八.速率方程組與粒子數反轉

激光原理與技術

LaserPrinciple&Technology物理與光電工程學院顧芳2.2速率方程組與粒子數反轉NanjingUniversityofInformationScience&Technology物理學專業(yè)方向選修課回顧：實現粒子數反轉的兩個必要條件:①工作物質粒子有適當的能級結構②有合適的激勵能源在1.5節(jié)中進行了定性分析，本節(jié)將進行定量分析。

速率方程方法以及速率方程的求解步驟速率方程方法:分析粒子系統(tǒng)能否實現反轉的一種方法

速率方程組:描述各能級粒子數(密度)變化速率的方程組(2)求出速率方程的穩(wěn)定解(數學解):求出穩(wěn)態(tài)下()各能級的粒子數,或比值

其中nj，ni分別是激光上能級和下能級上的粒子數。穩(wěn)態(tài)----達到動態(tài)平衡時，穩(wěn)態(tài)下各能級粒子數密度不再變化(即)。

(3)確定粒子數反轉(即）的物理條件(物理解)(1)列出速率方程:(i=1,2,...m)m是參與光和物質相互作用的能級數。若粒子有m個能級，則可列出m個方程，其中(m-1)個獨立。速率方程的求解步驟:

2.2速率方程組與粒子數反轉2.2.1三能級系統(tǒng)和四能級系統(tǒng)2.2.2速率方程組2.2.3穩(wěn)態(tài)工作時的粒子數密度反轉分布2.2.4小信號工作時的粒子數密度反轉分布2.2.5均勻增寬型介質的粒子數密度反轉分布2.2.6均勻增寬型介質粒子數密度反轉分布的飽和效應2.2.1三能級系統(tǒng)和四能級系統(tǒng)一、雙能級系統(tǒng)及其速率方程1、能級圖

規(guī)定:實線箭頭代表輻射躍遷;虛線箭頭代表非輻射躍遷。其中：W12：受激吸收幾率(激勵幾率)

W21：受激輻射幾率

A21：自發(fā)輻射幾率

ω21：非輻射躍遷幾率

非輻射躍遷表示原子在不同能級躍遷時并不伴隨光子的輻射或吸收，而是把多余的能量傳給了別的原子或吸收別的原子傳給它的能量，所以不存在選擇定則的限制。

2、速率方程：雙能級系統(tǒng)只有1個獨立的速率方程方程中的每一項:某一過程的幾率與該過程始態(tài)能級上的粒子數乘積等于該過程導致的粒子數變化率能級E2上粒子數密度的變化率為：第一項：受激吸收引起的n2的增加率,取正號(過程幾率與過程始態(tài)上粒子數的乘積);第二項：受激輻射引起的n2的減少率,取負號;第三項：自發(fā)輻射引起的n2的減少率,取負號;第四項：非輻射躍遷引起的n2的減少率,取負號。若設

g1=g2

,則

W12=W21=W,速率方程變?yōu)?/p>

3、穩(wěn)定解(數學解):穩(wěn)態(tài)下,故

可見:對二能級系統(tǒng)，一般總有；僅當受激吸收幾率很大時(),

4、結論：在光頻區(qū)，雙能級系統(tǒng)不可能實現粒子數反轉二、實現上下能級之間粒子數反轉產生激光的物理過程：1、三能級系統(tǒng)圖(紅寶石激光器):其中

E1

：基態(tài)能級,又是激光下能級,也是抽運能級。

E2

：激光上能級,是亞穩(wěn)能級(ω21小)。

E3

：抽運能級,非輻射躍遷幾率大(ω32大)其主要特征是激光的下能級為基態(tài)，極易積累粒子(幾乎聚集了所有粒子)，發(fā)光過程中下能級的粒子數一直保存有相當的數量，對抽運的要求很高。所以不易實現粒子數反轉.可見：四能級系統(tǒng)要實現粒子數反轉，只要求n2＞n1，而不必令n2＞n0，而n0則是極易積累的基態(tài)粒子數。E0:基態(tài)能級E1:非基態(tài)能級，也是一個激發(fā)態(tài)能,是激光下能級,

t1小而w10大(迅速弛豫到E0，抽空E1，減少n1)，常溫下基本上是一個空能級。E2:激光上能級/亞穩(wěn)能級(易積累n2)E3:光抽運能級,

τ3小，而ω32

大(迅速弛豫到E2)

2、四能級系統(tǒng)圖(大多數激光物質是該系統(tǒng)）:1、圖中所示為一個簡化的四能級圖，n0、n1、n2分別為基態(tài)、上能級、下能級的粒子數密度；n為單位體積內增益介質的總粒子數，R1、R2分別是激勵能源將基態(tài)E0上的粒子抽運到E1、E2能級上的速率；

2、速率方程:3個能級應有2個獨立方程（1）E2能級在單位時間內增加的粒子數密度為：2.2.2速率方程組此處因為考慮到介質的線型函數遠比傳播著的光能量密度為r的單色受激輻射光的線寬要寬得多，故用(1-54)式和(1-55)式因為E2能級向E1能級的自發(fā)躍遷幾率A21遠大于E2能級向基級能級E0的自發(fā)躍遷幾率A20

，所以這里沒有考慮由A20引起的躍遷。(1-54)(1-55)ρv（2）E1能級在單位時間內增加的粒子數密度為：式中各項的物理過程及物理意義如同以上所述?？偟牧Ｗ訑禐楦髂芗壛Ｗ訑抵退俾史匠探M以上三式即為在增益介質中同時存在抽運、吸收、自發(fā)輻射和受激輻射時各能級上的粒子數密度隨時間變化的速率方程組。2.2.3穩(wěn)態(tài)工作時的粒子數密度反轉分布一、當激光器工作達到穩(wěn)定時,抽運和躍遷達到動態(tài)平衡，各能級上粒子數密度并不隨時間而改變，即：假設能級E2、E1的簡并度相等，即g1=g2，因此有B12=B21，則有：將上兩式相加可得：由上幾式可得：則激光上下能級粒子數密度反轉分布的表達式為：式中t1、t2

分別為上、下能級的壽命。（2-7）小信號粒子數密度反轉分布P342.2.4小信號工作時的粒子數密度反轉分布由式一、小信號粒子數密度反轉分布它是當分母中的第二項為零時的粒子數密度反轉分布值。而分母中的第二項一定是個正值，因此它又是粒子數密度反轉分布值可能達到的最大值。顯然只有在諧振腔中傳播的單色光能密度可能趨近于零(ρ→0即I→0)，換句話說，參數Dn0對應著諧振腔的單色光能密度為零或者近似為零時的粒子數密度反轉分布的大小，即Dn0對應著激光諧振腔尚未發(fā)出激光時的狀態(tài),通常把這個狀態(tài)叫作小信號工作狀態(tài)，而Dn0就被稱作是小信號工作時的粒子數密度反轉分布?？傻茫海?-7）二、小信號粒子數反轉的物理條件1、激光上能級E2的壽命要長,使該能級上的粒子不能輕易地通過非受激輻射而離開;2、激光下能級E1的壽命要短,使該能級上的粒子很快地衰減;3、選擇合適的激勵能源，使它對介質的E2能級的抽運速率R2愈大愈好，而E1能級的抽運速率R1愈小愈好。由式可知:激光工作物質的光譜線型函數對激光器的工作有很大的影響。具有均勻加寬譜線和具有非均勻加寬譜線的工作物質的反轉密度行為有很大差別,由它們所構成的激光器的工作特性也有很大不同，本節(jié)將討論均勻加寬譜線的粒子數密度反轉分布情況。2.2.5均勻增寬型介質的粒子數密度反轉分布（2-7）從譜線加寬角度看：對均勻加寬，每個粒子的自發(fā)輻射具有完全相同的線型函數、線寬、中心頻率。自然增寬，碰撞增寬對于均勻增寬的介質，其線型函數可以表示為：如果介質中傳播的光波頻率為n0，則有：且（2-7）因此，當光波頻率為n0時，(2-7)分母中第二項可以改寫為：其中Is為飽和光強：如果介質中傳播的光波頻率，則有：則有：一般情況下的粒子數密度反轉分布可以表示為：這就是均勻增寬型介質E2、E1能級間粒子數反轉分布的表達式。它給出能級間粒子數反轉分布值與腔內光強、光波的中心頻率、介質的飽和光強、激勵能源的抽運速率以及介質能級的壽命等參量的定量關系。(2-10)均勻增寬情形:只要入射光頻率在譜線線寬范圍內,所有粒子都參加受激輻射/吸收.其中2.2.6均勻增寬型介質粒子數密度反轉分布的飽和效應從式中可以看出，當腔內光強I≈0（即小信號）時，介質中的粒子數密度反轉分布值Dn最大，其值為Dn0，Dn0由能級壽命、抽運速率所決定。當腔內光強的影響不能忽略時，粒子數反轉分布值Dn將隨光強的增加而減小，將這種現象稱為粒子數密度反轉分布的飽和效應。因此，飽和效應的原因是：入射光引起強烈的受激輻射使激光上能級粒子數減少。(2-10)一、粒子數反轉分布的飽和效應二.△n與入射光頻率v的關系討論①n=n0時:(入射光頻率等于譜線中心頻率)可見：I一定時，對不同入射光頻率v，△n不同。只要I≠0，必有Dn<Dn0，有飽和效應;0IsI若I≈Is,

Dn≈Dn0/2，飽和效應顯著。這是因為中心頻率處受激輻射的幾率最大，故入射光造成的反轉粒子數下降越嚴重。

(2-10)討論②nn0

時:(入射光頻率偏離譜線中心頻率時)在處，結論:不論v是否偏離v0均有飽和效應;偏離v0越遠,飽和作用越弱。(2-10)只要I≠0，必有Dn<Dn0，仍有飽和效應;若I≈Is時，

討論③為了更具體地說明頻率對n的影響，令腔中光強都等于Is，根據上式算出幾個頻率下的n值，如下表，可以看出，隨著頻率對中心頻率的偏離，光波對粒子數密度反轉分布值的影響逐漸減小。

頻率

(2-10)確定對介質有影響的光波的頻率范圍，通常采用與線型函數的線寬同樣的定義方法：頻率為0、強度為Is的光波使n0減少了n02，這里把使n0減少(n02)/2的光波頻率與0之間的間隔，定義為能使介質產生飽和作用的頻率范圍，通常認為頻率在此范圍內的入射光才會引起顯著的飽和作用。(2-10)三、飽和光強（飽和參量）Is的物理意義:衡量飽和的程度▲

I<<IS時,Dn和I無關,飽和可忽略。▲

I~IS

時,Dn隨I增大而下降,顯著飽和?！?/p>

IS由介質性質決定,從手冊查出。Is的數值取決于增益介質的性質，它可以由實驗測定，或由經驗公式確定。氦氖激光器:Is=0.1W/mm2～0.3W/mm2二氧化碳激光器:Is=W/mm2d：放電管的直徑，單位為mm增益系數對激光器的工作特性起著十分重要的作用。實驗發(fā)現，不同的介質，其增益系數可以有很大的差別，同一種介質的增益系數也隨工作條件的變化而改變。介質的增益系數隨頻率變化的規(guī)律和介質的線型函數隨頻率相似。當測量增益系數所用的入射光強度很小，尚未發(fā)出激光時，測得的增益系數是一個常數；當測量所用的光強增大到一定程度后，增益系數的值將隨光強的增加而下降，產生飽和現象。飽和效應:隨著I

，G、Dn飽和原因:入射光引起強烈的受激幅射使激光上能級粒子數減少。I很小時,

Dn0和G0均為常數;

式中G（增益的相對速率）代表光波在介質中經過單位長度路程光強的相對增長率，也代表介質對光波放大能力的大小，將G稱為增益系數。G

＞0相當于A(z)＜0,介質不再是吸收介質而是光放大介質。2.3節(jié)內容提要2.3.1均勻增益介質的增益系數2.3.2均勻增寬介質的增益飽和

1.介質對頻率為n0、光強為I的光波的增益系數

2.介質對頻率為n、光強為I的光波的增益系數

3.頻率為n、強度為I的強光作用下的增益介質對另一小信號光波i(ni)的增益系數一、標志介質受激放大能力的物理量─增益系數G，可以表示為考慮到均勻增寬介質的粒子數反轉分布，有：2.3.1均勻增寬介質的增益系數可見：G0(n)與光強無關，僅是頻率的函數。小信號(未發(fā)生光放大時）I<<Is增益系數：圖中所示為G0(n)與譜線的線型函數f(n)有相似的變化規(guī)律。該曲線稱為小信號增益曲線，其形狀完全取決于線型函數。(2-12)(2-13)由于光的頻率n很大，線寬Dn<<n，所以hn0與hn可以相互替代。因此，將(2-13)代入(2-12)式，得到均勻增寬介質增益系數的表達式：(2-13)(2-14)(2-15)中心頻率處（）的小信號增益系數2.3.2均勻增寬介質的增益飽和增益飽和：在抽運速率一定的條件下，當入射光的光強很弱時，增益系數是一個常數；當入射光的光強到一定程度后，增益系數。增益飽和現象可以分三種情況討論：1.介質對頻率為n0、光強為I的光波的增益系數

2.介質對頻率為n、光強為I的光波的增益系數

3.頻率為n、強度為I的強光作用下的增益介質對另一小信號光波i(ni)的增益系數

1、v=v0

及I<<Is

時，即入射光強很小,且入射光頻率與譜線中心頻率重合時,介質對此光波的增益系數：中心頻率處小信號增益系數：可見:無飽和現象（G與I無關），且G有最大值G0(n0)。中心頻率小信號增益系數決定于工作物質特性及抽運速率。

f(v0)可由實驗測出。(2-16)介質對此光波的增益系數(2-14)1.介質對頻率為v=v0、光強為I~Is的光波的增益系數此時均勻介質對光波的增益系數為：可見:只要I~Is,則不論v為何值均有飽和，且有(2-16)飽和光強Is：是激光工作物質的一個重要參量，它決定了激光器

的輸出功率。2、v

v0

時，入射光強為I的光波的增益系數（介質對此光波的增益系數）為：此式說明：當腔內光波的頻率nn0時也會引起增益飽和，只是不如當n=n0時的作用那樣顯著。(2-17)其中(2-14)將(2-17)式的形式稍加改變即可得到用中心頻率處小信號增益系數G0(n0)表示的增益系數的表達式可以看出，當I=Is時，增益系數降至小信號時增益的一半。(2-17)(2-19)(2-17)(2-19)為了比較各種頻率的光波在介質中獲得增益的大小，也為了比較各種頻率的光波對增益系數作用的大小，根據(2-19)式列表，令表中各種頻率光波的光強都等于飽和光強Is。并作曲線如圖所示。光波對介質的增益飽和作用可以忽略。根據(2-19)式，介質對頻率為n0光波的增益系數值最大，該光波的增益飽和作用也最大，當(2-19)以上討論了當頻率為v,強度為Iv光入射時,它本身所能獲得的增益系數G(n)隨Iν增加而下降的規(guī)律?，F在設有一頻率為v,強度變?yōu)镮n的強光人射,同時還有一頻率為vi的弱光i入射,此弱光的增益系數G(vi)將如何變化?3、頻率為n、光強為I的強光作用下增益介質對另一小信號i(弱光）的增益系數G(vi)將如何變化。

對均勻加寬工作物質而言,強光入射會引起反轉粒子數密度Dn的下降，而Dn的下降又將導致弱光增益系數的下降。由于I

和i

放大是消耗同一個E2能級上的粒子，而介質中E2能級上的粒子數密度已經在I

的激勵下大為減少，所以，此時介質對光波的增益系數也同樣下降。頻率為v的強光I不僅使本身頻率處介質的增益系數由G0(n)下降至G(n)，而且使介質的線寬范圍內一切頻率處介質的增益系數G0(ni)都下降了同樣的倍數,變?yōu)镚(ni)。由于光強I

僅改變粒子在上下能級間的分布值，并不改變介質的密度、粒子的運動狀態(tài)以及能級的寬度。因此，在光強I

的作用下