定積分的概念教案知識講解

定積分的概念教案教材內(nèi)分學(xué)生情分教學(xué)目教學(xué)重教學(xué)難教學(xué)方輔助工

定積分概人教A版必修教微積分的出現(xiàn)和發(fā)展，極大的推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)也推動了天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)等自然科學(xué)、社會科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個分支中的發(fā)展。本節(jié)課是定積分概念的第一節(jié)課，教材借助求曲邊梯形的面積和物理中變速直線運(yùn)動的路程，通過直觀具體的實(shí)例引入到定積分的學(xué)習(xí)中，為定積分概念構(gòu)建認(rèn)知基礎(chǔ)，為理解定積分概念及幾何意義起到了鋪墊作用，同時(shí)也為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)。本節(jié)課的教學(xué)對象是本校實(shí)驗(yàn)班學(xué)生，學(xué)生思維比較活躍，理解能力、運(yùn)算能力和學(xué)習(xí)交流能力較強(qiáng)。學(xué)生前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值及生活中的優(yōu)化問題等，滲透了微分思想。從學(xué)生的思維特點(diǎn)看，比較容易把劉徽的“圓術(shù)”本節(jié)課知識聯(lián)系到一起，能夠初步了解到“直代曲”“限逼近”重要數(shù)學(xué)思想，但是在具體的“直代曲”程中，如何選擇適當(dāng)?shù)闹边厛D形來代替曲邊梯形會有一些困難。在對“限”“限逼”理解，即理解為什么將直邊圖形面積和取極限正好是曲邊梯形面積的精確值及在對定積分定義的歸納中符號的理解上也會有一些困難。．從物理問題情境中了解定積分概念的實(shí)際背景，初步掌握求曲邊梯形的面積的方法和步驟：、近似代替、求和、取極限；．經(jīng)歷求曲變梯形面積的過程，借助幾何直觀體會“直代曲”“近”思想，學(xué)習(xí)歸納、類比的推理方式，體驗(yàn)從特殊到一般、從具體到抽象、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；．認(rèn)“限與無限的對立統(tǒng)”觀感受數(shù)學(xué)的簡單、簡潔之美．直觀體會定積分的基本思想方法“直代”“限逼”想；初步掌握求曲邊梯形面積的方法步驟—“步”即：分割、近似代替、求和、取極限）對“以直代、“”的形成過程的理解．教師適時(shí)引導(dǎo)和學(xué)生自主探究發(fā)現(xiàn)相結(jié)合．投影展臺，幾何畫板．教學(xué)過引入新

問題：汽車以速v速直線運(yùn)動時(shí)，經(jīng)過時(shí)t行駛的路程為vt如果汽車作變速直線運(yùn)動，在時(shí)t度位：km/h，那么它在0t1(位h)這段時(shí)間內(nèi)行駛的路（單位km）是多少？如圖，陰影部分類似于一個梯形，但有一邊是曲線fx)的一

創(chuàng)設(shè)情境，引入這節(jié)課所要研究的問題.段，我們把由直線

x,x(),y線fx)

所圍

學(xué)生需要用原有的類比探，形成方

成的圖形稱曲邊梯．如何計(jì)算這個曲邊梯形的面積？（1）溫知，墊想問題1我們在以前的學(xué)習(xí)經(jīng)歷中有沒有用直邊圖形的面積計(jì)算曲邊圖形面積這樣的例子？問題2在割圓術(shù)中為什么用正多邊形的面積計(jì)算圓的面積？為什么要逐次加倍正多邊形的邊數(shù)？（2）類遷，組究問題3能不能類比割圓術(shù)的思想和操作方法把曲邊梯形的面積問題轉(zhuǎn)化為直邊圖形的面積問題？學(xué)生活動：學(xué)生進(jìn)行分組討論、探究。（3）匯比，成法

知識與經(jīng)驗(yàn)去同化或順應(yīng)當(dāng)前要學(xué)習(xí)的新知識，所以問題1引導(dǎo)學(xué)生回憶割圓術(shù)的作法，通過問題2學(xué)生思考割圓術(shù)中的思想方----“以直代曲”“無近”通過問題3發(fā)望，明確解決問題的方向。學(xué)生進(jìn)行匯報(bào)、交流，得出不同的分割方案。問題4請比較不同方案的區(qū)別，哪種方案既實(shí)現(xiàn)了“直代曲”和“限逼近”又更便于實(shí)際操作？

通過問題4導(dǎo)學(xué)生選擇便于操作的方案，培養(yǎng)學(xué)生識。特例應(yīng)用，

例1：圖中陰影部分是由拋物線

yx

，直線

x

以及

軸所圍細(xì)化操作

成的平面圖形的面積S問題1為了逐步減小誤差，需要對曲邊梯形進(jìn)行分割，具體怎樣分割？問題2對每個小曲邊梯形如何“直代曲”12）問題3如何得到整個曲邊梯形的面積？問題4直邊圖形的面積怎樣才能越來越接近曲邊梯形面積的準(zhǔn)確值？能否得到準(zhǔn)確值？圖形方式：數(shù)表方式：

由于分割和近似代替的方案在前面一個階段已經(jīng)解決，問題13主引導(dǎo)學(xué)生在特例中對方案進(jìn)行細(xì)化操作，初步經(jīng)歷分割、近似代替及求和的過程。問題4為了完成從近似值到精確值的轉(zhuǎn)化，這也是本節(jié)課的難點(diǎn)之一。為了突破這個難點(diǎn)，教學(xué)中用圖形、數(shù)表和取極限三種方式引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象的過程。n1niin1nii③取極限方式1當(dāng)。兩個近似的代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危簄1(n111)nn1nn11)(2)n6n

，。進(jìn)而發(fā)現(xiàn)兩個近似值會無限接近一個常數(shù)，這個常數(shù)就是曲邊梯形面積的準(zhǔn)確值。ii問題5用每個小區(qū)間的左、右端點(diǎn)的函數(shù)值f()和f)n作為近似值計(jì)算曲邊梯形的面積得到的結(jié)果相同，如果用每個小區(qū)間任意一點(diǎn)處的函數(shù)值作為近似代替，是否也可以求出曲邊梯形的面積，結(jié)果是否一樣？問題6回顧求曲邊梯形面積的整個過程，你能概括出求這個曲

通過問題5引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀發(fā)現(xiàn)曲邊梯形的面積與近似代替在每個小區(qū)間上選取的點(diǎn)無關(guān)。問題7導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一般的曲邊梯形和由直線和曲線圍成的特殊的曲邊梯形相比，只是區(qū)邊梯形面積的方法嗎？分近似代求取極限問題7對于一般的由直線x,(),y

和曲線

間和函數(shù)不同，解決問題的方法和步驟是完全相同的。yf()

所圍成的曲邊梯形的面積應(yīng)該如何來求？

進(jìn)行從特殊到一般的推廣，實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的提升。從前面求曲邊圖形面積以及求變速直線運(yùn)動路程的過程發(fā)現(xiàn)，它們都可以通過“割、近似代替、求和、取極限得到解決，且都?xì)w結(jié)為求一個特定形式和的極限，lim0

i

f

fni歸納總，

事實(shí)上，許多問題都可以歸結(jié)為求這種特定形式和的極限定積分概：一般地，設(shè)函數(shù)f區(qū)[a,b續(xù)，用分點(diǎn)xxxii將區(qū)[a,]等成n區(qū)間，在每個小區(qū),xii

引導(dǎo)學(xué)生歸納、抽象得到求定積分的概念，由淺入深、由易到難、由特殊到一般，幫助學(xué)生完成思維的提bnniifbnniif()dxfi3形成概

i當(dāng)

Lnffnii式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)

升.f(

在區(qū)間

[a,]

上的定積分。記為：

f)dx

即n=ni其中函數(shù)f(做

叫做

變量，區(qū)間

[a,]

為區(qū)間

積分

a

積分。課堂小

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你們學(xué)到了哪些知識？掌握了哪些思想方法？引導(dǎo)學(xué)生歸納出以下要點(diǎn)：．定積分的實(shí)?．定積分的思想和方?1.求由曲線yx與直線x，y所成的平面圖形的面.

師生共同完成對本