線代第二章線性代數(shù)與解析幾何

第二第二章矩 1/第二章1§12§23§3

矩陣的4§4

矩陣的5第二章矩 5第二章矩 2/在數(shù)學上，矩陣是指排列的數(shù)據(jù)表格,最早來自于方程組的系數(shù)所構(gòu)成的方陣.19世紀英國數(shù)學家(Cayley)首先.矩陣是線性代數(shù)中的一個重要部分它自始至終的貫穿于線性代數(shù)中.它聯(lián)系著行列式,線性方程組,二次型,向量空間和線性變換等.個部分,在數(shù)學科學,自然科學,工程技術(shù)和生產(chǎn)實踐中都有很重要本章主要介紹矩陣的運算和一些基本性質(zhì)第二章矩

3/第二第二章矩 4/§2.1矩陣與矩陣的第二第二章矩 5/矩陣的定假設某種物資有3個產(chǎn)A1A2A3,4個銷售B1B2B3那么一個調(diào)運方案就可以用

第二章矩 6/來表示其中aij表示由產(chǎn)Ai第二章矩 6/例子：解線性方程x1+x2+x3=-2

x1=?

-3

=?第二章矩 7/第二章矩 7/x1+x2+2x3=

-1

x2+x3=2 x2=x3= x3=例子：解線性方程x1+x2+x3=-2

x1=?

-3

x1=?x1+x2+x1+2+23=

-1

x2+x3=2 x2=x3= x3=

00?121200

?0 0 第二章矩 7/引入矩陣記號為解線第二章矩 7/差、積、商(除數(shù)不為0)仍在F中,那么F稱為一個數(shù)域.所有的實數(shù)形成實數(shù)域，用R表示;,第二章矩 8/但所有奇數(shù)不能構(gòu)成數(shù)第二章矩 8/第二章矩第二章矩 9/集構(gòu)成一個數(shù)域

F={a+b√2|a,b∈集構(gòu)成一個數(shù)域

F={a+b√2|a,b∈證明首先注意a+b√2=c+d√2,則必a=cb=d.特別地,a+b√2=0時必a=b=0.QF,F中有無窮多個元素.α=a+b√2β=c+d√2∈F,)2α±β=(a+b√2)±(c+d√2)=(a±c)+(b±d√)2α×β=(a+b√2)×(c+d√2)=(ac+2bd)+(ad+第二章矩 9/因為abcd為有理數(shù)時,a±cb±dac+2bdad+bc第二章矩 9/β=c+d√2?=0cd不全0.c2?2d2?=0. a+ (a+ c? ac+2bdbc?ad= √ √ β c+d (c+d2)(c?d c2? c2?β第二第二章矩 10/ac+2bdbc?adc2?2d2

為有理數(shù)，所

α∈F.依定F為數(shù)域的)n列(豎的)的表

. .

..·

.

第二章矩 11/.矩陣,上述矩陣可以簡單的記A,A=(aij)mn,AmnAm×n.其中aij(i=12mj=12n)稱為矩陣的ij列上的元素,簡稱(ij)元素.aij都是實數(shù)時,我們就稱矩陣(1)為實矩陣;當所有aij都是復數(shù)時,第二章矩 11/的)n列(豎的)的表

. .

..·

.

.矩陣,上述矩陣可以簡單的記A,A=(aij)mn,AmnAm×n.其中aij(i=12mj=12n)稱為矩陣的ij列上的元素,簡稱(ij)元素.aij都是實數(shù)時,我們就稱矩陣(1)為實矩陣;當所有aij都是復數(shù)時,我們就稱矩陣(1)為復矩陣.第二章矩 11/第二章矩 11/,相等;A=(aij)st=B=(bij)mn當且僅當s=m,t=n;aij=bij(i=1,2,...,s;j=1,2,...,m=1那么矩(1)為1n矩陣,可以看成一個行向量A=(a11,a12,·,n=1時,(1)為m1矩陣,可以看成一個列向量.A ..第二章第二章矩 12/m=n時，我們稱它為nn矩陣n階方陣.aii(i=12n為方陣的主對角線元素，所有主對角線元素的和稱為方陣的跡(trace),記作tr(A)=a11+a22

i=

如果n階方陣A滿足aij=0(i?=j;i,j=1,2,...,n)(即除主對角線 外的元素都是零）時,我們稱其為n階對角矩陣,記作A可以將其簡記為

..

A=diag(a11,a22,...,第二章矩

13/進一步地如果對角矩陣中的對角線元aii=1(i=12n)那么它就稱為單位矩陣,EnE,1E

..1當m=n=1時(a11C上的一個數(shù),即有(a11)=第二章矩 14/當矩陣的所有的元素都是0時,我們第二章矩 14/進一步地如果對角矩陣中的對角線元aii=1i=12n)那么它就稱為單位矩陣,EnE,1 1E

..1當m=n=1時(a11C上的一個數(shù),即有(a11)=當矩陣的所有的元素都是0時,我們稱它為零矩陣，仍記為問題單位矩陣是不是對角矩陣第二章矩 14/第二章矩 14/Aaij)mn,A?aij)mnA的負矩陣.–A第二章矩 15/?a··?a?a··.?a··第二第二章矩 16/矩陣的運第二第二章矩 17/矩陣的加Aaij)Bbkl)是兩mn的矩陣,

A+

. ...

. ... a11+ a12+ a21+ a22+

a1n+a2n+

.. 第二章矩 第二章矩 18/

am1+

am2+

amn+,.A?B=A+矩陣加法的性質(zhì).ABC是三mn的矩陣,那么他們滿足交換律：ABB結(jié)合律：ABCABA+0=第二章矩 19/第二章矩 19/第二第二章矩 20/矩陣的數(shù)A是一mn的矩陣,k是復數(shù)C中的一個數(shù).

. Ak的數(shù)量乘積簡稱數(shù)乘,kA.特別地,稱矩k kkE

..k第二章矩 第二章矩 21/矩陣的數(shù)乘有以下性質(zhì).A是一mn的矩陣；kC,結(jié)合律:k(?A)=(分配律:(k+?)A=kA+?A;k(A+B)=kA+1A=第二章矩 22/kA=0第二章矩 22/第二第二章矩 23/設(A ? )() 5,B 2?10.A?設(A ? )() ,= .? A?()解2B(A?2B

4? 0 第二章矩第二章矩 23/

?

.2 .= ?第二第二章矩 24/矩陣的乘設矩A=(aij)sn,B=(bkl)nm是兩個矩陣,C=(c

·· ·· ij稱為AB的乘積,

.. ··

.

···+ainbnj

k

(i=1,2,···,s;j=1,2,···,第二章矩 第二章矩 25/矩陣的乘法并不一定滿換律,AB=BA不一定成立第二章矩

26/要保證矩陣乘法有意義,必須是第一個矩陣的列數(shù)和第二個矩,矩陣的乘法并不一定 換律,即AB=BA不一定成立2已知A=(1,4,3),B 1

,AB第二章矩

26/第二章第二章矩 27/A=(143)=2 ,AB11.3重述A1.3重述A=(143)=2 ,AB第二章矩 27/12解AB(1,4,3=17,1是2286BA3(1,4,3)312.1143AB=BA,我們就稱AB可交換.證明和對角矩 ·· A

·· . ··

第二第二章矩 28/aii?=ajj(i?=jij=12···n)可交換的矩陣只能是對角矩陣AB=BA,我們就稱AB可交換.證明和對角矩 ·· A

·· .. ··

第二第二章矩 28/ ·· ·· ... ·· ·· ... ··證明設矩陣B 可以和A交換那么 那么 ··0··0 ··0··0

.. .. ..

··

··

··

·· ··

·· . .

..

.. 第二章矩 29/第二章矩 29/

·· 即

·· . ·· .

..

··

·· .·· .. .第二章矩 30/第二章矩 30/

.. ·· 依次比較等式兩邊第一行第二行···n行相應位置上的元素,第二章矩 第二章矩 31/

b21=b31=···=bn1=0b12=b32=···=bn2=0···········b1n=b2n=···=bn?1,n=0 ：設A是一個m階方陣,用As表示s個A相乘,|sA1=A,n>1,歸納定An=特別地,定義A0=方陣的多項式f(x)=amxm+am?1xm?1+···+a1x+a0為m次的復系數(shù)多項式,An階方陣,稱f(A)=amAm+am?1Am?1+···+a1A+A的多項式第二章矩

32/ABC分別nmmppq矩陣.關(guān)于矩陣的乘法,有以結(jié)合律:A(BC)=(AB)C=分配律:(A+B)C=AC+ A(B+C)=AB+k(AB)=(kA)B=A(kB),k若A是一個n階方陣,f(x),g(x)為復系數(shù)的多項式,則矩陣A的多項式f(A)和g(A)的乘法滿 換律,即f(A)g(A)=g(A)f(A).第二章矩

33/ABC分別nmmppq矩陣.關(guān)于矩陣的乘法,有以結(jié)合律:A(BC)=(AB)C=分配律:(A+B)C=AC+BC;A(B+C)=AB+k(AB)=(kA)B=A(kB),k若A是一個n階方陣,f(x),g(x)為復系數(shù)的多項式,則矩陣A的多項式f(A)和g(A)的乘法滿 換律,即f(A)g(A)=g(A)f(A).下面給出性(1(4的證明,其余的自行證明證明:(1)A=aij)sn,B=(bjk)nm,C=ck?)mt,U=BC=uj?)nt,V=AB=(vik)sm,則uj?

k

bjk

j=1,2,...,n;?=1,2,...,vik j=第二章矩

i=1,2,...,n;k=1,2,..,

33/A(BC(AB)Cst矩陣.由矩陣乘法定義可A(BCAU(i)位置上的元素

=

j= j= k=(AB)CVC(i)位置上的元素

j=1k

jk

∑

k k j k=1j而 ∑

aijbjkck?=

j=1k k=1jA(BCAU(i)位置上的元素(AB)CVC(i)位置第二章矩 第二章矩 34/(4)f(xapxpap?1xp?1···a1xg(xbqxqbq?1xq?1···b1xb0分別pq次復系數(shù)多項式,f(A)=apAp+ap?1Ap?1+···+a0Eg(A)=bqAq+bq?1Aq?1+···+b0E

第二章矩 35/第二章矩 35/且

j

(k(

)∑p=

ajbkAj+j=0kp+ajkajk Ai=i= j+k=同樣可以得

g(A)f(A)

p+∑∑∑i= j+k=

jk

Ai第二章矩 36/f(A)g第二章矩 36/第二章第二章矩 37/1A02 AnAn(n=23···11A2A3=A2A

101A1A021,AnAn(n=23···11 1

10=2=1102 1

1 11

第二第二章矩 37/

,

1011000110110001A20=2+00011000BC=CBC2=0,(B+C)n=Bn+nBn?1C+···+Cn=Bn+故An=Bn+ 0 +

1 第二第二章矩 38/

+

1 AB=0A=0B=第二章矩

39/ AB=0A=0B= A

,B

? ? )AB

?=?

.可見，AB=0, A?=0,B?=第二章矩

39/ AB=0A=0B= A

,B

? ? )AB

?=?

.可見，AB=0, A?=0,B?=0AB=CBB?=0時，也不能斷AAB=ACA?=0時，也不B第二章矩

39/第二章第二章矩 40/ ()()A(21AB ?1,B)? ? ,C?(?1? ?.,AC0?1??),=ACA?=0,B?= ()(A2(142,B ?1).)(AB?2 0,AC1,C) ,=ACA?=0,B?=分配關(guān)于數(shù)的結(jié)合第二章矩 40/Amn矩陣第二章矩 40/第二第二章矩 41/矩陣的轉(zhuǎn)將矩A的行列互換得到的矩陣稱A的轉(zhuǎn)置矩陣A′.即設A=(aij)mn,則·····....··

A′還可以用AT來表示.當A=A′時，我們稱A為對稱矩陣.顯然有(A′)′=A;若A=?A′,則稱A為 第二章矩

42/第二章矩 43/第二章矩 43/(A′)′=(A+B)′=A′+(kA)′=(AB)′=矩陣的轉(zhuǎn)置有下列性質(zhì)(A′)′=(A+B)′=A′+(kA)′=(AB)′=(1)-(3)易證,下面證A=(aij)sn,B=(bjk)nm,(AB)′B′A′sm矩陣.其次,(AB)′(ij)元素就AB(ji)元素,故等于aj1b1i+aj2b2i+·+B′A(i,j)B′i行的元素A′j列的對應元素的乘積的和BiAj行的對應元素的乘積b1iaj1+b2iaj2+·+第二章矩 43/兩式顯然相第二章矩 43/第二章第二章矩 44/(A ? ) ,= ? 031,(AB(A1?1) ,= ? 031,(AB1AB

1?1

?12 2

= ?= (AB)′

0第二章矩 第二章矩 44/(A ? )2?1 1,B 31,(AB1AB

?

2?11 1

?= (AB)′

?1

2(AB)=B′A′

?11第二章矩第二章矩 44/

?1

0=?1=第二第二章矩 45/矩陣的共Aaij)mn是復數(shù)C上的矩陣,aijaij的共軛復數(shù),Aaij)mnA的共軛矩陣,其中

·· A

·· 第二章矩 第二章矩 46/

.. .·· .Aaij)mn是復數(shù)C上的矩陣,aijaij的共軛復數(shù),Aaij)mnA的共軛矩陣,其中

·· A

··

.. .·· .由定義可知，A)′復矩A是實矩陣當且僅A共軛矩陣有下列性質(zhì):(1)ABAkA=k.第二章矩 .第二章矩 46/第二第二章矩 47/§2.2矩陣的分對于行數(shù)和列數(shù)較大的矩陣,為了計算簡單,常采用的 子塊看成一個“元素”時,他們依然構(gòu)成一個矩陣.像這樣的A用若干條水平線和豎直線劃分成一些小矩陣每個小矩陣稱為A的一個子塊以子塊為元素的形式上的矩陣稱注意,分塊時的子塊要求行數(shù)一樣,同列的子塊要求列數(shù)一樣第二章矩

48/例如矩1001001 ?1A0010=0001000001其中 )Z 1

10032(W10032(W010,2,(001=10=,00第二章矩 49/第二章矩 49/例如ms組m1m2,·ms行,n列分t組各組n1n2,·nt列.于是矩陣A就變成A11A12A

............的形狀

. As2第二章矩 50/第二章矩 50/形象地說給定一個矩A在行間作從左到右的若干水平線在列間作從上到下的若干垂直線,從而把矩陣化為若干個級數(shù)小的矩陣如果s=t,i?=jAij=0,那么就稱矩A為準對角矩陣,A有如下形

..

..第二章第二章矩 51/又如

1 0A

2 第二第二章矩 52/1 ? ? 0010O0001B ? 0010O0001又如A

100

10?7? 0B 0 ? 0 0 直接計算AB

103?72? 0014+65? 0 第二章矩 第二章矩 52/

) A1+ 法要一致.這樣在把小矩陣當矩陣元素相乘時才有意義.AsnBnm,是 A

. .. . 第二章矩 53/Aijsinj矩陣s1s2···s=sn1第二章矩 53/B B

B,,B=

..·

.AB

.... 其中C=A +A =∑ A i1 i2 i?第二章矩 54/(i=1,2,...,t;j=1,2第二章矩 54/

k

ik.:

·· ·· A′

..

.

·· 第二章矩 55/第二章矩 55/第二第二章矩 56/1A0010 ?00?01,B0000001010012?.A+B1000010000110000100001?10?0A=0100100 1010012?=

= = (

0 ,A ? 1 ? B 1 ,B 第二章矩 57/第二章矩 57/(A+B

E+B (E+B1故

A2+ 2B2B= ? 20100101002110??, 第二第二章矩 58/A+B (AB

) B =

A1+)A1B1=

= ) ?

A1+A2B

?

第二章第二章矩 59/1010AB0001.0013100?Aaij)是一n階方陣, ··

··

.. ·· 第二第二章矩 60/為A的行列式,|A|Aaij)是一n階方陣, ··

··

.. ·· 為A的行列式,|A|

例如,

5?5

的行列式就

? =第二章矩 60/第二章矩 60/第二章矩 61/定方式排成的一個數(shù)表,而后者是這個數(shù)表按一定的第二章矩 61/nn列的所以A不是方陣,行列式|A′|=|A|,即方A的轉(zhuǎn)置矩陣的行列式等A的行列式|kA|=|AB|=證明

··

··

··

·· A

...

,B

. . ·· ·· ··

·· C=AB

.

··

c=∑

ab(i=12nj=12n).作分塊矩 k

ik D第二章矩 第二章矩 62/ |D|=D作初等列變換1b11倍,2b21倍nbn1倍加到n1列1b12倍,2b22倍,…,nbn2n2列1b1n倍,2b2n倍nbnn倍加到2n列.這樣,就把矩D變成了矩陣第二章矩

63/

·· ·· ··

·· ..

.. D

·· ·· ? ·· ··

? ? ··

·· ..

. ·· ? ·· 首先,我們由行列式的性質(zhì)知道,|D|=|D1|.又由行列式的 展開定理知,|D1|?1)n|C||?E|=(?1)n·|C|·(?1)n=|C|.|AB|=|C|=|D1|=|D|=|A||B|.結(jié)論成立第二章矩

64/第二第二章矩 65/§2.3矩陣的設F是一個數(shù)域.,對矩陣施行的下列三種變換稱為初等行變換交換矩陣中的兩行)把矩陣某行各元素的k(kF)倍加到另一行的對應元素上去.第二章矩 66/等行變換和初等列第二章矩 66/第二章矩 67/第二章矩 67/若交換矩陣ij(列),記為:ri?rj(ci若用一個非零的kF去乘矩陣i(列),記為:k(k×若將把矩陣j(列)k倍加到i(列),記為ri+krj(ci+,若交換矩陣ij(列),記為:ri?rj(ci若用一個非零的kF去乘矩陣i(列),記為:k(k×若將把矩陣j(列)k倍加到i(列),記為ri+krj(ci+兩件事實是顯然的:mnA經(jīng)一次初等變換那么第一Bmn矩陣第二章矩 67/,第二章矩 67/第二章矩第二章矩 68/A經(jīng)一系列初等變換化成矩B則稱A等價B.換句話說，A等價于B是指有一個由矩陣組成的序列A=A1,A2,A3,···,As= s≥Ai+1,i=12···s?1,Ai經(jīng)一次初等變換得到A經(jīng)一系列初等變換化成矩B則稱A等價B.換句話說，A等價于B是指有一個由矩陣組成的序列A=A1,A2,A3,···,As= s≥其中每Ai+1,i=12···s?1,Ai經(jīng)一次初等變換得到“A等價B”是兩個矩陣之間的關(guān)系.它滿足以下三條反身性:A等價對稱性:A等價B,B等價第二章矩 68/傳遞性:A等價B,B第二章矩 68/A經(jīng)一系列初等變換化成矩B則稱A等價B.換句話說，A等價于B是指有一個由矩陣組成的序列A=A1,A2,A3,···,As= s≥其中每Ai+1,i=12···s?1,Ai經(jīng)一次初等變換得到“A等價B”是兩個矩陣之間的關(guān)系.它滿足以下三條反身性:A等價對稱性:A等價B,B等價傳遞性:A等價B,B等價C,A等價其中反身性是顯然的，傳遞性也不難證明因為有對稱性,我們可“A等價B”表述“A,B等價第二章矩 因為有對稱性,我們可“A等價B”表述“A,B等價第二章矩 68/第二章矩第二章矩 69/)若某行中每個元素都為0,那么位于該行下面各行元素也全為中左起1個非零元aijij1j2···jr也就是說,各個非零行)若某行中每個元素都為0,那么位于該行下面各行元素也全為1個非零元aijij1j2···jr也就是說,各個非零行階梯形矩陣的形狀(a1j,a2j,···,arj均不為零

a1j?

r r

000 r00000 00 第二章矩 69第二章矩 69/

第二章矩 第二章矩 70/10410410?1?000030000000200000,0006,000000000000第二章矩 第二章矩 70/10410?1?000 000 0020200000,0006,000000000000都是階梯形矩陣任意一個矩陣都可經(jīng)一系列初等行變換化成為階梯形矩陣例如

1041010410100003000000

00 都是階梯形矩陣

000000任意一個矩陣都可經(jīng)一系列初等行變換化成為階梯形矩陣這里，只允許做初等行變換.設已mn(aij)，并記作A.若所有aij均為零A已是階梯形的了A有非零元素A1,2,···,j11列的元素均0,第二章矩 70/j1列有非零元.通過兩行互換，可把該非零元第二章矩 70/,.a0·a0··00··000··00········0··00a′aa′A a′ ··

·· ·· ·· a··a其中 ?=0

+11

·· 若此時m?1行全0,A1就是階梯形的了.A11行m?11,2······,j2?10,而j2列中有非零元.j2>j1.像上邊一樣經(jīng)初等行變換可(2j2)位置的元素不0,并且i>2時，(ij2)位置元素全0.繼續(xù)這一第二章矩 71/第二章矩 71/第二第二章矩 72/下面給出一個例子.以后我們“A?→B”A經(jīng)一(或幾次初等變換化成把1A212 ? ? ? ? ? ?12倍加到2行上,11倍加到104?101?00104?101?0012?03?9?A?→

=第二章第二章矩 73/12倍加到2行上,11倍加到行上,124行上,104?104?101?0012?03?9?

=然后把21倍加到3行上,23倍加到4行上, 41104 411041010?→0?100003?0003?0006?00000第二章矩 73/最后一步做的是把32倍加到4行上第二章矩 73/, . .

0 1

0 0 的矩陣等價在這個矩陣中(11),(22)···,(rr位置的元素1第二章矩 74/第二章矩 74/前面定理已經(jīng)證mnAaij)可經(jīng)一系列的初等 變換化成為階梯形矩陣:設其a′,a′

..1j1兩列互換,2,j2兩列互換,···,rjr兩列互換,就把這些非零元素換到主對角線上成為所在各行的1個非零元素.用適當?shù)姆橇阍厝コ烁餍锌墒怪鲗蔷€上r個元素成1.然后各列加上11(11)“1”“0”.第二章矩 75/”全化成“0”.繼續(xù)這第二章矩 75/前面定理已經(jīng)證mnAaij)可經(jīng)一系列的初等 變換化成為階梯形矩陣:設其a′,a′

..1j1兩列互換,2,j2兩列互換,···,rjr兩列互換,就把這些非零元素換到主對角線上成為所在各行的1個非零元素.用適當?shù)姆橇阍厝コ烁餍锌墒怪鲗蔷€上r個元素成1.然后各列加上11(11)“1”“0”.”全化成“0”.繼續(xù)這一過程，最后化成(2)的形狀.第二章矩 75/然后化成(2)的形狀.但實際計算時不必先化成階梯形,而是根據(jù)需第二章矩 75/A與(2)中矩陣等價，則后者稱A的等價標準形.等價標準形中“1”的個數(shù)是一個重要的數(shù)據(jù).Aaij是一mn的矩陣，任意kk列位于這些選定行和列的交叉點上k2個元素按原來的順序組成的一k階行列式這個行列式就A的一個k階子式.,第二章矩 76/ k階第二章矩 76/ 104110412?921?50?2355?A1,2,41,3,53 第二章矩 第二章矩 77/第二章第二章矩 78/10?0A0234.A有多少3階子式0005100A0234.A有多少3階子式0005秩稱非零mnA的秩為正整rA有非零r階子式,而沒有非零r1階子式.零矩陣的秩規(guī)定0.A的秩記r(A).對于nA,r(A)=n,A為(或非奇異的,非,;,的),且行列式等第二章矩

78/3.1中的矩A為例,602階子式,403階子式4階子式.2階子3階子

?

= ? ??1

=均不0而所有4階子式都等0.依定義,r(A)=+第二章矩 79/或r=min{m,n},Ar+1階子式;或Ar+1階子式但全等0由行列式按一行展開定理,在后一情形下,Ar+2階或更高階子式0于是r第二章矩 79/,(初等變換不改變矩陣的秩證明習題.即將某一(列)c倍加到另一(列)上.由于行變換和列變換的證明思路一樣,所以不妨假mnA按列分塊后為.第二章矩 80/第二章矩 80/ r(Ar,現(xiàn)取矩B的任意一k(k>r階子D,α′α′ D中分別對應αiαj的列.則有三種可能性D中不Bi列,DA的子式,DDBi列,但不Bj列,D=det(···,α′+cα′,···)=det(···,α′,···)+det(···,cα′,···)= D中同時Bi列和j列,D=det(···,α′+cα′,···,α′,···,α =det(···,α′,···,α′,···,αn)+det(···,cα′,···,α′,···,αn 第二章矩 81/Ak級子式第二個中含有相同的列.B中高r階的子式都0,r(B≤rr(A).同理可r(A≤r(B)(因為將矩Bjc倍加到它的i列上就變成了矩A).所以,r(B)=r(A),即矩陣經(jīng)過上述的III種初等變換第二章矩 81/第二第二章矩 82/mnA,B等價當且僅當它們有相同的秩第二章矩 82/證明r(A)=r(B)=r,A,B的等價標準形都是主對角線上恰有r1的形如(2)的矩C.AC等價,B,C等價.第二章矩 82/第二章第二章矩 83/階梯形矩陣的秩等于它非零行的數(shù)目階梯形矩陣的秩等于它非零行的數(shù)目證明(3.2)中,12···rj1j2···

·· 2.

··

=a1j

···arj?=.

第二章矩 83/+第二章矩 83/階梯形矩陣的秩等于它非零行的數(shù)目證明(3.2)中,12···rj1j2···

·· 2.

··

=a1j

···arj?=.

r+10.第二章矩 83/根據(jù)上述性質(zhì)且由于任何矩陣都可以經(jīng)初等變換化為階梯形矩陣,那么我們就可以把矩陣作初等變換化為階梯矩陣,而階梯矩陣的秩就等于非零行的數(shù)目,這樣第二章矩 83/求求矩A的秩第二章矩 84/03 ?02520370314?2的秩 解對矩陣作如下初等變換????→2 2314?014?2 2314?014?0r10213第二章矩 84/0第二章矩 84/14?002?30?914?002?30?92001—5 0

4 ?

?2r+.14002–000.14002–000 第二章矩 85/第二章矩 85/第二第二章矩 86/§2.4矩陣的第二章矩 87/F中任一個非零的a,均有第二章矩 87/aa?1=a?1a=1.a?1也是a的倒數(shù),a的逆.那么矩陣是否和數(shù)域中的數(shù)一樣,存在逆呢?,,A=(aij)是一nn的矩陣,如果存在矩BAB=BA=AB,將AA1.AB稱為互逆矩陣注意,第二章第二章矩 88/()(A(A200=)3120)013.20求其逆矩陣()(A()(A(A2=0120)013.)20(求其逆矩陣)

A的逆矩陣, )20

=

)1.0

2b1+b3=2b2+b4=3b3=3b4=1

b1

6,b2=?,3b3=0,b4=3,即

第二章第二章矩 88/0第二章矩 89/第二章矩 89/,A可逆時，A?1也可逆,且(A1)1AB可逆時，AB也可逆，且(AB)?1=B1A1A可逆時，其轉(zhuǎn)置A′也可逆，并且(A′)?1,,A可逆時，A?1也可逆,且(A1)1AB可逆時，AB也可逆，且(AB)?1=B1A1A可逆時，其轉(zhuǎn)置A′也可逆，并且(A′)?1(1)BCA的逆.ABBAE,ACCAE.BBE=B(ACBA)C=ECC.今后A的逆矩陣記(2矩A可逆,則存在矩BABBAE,那么按照A1B也可逆,A(A1)1AB可逆(AB)(B?1A?1)=A(BB1)A1AA1同理，(B?1A?1)(AB)=E,AB也可逆(AB)?1B1A1若矩A可逆,AA1A1AE,兩邊同時求轉(zhuǎn)置(A?1)′A′A′(A?1)′E,由定義(A′)?1=(A?1)′.可以歸納證明:A1A2As是同階的可逆矩陣(A·1··A)s1A?1···A?1第二章第二章矩 89/第二章矩 90/更進一步,如果矩陣存第二章矩 90/第二章矩 90/更進一步,如果矩陣存第二章矩 90/()已知矩A00A存在逆矩陣嗎更進一步,如果矩陣存在逆,又怎么求逆呢?()已知矩A A()已知矩A A存在逆矩陣嗎

,那么) ) ) 1 .( 4 b4 (0 3 第二章第二章矩 90/

=

,,為了計算的簡單,我們定義矩陣的伴隨矩陣設矩Aaij)nn,稱矩

··

··

.

··

式設|A|=d,由于aij和其代 式Aij有關(guān)系{aA+a

+···+a

d,i=i1

i2

in

i?=第二章矩

91/所以

+

+···+

Anj

d,i= j?=

·· ··

·· ·· .. .. ·· d

·· =第二章矩 第二章矩 92/

..

dEd第二章第二章矩 93/證明(1)必要性,AB=BA=E,對它取行列式|A||B|=1于是 (2)充分性,|A|=d?=0,那么由上述關(guān)系A(chǔ)A?=A?A=從而A(1A?)=(1A?)A= d由矩陣可逆的定義知,A?1=1?,即矩陣可逆d由于行列式不為零等價于矩陣為滿秩的,故上述定理也可以敘述為第二章矩 93/第二章矩 93/第二第二章矩 94/A ?21.5的逆矩陣A ?21.的逆矩陣解首先，|A|=52. A11

=10,A12= =9,A13第二章矩 第二章矩 94/

?

=A21=

? =2,A 2?

=7,A23=

=? ?A31

1

=6,A32=

=?5,A33 = 1262697?.?23=71A?11第二章矩 95/直接驗算可第二章矩 95/a11x1+a12x2+···+a1nxn21 22 2n a1,x+ax+···21 22 2n ···········an1x1+an2x2+···+annxn記

·· ·· .A .

.. ·· 第二章矩 第二章矩 96/證明:Xx1x2xn)′bb1b2bn)′.那么方程組就可以寫AX=b的形式.存在性:A可逆,A1AXA?1b,XA1B.XA?1b代入原方程組,可知它確實是方程組的一個解唯一性:XX0是方程組的另一個解,AX0b,第二章矩 97/可逆,X0=A?1b.綜上所述,原方程組存在唯一的解.第二章矩 97/第二章第二章矩 98/設()A ,A1rr可逆矩陣,C1tt可逆矩陣A的逆設()A ,解|A|=|A1|·|C1|A1C1可逆A可逆AA1有分塊形

A?1 第二章矩 98/其中，Xrr矩陣,Yrt矩陣,Ztr矩陣,Ttt矩陣.此時A,A1第二章矩 98/ AA?1

) ( B1X+

B1Y+

. .= 那么應有矩陣等

A1XEr,A1YB1X+C1Z=第二章矩 99/B1第二章矩 99/1A1可逆我們X=A?1,Y=0由上邊31知C1Z=?B1X

1–B1A?11Z=C?1B1A?1.Y=0,上邊4式成C1T=E,t11T=C?1.1

(A?1

?A1A?C?1B1A?

)0 第二章矩 第二章矩 100/第二第二章矩 101/§2.5初等矩在本章的第二節(jié)中,我們介紹了矩陣的初等變換 形式對應于給出的三種初等變換,我們給出三種初等矩陣第二章矩

102/(I種類型的初等矩陣換(i>j),得到的矩

n階單位矩E的i行,j11..1 1

.. 1 1第二章矩 103/第二章矩 103/

..

1對于一個矩Aaij)mn,A左乘mP(ij)得到

·· ... . ··

.. ··

.. ..

··

對矩A作第I種初等行變換交換矩陣的i行、j行相當于對矩AP(i,j).第二章矩 104/交換矩Aaij)mni列,j列;相當?shù)诙戮?104/(第II種類型的初等矩陣) 將n階單位矩陣E的第i行乘以一個非零數(shù)k,得到的矩陣稱為第II種類型的初等矩陣,記為P(i(k)):1..1k1

..

1對于一個矩A=(aij)mn,將矩AmP(i(k)),相當于對Ai行乘以一個非零k;第二章矩 105/,第二章矩 105/(第III種類型的初等矩陣 將n階單位矩陣E的第j行乘以一k再加到i行,得到的矩陣1..

..1