guò)程中采用被除數(shù)（或余數(shù)）減去除數(shù)的方法，相減前先觀察是否夠減，夠減時(shí)，上“商”為1，然后作減法；如果不夠減，上“商”為0，并不作減法。被除數(shù)（或余數(shù)）左移一位（即乘2），進(jìn)行下一位的求商運(yùn)算。這是手算過(guò)程。而在計(jì)算機(jī)中是先作減法，由余數(shù)的符號(hào)來(lái)判別是否夠減，如果余數(shù)為正，說(shuō)明夠減，應(yīng)上商為1，如果余數(shù)為負(fù)，應(yīng)上商為0，由于已作了相減運(yùn)算，需將除數(shù)加回以恢復(fù)余數(shù)。因?yàn)槊看吻笠晃簧?，余?shù)左移一位，所以最后所得的余數(shù)應(yīng)右移n位（對(duì)n位數(shù)相除而言）即×2-n107例3-14例3-14設(shè)[X]原

=0.1101，[Y]原=0.1111，用原碼恢復(fù)余數(shù)法求：[X]原/[Y]原按除法規(guī)則，符號(hào)位Zs=Xs⊕Ys=0絕對(duì)值相除如下：（[-Y]補(bǔ)=11.0001雙符號(hào)位）108109例3-14結(jié)果商為Z=0.1101，余數(shù)R=0.1101×2－4原碼除法——恢復(fù)余數(shù)法這種方法的缺點(diǎn)是，上商為0時(shí)，因?yàn)橐謴?fù)余數(shù)，其運(yùn)算步數(shù)要比上商為1的多1步，由于商值不能預(yù)先確定，究竟有幾位是上商為0這是個(gè)未知數(shù)，因此除法過(guò)程中所需運(yùn)算步數(shù)也不能預(yù)先決定，使硬件控制設(shè)備復(fù)雜化。1101112.原碼除法——加減交替法這種方法的原理是：如果上商到i位時(shí)，所得余數(shù)為ri,那么應(yīng)有ri=2ri-1+(-Y),如果ri＜0，應(yīng)上商為0，同時(shí)恢復(fù)余數(shù)，即ri加上Y。然后左移一位，再作減Y運(yùn)算得ri-1，再由ri-1=2(ri+Y)+(-Y)=2ri+Y，即當(dāng)余數(shù)ri為負(fù)時(shí)(＜0，商位上0，余數(shù)左移一次（即乘2）加上除數(shù)即得新的余數(shù)ri-1；如果ri＞0，商位上1，余數(shù)左移一次，減去除數(shù)，即得新的余數(shù)ri-1，稱為加減交替法，其規(guī)則為：余數(shù)ri為正，商上1，余數(shù)左移一位減除數(shù)；余數(shù)ri為負(fù)，商上0，余數(shù)左移一位加除數(shù)。112例3-15例3-15X=＋0.1101，Y=＋0.1111｜X｜=00.1101，｜Y｜=00.1111用原碼加減交替法求：[X]原/[Y]原按除法規(guī)則，符號(hào)位Zs=Xs⊕Ys=0[｜Y｜]變補(bǔ)=11.0001絕對(duì)值相除如下：113114115例3-16例3-16X=＋0.1000，Y=－0.1010｜X｜=00.1000，｜Y｜=00.1010用原碼加減交替法求：[X]原/[Y]原按除法規(guī)則，符號(hào)位Zs=Xs⊕Ys=1－｜Y｜=[｜Y｜]變補(bǔ)=11.0110絕對(duì)值相除如下：116例3-16結(jié)果商為[Z]原=1.1100，余數(shù)R=0.1000×2－4

Z=－0.1100,余數(shù)R=0.1000×2－4

1171183.原碼加減交替法除法運(yùn)算器原碼加減交替法除法運(yùn)算器框圖如圖3-15所示119120n位原碼加減交替法除法運(yùn)算器的原理框圖主要由二個(gè)n＋2位寄存器A、B、一個(gè)n+1位寄存器C、一個(gè)n＋2位加法器D

、兩個(gè)二選一的選擇器E和F

、一個(gè)n+2位求補(bǔ)器NEG、一個(gè)n+2位緩沖噐BUF以及減法計(jì)數(shù)器CR組成。n＋2位寄存器A中存放被除數(shù)X（雙符號(hào)位Xs’Xs），在運(yùn)算過(guò)程中存放部分余數(shù)，n＋2位寄存器B中存放除數(shù)Y（雙符號(hào)位Ys’Ys），第1次｜X｜－｜Y｜，若余數(shù)為正（Xs=0），Qi上‘1’，A-C

左移后，下一次｜X｜－｜Y｜（｜X｜＋[｜Y｜]變補(bǔ)）若余數(shù)為負(fù)（Xs=1），Qi上‘0’，A-C

左移后，下一次｜X｜＋｜Y｜用來(lái)n+1位寄存器C存放商初值為00000，在運(yùn)算過(guò)程中最低位保存每次求得的商Q。，該位商作為下次操作是做加法或減法的控制位，Q=0，做加法，Q=1，做減法。121設(shè)n=4，寄存器

A=Xs’XsX1X2X3X4,寄存噐B=Ys’YsY1Y2Y3Y4,寄存噐C=00000寄存器A-C級(jí)聯(lián)在左移控制信號(hào)CSL作用下可實(shí)現(xiàn)左移，減法計(jì)數(shù)器CRi初值置n+1，每左移一次并＋｜Y｜/－｜Y｜后，CR－1，當(dāng)CR=0時(shí)運(yùn)算結(jié)束。若最后一次一部分積為負(fù)，商上（0）最后一次＋｜Y｜。1224.補(bǔ)碼除法——補(bǔ)碼加減交替法采用補(bǔ)碼加減交替法的除法操作過(guò)程如下：被除數(shù)、除數(shù)用雙符號(hào)位補(bǔ)碼表示，商與余數(shù)也用補(bǔ)碼表示。除法是被除數(shù)（或部分余數(shù)）減除數(shù)，這里涉及夠減與不夠減的概念：當(dāng)被除數(shù)（或部分余數(shù)）的絕對(duì)值大于等于除數(shù)的絕對(duì)值，表示夠減；當(dāng)被除數(shù)（或部分余數(shù)）的絕對(duì)值小于除數(shù)的絕對(duì)值，表示不夠減。當(dāng)兩數(shù)同號(hào)時(shí)，做減法，兩數(shù)異號(hào)時(shí)，做加法。當(dāng)被除數(shù)（或部分余數(shù)）與除數(shù)同號(hào)時(shí)，如果得到的新部分余數(shù)與除數(shù)同號(hào)，表示夠減，否則表示不夠減；當(dāng)被除數(shù)（或部分余數(shù)）與除數(shù)異號(hào)時(shí)，如果得到的新部分余數(shù)與除數(shù)異號(hào)，表示夠減，否則表示不夠減；123除法操作和上商的規(guī)則除法操作和上商的規(guī)則為：1.[X]補(bǔ)和[Y]補(bǔ)同號(hào)：[X]補(bǔ)－[Y]補(bǔ),若余數(shù)[Ri]補(bǔ)與[Y]補(bǔ)同號(hào)商上“1”,下次操作為[Ri＋1]補(bǔ)=2[Ri]補(bǔ)－[Y]補(bǔ)余數(shù)[Ri]補(bǔ)與[Y]補(bǔ)異號(hào)商上“0”,下次操作為[Ri＋1]補(bǔ)=2[Ri]補(bǔ)＋[Y]補(bǔ)2.[X]補(bǔ)和[Y]補(bǔ)異號(hào)：[X]補(bǔ)＋[Y]補(bǔ),若余數(shù)[Ri]補(bǔ)與[Y]補(bǔ)同號(hào)商上“1”,下次操作為[Ri＋1]補(bǔ)=2[Ri]補(bǔ)－[Y]補(bǔ)余數(shù)[Ri]補(bǔ)與[Y]補(bǔ)異號(hào)商上“0”,下次操作為[Ri＋1]補(bǔ)=2[Ri]補(bǔ)＋[Y]補(bǔ)3.商符在求商時(shí)自動(dòng)生成——即第一次得出的商。4.末位恒置“1”。124例3-17例3-17X=＋0.1000，Y=－0.1101用補(bǔ)碼加減交替法求：[X]補(bǔ)/[Y]補(bǔ)[X]補(bǔ)=00.1000，[Y]補(bǔ)=11.0011[－Y]補(bǔ)=00.1101125例3-17結(jié)果商為[Z]原=1.0111，余數(shù)R=0.1011×2－4

Z=－0.1001,余數(shù)R=0.1011×2－4

1261273.3

邏輯運(yùn)算3.3.1“與”、“或”和“非”運(yùn)算3.3.2“異或”運(yùn)算128邏輯運(yùn)算電子計(jì)算機(jī)能夠進(jìn)行各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題的運(yùn)算，能夠控制各種生產(chǎn)過(guò)程的運(yùn)行，能夠處理許多繁瑣的情報(bào)資料等等，也就是它能替代人的部分腦力勞動(dòng)，其關(guān)鍵在于它具有邏輯判斷能力。

129邏輯運(yùn)算用F表示電燈是“亮”還是“滅”這一命題，F(xiàn)=“1”表示燈“亮”，F(xiàn)=“0”表示燈“滅”，這里的“0”與“1”就有了新的含義——邏輯含義，它表示一種命題的兩種相應(yīng)的結(jié)果。如果“1”表示“肯定”，則“0”就表示“否定”。兩值判據(jù)在計(jì)算機(jī)中是很容易實(shí)現(xiàn)的，可以用電平的“高”“低”，信號(hào)的“有”“無(wú)”，晶體管的“通”“斷”來(lái)表示邏輯命題的兩種相反結(jié)果“0”和“1”。1303.3.1.“與”、“或”和“非”運(yùn)算有3種最基本的邏輯運(yùn)算，即“與”邏輯、“或”邏輯和“非”邏輯。1．邏輯“與”有一電燈F同開(kāi)關(guān)A、B及電池串接如圖3-16所示，規(guī)定A、B為“1”表示開(kāi)關(guān)閉合，A、B為“0”表示開(kāi)關(guān)“斷開(kāi)”；F為“1”表示燈“亮”，為“0”表示燈“滅”。當(dāng)A和B取不同值（“0”、“1”）的組合時(shí)，F(xiàn)的求值（“0”、“1”）如表3-5所示，該表稱為邏輯關(guān)系的“真值表”。131邏輯“與”

132邏輯“與”當(dāng)A與B同時(shí)為“1”時(shí)，F(xiàn)才為“1”，F(xiàn)和A、B之間的關(guān)系就稱為“與”邏輯關(guān)系，“邏輯與”又稱為“邏輯乘”，其邏輯表達(dá)式為：F=A×B=A·B=A∧B式中“×”“·”和“∧”為邏輯與的符號(hào)，A、B稱為邏輯變量，F(xiàn)稱為邏輯函數(shù)，注意A、B、F在邏輯運(yùn)算中只有“0”和“1”兩種取值。1332.邏輯“或”有一電燈F同兩個(gè)并聯(lián)開(kāi)關(guān)A、B相串聯(lián)，如圖3-17所示，A、B、F的取值約定同“與”邏輯，同樣可以列出真值表，見(jiàn)表3—6。由真值表可見(jiàn)，當(dāng)A或B為“1”時(shí)（或同時(shí)為“1”時(shí)）F為“1”。F和A與B之間的這種關(guān)系為“或”邏輯關(guān)系，“邏輯或”又稱“邏輯加”，其邏輯表達(dá)式為F=A+B=A∨B。式中“+”和“∨”為邏輯或的符號(hào)。134邏輯“或”1353．邏輯“非”一個(gè)單刀雙擲開(kāi)關(guān)同A、B兩個(gè)燈泡連接如圖3—18所示，A、B的取值為“1”表示燈“亮”，為“0”表示燈“滅”。同樣可列出其真值表，見(jiàn)表1—5，由表可見(jiàn)，A為“0”，B為“1”，A為“1”，B為“0”，A與B是相反相成的關(guān)系，稱為“邏輯非”關(guān)系，又稱為“邏輯反”，其邏輯表達(dá)式為：136邏輯“非”1373.3.2.“異或”運(yùn)算除上述三種基本的邏輯運(yùn)算外，在計(jì)算機(jī)中還常用另一種邏輯運(yùn)算——異或運(yùn)算。有一邏輯函數(shù)F=f（A，B），其真值表如表3—8所示。由真值表可知，只有當(dāng)A=‘0’，B=“1”（即A、B相異）或A=“1”、B=“0”時(shí)，F(xiàn)才為“1”，F(xiàn)同A、B間的這種關(guān)系稱為“異或”關(guān)系，其邏輯表達(dá)式：138“異或”運(yùn)算“異或”運(yùn)算執(zhí)行的是兩個(gè)邏輯變量之間“不相等”的邏輯測(cè)試，又稱為“按位加”。 139“1”和“0”在電子計(jì)算機(jī)中，上述幾種基本邏輯運(yùn)算是由邏輯門電路來(lái)實(shí)現(xiàn)的，在邏輯門電路中，用電位“高”、“低”來(lái)表示“1”和“0”，例如在正邏輯中，高電平表示“1”，低電平表示“0”。140圖3-19常見(jiàn)的邏輯門的符號(hào)表示

141圖3-9基本門電路的真值表1423.4定點(diǎn)運(yùn)算器的基本結(jié)構(gòu)與工作原理定點(diǎn)運(yùn)算器中一般由ALU部件、寄存器、多路選擇器、移位器和數(shù)據(jù)通路等組成，一個(gè)典型的定點(diǎn)運(yùn)算器結(jié)構(gòu)如圖3-20所示。143圖3-20定點(diǎn)運(yùn)算器結(jié)構(gòu)

1443.4.1移位電路在定點(diǎn)運(yùn)算中移位操作是不可缺少的，除一般的左移、右移操作外，乘法與除法運(yùn)算中，移位操作也是不可或缺的。為此在定點(diǎn)運(yùn)算器中必然包含有移位電路。圖3-21為一個(gè)具有直通，左移一位，右移一位的移位電路原理圖。145圖3-21移位電路

146移位電路該移位電路是由三個(gè)三選一的選擇器組成的，三選一電路的工作過(guò)程是：以中間選擇器為例，輸入信號(hào)為b，輸出信號(hào)為a。當(dāng)S1S0=00是，a2=b3右移；S1S0=01時(shí)，a2=b2直通；S1S0=10時(shí)，a2=b1左移。據(jù)此，在圖3-14所示的移位電路中，選擇信號(hào)S1S0用來(lái)控制移位功能。當(dāng)S1S0=00時(shí)a3a2a1=b4b3b2，三位代碼右移1次；S1S0=01時(shí)a3a2a1=b3b2b1，三位代碼直通傳送；S1S0=10時(shí)a3a2a1=b2b1b0，三位代碼左移一次。在上述移位電路的基礎(chǔ)上，增加選擇信號(hào)S以增加移2位，移4位和移8位等功能，構(gòu)成桶形移位器。1473.4.2定點(diǎn)運(yùn)算的主要組成：圖3-20所示的定點(diǎn)運(yùn)算器由如下幾部分組成。148定點(diǎn)運(yùn)算器1.寄存器組由若干個(gè)通用寄存器組成，為一個(gè)輸入端口和二個(gè)輸出端口的結(jié)構(gòu)，輸出分別送A寄存器和B寄存器，可以通過(guò)寄存器號(hào)來(lái)選擇輸入寄存器，以及輸出寄存器。2.A寄存器、B寄存器和Q寄存器A寄存器，B寄存器接收來(lái)自寄存器組的數(shù)據(jù)，作為ALU二個(gè)運(yùn)算數(shù)據(jù)的來(lái)源之一；B寄存器的數(shù)據(jù)也可直接送到選擇電路3。Q寄存器，接收來(lái)自移位電路1的數(shù)據(jù)，其輸出可反饋到其移位電路1的輸入端（左、右移輸入端）。實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的左移1位或右移1位的操作。Q寄存器輸出通過(guò)三選一電路1送入ALU的輸入端。Q寄存器在進(jìn)行乘除法運(yùn)算時(shí)可用作乘數(shù)及商寄存器。149定點(diǎn)運(yùn)算器3.ALU為多功能算術(shù)邏輯運(yùn)算部件參加運(yùn)算的二個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)自：①選擇電路1——三選一電路，輸入來(lái)自Q寄存器、A寄存器和B寄存器；②選擇電路2—二選一電路，輸入來(lái)自B寄存器和外部輸入。ALU輸出端送選擇電路3——二選一電路，可以選擇ALU輸出或B寄存器輸出。4.移位電路1和移位電路2：可進(jìn)行左移1位，右移1位以及直通操作，移位數(shù)據(jù)可以來(lái)自ALU輸出（移位電路1，還可對(duì)Q寄存器反饋回來(lái)的信息進(jìn)行左移或右移1位的操作）。ALU的加減操作和移位操作可以在同一操作步驟中完成。1503.5浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算和浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算器的實(shí)現(xiàn)3.5.1二進(jìn)制數(shù)的浮點(diǎn)運(yùn)算3.5.2浮點(diǎn)運(yùn)算器的基本結(jié)構(gòu)1513.5.1二進(jìn)制數(shù)的浮點(diǎn)運(yùn)算1.浮點(diǎn)數(shù)的加減法運(yùn)算：兩浮點(diǎn)數(shù)X、Y，分別為：X=MX·2Ex

（注：式中把（－1）S包含在M中，當(dāng)S=0時(shí)，M為正數(shù)；S=1時(shí)，M為負(fù)數(shù)）Y=MY·2Ey

浮點(diǎn)數(shù)加減法運(yùn)算規(guī)則為：

X±Y=MX·2Ex±MY·2Ey=（MX·2Ex-Ey±MY）2Ey，EY≥EX浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算的步驟如下：152浮點(diǎn)數(shù)的加減法運(yùn)算兩浮點(diǎn)數(shù)X、Y，分別為：（注：式中把（－1）S包含在M中，當(dāng)S=0時(shí)，M為正數(shù)；S=1時(shí)，M為負(fù)數(shù)）

153浮點(diǎn)數(shù)的加減法運(yùn)算浮點(diǎn)數(shù)加減法運(yùn)算規(guī)則為：154浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算的步驟如下：1.對(duì)階：首先檢查兩數(shù)的小數(shù)點(diǎn)位置是否對(duì)齊，即兩數(shù)階碼是否相等，只有兩數(shù)的階碼相同，才能進(jìn)行尾數(shù)的加減運(yùn)算。若兩數(shù)的階碼不同必須進(jìn)行對(duì)階，即將原來(lái)階碼小的尾數(shù)部分右移，并相應(yīng)增加其階碼，以使浮點(diǎn)數(shù)值不變，尾數(shù)右移1次，階碼加1，對(duì)階時(shí)，先求階碼差155浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算的步驟△E=EX

－EY。若△E=0.表示兩浮點(diǎn)數(shù)階碼相同；△E＞0，表示EX＞EY，將MY右移，EY增量直到EY=EX；△E＜0，表示EX＜EY，將MX右移，EX增量直到EX=EY?？傊?，對(duì)階是階碼小的向階碼大的對(duì)齊。156浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算的步驟尾數(shù)右移時(shí)注意二個(gè)問(wèn)題：(1)右移時(shí)當(dāng)末位為有效值“1”時(shí)，“1”的移出實(shí)際上降低了浮點(diǎn)數(shù)的精度；(2)對(duì)補(bǔ)碼形成的尾數(shù)，正數(shù)時(shí)高位補(bǔ)“0”，負(fù)數(shù)時(shí)高位補(bǔ)“1”。2.尾數(shù)運(yùn)算對(duì)階后，對(duì)階碼相同的兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)實(shí)現(xiàn)尾數(shù)的加減運(yùn)算。若尾數(shù)為補(bǔ)碼表示，則進(jìn)行補(bǔ)碼的加減運(yùn)算。157浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算的步驟3.運(yùn)算結(jié)果規(guī)格化若尾數(shù)運(yùn)算后的結(jié)果不符合規(guī)格化要求，必須對(duì)結(jié)果進(jìn)行規(guī)格化處理。兩種規(guī)格化：(1)向左規(guī)格化（左規(guī)）——運(yùn)算結(jié)果尾數(shù)如0.001…，則將結(jié)果左移2次，階碼減2；(2)向右規(guī)格化（右規(guī)）——若采用雙符號(hào)位補(bǔ)碼表示尾數(shù)，則當(dāng)運(yùn)算結(jié)果尾數(shù)為01.×××…×或10.×××…×，表示尾數(shù)絕對(duì)值大于1，必須將結(jié)果右移以實(shí)現(xiàn)規(guī)格化。尾數(shù)右移1次，階碼加1。158浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算的步驟4.舍入處理在運(yùn)算過(guò)程中，對(duì)階和向右規(guī)格化，尾數(shù)必須向右移，被右移尾數(shù)的低位數(shù)據(jù)會(huì)被丟棄，造成一定的誤差，必須進(jìn)行舍入處理——即按照規(guī)則調(diào)整剩余部分。159浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算的步驟常用的舍入方法有：(1)截去法（chopping）——移去多余位，剩下位不變。其最大誤差為最低位上的“1”。(2)0舍1入法——若右移舍去的最高位為0，則舍去移出位，末位不變；若右移舍去的最高位為1，則尾數(shù)的末位加“1”。其最大誤差為最低位的-1/2到+1/2之間。(3)恒置1法——在截去多余位時(shí)，將剩下數(shù)據(jù)的最低位置“1”。其最大誤差為最低位的-1到+1之間。三種舍入法中，一般采用“0舍1入”法，其正負(fù)誤差可抵消，誤差小。160浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算的步驟5.溢出處理在浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算中會(huì)發(fā)生4種溢出：(1)尾數(shù)上溢——兩個(gè)同符號(hào)數(shù)相加產(chǎn)生了最高位向符號(hào)位的進(jìn)位，可將尾數(shù)右移，階碼加1來(lái)調(diào)整；(2)尾數(shù)下溢——尾數(shù)右移時(shí)，最低有效位從右端丟失，要進(jìn)行舍入處理；(3)階碼上溢——運(yùn)算結(jié)果的階碼值超過(guò)了階碼可能表示的最大值的正指數(shù)值，一般認(rèn)為是+∞～－∞；(4)階碼下溢—運(yùn)算結(jié)果的階碼值超過(guò)了階碼可能表示的最小值的負(fù)指數(shù)值，一般將其認(rèn)為“0”。161溢出處理浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算結(jié)果的判斷是檢查階碼是否溢出，階碼下溢則置運(yùn)算結(jié)果為浮點(diǎn)數(shù)形式的“機(jī)器零”；階碼上溢，置溢出標(biāo)志，由CPU的異常處理機(jī)制進(jìn)行處理。162例3-18例3-18已知兩浮點(diǎn)數(shù)X=－0.101000×2-101，Y=+0.111011×2-100設(shè)：階碼5位（含2位階符），尾數(shù)8位（含2位尾符）求：X－Y，要求階碼、尾數(shù)都用補(bǔ)碼表示。解：按要求

[X]浮=11.011，11.011000[Y]浮=11.100，00.111011163例3-18①對(duì)階

[△E]補(bǔ)=[EX]補(bǔ)－[EY]補(bǔ)=[EX]補(bǔ)+[－EY]補(bǔ)=11.011+00.100=11.111 △E=－1，EX＜EY，X的尾數(shù)右移一位，EX+1 [MX]補(bǔ)=11.101100 [EX]補(bǔ)=11.100 [X]=11.100，11.101100164例3-18②尾數(shù)相減

[MX]補(bǔ)－[MY]補(bǔ)=[MX]補(bǔ)+[－MY]補(bǔ)

=11.101100+11.000101 =10.110001 [X－Y]浮=11，100；10.110001165例3-18③規(guī)格化 右規(guī)后得[X－Y]補(bǔ)=11.101，11.0110001 [MX－Y]=10.110001需要右規(guī)，階碼加1④舍入處理 一般采用“0舍1入法”，右規(guī)時(shí)末位丟棄1，則

11.011000末位加“1”得11.011001

則[X－Y]浮=11.101，11.011001166例3-18⑤判溢出 舍入處理后階符為“11”說(shuō)明無(wú)溢出 則X－Y=—0.100111×2—011167例3-19例3-19已知X=0.11011011×2010,Y=-0.10101100×2100設(shè)：階碼5位（含2位階符），尾數(shù)10位（含2位尾符）求：X+Y（要求階碼，尾數(shù)都用補(bǔ)碼表示）。

[X]浮

=00，010，00.11011011 [Y]浮

=00，100，11.01010100168例3-19①對(duì)階[△E]補(bǔ)=[EX]補(bǔ)－[EY]補(bǔ)=[EX]補(bǔ)+[-EY]補(bǔ)=00，010+11，100=11，110△E=-2EX＜EYMX后移2位，EX加2得[X]浮

=00，100，00.00110110（11）（11）表示尾數(shù)MX右移2位移出之值。169例3-19②尾數(shù)相加[MX]補(bǔ)+[MY]補(bǔ)=00.00110110(11)+11.01010100=11.10001010(11)③規(guī)格化尾數(shù)為11.10…應(yīng)左規(guī)，尾數(shù)左移1次階碼減1。[MX+MY]補(bǔ)=11.00010101(10)[EX+Y]補(bǔ)=00，011170例3-19④舍入處理采用“0舍1入法”，右規(guī)時(shí)丟棄1個(gè)“1”，則11.00010101末位加“1”得11.00010110則[X－Y]浮

=00，011，11.00010110⑤判溢出舍入處理后，階符為‘00’說(shuō)明無(wú)溢出。則X-Y=-0.11101010×2011

應(yīng)為[X+Y]浮

應(yīng)為X+Y=-0.11101010×2011

1712.浮點(diǎn)數(shù)的乘除法運(yùn)算浮點(diǎn)數(shù)乘法運(yùn)算，其乘積的階碼為相乘兩數(shù)的階碼之和，其乘積的尾數(shù)為兩相乘數(shù)尾數(shù)之積。浮點(diǎn)數(shù)除法運(yùn)算，商的階碼為被除數(shù)的階碼減去除數(shù)的階碼，其尾數(shù)為被除數(shù)的尾數(shù)除以除數(shù)的尾數(shù)所得之商。172浮點(diǎn)數(shù)的乘除法運(yùn)算兩浮點(diǎn)數(shù)X、Y分別為MX=MX·2ExY=MY·2Ey乘法運(yùn)算時(shí)X·Y=（MX·MY）·2Ex+Ey=Mx·y·2Exy173浮點(diǎn)數(shù)的乘除法運(yùn)算除法運(yùn)算時(shí)

X/Y=MX/MY.·2Ex-Ey=Mx/y·2Ex/y即Mx·y=Mx·MyMx/y=Mx/MyEx·y=Ex+EyEx/y=Ex-Ey174浮點(diǎn)數(shù)的乘除法運(yùn)算1.階碼運(yùn)算(1)補(bǔ)碼表示：乘積的階碼[Exy]補(bǔ)

=[Ex]補(bǔ)

+[Ey]補(bǔ)商的階碼[Ex/y]補(bǔ)=[Ex]補(bǔ)-[Ey]補(bǔ)溢出判別——同號(hào)的階碼相加或異號(hào)的階碼相減可能產(chǎn)生溢出，應(yīng)作溢出判斷。175浮點(diǎn)數(shù)的乘除法運(yùn)算(2)移碼表示：按移碼定義：[Ex]移

=2n+Ex，-2n≤Ex＜2n[Ey]移

=2n+Ey，-2n≤Ey＜2n得：[Ex]移

+[Ey]移

=2n+Ex+2n+Ey=2n+[2n+（Ex+Ey）]=2n+[Ex+Ey]移176浮點(diǎn)數(shù)的乘除法運(yùn)算即直接用移碼求階碼和時(shí)，其最高位多加一個(gè)2n，則要得到移碼形式的結(jié)果，必須減去2n。對(duì)應(yīng)于同一真值的移碼和補(bǔ)碼數(shù)值部分完全相同，符號(hào)位正好相反，則：[EY]補(bǔ)=2n+1+Ey，（mod2n+1）因此，求階碼和的公式為：[