復(fù)合材料結(jié)構(gòu)及其力學(xué)

復(fù)合材料結(jié)構(gòu)及其力學(xué)第1頁/共63頁主要內(nèi)容1-2：復(fù)合材料發(fā)展和應(yīng)用3-4：基礎(chǔ)知識，組分及復(fù)合材料的力學(xué)行為5-6：簡單層板宏觀力學(xué)性能-1（各向異性材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，正交各向異性材料的工程常數(shù)；正交各向異性材料平面應(yīng)力問題的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系）7-8：簡單層板的宏觀力學(xué)性能-2（簡單層板在任意方向上的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，正交各向異性簡單層板的不變量性質(zhì)）第2頁/共63頁主要內(nèi)容9-10：簡單層板的宏觀力學(xué)性能-3（正交各向異性簡單層板的強度問題及二向強度理論）11-12：簡單層板的微觀力學(xué)性能-1（剛度的材料力學(xué)分析方法）13-14：簡單層板的微觀力學(xué)性能-2（剛度的彈性力學(xué)分析方法）15-16：簡單層板的微觀力學(xué)性能-3（強度的材料力學(xué)分析方法）第3頁/共63頁主要內(nèi)容17-18：層合板的宏觀力學(xué)性能-1（經(jīng)典層合理論、層合板剛度的特殊情況）19-20：層合板的宏觀力學(xué)性能-2（層合板剛度的理論和實驗的比較、層合板強度）21-22：層合板的宏觀力學(xué)性能-3（層間應(yīng)力、層合板剛度的不變量及其在設(shè)計中的應(yīng)用）23-24：層合板的彎曲、振動與屈曲行為分析第4頁/共63頁本節(jié)內(nèi)容簡單層板的宏觀力學(xué)性能簡單層板的微觀力學(xué)性能簡單層板的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系簡單層板的強度問題剛度的彈性力學(xué)分析方法剛度的材料力學(xué)分析方法強度的材料力學(xué)分析方法簡單層板的力學(xué)性能第5頁/共63頁本節(jié)內(nèi)容經(jīng)典層合理論層合板的強度問題層合板的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系剛度的特殊情況層間應(yīng)力強度分析方法層合板設(shè)計層合板的宏觀力學(xué)性能層合板彎曲振動與屈曲第6頁/共63頁層合平板的彎曲、屈曲與振動層合平板是復(fù)合材料層合板最簡單和最廣泛使用的一種形式學(xué)習(xí)的目的是分析各種耦合剛度（Bij、A16、A26、D16、D26）對層合平板彎曲、屈曲和振動性能的影響，這是纖維增強復(fù)合材料力學(xué)課程的主要部分，不包括層合板理論的全部研究內(nèi)容，而是研究層合平板的某些很重要結(jié)果，用以評價剛度的物理意義從層合平板的基本理論—列出層合平板的彎曲、屈曲和振動的基本微分方程和邊界條件以及可能的解法—特定例子的性能（特殊材料的簡支矩形板）第7頁/共63頁層合平板的彎曲、屈曲與振動層合平板的尺寸作用于層合平板的力和力矩第8頁/共63頁彎曲、屈曲與振動的基本方程基本限制和假設(shè)限制是理論應(yīng)用的限定，是明顯的滿足或不滿足，什么理論適用于什么問題假設(shè)是對理論不精確性的限定（一些我們不清楚或者可以忽略的）限制和假設(shè)的區(qū)別在于限制只涉及已知量，而假設(shè)包含了未知量（我們要推測的未知量）第9頁/共63頁彎曲、屈曲與振動的基本方程基本限制薄板（t<1/5aorb）、小變形（w<1/4t）,無面內(nèi)張力每層單層板是正交各向異性的，但材料主方向不一定與層合板坐標(biāo)軸一致，材料是線彈性的，且每一層及層合板是等厚度的板的厚度與其長度和寬度相比很小，即為薄板不考慮體積力第10頁/共63頁彎曲、屈曲與振動的基本方程基本假設(shè)：與層合板理論依據(jù)的假設(shè)相同，對于薄層合板有下列基本假設(shè)：作用在xy平面（板平面）內(nèi)的應(yīng)力支配板的性能，假設(shè)z、xz、yz為零，即近似為平面應(yīng)力狀態(tài)，只考慮x、y、xy

。忽略橫向剪應(yīng)變xz、yz,Kirchhoff假設(shè)（直法線），橫向剪應(yīng)變近似為零，即固有的中面法線不變形。這與z=0矛盾，但通常忽略不計，x、y、xy以及u，v是z的線性函數(shù)位移u，v和w與板厚相比較很小，應(yīng)變x、y、xy與1相比很小（小撓度理論），且略去轉(zhuǎn)動慣量第11頁/共63頁如果忽略了橫向剪應(yīng)變或假設(shè)為零，那么根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，整個板的橫向剪應(yīng)力也為零；另一方面，即使是對橫向剪應(yīng)變不做假設(shè)，我們知道如果沒有剪切載荷，在板的上下表面的橫向剪應(yīng)力為零，在經(jīng)典層合理論中，通常把橫向剪應(yīng)變視為零，橫向剪應(yīng)力由平衡方程來計算根據(jù)克?；舴蚣僭O(shè)，留下x、y、xy以及u，v是z的線性函數(shù)，此外，應(yīng)力也是相應(yīng)橫坐標(biāo)z的線性不連續(xù)函數(shù)由于放寬了薄板的限制，平面應(yīng)力假設(shè)z、xz、yz與面內(nèi)應(yīng)力相比很小，引起起的變形可以忽略不計，但在維持應(yīng)力平衡是必需的，不能忽略彎曲、屈曲與振動的基本方程第12頁/共63頁層合平板的彎曲作用于層合平板的力和力矩彎曲問題是指在橫向載荷q（x，y）作用下求解層合板的撓度、變形和應(yīng)力第13頁/共63頁層合平板的彎曲層合板厚度方向的合力與合力矩第14頁/共63頁層合平板的彎曲從層合板中取一微元（dx，dy，t），其上作用合力和合力矩第15頁/共63頁層合平板的彎曲平衡方程為繞y軸力矩平衡繞x軸力矩平衡第16頁/共63頁層合平板的彎曲第17頁/共63頁層合平板的彎曲得到用u0、v0、w表示的平衡方程，為書寫簡單，將的下標(biāo)0略去，用“，”表示對下標(biāo)的微分，可得三個方程，三個未知數(shù)u，v，w第18頁/共63頁層合平板的彎曲引進算子含有Bij，反映拉伸-彎曲耦合效應(yīng)第19頁/共63頁層合平板的彎曲平衡方程可以簡化成第20頁/共63頁層合平板的彎曲當(dāng)層合板對稱于中面時，Bij=0，第三個方程只包含w項，與第一、二方程獨立第21頁/共63頁層合平板的彎曲u,v與w的方程相互獨立，可分別求解第22頁/共63頁層合平板的彎曲-撓度方程對稱情況下，與均勻各向異性板的方程一致，只是計算Dij時不同如果是正交各向異性層合板，D16=D26=0與均勻正交各向異性板的方程一致，如果是各層均為各向同性材料，但每層不一定相同，D16=D26=0，D11=D22=D12+2D66=D，平衡方程與各向同性板完全一樣第23頁/共63頁層合平板的彎曲-撓度方程非對稱層合板的一般情況，需要聯(lián)合求解平面問題和彎曲問題。相應(yīng)地，在邊界條件中也要同時規(guī)定平面邊界條件和彎曲邊界條件，對于四階微分方程，每邊需要有4個邊界條件簡支邊界條件（用S表示）第24頁/共63頁層合平板的彎曲-撓度方程非對稱層合板的一般情況，需要聯(lián)合求解平面問題和彎曲問題。相應(yīng)地，在邊界條件中也要同時規(guī)定平面邊界條件和彎曲邊界條件，對于四階微分方程，每邊需要有4個邊界條件固支邊界條件（用c表示）第25頁/共63頁層合平板的彎曲-撓度方程考慮一四邊簡支并承受分布橫向載荷q(x,y)作用的矩形層合板可用雙三角級數(shù)解，將橫向載荷q(x,y)展開為第26頁/共63頁層合平板的彎曲-撓度方程一般來說m,n為任意正整數(shù)，qmn可由下式求出對于均布載荷q（x，y）=q0第27頁/共63頁特殊正交各向異性層合板板的撓度w只由一平衡微分方程描述簡支邊界條件：滿足簡支邊界條件假設(shè)第28頁/共63頁特殊正交各向異性層合板對于均布載荷

精確解第29頁/共63頁對稱角鋪設(shè)層合板假設(shè)邊界條件為不為零由于D16、D26的存在，撓度w的表達式不能用雙三角級數(shù)展開，否則w，xxxy和w，xyyy將出現(xiàn)正弦和余弦奇次函數(shù)，變量不能分離，此外撓度展開式也不滿足邊界條件，因此可以用近似解法——瑞利-里茨法（Rayleigh-Ritz）第30頁/共63頁對稱角鋪設(shè)層合板

應(yīng)變能外力所做的功為層合板總勢能為第31頁/共63頁對稱角鋪設(shè)層合板仍選取表達式它滿足位移邊界條件，即但仍不滿足力的邊界條件，即這時可用最小勢能原理，將w的表達式代入總勢能表達式，由最小勢能原理可知第32頁/共63頁對稱角鋪設(shè)層合板如果選取m=1，2，3…,7，n=1，2，3，…7,則由上式可得到49個線形代數(shù)方程，可解得49個未知量amn對于受均布載荷q0正方形板（a=b），當(dāng)?shù)玫綄雍习宓淖畲髶隙葹榫_解第33頁/共63頁對稱角鋪設(shè)層合板如果忽略D16和D26，即把對稱角鋪設(shè)近似地作為即為特殊正交各向異性層合板，則最大撓度為精確解比較以上結(jié)果可知，忽略彎曲、扭轉(zhuǎn)耦合剛度后誤差約為28%,所以不允許采用特殊正交各向異性層合板作為對稱角鋪設(shè)層合板的近似第34頁/共63頁反對稱正交鋪設(shè)層合板反對稱正交鋪層合板拉伸：A11=A22，A12，A66耦合：B11，B22=-B11彎曲：D11=D22，D12，D66平衡方程第35頁/共63頁反對稱正交鋪設(shè)層合板S2簡支條件選取位移滿足邊界條件，可得精確解第36頁/共63頁反對稱角鋪設(shè)層合板不同層數(shù)反對稱碳/環(huán)氧正交層合板的撓度無限多層相當(dāng)于忽略了拉伸-彎曲耦合的特殊正交層合板對2層，如果忽略影響很大，3倍隨層數(shù)增加，拉彎耦合對撓度影響衰減很快，與長寬比無關(guān)層數(shù)>6，可忽略耦合影響第37頁/共63頁對稱角鋪設(shè)層合板A16=A26=D16=D26=0拉彎耦合剛度B16、B26耦合影響類似第38頁/共63頁層合板的屈曲屈曲：失穩(wěn)，特殊的失效狀態(tài)，變形嚴(yán)重而失去使用功能，結(jié)構(gòu)行為平板的屈曲是當(dāng)平面內(nèi)載荷（壓縮、剪切）達到一定大時，以致初始平直的平衡狀態(tài)不再穩(wěn)定而撓曲成為曲面形狀，使板產(chǎn)生偏離平衡狀態(tài)的載荷叫屈曲載荷層合平板的屈曲是指在平面內(nèi)壓縮和剪切載荷作用下，當(dāng)載荷增加到一定值時產(chǎn)生有橫向撓度的另一種平衡狀態(tài)，此時屬于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，通常稱板發(fā)生屈曲，相應(yīng)于產(chǎn)生屈曲的載荷值稱為臨界載荷從理論上講，板的屈曲形式和相應(yīng)的臨界載荷值有無窮多個，但實際應(yīng)用只需求得其中最小的一個臨界載荷值，并稱為屈曲載荷第39頁/共63頁屈曲方程和邊界條件假設(shè)屈曲以前是薄膜應(yīng)力狀態(tài)，不考慮拉彎耦合影響，當(dāng)薄板受平面載荷時，由薄膜狀態(tài)進入屈曲狀態(tài)，控制屈曲的微分方程為式中表示從屈曲前的平衡狀態(tài)開始的變分（力和力矩的變分、位移的變分），其中合力和合力矩的變分與應(yīng)變變形的變分的關(guān)系仍用經(jīng)典層合理論的力-中面應(yīng)變/曲率，力矩-中面應(yīng)變/曲率關(guān)系。用位移表示的屈曲方程與彎曲方程相似（除用變分符號外），但二者有本質(zhì)不同，彎曲問題數(shù)學(xué)上屬邊界值問題，而屈曲問題屬求特征值問題，其本質(zhì)是求引起屈曲的最小載荷，而屈曲后的變形大小是不確定的。第40頁/共63頁屈曲方程和邊界條件屈曲問題的邊界條件僅適用于屈曲變形，因為屈曲前變形假設(shè)為薄膜狀態(tài)，特征值問題的一個明顯特點是所有的邊界條件都是齊次的，即皆為零，這樣簡支邊界條件為：第41頁/共63頁屈曲方程和邊界條件固支邊界條件為第42頁/共63頁在平面載荷作用下四邊簡支層合板的屈曲考慮沿著x方向作用均勻平面力的四邊簡支矩形層合板，討論特殊正交各向異性層合板情況這種層合板沒有拉彎耦合、拉剪耦合和彎扭耦合第43頁/共63頁在平面載荷作用下四邊簡支層合板的屈曲對于板屈曲載荷問題，只有一個屈曲方程來描述四邊簡支的邊界條件為：第44頁/共63頁在平面載荷作用下四邊簡支層合板的屈曲這個四階微分方程和相應(yīng)齊次邊界條件的解與前面的彎曲問題一樣，可選取雙三角級數(shù)形式的解滿足邊界條件，這里m和n分別為x和y方向的屈曲半波數(shù)第45頁/共63頁在平面載荷作用下四邊簡支層合板的屈曲當(dāng)n=1時，上式有最小值，所以臨界載荷為不同m值下的臨界載荷最小值并不明顯，它隨不同的剛度和長寬比a/b而變化角對稱鋪設(shè)層合板與分析彎曲類似，可獲得近似解第46頁/共63頁在平面載荷作用下四邊簡支層合板的屈曲a/b<2.5，在x方向以一個半波屈曲，對a=b隨a/b增加，在x方向屈曲成更多的半波，但臨界載荷對a/b的曲線趨于平坦，接近第47頁/共63頁在平面載荷作用下四邊簡支層合板的屈曲反對稱正交鋪層合板拉伸：A11=A22，A12，A66耦合：B11，B22=-B11彎曲：D11=D22，D12，D66屈曲方程聯(lián)立第48頁/共63頁在平面載荷作用下四邊簡支層合板的屈曲S2簡支條件選取位移滿足邊界條件，可得精確解第49頁/共63頁在平面載荷作用下四邊簡支層合板的屈曲Nx是m、n的復(fù)雜函數(shù)，研究m和n取值范圍的過程，求出其最小屈曲載荷第50頁/共63頁在平面載荷作用下四邊簡支層合板的屈曲Nx0：B11=0，正方形，特殊正交各向異性第51頁/共63頁反對稱角鋪設(shè)層合板A16=A26=D16=D26=0，拉彎耦合剛度B16、B26第52頁/共63頁反對稱角鋪設(shè)層合板第53頁/共63頁層合平板的振動對于板的振動問題，主要是求解板的固有頻率和振型，這里限于討論自由振動與屈曲問題類似，板的固有頻率理論上有無窮多個，其中最低的頻率稱為板的基頻與屈曲問題不同的是工程應(yīng)用上除基頻外，有時也需要求出其他更高階的頻率值另外，往往需要了解相應(yīng)于各階頻率的振型第54頁/共63頁振動方程和邊界條件考慮到板的運動慣性力，振動方程為密度、加速度表示從平衡狀態(tài)起的變分，撓度w不只是坐標(biāo)x，y而且還是時間的函數(shù)?？紤]到無橫向載荷q，并略去Nx，Ny和Nxy平面載荷，板的自由振動方程為邊界條件與屈曲相同第55頁/共63頁簡支層合板的自由振動考慮四邊簡支矩形正交各向異性層合板在慣性力作用下的自由振動振動頻率和振型由下列振動方程描述邊界條件第56頁/共63頁簡支層合板的自由振動選取將此問題分為時間和空間兩部分，為使其滿足振動控制方程和邊界條件，進一步選取各頻率對應(yīng)于不同振型，當(dāng)m=1，n=1時得到基頻第57頁/