2023年新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文化、新定義）專題03 三角函數(shù)專題（數(shù)學(xué)文化）（解析版）

2023年新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文化、新定義）專題03三角函數(shù)專題（數(shù)學(xué)文化）一、單選題1．（2022春·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾市第八中學(xué)校校考開學(xué)考試）屏風(fēng)文化在我國源遠流長，可追溯到漢代.某屏風(fēng)工藝廠設(shè)計了一款造型優(yōu)美的扇環(huán)形屏風(fēng)，如圖，扇環(huán)外環(huán)弧長為，內(nèi)環(huán)弧長為，徑長（外環(huán)半徑與內(nèi)環(huán)半徑之差）為，若不計外框，則扇環(huán)內(nèi)需要進行工藝制作的面積的估計值為（

）A． B． C． D．2．（2021秋·湖南婁底·高三?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同立.甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：已知甲?乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為7步/秒，乙的速度為3步/秒，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東某方向走了一段后與乙相遇.甲?乙各走了多少步？（

）A．20，8 B．24，10C．10.5，24.5 D．24.5，10.53．（2021·河南許昌·校聯(lián)考一模）某校高一年級研究性學(xué)習(xí)小組利用激光多普勒測速儀實地測量復(fù)興號高鐵在某時刻的速度，其工作原理是：激光器發(fā)出的光平均分成兩束射出，在被測物體表面匯聚，探測器接收反射光．當(dāng)物體橫向速度不為零時，反射光相對探測光會發(fā)生頻移，其中為測速儀測得被測物體的橫向速度，為激光波長，為兩束探測光線夾角的一半，如圖，若激光測速儀安裝在距離高鐵處，發(fā)出的激光波長，測得某時刻頻移，則該時刻高鐵的速度約等于（

）A． B． C． D．4．（2021·全國·高三專題練習(xí)）音樂，是人類精神通過無意識計算而獲得的愉悅享受，年法國數(shù)學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)代表任何周期性聲音的公式是形如的簡單正弦型函數(shù)之和，而且這些正弦型函數(shù)的頻率都是其中一個最小頻率的整數(shù)倍，比如用小提琴演奏的某音叉的聲音圖象是由下圖三個函數(shù)圖象組成的，則小提琴演奏的該音叉的聲音函數(shù)可以為（

）A．B．C．D．5．（2022春·陜西漢中·高一統(tǒng)考期中）第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬季奧運會，是由中國舉辦的國際性奧林匹克賽事．2月5日，在北京冬奧會短道跑道速滑混合接力的比賽中，中國隊以2分37秒348的成績獲得金牌，這也是中國代表團在本屆冬奧會上贏得的首枚金牌．短道速滑，全稱短跑道速度滑冰，是在長度較短的跑道上進行的冰上競速運動．如圖，短道速滑比賽場地的內(nèi)圈半圓的彎道計算半徑為，直道長為．若跑道內(nèi)圈的周長等于半徑為的扇形的周長，則該扇形的圓心角為（參考數(shù)據(jù)：?。?/p>

）A． B． C．2 D．6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了已知三角形三邊求三角形面積的方法，他把這種方法稱為“三斜求積”：以斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得積.在他的著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”里就有已知三邊求三角形面積的問題，該問題翻譯成現(xiàn)代漢語就是：一塊三角形田地，三邊分別為13，14，15，則該三角形田地的面積是（

）A．84 B．168 C．79 D．637．（2022·全國·高一假期作業(yè)）鑄于明嘉靖十二年的泰山岱廟鐵塔，造型質(zhì)樸雄偉，原有十三級，抗日戰(zhàn)爭中被日軍飛機炸毀，現(xiàn)僅存三級，它的底座是近似圓形的，如圖1．我國古代工匠已經(jīng)知道，將長方體磚塊以某個固定的角度相接就可砌出近似圓形的建筑，現(xiàn)存鐵塔的底座是用10塊一樣的長方體磚塊砌成的近似圓形的墻面，每塊長方體磚塊底面較長的邊長為1個單位，如圖2，則此近似圓形墻面內(nèi)部所能容納最大圓的半徑是（

）A． B． C． D．8．（2022·全國·模擬預(yù)測）《幾何原本》卷Ⅱ的幾何代數(shù)法成了后世數(shù)學(xué)家處理數(shù)學(xué)問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明，這種證明方式優(yōu)雅而直觀.觀察圖形可知，陰影直角三角形的短直角邊為或，所以該圖直觀地反映了公式.通過觀察圖中陰影直角三角形長直角邊和長方形的寬，可得公式（

）A．B．C．D．9．（2022·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）智能主動降噪耳機工作的原理是通過耳機兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過主動降噪芯片生成的聲波來抵消噪聲（如圖）．已知噪聲的聲波曲線是，通過主動降噪芯片生成的聲波曲線是（其中），則（

）A． B． C． D．10．（2022·高一課時練習(xí)）2021年1月7日，一個戴著紅帽子，扎著紅圍脖，身材圓滾的大雪人在哈爾濱市友誼西路音樂公園內(nèi)落成．這個用雪量2000余立方米的“雪人中的巨人”，寓意著可愛祥和、喜慶豐收，每天約有3000人前來和大雪人合影打卡，已成為松花江畔冬天的新地標，這滿滿的冬日儀式感就是冰城獨特的浪漫．小明同學(xué)為了估算大雪人的高度，在大雪人的正東方向找到一座建筑物AB，高為，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得樓頂A，雪人頭頂C的仰角分別是15°和45°，在樓頂A處測得雪人頭頂C的仰角為15°，則小明估算大雪人的高度為（

）A． B．13m C． D．11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）擲鐵餅是一項體育競技活動．如圖，這是一位擲鐵餅運動員在準備擲出鐵餅的瞬間，張開的雙臂及肩部近似看成一張拉滿弦的“弓”．經(jīng)測量，此時兩手掌心之間的弧長是，“弓”所在圓的半徑為米，則這位擲鐵餅運動員兩手掌心之間的距離約為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．米 B．米C．米 D．米12．（2022春·北京豐臺·高一統(tǒng)考期末）古希臘的數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus，約前417-前369）通過圖來構(gòu)造無理數(shù)．記，，則（

）A． B． C． D．13．（2022·四川廣安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長與太陽天頂距的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識可知，晷影長度等于表高與太陽天頂距正切值的乘積，即.對同一“表高”兩次測量，第一次和第二次太陽天頂距分別為、，若第一次的“晷影長”是“表高”的倍，且，則第二次的“晷影長”是“表高”的（

）倍A． B． C． D．14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓、江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”．因范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世．小李為測量岳陽樓的高度選取了與底部水平的直線AC，如圖，測得，，米，則岳陽樓的高度CD為（

）A．米 B．米 C．米 D．米15．（2022春·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美．為了估算圣·索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高約為36m，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得建筑物頂A、教堂頂C的仰角分別是和，在建筑物頂A處測得教堂頂C的仰角為，則可估算圣·索菲亞教堂的高度CD約為（

）

A．54m B．47m C．50m D．44m16．（2022·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了影長l與太陽天頂距θ（）的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識可知，晷影長l等于表高h與太陽天頂距θ正切值的乘積，即.對同一“表高”測量兩次，第一次和第二次太陽天頂距分別為α，β，若第一次的“晷影長”是“表高”的3倍，且，則第二次的“晷影長”是“表高”的（

）A．1倍 B． C．倍 D．倍17．（2022·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）“割圓術(shù)”是我國古代計算圓周率的一種方法．在公元年左右，由魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)明．其原理就是利用圓內(nèi)接正多邊形的面積逐步逼近圓的面積，進而求．根據(jù)“割圓術(shù)”，若用正二十四邊形來估算圓周率，則的近似值是（

）（精確到）（參考數(shù)據(jù)）A． B． C． D．18．（2022秋·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）秦九韶是我國南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的著作《數(shù)書九章》中提出了已知三角形的三邊求面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”以上文字用公式表示就是，其中a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，S是△ABC的面積，在△ABC中，若，，，則△ABC的內(nèi)切圓的面積為（

）A． B． C． D．19．（2021秋·遼寧營口·高三統(tǒng)考期末）勒洛三角形是定寬曲線所能構(gòu)成的面積最小的圖形，它是德國機械學(xué)家勒洛首先進行研究的，其畫法是：先畫一個正三角形，再以正三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形，如圖所示，若正三角形的邊長為2，則勒洛三角形面積為（

）A． B． C． D．20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）勾股定理被稱為幾何學(xué)的基石，相傳在商代由商高發(fā)現(xiàn)，又稱商高定理，漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖（又稱趙爽弦圖，它由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，如圖1），證明了商高結(jié)論的正確性，現(xiàn)將弦圖中的四條股延長，相同的長度（如將CA延長至D）得到圖2．在圖2中，若，，D，E兩點間的距離為，則弦圖中小正方形的邊長為（

）A． B． C．1 D．21．（2022·福建漳州·統(tǒng)考三模）英國化學(xué)家、物理學(xué)家享利·卡文迪許被稱為第一個能測出地球質(zhì)量的人，卡文迪許是從小孩玩的游戲（用一面鏡子將太陽光反射到墻面上，我們只要輕輕晃動一下手中的鏡子，墻上的光斑就會出現(xiàn)大幅度的移動，如圖1）得到靈感，設(shè)計了卡文迪許扭秤實驗來測量萬有引力，由此計算出地球質(zhì)量，他在扭秤兩端分別固定一個質(zhì)量相同的鉛球，中間用一根韌性很好的鋼絲系在支架上，鋼絲上有個小鏡子，用激光照射鏡子，激光反射到一個很遠的地方，標記下此時激光所在的點，然后用兩個質(zhì)量一樣的鉛球同時分別吸引扭秤上的兩個鉛球（如圖2），由于萬有引力作用，根秤微微偏轉(zhuǎn)，但激光所反射的點卻移動了較大的距離，他用此計算出了萬有引力公式中的常數(shù)G，從而計算出了地球的質(zhì)量．在該實驗中，光源位于刻度尺上點P處，從P出發(fā)的光線經(jīng)過鏡面（點M處）反射后，反射光線照射在刻度尺的點Q處，鏡面繞M點順時針旋轉(zhuǎn)a角后，反射光線照射在刻度尺的點處，若△PMQ是正三角形．（如圖3），則下列等式中成立的是（

）A． B．C． D．22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）趙爽是我國古代著名的數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形組成），如圖（1）類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖（2）所示的形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊角形，設(shè)，若向三角形ABC內(nèi)隨機投一粒芝麻（忽略該芝麻的大?。瑒t芝麻落在陰影部分的概率為（

）A． B． C． D．23．（2022·河南鄭州·統(tǒng)考三模）位于登封市告成鎮(zhèn)的觀星臺相當(dāng)于一個測量日影的圭表．圭表是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺（稱為“圭”）．當(dāng)正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．如圖是一個根據(jù)鄭州市的地理位置設(shè)計的圭表的示意圖，已知鄭州市冬至正午太陽高度角（即）約為32.5°，夏至正午太陽高度角（即）約為79.5°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即的長）為14米，則表高（即的長）約為（

）（其中，）A．9.27米 B．9.33米 C．9.45米 D．9.51米24．（2022秋·河南鄭州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用2sin表示．若實數(shù)n滿足，則的值為（

）A．4 B． C．2 D．25．（2022·高一課時練習(xí)）數(shù)學(xué)家傅里葉關(guān)于三角函數(shù)的研究告訴我們：人類的聲音，小提琴的奏鳴，動物的叫聲等都可以歸結(jié)為一些簡單聲音的組合，而簡單聲音是可以用三角函數(shù)模型描述的．已知描述百靈鳥的叫聲時用到如圖所示的圖象，對應(yīng)的函數(shù)解析式是，則（

）A．， B．，C．， D．，26．（2022秋·山西太原·高二山西大附中?？奸_學(xué)考試）筒車是我國古代發(fā)明的一種灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用(圖1)，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理(圖2).現(xiàn)有一個半徑為3米的筒車按逆時針方向每分鐘旋轉(zhuǎn)1圈，筒車的軸心距離水面的高度為2米，設(shè)筒車上的某個盛水筒到水面的距離為(單位:米)(在水面下則為負數(shù))，若以盛水筒剛浮出水面為初始時刻，經(jīng)過秒后，下列命題正確的是（

）(參考數(shù)據(jù):)①，其中，且，②，其中，且，③當(dāng)時，盛水筒再次進入水中，④當(dāng)時，盛水筒到達最高點.A．①③ B．②③ C．②④ D．①④27．（2022秋·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)史上，為了三角計算的簡便并且更加追求計算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩種三角函數(shù)：定義為角的正矢，記作；定義為角的余矢，記作.給出下列結(jié)論：①函數(shù)在上單調(diào)遞增；②若，則；③若，則的最小值為0；④若，則的最小值為.其中所有正確結(jié)論的序號為（

）A．①② B．③④ C．①③④ D．②③④28．（2022秋·廣東肇慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）《周髀算經(jīng)》是我國最早的數(shù)學(xué)典籍，書中記載：我國早在商代時期，數(shù)學(xué)家商高就發(fā)現(xiàn)了勾股定理，亦稱商高定理三國時期數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了如圖1的“勾股圓方圖”（以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成），用數(shù)形結(jié)合法給出了勾股定理的詳細證明.現(xiàn)將“勾股圓方圖”中的四條股延長相同的長度得到圖2.在圖2中，若，，G，F(xiàn)兩點間的距離為，則“勾股圓方圖”中小正方形的面積為（

）A．9 B．4 C．3 D．829．（2022·上海嘉定·統(tǒng)考一模）中國古代數(shù)學(xué)家用圓內(nèi)接正邊形的周長來近似計算圓周長，以估計圓周率的值.若據(jù)此證明，則正整數(shù)至少等于（

）A． B． C． D．二、多選題30．（2021秋·山東臨沂·高一臨沂第四中學(xué)?？计谀┍本┨靿泥髑饓癁楣糯捞斓膱鏊?，衛(wèi)星圖片可以看成一個圓形，如果將其一分為二成兩個扇形，設(shè)其中一個扇形的面積為，圓心角為，天壇中剩余部分扇形的面積為，圓心角為，當(dāng)與的比值為時，則裁剪出來的扇形看上去較為美觀，那么（

）A． B．C． D．31．（2020秋·福建福州·高三福建省福州華僑中學(xué)校考階段練習(xí)）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后，在落潮時返回海洋.一艘貨船的吃水深度（船底到水面的距離）為4m.安全條例規(guī)定至少要有2.25m的安全間隙（船底到海底的距離），下表給出了某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深.時刻水深/m時刻水深/m時刻水深/m0：005.09：002.518：005.03：007.512：005.021：002.56：005.015：007.524：005.0若選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系，則下列說法中正確的有（

）A． B．C．該貨船在2：00至4：00期間可以進港 D．該貨船在13：00至17：00期間可以進港32．（2022秋·福建莆田·高三莆田第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）聲音是由物體振動產(chǎn)生的波，每一個音都是由純音合成的.已知純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù).我們平常聽到的樂音是許多音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則（

）A．的最大值為 B．為的最小正周期C．為曲線的對稱軸 D．為曲線的對稱中心33．（2022春·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）幾何學(xué)里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割．底與腰之比為黃金分割比（）的黃金三角形是“最美三角形”，即頂角為36°的等腰三角形．例如，中國國旗上的五角星就是由五個“最美三角形”與一個正五邊形組成的．如圖，將五角星的五個頂點相連，記正五邊形的邊長為，正五邊形的邊長為，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．對任意的，三、填空題34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》方田篇記載“宛田面積術(shù)曰：以徑乘周，四而一”（注：宛田，扇形形狀的田地：徑，扇形所在圓的直徑；周，扇形的弧長），即古人計算扇形面積的公式為：扇形面．現(xiàn)有一宛田的面積為，周為，則徑是__________．35．（2022·全國·高三專題練習(xí)）2022年北京冬奧會閉幕式上，呈現(xiàn)了大雪花（火炬）被中國結(jié)緊緊包裹的畫面，體現(xiàn)了中國“世界大同，天下一家”的理念，數(shù)學(xué)中也有類似“包裹”的圖形.如圖，雙圓四邊形即不僅有內(nèi)切圓而且有外接圓的四邊形，20世紀80年代末，國內(nèi)許多學(xué)者對雙圓四邊形進行了大量研究，如：邊長分別為a，b，c，d的雙圓四邊形，則其內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑.現(xiàn)有邊長均為1的雙圓四邊形，則___________.36．（2022秋·浙江金華·高一浙江金華第一中學(xué)校聯(lián)考期末）以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德國機械工程專家、機構(gòu)運動學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，所以以他的名字命名.一些地方的市政檢修井蓋、方孔轉(zhuǎn)機等都有應(yīng)用勒洛三角形.如圖，已知某勒洛三角形的一段弧的長度為，則該勒洛三角形的面積是___________.37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）《后漢書·張衡傳》：“陽嘉元年，復(fù)造候風(fēng)地動儀.以精銅鑄成，員徑八尺，合蓋隆起，形似酒尊，飾以篆文山龜鳥獸之形.中有都柱，傍行八道，施關(guān)發(fā)機.外有八龍，首銜銅丸，下有蟾蜍，張口承之.其牙機巧制，皆隱在尊中，覆蓋周密無際.如有地動，尊則振龍，機發(fā)吐丸，而蟾蜍銜之.振聲激揚，伺者因此覺知.雖一龍發(fā)機，而七首不動，尋其方面，乃知震之所在.驗之以事，合契若神.”如圖，為張衡地動儀的結(jié)構(gòu)圖，現(xiàn)要在相距200km的A，B兩地各放置一個地動儀，B在A的東偏北60°方向，若A地動儀正東方向的銅丸落下，B地東南方向的銅丸落下，則地震的位置在A地正東________________km.38．（2022秋·河南·高二校聯(lián)考期末）臺球賽的一種得分戰(zhàn)術(shù)手段叫做“斯諾克”：在白色本球與目標球之間，設(shè)置障礙，使得本球不能直接擊打目標球.如圖，某場比賽中，某選手被對手做成了一個“斯諾克”，本球需經(jīng)過邊，兩次反彈后擊打目標球N，點M到的距離分別為，點N到的距離分別為，將M，N看成質(zhì)點，本球在M點處，若擊打成功，則___________．39．（2021秋·山東臨沂·高一臨沂第四中學(xué)校考期末）2020年12月4日，我國科學(xué)家宣布構(gòu)建了76個光子（量子比特）的量子計算原型機“九章”．“九章”得名于我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》，書中有一個“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？”其意思為“今有水池1丈見方（即尺），蘆葦生長在水的中央，長出水面的部分為1尺．將蘆葦向池岸牽引，恰巧與水岸齊接（如圖所示）.設(shè)，則的值為__________．40．（2021秋·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習(xí)）斯特瓦爾特（Stewart）定理是由世紀的英國數(shù)學(xué)家提出的關(guān)于三角形中線段之間關(guān)系的結(jié)論．根據(jù)斯特瓦爾特定理可得出如下結(jié)論：設(shè)中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，點在邊上，且，則．已知中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，，，點在上，且的面積與的面積之比為，則______．41．（2022春·全國·高一期末）克羅狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對角互補時取等號，根據(jù)以上材料，完成下題：如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點，OA＝2，B為半圓上一點，以AB為一邊作等邊三角形ABC，則當(dāng)線段OC的長取最大值時，∠AOC＝________.42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖1）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動如圖2，將筒車抽象為一個半徑為的圓，設(shè)筒車按逆時針方向每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒，當(dāng)時，盛水筒M位于點，經(jīng)過t秒后運動到點，點P的縱坐標滿足，則當(dāng)筒車旋轉(zhuǎn)100秒時，盛水筒M對應(yīng)的點P的縱坐標為____________．43．（2022春·湖南·高一校聯(lián)考期末）拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點”.在中，已知，且，現(xiàn)以，，為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，，，則的面積最大值為______.44．（2022秋·江蘇常州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）法國數(shù)學(xué)家費馬被稱為業(yè)余數(shù)學(xué)之王，很多數(shù)學(xué)定理以他的名字命名．對而言，若其內(nèi)部的點滿足，則稱為的費馬點．在中，已知，設(shè)為的費馬點，且滿足，．則的外接圓半徑長為_________．45．（2022秋·遼寧沈陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術(shù)，是中國漢族最古老的民間藝術(shù)之一．如圖，紙片為一圓形，直徑，需要剪去四邊形，可以經(jīng)過對折、沿裁剪、展開就可以得到．已知點在圓上且．要使得鏤空的四邊形面積最小，的長應(yīng)為_____．四、解答題46．（2022春·廣東廣州·高一校聯(lián)考期中）仰望星空，時有流星劃過天際，令我們感嘆生命的短暫，又深深震撼我們凡俗的心靈．流星是什么？從古至今，人們作過無數(shù)種猜測．古希臘亞里士多德說，那是地球上的蒸發(fā)物，近代有人進一步認為，那是地球上磷火升空后的燃燒現(xiàn)象．10世紀波斯著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿爾·庫希設(shè)計出一種方案，通過兩個觀測者異地同時觀察同一顆流星，來測定其發(fā)射點的高度．如圖，假設(shè)地球是一個標準的球體，為地球的球心，為地平線，有兩個觀測者在地球上的，兩地同時觀測到一顆流星，觀測的仰角分別為，，其中，，為了方便計算，我們考慮一種理想狀態(tài)，假設(shè)兩個觀測者在地球上的，兩點測得，，地球半徑為公里，兩個觀測者的距離．（參考數(shù)據(jù)：，）（1）求流星發(fā)射點近似高度；（2）在古希臘，科學(xué)不發(fā)達，人們看到流星以為這是地球水分蒸發(fā)后凝結(jié)的固體，已知對流層高度大約在18公里左右，若地球半徑公里，請你據(jù)此判斷該流星是地球蒸發(fā)物還是“天外來客”？并說明理由．47．（2022春·江蘇蘇州·高一吳縣中學(xué)?？计谥校┫聢D所示的畢達格拉斯樹畫是由圖（i）利用幾何畫板或者動態(tài)幾何畫板Geogebra做出來的圖片，其中四邊形ABCD，AEFG，PQBE都是正方形.如果改變圖（i）中的大小會得到更多不同的“樹形”．(1)在圖（i）中，，且，求的值；(2)在圖（ii）中，，設(shè)，求的最大值．48．（2022·全國·高一專題練習(xí)）成都市為迎接2022年世界大學(xué)生運動會，需規(guī)劃公路自行車比賽賽道，該賽道的平面示意圖為如圖的五邊形，根據(jù)自行車比賽的需要，需預(yù)留出，兩條服務(wù)車道（不考慮寬度），，，，，為賽道，，，，．注：為千米．（1）若，求服務(wù)通道的長；（2）在（1）的條件下，求折線賽道的最長值（即最大）．（結(jié)果保留根號）49．（2022·河北張家口·統(tǒng)考三模）“費馬點”是由十七世紀法國業(yè)余數(shù)學(xué)家之王費馬提出并征解的一個問題，該問題是指在位于三角形內(nèi)找一個到三角形三個頂點距離之和最小的點.由當(dāng)時意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出解答，當(dāng)三角形三個內(nèi)角均小于時，“費馬點”與三個頂點的連線正好三等分“費馬點”所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等且均為；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時，所求點為三角形最大內(nèi)角的頂點.在中，??的對邊分別為a?b?c，且，，成等差數(shù)列，.(1)證明：是直角三角形；(2)若O是的“費馬點”，.設(shè)，，，求的值.專題03三角函數(shù)專題（數(shù)學(xué)文化）一、單選題1．（2022春·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）屏風(fēng)文化在我國源遠流長，可追溯到漢代.某屏風(fēng)工藝廠設(shè)計了一款造型優(yōu)美的扇環(huán)形屏風(fēng)，如圖，扇環(huán)外環(huán)弧長為，內(nèi)環(huán)弧長為，徑長（外環(huán)半徑與內(nèi)環(huán)半徑之差）為，若不計外框，則扇環(huán)內(nèi)需要進行工藝制作的面積的估計值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)扇環(huán)的圓心角為，內(nèi)環(huán)半徑為，外環(huán)半徑為，根據(jù)題設(shè)可得和，從而可求扇環(huán)的面積.【詳解】設(shè)扇環(huán)的圓心角為，內(nèi)環(huán)半徑為，外環(huán)半徑為，則，由題意可知，，，所以，所以扇環(huán)內(nèi)需要進行工藝制作的面積的估計值為.故選：C.2．（2021秋·湖南婁底·高三?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同立.甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：已知甲?乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為7步/秒，乙的速度為3步/秒，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東某方向走了一段后與乙相遇.甲?乙各走了多少步？（

）A．20，8 B．24，10C．10.5，24.5 D．24.5，10.5【答案】D【分析】根據(jù)題目信息畫出示意圖，假設(shè)甲?乙相遇時經(jīng)過時間為秒，每步走米，分別得到，，，再在直角三角形中利用勾股定理求解相遇時經(jīng)過的時間，從而得到甲乙相遇時，甲?乙各走的步數(shù).【詳解】由題意，得到示意圖如圖所示，甲?乙從A點出發(fā)，甲走到B處后，又斜向北偏東某方向走了一段后與乙相遇，即在C點相遇，假設(shè)甲?乙相遇時經(jīng)過時間為秒，每步走米，則，，在中，,即，解得：，故甲走了步，乙走了步.故選：D.【點睛】解三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型．(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．(4)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等.3．（2021·河南許昌·校聯(lián)考一模）某校高一年級研究性學(xué)習(xí)小組利用激光多普勒測速儀實地測量復(fù)興號高鐵在某時刻的速度，其工作原理是：激光器發(fā)出的光平均分成兩束射出，在被測物體表面匯聚，探測器接收反射光．當(dāng)物體橫向速度不為零時，反射光相對探測光會發(fā)生頻移，其中為測速儀測得被測物體的橫向速度，為激光波長，為兩束探測光線夾角的一半，如圖，若激光測速儀安裝在距離高鐵處，發(fā)出的激光波長，測得某時刻頻移，則該時刻高鐵的速度約等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知函數(shù)關(guān)系知，結(jié)合已知及示意圖求出，代入求值即可.【詳解】由題設(shè)知：，而，則，∴，即.故選：A.4．（2021·全國·高三專題練習(xí)）音樂，是人類精神通過無意識計算而獲得的愉悅享受，年法國數(shù)學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)代表任何周期性聲音的公式是形如的簡單正弦型函數(shù)之和，而且這些正弦型函數(shù)的頻率都是其中一個最小頻率的整數(shù)倍，比如用小提琴演奏的某音叉的聲音圖象是由下圖三個函數(shù)圖象組成的，則小提琴演奏的該音叉的聲音函數(shù)可以為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由圖1求出、、的值，寫出對應(yīng)函數(shù)的解析式，再結(jié)合選項得出函數(shù)的解析式．【詳解】解：由圖1知，，，所以，所以；結(jié)合題意知，函數(shù)．故選：．5．（2022春·陜西漢中·高一統(tǒng)考期中）第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬季奧運會，是由中國舉辦的國際性奧林匹克賽事．2月5日，在北京冬奧會短道跑道速滑混合接力的比賽中，中國隊以2分37秒348的成績獲得金牌，這也是中國代表團在本屆冬奧會上贏得的首枚金牌．短道速滑，全稱短跑道速度滑冰，是在長度較短的跑道上進行的冰上競速運動．如圖，短道速滑比賽場地的內(nèi)圈半圓的彎道計算半徑為，直道長為．若跑道內(nèi)圈的周長等于半徑為的扇形的周長，則該扇形的圓心角為（參考數(shù)據(jù)：取）（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】先計算出跑道內(nèi)圈的周長，利用扇形的弧長公式即可求得扇形的圓心角.【詳解】由題意得跑道內(nèi)圈的周長為，所以該扇形的圓心角為．故選：C6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了已知三角形三邊求三角形面積的方法，他把這種方法稱為“三斜求積”：以斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得積.在他的著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”里就有已知三邊求三角形面積的問題，該問題翻譯成現(xiàn)代漢語就是：一塊三角形田地，三邊分別為13，14，15，則該三角形田地的面積是（

）A．84 B．168 C．79 D．63【答案】A【分析】根據(jù)“三斜求積”可得三角形面積公式為，代入數(shù)值計算可得；【詳解】解：依題意設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，且，則三角形面積公式為，又，，，所以故選：A7．（2022·全國·高一假期作業(yè)）鑄于明嘉靖十二年的泰山岱廟鐵塔，造型質(zhì)樸雄偉，原有十三級，抗日戰(zhàn)爭中被日軍飛機炸毀，現(xiàn)僅存三級，它的底座是近似圓形的，如圖1．我國古代工匠已經(jīng)知道，將長方體磚塊以某個固定的角度相接就可砌出近似圓形的建筑，現(xiàn)存鐵塔的底座是用10塊一樣的長方體磚塊砌成的近似圓形的墻面，每塊長方體磚塊底面較長的邊長為1個單位，如圖2，則此近似圓形墻面內(nèi)部所能容納最大圓的半徑是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)為內(nèi)切圓的圓心，為內(nèi)切圓的半徑，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)，可得，再根據(jù)銳角三角函數(shù)計算可得；【詳解】解：如圖，設(shè)為內(nèi)切圓的圓心，為內(nèi)切圓的半徑．正十邊形的每個外角為，內(nèi)角為，所以，所以，，，得，解得．故選：B．8．（2022·全國·模擬預(yù)測）《幾何原本》卷Ⅱ的幾何代數(shù)法成了后世數(shù)學(xué)家處理數(shù)學(xué)問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明，這種證明方式優(yōu)雅而直觀.觀察圖形可知，陰影直角三角形的短直角邊為或，所以該圖直觀地反映了公式.通過觀察圖中陰影直角三角形長直角邊和長方形的寬，可得公式（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】觀察可知圖中陰影直角三角形長直角邊為，長方形的寬為，由二者相等可得結(jié)果.【詳解】圖中陰影直角三角形長直角邊為，長方形的寬為，顯然二者相等，所以有.故選：D.9．（2022·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）智能主動降噪耳機工作的原理是通過耳機兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過主動降噪芯片生成的聲波來抵消噪聲（如圖）．已知噪聲的聲波曲線是，通過主動降噪芯片生成的聲波曲線是（其中），則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合余弦型函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】由于抵消噪聲，所以振幅沒有改變，周期沒有改變，即，，即，要想抵消噪聲，需要主動降噪芯片生成的聲波曲線是，即，因為，所以令，即，故選：C10．（2022·高一課時練習(xí)）2021年1月7日，一個戴著紅帽子，扎著紅圍脖，身材圓滾的大雪人在哈爾濱市友誼西路音樂公園內(nèi)落成．這個用雪量2000余立方米的“雪人中的巨人”，寓意著可愛祥和、喜慶豐收，每天約有3000人前來和大雪人合影打卡，已成為松花江畔冬天的新地標，這滿滿的冬日儀式感就是冰城獨特的浪漫．小明同學(xué)為了估算大雪人的高度，在大雪人的正東方向找到一座建筑物AB，高為，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得樓頂A，雪人頭頂C的仰角分別是15°和45°，在樓頂A處測得雪人頭頂C的仰角為15°，則小明估算大雪人的高度為（

）A． B．13m C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)題設(shè)畫出示意圖，利用三角變換公式可求雪人的高度.【詳解】根據(jù)題意可得如圖所示的示意圖：其中，，故，所以，故，又，故，故，故選：A.11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）擲鐵餅是一項體育競技活動．如圖，這是一位擲鐵餅運動員在準備擲出鐵餅的瞬間，張開的雙臂及肩部近似看成一張拉滿弦的“弓”．經(jīng)測量，此時兩手掌心之間的弧長是，“弓”所在圓的半徑為米，則這位擲鐵餅運動員兩手掌心之間的距離約為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【分析】由扇形弧長公式可求得圓心角，根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意作圖如下，由題意知：的長為，為的中點，，，即所求距離約為米.故選：A.12．（2022春·北京豐臺·高一統(tǒng)考期末）古希臘的數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus，約前417-前369）通過圖來構(gòu)造無理數(shù)．記，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用銳角三角函數(shù)求出，，，，再利用兩角和的余弦公式計算可得；【詳解】解：由圖可知，，，，所以故選：B13．（2022·四川廣安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長與太陽天頂距的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識可知，晷影長度等于表高與太陽天頂距正切值的乘積，即.對同一“表高”兩次測量，第一次和第二次太陽天頂距分別為、，若第一次的“晷影長”是“表高”的倍，且，則第二次的“晷影長”是“表高”的（

）倍A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得出，由已知條件結(jié)合兩角差的正切公式可求得的值，即可得解.【詳解】設(shè)第次的“晷影長”是，“表高”為，由題意可知，又因為，則，故.故選：B.14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓、江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”．因范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世．小李為測量岳陽樓的高度選取了與底部水平的直線AC，如圖，測得，，米，則岳陽樓的高度CD為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】由題意可得為等腰三角形，故有米，在中，利用求解即可.【詳解】解：因為，，所以，所以為等腰三角形，所以米，在中，，所以米.故選：B.15．（2022春·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美．為了估算圣·索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高約為36m，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得建筑物頂A、教堂頂C的仰角分別是和，在建筑物頂A處測得教堂頂C的仰角為，則可估算圣·索菲亞教堂的高度CD約為（

）

A．54m B．47m C．50m D．44m【答案】A【分析】根據(jù)題意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出.【詳解】由題可得在直角中，，，所以，在中，，，所以，所以由正弦定理可得，所以，則在直角中，，即圣·索菲亞教堂的高度約為54m.故選：A.16．（2022·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了影長l與太陽天頂距θ（）的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識可知，晷影長l等于表高h與太陽天頂距θ正切值的乘積，即.對同一“表高”測量兩次，第一次和第二次太陽天頂距分別為α，β，若第一次的“晷影長”是“表高”的3倍，且，則第二次的“晷影長”是“表高”的（

）A．1倍 B． C．倍 D．倍【答案】A【分析】先由題意可得，再由正切的和差公式求得，進而可得第二次“晷影長”與“表高”的倍數(shù)關(guān)系.【詳解】由第一次的“晷影長”是“表高”的3倍得，，又，所以，故第二次的“晷影長”是“表高”的1倍.故選：A.17．（2022·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）“割圓術(shù)”是我國古代計算圓周率的一種方法．在公元年左右，由魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)明．其原理就是利用圓內(nèi)接正多邊形的面積逐步逼近圓的面積，進而求．根據(jù)“割圓術(shù)”，若用正二十四邊形來估算圓周率，則的近似值是（

）（精確到）（參考數(shù)據(jù)）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)24個等腰三角形的面積之和約等于圓的面積即可求解.【詳解】設(shè)圓的半徑為，以圓心為頂點將正二十四邊形分割成全等的24個等腰三角形，且頂角為，所以正二十四邊形的面積為，所以有，解得,故選：C．18．（2022秋·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）秦九韶是我國南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的著作《數(shù)書九章》中提出了已知三角形的三邊求面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”以上文字用公式表示就是，其中a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，S是△ABC的面積，在△ABC中，若，，，則△ABC的內(nèi)切圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由內(nèi)心性質(zhì)得（l為△ABC周長），即可求出內(nèi)切圓半徑為r，即可求內(nèi)切圓的面積.【詳解】因為，，，所以．△ABC的周長，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，由，解得．所以△ABC的內(nèi)切圓的面積為．故選：C．19．（2021秋·遼寧營口·高三統(tǒng)考期末）勒洛三角形是定寬曲線所能構(gòu)成的面積最小的圖形，它是德國機械學(xué)家勒洛首先進行研究的，其畫法是：先畫一個正三角形，再以正三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形，如圖所示，若正三角形的邊長為2，則勒洛三角形面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，勒洛三角形面積為以為半徑的半圓的面積減去兩個邊長為的正三角形的面積，再代入數(shù)據(jù)計算即可.【詳解】根據(jù)題意，以正三角形三個頂點為圓心，以邊長為半徑形成的三個圓弧的構(gòu)成了以為半徑的半圓，此時勒洛三角形面積為半圓的面積再減去兩個正三角形的面積即可.所以勒洛三角形面積為.故選：A.【點睛】本題考查扇形的面積計算，考查運算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為求以為半徑的半圓的面積減去兩個邊長為的正三角形的面積.20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）勾股定理被稱為幾何學(xué)的基石，相傳在商代由商高發(fā)現(xiàn)，又稱商高定理，漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖（又稱趙爽弦圖，它由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，如圖1），證明了商高結(jié)論的正確性，現(xiàn)將弦圖中的四條股延長，相同的長度（如將CA延長至D）得到圖2．在圖2中，若，，D，E兩點間的距離為，則弦圖中小正方形的邊長為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】在中利用余弦定理可求出，則可得，再由銳角三角函數(shù)的定義可求出，由勾股定理求出，從而可求得答案【詳解】連接，由條件可得，在中，由余弦定理得，∴，∴，，∴，所以弦圖中小正方形的邊長為．故選：C21．（2022·福建漳州·統(tǒng)考三模）英國化學(xué)家、物理學(xué)家享利·卡文迪許被稱為第一個能測出地球質(zhì)量的人，卡文迪許是從小孩玩的游戲（用一面鏡子將太陽光反射到墻面上，我們只要輕輕晃動一下手中的鏡子，墻上的光斑就會出現(xiàn)大幅度的移動，如圖1）得到靈感，設(shè)計了卡文迪許扭秤實驗來測量萬有引力，由此計算出地球質(zhì)量，他在扭秤兩端分別固定一個質(zhì)量相同的鉛球，中間用一根韌性很好的鋼絲系在支架上，鋼絲上有個小鏡子，用激光照射鏡子，激光反射到一個很遠的地方，標記下此時激光所在的點，然后用兩個質(zhì)量一樣的鉛球同時分別吸引扭秤上的兩個鉛球（如圖2），由于萬有引力作用，根秤微微偏轉(zhuǎn)，但激光所反射的點卻移動了較大的距離，他用此計算出了萬有引力公式中的常數(shù)G，從而計算出了地球的質(zhì)量．在該實驗中，光源位于刻度尺上點P處，從P出發(fā)的光線經(jīng)過鏡面（點M處）反射后，反射光線照射在刻度尺的點Q處，鏡面繞M點順時針旋轉(zhuǎn)a角后，反射光線照射在刻度尺的點處，若△PMQ是正三角形．（如圖3），則下列等式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】過點作，則，，，所以，即可求解．【詳解】過點作，因為△PMQ是正三角形．則，，所以則，解得故選：C22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）趙爽是我國古代著名的數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形組成），如圖（1）類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖（2）所示的形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊角形，設(shè)，若向三角形ABC內(nèi)隨機投一粒芝麻（忽略該芝麻的大?。?，則芝麻落在陰影部分的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)幾何概型的概率公式，求出和的面積，計算所求的概率值．【詳解】由題意，，，，，由余弦定理可得，，，芝麻落在陰影部分的概率為．故選：．23．（2022·河南鄭州·統(tǒng)考三模）位于登封市告成鎮(zhèn)的觀星臺相當(dāng)于一個測量日影的圭表．圭表是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺（稱為“圭”）．當(dāng)正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．如圖是一個根據(jù)鄭州市的地理位置設(shè)計的圭表的示意圖，已知鄭州市冬至正午太陽高度角（即）約為32.5°，夏至正午太陽高度角（即）約為79.5°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即的長）為14米，則表高（即的長）約為（

）（其中，）A．9.27米 B．9.33米 C．9.45米 D．9.51米【答案】C【分析】根據(jù)題意，，進而代入數(shù)據(jù)求解即可.【詳解】解：如圖，，設(shè)表高，則由題知，，所以，因為，，，所以，解得，所以，表高（即的長）約為米.故選：C24．（2022秋·河南鄭州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用2sin表示．若實數(shù)n滿足，則的值為（

）A．4 B． C．2 D．【答案】D【分析】先由平方關(guān)系得，再由倍角公式化簡得，最后由誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】由題意知，，則，又，則.故選：D.25．（2022·高一課時練習(xí)）數(shù)學(xué)家傅里葉關(guān)于三角函數(shù)的研究告訴我們：人類的聲音，小提琴的奏鳴，動物的叫聲等都可以歸結(jié)為一些簡單聲音的組合，而簡單聲音是可以用三角函數(shù)模型描述的．已知描述百靈鳥的叫聲時用到如圖所示的圖象，對應(yīng)的函數(shù)解析式是，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由圖象求得函數(shù)的最小正周期，可求得的值，然后代入點可求得的值.【詳解】由圖象可知，函數(shù)的最小正周期為，則，所以．因為，且函數(shù)在附近單調(diào)遞增，所以，則，因為，所以．故選：C．26．（2022秋·山西太原·高二山西大附中校考開學(xué)考試）筒車是我國古代發(fā)明的一種灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用(圖1)，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理(圖2).現(xiàn)有一個半徑為3米的筒車按逆時針方向每分鐘旋轉(zhuǎn)1圈，筒車的軸心距離水面的高度為2米，設(shè)筒車上的某個盛水筒到水面的距離為(單位:米)(在水面下則為負數(shù))，若以盛水筒剛浮出水面為初始時刻，經(jīng)過秒后，下列命題正確的是（

）(參考數(shù)據(jù):)①，其中，且，②，其中，且，③當(dāng)時，盛水筒再次進入水中，④當(dāng)時，盛水筒到達最高點.A．①③ B．②③ C．②④ D．①④【答案】C【分析】根據(jù)題意作出示意圖，如圖所示，其中為筒車的軸心的位置，為水面，過作于點，為筒車經(jīng)過秒后的位置，連接，過作于點，首先根據(jù)已知條件求出，進而得出，，即可判斷①②，將代入求得的解析式可判斷③，將代入求得的解析式可判斷④.【詳解】根據(jù)題意作出示意圖，如圖所示，其中為筒車的軸心的位置，為水面，過作于點，為筒車經(jīng)過秒后的位置，連接，過作于點，筒車的角速度為，由題意可知，，所以,所以，因為，所以，其中，且，所以①錯誤，②正確，對于③，當(dāng)時，，，，所以，故盛水筒沒有進入水中，所以③錯誤，對于④，當(dāng)時，，，即，所以，所以盛水筒到達最高點，所以④正確，故選：C27．（2022秋·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)史上，為了三角計算的簡便并且更加追求計算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩種三角函數(shù)：定義為角的正矢，記作；定義為角的余矢，記作.給出下列結(jié)論：①函數(shù)在上單調(diào)遞增；②若，則；③若，則的最小值為0；④若，則的最小值為.其中所有正確結(jié)論的序號為（

）A．①② B．③④ C．①③④ D．②③④【答案】D【分析】利用定義性函數(shù)和三角函數(shù)關(guān)系式的變換判斷各選項即可得到結(jié)論.【詳解】因為，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故①錯誤；因為，所以，故②正確；，令，則，所以，所以，故③正確；因為，所以，故④正確.故選：D.28．（2022秋·廣東肇慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）《周髀算經(jīng)》是我國最早的數(shù)學(xué)典籍，書中記載：我國早在商代時期，數(shù)學(xué)家商高就發(fā)現(xiàn)了勾股定理，亦稱商高定理三國時期數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了如圖1的“勾股圓方圖”（以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成），用數(shù)形結(jié)合法給出了勾股定理的詳細證明.現(xiàn)將“勾股圓方圖”中的四條股延長相同的長度得到圖2.在圖2中，若，，G，F(xiàn)兩點間的距離為，則“勾股圓方圖”中小正方形的面積為（

）A．9 B．4 C．3 D．8【答案】B【分析】先在中，利用余弦定理求解，再在中結(jié)合勾股定理求解，繼而分析即得解.【詳解】由條件可得.在中，由余弦定理得，∴，∴，，∴，∴“勾股圓方圖”中小正方形的邊長為，∴面積為4.故選：B29．（2022·上海嘉定·統(tǒng)考一模）中國古代數(shù)學(xué)家用圓內(nèi)接正邊形的周長來近似計算圓周長，以估計圓周率的值.若據(jù)此證明，則正整數(shù)至少等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出圓內(nèi)接正邊形的周長，與直徑之比與3.14進行比較即可.【詳解】如圖，圓內(nèi)接邊形，為中點，半徑為，圓周率，由計算器可得：故選：C二、多選題30．（2021秋·山東臨沂·高一臨沂第四中學(xué)校考期末）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，衛(wèi)星圖片可以看成一個圓形，如果將其一分為二成兩個扇形，設(shè)其中一個扇形的面積為，圓心角為，天壇中剩余部分扇形的面積為，圓心角為，當(dāng)與的比值為時，則裁剪出來的扇形看上去較為美觀，那么（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】理解題意，根據(jù)扇形的面積公式化簡，對選項依次判斷【詳解】設(shè)天壇的圓形的半徑為，由，故D正確；由，所以，解得，故C正確；由，則，所以，所以，故A正確，B錯誤．故選：ACD31．（2020秋·福建福州·高三福建省福州華僑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后，在落潮時返回海洋.一艘貨船的吃水深度（船底到水面的距離）為4m.安全條例規(guī)定至少要有2.25m的安全間隙（船底到海底的距離），下表給出了某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深.時刻水深/m時刻水深/m時刻水深/m0：005.09：002.518：005.03：007.512：005.021：002.56：005.015：007.524：005.0若選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系，則下列說法中正確的有（

）A． B．C．該貨船在2：00至4：00期間可以進港 D．該貨船在13：00至17：00期間可以進港【答案】BCD【分析】依據(jù)題中所給表格，寫出的表達式而判斷選項A，B；再根據(jù)船進港的條件列出不等式，求解即可判斷選項C，D.【詳解】依據(jù)表格中數(shù)據(jù)知，可設(shè)函數(shù)為，由已知數(shù)據(jù)求得，，周期，所以﹐所以有，選項A錯誤；選項B正確；由于船進港水深至少要6.25，所以，得，又，則有或，從而有或，選項C，D都正確.故選：BCD【點睛】解三角不等式關(guān)鍵在于：找準不等式中的函數(shù)值m所對角；長為一個周期的區(qū)間內(nèi)相位所在范圍.32．（2022秋·福建莆田·高三莆田第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）聲音是由物體振動產(chǎn)生的波，每一個音都是由純音合成的.已知純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù).我們平常聽到的樂音是許多音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則（

）A．的最大值為 B．為的最小正周期C．為曲線的對稱軸 D．為曲線的對稱中心【答案】BD【分析】分析函數(shù)與不能同時取得最大值可判斷A；由的最小正周期是，的最小正周期是可判斷B；計算是否成立可判斷C；計算是否成立可判斷D；進而可得正確選項.【詳解】對于A：若的最大值為，則與同時取得最大值，當(dāng)取得最大值時，，可得取不到，若取得最大值時，，此時，而取不到，所以與不可能同時取得最大值，故選項A不正確；對于B：因為的最小正周期是，的最小正周期是，且，所以為的最小正周期，故選項B正確；對于C：，，所以不恒成立，即，所以不是曲線的對稱軸，故選項C不正確；對于D：，所以對于任意的恒成立，所以為曲線的對稱中心，故選項D正確；故選：BD.33．（2022春·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）幾何學(xué)里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割．底與腰之比為黃金分割比（）的黃金三角形是“最美三角形”，即頂角為36°的等腰三角形．例如，中國國旗上的五角星就是由五個“最美三角形”與一個正五邊形組成的．如圖，將五角星的五個頂點相連，記正五邊形的邊長為，正五邊形的邊長為，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．對任意的，【答案】ACD【分析】依題意，即，再根據(jù)所給定義及三角恒等變換公式一一計算可得；【詳解】解：依題意，即，在中，由正弦定理可得，所以，因為，所以，所以，即，，，故A正確；又，，，、，所以，即，所以，即，所以，故C正確，B錯誤；因為，所以，則，所以，故D正確；故選：ACD三、填空題34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》方田篇記載“宛田面積術(shù)曰：以徑乘周，四而一”（注：宛田，扇形形狀的田地：徑，扇形所在圓的直徑；周，扇形的弧長），即古人計算扇形面積的公式為：扇形面．現(xiàn)有一宛田的面積為，周為，則徑是__________．【答案】【分析】根據(jù)扇形面代入數(shù)值計算即可.【詳解】根據(jù)題意，因為扇形面，且宛田的面積為，周為，所以，解得徑是：.故答案為：.35．（2022·全國·高三專題練習(xí)）2022年北京冬奧會閉幕式上，呈現(xiàn)了大雪花（火炬）被中國結(jié)緊緊包裹的畫面，體現(xiàn)了中國“世界大同，天下一家”的理念，數(shù)學(xué)中也有類似“包裹”的圖形.如圖，雙圓四邊形即不僅有內(nèi)切圓而且有外接圓的四邊形，20世紀80年代末，國內(nèi)許多學(xué)者對雙圓四邊形進行了大量研究，如：邊長分別為a，b，c，d的雙圓四邊形，則其內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑.現(xiàn)有邊長均為1的雙圓四邊形，則___________.【答案】【分析】直接由題目所給公式計算外接圓和內(nèi)切圓半徑即可求解.【詳解】由題意知：，故，，，故.故答案為：.36．（2022秋·浙江金華·高一浙江金華第一中學(xué)校聯(lián)考期末）以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德國機械工程專家、機構(gòu)運動學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，所以以他的名字命名.一些地方的市政檢修井蓋、方孔轉(zhuǎn)機等都有應(yīng)用勒洛三角形.如圖，已知某勒洛三角形的一段弧的長度為，則該勒洛三角形的面積是___________.【答案】【分析】計算出一個弓形的面積，由題意可知，勒洛三角形由三個全等的弓形以及一個正三角形構(gòu)成，利用弓形和正三角形的面積可求得結(jié)果.【詳解】由弧長公式可得，可得，所以，由和線段所圍成的弓形的面積為，而勒洛三角形由三個全等的弓形以及一個正三角形構(gòu)成，因此，該勒洛三角形的面積為.故答案為：.37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）《后漢書·張衡傳》：“陽嘉元年，復(fù)造候風(fēng)地動儀.以精銅鑄成，員徑八尺，合蓋隆起，形似酒尊，飾以篆文山龜鳥獸之形.中有都柱，傍行八道，施關(guān)發(fā)機.外有八龍，首銜銅丸，下有蟾蜍，張口承之.其牙機巧制，皆隱在尊中，覆蓋周密無際.如有地動，尊則振龍，機發(fā)吐丸，而蟾蜍銜之.振聲激揚，伺者因此覺知.雖一龍發(fā)機，而七首不動，尋其方面，乃知震之所在.驗之以事，合契若神.”如圖，為張衡地動儀的結(jié)構(gòu)圖，現(xiàn)要在相距200km的A，B兩地各放置一個地動儀，B在A的東偏北60°方向，若A地動儀正東方向的銅丸落下，B地東南方向的銅丸落下，則地震的位置在A地正東________________km.【答案】【分析】依題意畫出圖象，即可得到，，再利用正弦定理計算可得；【詳解】解：如圖，設(shè)震源在C處，則，則由題意可得，根據(jù)正弦定理可得，又所以，所以震源在A地正東處.故答案為：38．（2022秋·河南·高二校聯(lián)考期末）臺球賽的一種得分戰(zhàn)術(shù)手段叫做“斯諾克”：在白色本球與目標球之間，設(shè)置障礙，使得本球不能直接擊打目標球.如圖，某場比賽中，某選手被對手做成了一個“斯諾克”，本球需經(jīng)過邊，兩次反彈后擊打目標球N，點M到的距離分別為，點N到的距離分別為，將M，N看成質(zhì)點，本球在M點處，若擊打成功，則___________．【答案】【分析】以C為原點，邊分別為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，寫出的坐標，求出關(guān)于軸的對稱點的坐標，關(guān)于軸的對稱點的坐標，則直線方向為本球射出方向，利用斜率公式和誘導(dǎo)公式可求出結(jié)果.【詳解】以C為原點，邊分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，如圖，則，N關(guān)于x軸的對稱點為關(guān)于y軸的對稱點為，直線方向為本球射出方向，故,.故答案為：.39．（2021秋·山東臨沂·高一臨沂第四中學(xué)?？计谀?020年12月4日，我國科學(xué)家宣布構(gòu)建了76個光子（量子比特）的量子計算原型機“九章”．“九章”得名于我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》，書中有一個“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？”其意思為“今有水池1丈見方（即尺），蘆葦生長在水的中央，長出水面的部分為1尺．將蘆葦向池岸牽引，恰巧與水岸齊接（如圖所示）.設(shè)，則的值為__________．【答案】【分析】根據(jù)題意，將長度設(shè)為尺，則長度為尺，利用勾股定理求出得各邊長，得到的值，再利用二倍角公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意得，在中，，，設(shè)長度為尺，則長度為尺，所以，即，解得，即，所以，又因為，所以或，因為，所以，所以.故答案為：.40．（2021秋·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習(xí)）斯特瓦爾特（Stewart）定理是由世紀的英國數(shù)學(xué)家提出的關(guān)于三角形中線段之間關(guān)系的結(jié)論．根據(jù)斯特瓦爾特定理可得出如下結(jié)論：設(shè)中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，點在邊上，且，則．已知中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，，，點在上，且的面積與的面積之比為，則______．【答案】##【分析】由正弦定理可求得角的值，由余弦定理可得出的值，由已知可得出，再利用斯特瓦爾特定理可求得的長.【詳解】由及正弦定理可得，，則，所以，，則，，故，，，由余弦定理可得，，則，故，由斯特瓦爾特定理可得，因此，.故答案為：.41．（2022春·全國·高一期末）克羅狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對角互補時取等號，根據(jù)以上材料，完成下題：如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點，OA＝2，B為半圓上一點，以AB為一邊作等邊三角形ABC，則當(dāng)線段OC的長取最大值時，∠AOC＝________.【答案】60°##【分析】由題中給出的原理，得出的最大值，以及取最大值時的條件，再結(jié)合余弦定理可得出答案.【詳解】因為OB·AC＋OA·BCOC·AB，且△ABC為等邊三角形，OB＝1，OA＝2，所以O(shè)B＋OAOC，所以，所以O(shè)C的最大值為3，取等號時，∠OBC＋∠OAC＝180°，所以cos∠OBC＋cos∠OAC＝0，不妨設(shè)AB＝x，所以＋＝0，解得，所以cos∠AOC＝，所以∠AOC＝60°．故答案為：42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖1）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動如圖2，將筒車抽象為一個半徑為的圓，設(shè)筒車按逆時針方向每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒，當(dāng)時，盛水筒M位于點，經(jīng)過t秒后運動到點，點P的縱坐標滿足，則當(dāng)筒車旋轉(zhuǎn)100秒時，盛水筒M對應(yīng)的點P的縱坐標為____________．【答案】【分析】根據(jù)筒車按逆時針方向每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒，可求出，由時，求出和，從而可求出的關(guān)系式，進而可求出點P的縱坐標【詳解】因為筒車按逆時針方向每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒，所以，得，所以，因為當(dāng)時，盛水筒M位于點，所以，所以，因為，所以，得，因為，所以，所以，所以，所以當(dāng)筒車旋轉(zhuǎn)100秒時，盛水筒M對應(yīng)的點P的縱坐標為，故答案為：43．（2022春·湖南·高一校聯(lián)考期末）拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊