2021年初中物理競賽及自主招生專題講義第八講電路第五節(jié)復雜電路的簡化與等效含解析

PAGEPAGE10第五節(jié)復雜電路的簡化與等效效電路是電路計算中十分重要的一步。本節(jié)將介紹幾種常見的簡化電路的方法，為了下文的表述方便以及讓讀者能夠更清晰地理解這些方法，需要先介紹一個重要的概念——電勢。一、電路中導線節(jié)點的電勢眾所周知在地球表面附近物體都有自己的髙度物體受到的重力的方向都是豎直向下（即沿著重力的方向。電勢就相當于是電路中的“髙度，在電源外部，電流從電源正極流出，經過用電器后流回到電源負極，電源正極處的電勢最髙，電源負極處的電勢最低，當電流經過用電器時沿著電流方向電勢逐漸降低電勢的減少量實際上等于用電器兩端的電壓即當電流I流經阻值為R的電阻時，電勢降低了U IR。電壓實際上是電勢之差。電勢和電壓的單位都是伏特。在圖8.12（所示的電路圖中已知電源電壓為U12VR R1 5

4 2

=18 6 ，3R 12 。從電源正極開始，依次用字母A，B，C，D標記電路中導線的連接處（即節(jié)點，由4D0U12V，則A點的電勢為12VI=1.2A

=0.4

0.8

0.2

0.6A。1 2 3 4 5則從A到B，電勢降低了U1

IR 4.8V，所以B點的電勢為7.2B點到C點，電勢降低了11U IR3 33

4.8V，所以C點的電勢為2.4V；從C點到D點，電勢降低了U4

IR 2.4V（或4 4U IR5 55

2.4V，因此D點電勢為零，這和我們假設的D點電勢為零相符。當然，也可以從電阻R這條支路進行計算：從B點經R2

到D點，電勢降低了U2

IR 7.2V，仍然得出D點電勢為零22的結論。我們也可以像圖8.128（b）端的電勢與哪兩條豎線對應，將電阻放入對應的兩條豎線之間，不僅電阻的連接情況一目了然，從電流的流向也能很方便地看出。二、幾種常見的簡化電路的方法1．節(jié)點法1（26）8.129電流表A和A1（26）8.129電流表A和A的示數分別為0.3和0.4。若將電路中的某兩個電12阻的位置互換，電流表A和A的示數卻不變，則電流表A的示數可12能為（。A．0.45AB．0.50AC．0.55AD．0.60A分析與解將電源正負極分別標記為AB兩點，由于電流表和導線電阻不計，將電路中其他RRR1 2 3

為并聯。結合電流方向為從節(jié)點A流向節(jié)點B，則電流表A

的讀數I等于通過RR1 1 2

的電流之和，電流表A

的讀數I2

等于通過RR1 2的電流之和即I I1 R2

IR 23

I I電流表A讀數為II IR R R R1 2 1

I，等效電路圖如圖8.130R3（b）A和1

的示數卻不變，由于三個電阻2R1

R則I IR R1

I 0.2AI12R123

0.1AI0.5，BR1

RI3

IR2

R則I IR R2

I 0.15121I 0.25A，故I0.55A，選項CBC。R1例2在下列情況下將如圖8.131所示的電路簡化：電鍵S斷開；電鍵S閉合。分析與解當電鍵S斷開時，可將電鍵S所在的導線去除，并將電阻R48.132所示，則明顯可以看出，各個電阻的連接關系如圖8.133所示。

所在的導線拉長，如圖當電鍵S應標上同一個字母，如圖8.134所示。由于電阻R5

兩端節(jié)點所標是同一個字母，說明R5

兩端電壓為零，即沒有電流通過R5

，可將R5

這一支路除去，其余電阻與節(jié)點間的關系如圖8.135所示，顯然，各個電阻之間的連接關系應如圖8.136所示。利用電路的對稱性化簡電路例3例3如圖8.1379個阻值為4A，B兩點間加上8V的電壓，問：AB間的總電阻為多少歐姆？流過直接接在EB兩點間的電阻上的電流為多少安？分析與解（1）觀察可知，圖8.137EFEEE，G兩點電勢相同，分開后并未影響到原電路電阻的連接情況，因此，可將電路簡化為圖8.138（b）所示的電路，則可求得間的總電阻為RAB

40 。9（2）直接接在E，B兩點間的電阻就是在簡也圖8.138（b）中標記為R的電阻，則通過它的電流為IR

1A。4（29）8.139ABBCCDDA四根電阻絲的阻值均為rA，CRABBCCDDA四根電阻絲皆換成阻值為2r的電阻絲，則兩A，C點之間的總電阻為（。A．2Rr2rRB．2Rr2rRC．RrrRD．RrrR分析與解題中電阻網格關于AC連線有很好的對稱性，可將B點和D根電阻絲的阻值均為rA，CRABBCCDDA四根電阻絲皆換成阻值為2r的電阻絲，則兩A，C點之間的總電阻為（。A．2Rr2rRB．2Rr2rRC．RrrRD．RrrRBCCDDA四點之間的電阻的阻值為rr，則由電阻的串并聯0知識可得A，C間的等效電阻R滿足1111121R5r02r2r5r05r0rAB四根電阻絲皆換成阻值為2r間的等效電阻R滿足：1111121R5r04r4r5r05r02r由以上兩式消去2

，可解得

1 1

，即R

2Rr

。選項A正確。5r R R 2r 2rR0將立體電路轉化為平面電路立體電路圖是指電路中各電阻為空間結構，構成了某一立體圖形，這類電路不容易看出電阻的連接方式，要將其沿某一方向“壓扁”，使其變?yōu)槠矫骐娐罚俳Y合對稱性等，進行簡化與等效。例5例58.141所示的網絡。已知每一個金屬圓圈的電阻都是R，試求圖中AB兩點間的等效電阻R。AB分析與解8.142（a）EE為等勢點，將12電阻網絡沿EEEE重合為一個新的點E圈成為一個在AB

與AE1 2并聯成為AE，BE1

與

并聯成為BE2

與1

并聯成為CE2

與1

并聯成為DE，由于2原電路中每個1圓周的電阻均為R，則壓扁后的AE，BE，CE，DE的電阻均為R。圖8.142（b）4 4 8具有明顯的對稱性，可將E點斷開如圖8.142（c）所示，則各段導線之間的連接關系一目了然，可RR R畫出如圖8.142（d）所示的等效電路圖，據此求出R

88 2 5R。ABR R R 488 8 2668.14312R的金屬棒焊接成一個正方體框ABCDABCD1111，試求：AA兩點之間的電阻值；1AB兩點之間的電阻值。1分析與解（1）先設法將立體電路轉化為平面電路。若將A，A兩點B

，B兩點為等勢點。1 1如圖8.144（a）所示，可將B，D兩點“捏”在一起成為一個新的節(jié)點E，將D

，B兩點“捏”1 1FADABCD與CBBB1

與

，AD1 1

AB以11及CD1 1

與CB1

均為并聯關系，如圖8.144（b）所示。進而可得到簡化后的平面電路如圖8.144（c）所示，兩根金屬棒并聯后的阻值為1R，容易得出AA2 1

間的總電阻為RAA1

7R。12求解A1

兩點之間的電阻值時可以將四邊形

CC壓到四邊形AA11

BB之內，如圖8.14511（a）所示。假設A1

BAD兩點為等BC1 1

兩點為等勢點，因此金屬棒ADBC11

中不會有電流流過，可將這兩根金屬棒去除，如圖8.145（b）所示，則容易看出電路最終簡化為圖8.145（c）所示的平面電路，可求得A1

B兩點之間的電阻值RA1

3R。4練習題1（上海第31屆大同杯初賽在如圖8.146所示的電路中總電流I1.0，R 2R1 2

2R，3則下列對通過R2

的電流的判斷正確的是（ 。大小為0.20AC．大小為0.40A

大小為0.20A，方向向左D．大小為0.40A，方向向左2（上海第28屆大同杯初賽在如圖8.147A和1

的示數分別為3A和22A。若將RR2 3

RR的4 1電流為（ 。A．3.5A B．4.0A C．4.5A D．5.0A3（上海第24屆大同杯初賽）圖8.148為復雜電路的一部分，電阻R，R，R1 2 3

的阻值之比為1：2：3，通過這三個電阻的電流之比為4：1：2。則電流表A1

的示數之比為（ 。2A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：14（上海第22屆大同杯初賽）阻值都是R的五個電阻連接如圖8.149所示，則A，B之間等效電阻值為（ 。A．0 B．R C．R2

D．R55（上海第17屆大同杯初賽）在圖8.150所示電路中，電流表和電壓表均為理想電表，則下判斷中正確的是（ 。RABC．RAC

R，且RBD BCR，且RCD

R最小ACRAD

RABD．RAC

R，且RCD BCR，且RBD

最大，R最小AC最大，R最小AD6（上海第16屆大同杯初賽）圖8.151所示為某復雜電路的一部分，電阻R，R，R1 2 3之比為1：2：3，則通過這三個電阻的電流之比有可能為（ 。

的阻值A．3：2：1 B．6：3：2 C．4：2：1 D．1：4：37．圖8.152所示為某電路中的一部分，已知R1

5 ，R2

1 ，R3

3，電流I1

A，I 0.1則通過電流表A中的電流強度是（ 。2A．0.2C．0.1

B．0.1D．0.38（上海第22屆大同杯初賽）AB，BC，AC，AD，BD，CD六根阻值均為R的電阻線接成如圖8.153所示電路，則A，D之間的等效電阻為（ 。R2

R C．3

D．R39（上海第15屆大同杯初賽圖8.154A，B之間的電阻為R。如果將該電阻板均勻地分成9塊并挖去其中一小塊則此時A，B之間的電阻變（ 。8R9

7R6

9R8

6R71（上海第13屆大同杯初賽）如圖8.155所示，每個電阻都是300，則a，b間的總電阻是（ 。A．300 B．400 C．450 D．6001（上海第12屆大同杯初賽如圖8.156所示，R R1 2M，N間的電阻分別為（ 。

R 3K斷開和閉合時，3A．9，3B．9，0 C．1，0 D．1，91（上海第10屆大同杯初賽）如圖8.1576R的電阻絲圍成一個等邊三角ABCDEF分別為三條邊的中點，它們與ABC6中DF接線柱用導線連接，從而構成一電阻器。則利用該電阻器可獲得不同的電阻值（電阻，其最大值和最小值分別是（。3R，R

3R

，3R

3R，R

3R，3R2 2 2 4 2 48.158rRar。現將直導線a，b在環(huán)上自由移動，移動過程ra，b間電阻的最小值與最大值分別是（。R，R

R，R

R，R

R，R8 4 12 4 8 6 12 81（上海第8屆大同杯復賽如圖8.1596個阻值均為R的相同電阻連接成一個正六接線柱用接線柱用導線相連接。則利用這個電阻器可獲得的不同電阻值（不包括0）的總個數和最大電阻值分別是（。A．2個，4R3B．32R3C．4個，3RD．56R1在如圖8.160所示的電路中各個電阻的阻值已標出則端點AB間的等效電阻 。1（上海第24屆大同杯復賽在圖8.16所示的電阻網絡中每一個電阻的阻值均為R。某同學用如圖8.161（b）所示的裝置去測量網絡中任意兩節(jié)點之間的電流。設電源的電壓恒為E則最大電流，最小電流。1（上海第17屆大同杯復賽將電阻絲制成半徑大小不同的兩個圓環(huán)和一個正方形按圖所示的方法連接，若各接觸點都導電良好，大圓環(huán)的總電阻等160 ，現用導線在a，b兩點間接電壓為6V的電源，此時電路中的電功率1.8W，則a，b兩點間的電阻等

；若用導線截面直徑為原電阻絲兩倍的電阻絲替換大圓環(huán)上a，b間1/4圓環(huán)電阻絲，則電路中的電功將變W。1（上海第9屆大同杯復賽在如圖8.163R1

27 2

R 30，3R 15 ，R4

60 ，則電路的總電阻R AB

RR2

消耗的電功率之比P:2 3

為 。1（上海第5屆大同杯復賽）如圖8.164所示，已知R2

R，R4

5 ，安培表AA示數1 2分別為3A和7A。若AB間的電壓一定，且安培表的電阻不計，則R5

兩端的電壓。在圖8.165所示的電路中，電壓表V,V1 2

,,V50

都相同，第一個電壓表的示數U1

9.6V，第一個電流表的示數為I1

9.5mA，第二個電流表的示數I2

9.2mA，則所有電壓表的示數之和為 V。如圖8.166所示，電路中共有100個電阻，其中：R R R1 3 5

R 2 ，R R99 2 4R R6

4 ，

100

2 ，則電路中A，B間總電阻為R AB

，若在AB間加10V的電壓，則流過電阻

100

的電流A。2（上海第11屆大同杯復賽在如圖8.167所示的電路中，R1

為5 ，R和R2

為10 ，A，B間的電壓U為10V。則A，B間的總電阻為 ，電阻R消耗的電功率為 W。2（上海第26屆大同杯復賽如圖8.168RU的電源接在CD兩點之間，則B，C兩點間的電阻R4

的功率；若將電源接在線路中的A，C兩點，（選填“R1過。

“R2

“R3

“R4

“R5

“R6

）中無電流流24．12r8.169AD間的總電阻是多少？AE間的總電阻是多少？AF間的總電阻是多少？25．由12根完全相同的電阻絲組成如圖8.170所示的“田”字形電路。每根電阻絲的阻值均為R，試求：BC兩點間的電阻值；EF兩點間的電阻值；EH兩點間的電阻值。2（上海第25屆大同杯復賽在如圖8.171E6V，R2S為8Rx

71S以后，電源的總功率為12W，則Rx

的阻值為多少？通過Rx

中的電流為多少？參考答案。提示：沿著電流方向電勢降低，且同一導線兩端的電勢相等，可知R2

右端的電勢髙于左端的電勢，通過R22，即0.4。5

的電流反向向左。三個電阻為并聯關系，根據并聯分流可得R2

的電流為總電流的AB1。設通過R1

的電流I方向向右，由于R1

兩端電壓等于RR2 3

兩端電壓之和，根據題給數據關系，可知通過R2

的電流I2

方向向左，通過R3

的電流I3

方向向上，則A

的示數為I1

IA的示3 2數為I2

I，故A3 1

的示數之比為I2

I:I I3 2

2。C最右邊兩個電阻并聯，這兩個并聯部分串聯起來后，再與中間的電阻并聯。C。提示:理想電流表可視為導線，理想電壓表可視為斷路，各點間的阻值RAB

R R，BDR RAC CD

R，R

RR 0。2 ADD。提示：根據電阻間的電壓關系，可得IR2 2

IR IR33 1

或IR2

IR IR。33 113

的電流為I3

R1 3

的電壓之和等于R2

IR11

IR IR，33 2 2且通過電流表A的電流I的方向應向右，有III，解得I 0.3I0.2A，可見實際A A233 A上II3

的方向向左。。提示：設AD兩點分別接電源的正負極，則BCBC流通過，可將其除去。B1RR，當某一大塊3被拿去一個小塊之后，該大塊剩余部分的電阻為

RAB之間的電阻變?yōu)?R 1

1R1

7R。AB 3 3 2 6。提示：本題各電阻的連接方式是：三個電阻并聯后，再與靠近電源的那個電阻串聯。K閉合時，MNKAFAE間的電阻最大。Dabab兩點間的電阻Rab

等于ab兩導線之間的兩段圓弧并聯后的阻值。當abRab

最大；當ab兩導線關于圓心對稱時，Rab

最小。64R6，3612R。315．3。提:對角線上兩個6 的電阻中沒有電流通過，可以去掉。169E9E8.1724R 10R所示，R 11R，

10R，

5R，

4R，則最大電流為

E

，最小電流AB 18

AC 9

AD 6

DE 9

max R 4RDE為I E 9E。min RAC

10Ra兩點間的電阻Rab

U2 62 20a兩點間的電阻為R，P 1.8則R14

160 40 ，再設其余部分的總電阻為R，有1 1 1R R R

，解得R 40 。用導線截ab面直徑為原電阻絲兩倍的電阻絲替換大圓環(huán)上a，b1/4a，b兩點間的電阻變?yōu)?R10 ，則a，b兩點間的總電阻R滿足1 1

1，解得R

8 。電路中的電4

Rab1R R ab4功率變?yōu)镻

U2 62 4.5W。R 8abR與R2 3聯。

并聯，電阻R與R4 5

并聯，這兩部分串聯后，再與電阻R并119．50RRR1 2 3

R四個電阻并聯，由于R4

R，4

的讀數也等于R1

，R的電4流之和，則通過R5

的電流等于A與1

的讀數之和，即10A，所以R2

兩端電壓為50V。。設各電流表的讀數分別為I,A1 A2

,

U,

,

，電壓表的內阻設為RV

，則有U1

I IA1 A2A501 250RA501 250R，UIIR，UII R,,V2A2A3V3A3 A4 V49 A49

IA48

R，UV 50

IRA50

，以上各式相加，可得各個電壓表示數之和為 U U U總 1 2UU U3

IRA1

，由于RV

1 3.2104 ，因此可得UI I A1 A2

304V。4.441015。提示：不難求得R2

兩端的總電阻為2，則RAB

2 R 4 。R兩端1 2的電壓為5V 5V，

兩端電壓為5V5V

兩端電壓為5V 5V，