數(shù)學(xué)初二（上）期中（2021-2022）二十中含答案

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年北京二十中八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（下列各題均為四個選項，其中只有一個選項符合題意，共24分，每小題3分）1．（3分）圖書館的標(biāo)志是濃縮了圖書館文化的符號，下列圖書館標(biāo)志中，不是軸對稱的是（）A． B． C． D．2．（3分）如圖，在△ABC中，BC邊上的高為（）A． B． C． D．3．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)4+a4＝a8 B．（﹣a2）3＝a6 C．a(chǎn)2?a3＝a5 D．（2ab2）3＝2a3b64．（3分）已知等腰三角形的一邊長為4，另一邊長為8，則它的周長是（）A．12 B．16 C．20 D．16或205．（3分）在課堂上，張老師布置了一道畫圖題：畫一個Rt△ABC，使∠B＝90°，它的兩條邊分別等于兩條已知線段．小劉和小趙同學(xué)先畫出了∠MBN＝90°之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示．那么小劉和小趙同學(xué)作圖確定三角形的依據(jù)分別是（）A．SAS，HL B．HL，SAS C．SAS，AAS D．AAS，HL6．（3分）如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，則∠C為（）A．25° B．35° C．40° D．50°7．（3分）如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE∥AB交AC于點(diǎn)E，若DE＝7，CE＝5，則AC＝（）A．11 B．12 C．13 D．148．（3分）如圖，已知直線l及直線l外一點(diǎn)P．（1）在直線l上取一點(diǎn)A，連接PA；（2）作PA的垂直平分線MN，分別交直線l，PA于點(diǎn)B，O；（3）以O(shè)為圓心，OB長為半徑畫弧，交直線MN于另一點(diǎn)Q；（4）作直線PQ．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．△OPQ≌△OAB B．PQ∥AB C．若∠APQ＝60°，則PQ＝PA D．二、填空題（共30分，每小題3分）9．（3分）點(diǎn)P（﹣2，5）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)是．10．（3分）計算：0.252020×42021＝．11．（3分）如圖，小明從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)2米后向左轉(zhuǎn)36°，再沿直線前進(jìn)2米，又向左轉(zhuǎn)36°…照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時，一共走了米．12．（3分）如圖，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，則∠B＝．13．（3分）如圖，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，應(yīng)添加的條件是（添加一個條件即可）．14．（3分）某地地震過后，小娜同學(xué)用下面的方法檢測教室的房梁是否處于水平：在等腰直角三角尺斜邊中點(diǎn)O處拴一條線繩，線繩的另一端掛一個鉛錘，把這塊三角尺的斜邊貼在房梁上，結(jié)果線繩經(jīng)過三角尺的直角頂點(diǎn)，由此得出房梁是水平的即掛鉛錘的線繩與房梁直），用到的數(shù)學(xué)原理是．15．（3分）如圖，在△ABC中，BD是邊AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于點(diǎn)E，DE＝2，BC＝5，則△BCE的面積為．16．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠C＝45°，AD是△ABC的角平分線，那么∠ADB＝度．17．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D，交AB于E點(diǎn)，連結(jié)BD，則∠DBC的度數(shù)為度．18．（3分）（1）如圖，∠MAB＝30°，AB＝2cm．點(diǎn)C在射線AM上，利用圖1，畫圖說明命題“有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形全等”是假命題．你畫圖時，選取的BC的長約為cm（精確到0.1cm）．（2）∠MAB為銳角，AB＝a，點(diǎn)C在射線AM上，點(diǎn)B到射線AM的距離為d，BC＝x，若△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則x的取值范圍是．三、解答題：（共46分，19題5分，20、21每題6分，22、23、25每題7分，24題8分）19．（5分）如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D在同一條直線上，點(diǎn)B和點(diǎn)E在直線AD的兩側(cè)，且AF＝DC，BC∥FE，∠A＝∠D．求證：AB＝DE．20．（6分）如圖，已知A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（1，﹣2）．（1）請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A'B'C'；（其中A'、B'、C'分別是A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)，不寫畫法）（2）A'、B'、C'的坐標(biāo)分別為；（3）△ABC的面積是．21．（6分）已知：如圖，線段AB和射線BM交于點(diǎn)B．（1）利用尺規(guī)完成以下作圖，并保留作圖痕跡．（不要求寫作法）①在射線BM上求作一點(diǎn)C，使AC＝AB；②在線段AB上求作一點(diǎn)D，使點(diǎn)D到BC，AC的距離相等；（2）在（1）所作的圖形中，若∠ABM＝72°，則圖中與BC相等的線段是．22．（7分）兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連接DC．（1）請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識的字母）；（2）證明：DC⊥BE．23．（7分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，BD⊥AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F．（1）求證：∠ABD＝∠ACE；（2）求證：EF＝AE．24．（8分）如圖，在等邊△ABC內(nèi)作射線AD，∠BAD＝α（0°＜α＜60°），點(diǎn)B關(guān)于射線AD的對稱點(diǎn)為E．連接EC并延長交射線AD于點(diǎn)F．（1）補(bǔ)全圖形；（2）求∠AFE的度數(shù)；（3）用等式表示線段AF、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．25．（7分）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的線段AB及點(diǎn)P，給出如下定義：若點(diǎn)P滿足PA＝PB，則稱P為線段AB的“軸點(diǎn)”，其中，當(dāng)0°＜∠APB＜60°時，稱P為線段AB的“遠(yuǎn)軸點(diǎn)”；當(dāng)60°≤∠APB≤180°時，稱P為線段AB的“近軸點(diǎn)”．（1）如圖1，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（2，0），則在P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，線段AB的“近軸點(diǎn)”是．（2）如圖2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B在y軸正半軸上，∠OAB＝30°．①若P為線段AB的“遠(yuǎn)軸點(diǎn)”，直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t的取值范圍；②點(diǎn)C為y軸上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合且BC≠AB），若Q為線段AB的“軸點(diǎn)”，當(dāng)線段QB與QC的和最小時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

2021-2022學(xué)年北京二十中八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（下列各題均為四個選項，其中只有一個選項符合題意，共24分，每小題3分）1．（3分）圖書館的標(biāo)志是濃縮了圖書館文化的符號，下列圖書館標(biāo)志中，不是軸對稱的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念解答．【解答】解：A、不是軸對稱圖形；B、是軸對稱圖形；C、是軸對稱圖形；D、是軸對稱圖形；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（3分）如圖，在△ABC中，BC邊上的高為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形高的定義判斷即可．【解答】解：如圖，在△ABC中，BC邊上的高為線段AD，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查三角形的角平分線、中線、高，解答的關(guān)鍵是對三角形的高的定義的掌握．3．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)4+a4＝a8 B．（﹣a2）3＝a6 C．a(chǎn)2?a3＝a5 D．（2ab2）3＝2a3b6【分析】根據(jù)合并同類項運(yùn)算法則進(jìn)行計算判斷A，根據(jù)冪的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計算判斷B，根據(jù)同底數(shù)冪相乘的運(yùn)算法則進(jìn)行計算判斷C，根據(jù)積的乘方與冪的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計算判斷D．【解答】解：A、a4+a4＝2a4，故此選項不符合題意；B、（﹣a2）3＝﹣a6，故此選項不符合題意；C、a2?a3＝a5，故此選項符合題意；D、（2ab2）3＝8a3b6，故此選項不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查合并同類項，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方，掌握冪的乘方（am）n＝amn，積的乘方（ab）n＝anbn運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．4．（3分）已知等腰三角形的一邊長為4，另一邊長為8，則它的周長是（）A．12 B．16 C．20 D．16或20【分析】因為三角形的底邊與腰沒有明確，所以分兩種情況討論．【解答】解：等腰三角形的一邊長為4，另一邊長為8，則第三邊可能是4，也可能是8，（1）當(dāng)4是腰時，4+4＝8，不能構(gòu)成三角形；（2）當(dāng)8是腰時，不難驗證，可以構(gòu)成三角形，周長＝8+8+4＝20．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查分情況討論的思想，利用三角形三邊關(guān)系判斷是否能構(gòu)成三角形也是解好本題的關(guān)鍵．5．（3分）在課堂上，張老師布置了一道畫圖題：畫一個Rt△ABC，使∠B＝90°，它的兩條邊分別等于兩條已知線段．小劉和小趙同學(xué)先畫出了∠MBN＝90°之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示．那么小劉和小趙同學(xué)作圖確定三角形的依據(jù)分別是（）A．SAS，HL B．HL，SAS C．SAS，AAS D．AAS，HL【分析】分別根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵小劉同學(xué)先確定的是直角三角形的兩條直角邊，∴確定依據(jù)是SAS定理；∵小趙同學(xué)先確定的是直角三角形的一條直角邊和斜邊，∴確定依據(jù)是HL定理．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是作圖﹣復(fù)雜作圖，熟知全等三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．6．（3分）如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，則∠C為（）A．25° B．35° C．40° D．50°【分析】先根據(jù)AB＝AD，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠B和∠ADB的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠C的大小．【解答】解：∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，由∠BAD＝40°得∠B＝＝70°＝∠ADB，∵AD＝DC，∴∠C＝∠DAC，∴∠C＝∠ADB＝35°．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是利用三角形一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．7．（3分）如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE∥AB交AC于點(diǎn)E，若DE＝7，CE＝5，則AC＝（）A．11 B．12 C．13 D．14【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠BAD＝∠CAD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CAD＝∠ADE，故可得出AE＝DE＝7，再根據(jù)AC＝AE+CE即可得出結(jié)論．【解答】解：∵△ABC中，AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AB，DE＝7，CE＝5，∴∠CAD＝∠ADE，∴AE＝DE＝7，∴AC＝AE+CE＝7+5＝12．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟知等腰三角形的兩底角相等是解答此題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，已知直線l及直線l外一點(diǎn)P．（1）在直線l上取一點(diǎn)A，連接PA；（2）作PA的垂直平分線MN，分別交直線l，PA于點(diǎn)B，O；（3）以O(shè)為圓心，OB長為半徑畫弧，交直線MN于另一點(diǎn)Q；（4）作直線PQ．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．△OPQ≌△OAB B．PQ∥AB C．若∠APQ＝60°，則PQ＝PA D．【分析】利用作法得OP＝OA，OQ＝OB，則可判斷△OPQ≌△OAB（SAS），于是可對A選項進(jìn)行判斷；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠OPQ＝∠OAB，則根據(jù)平行線的判定可對B選項進(jìn)行判斷；若∠APQ＝60°，則∠PQO＝30°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OP＝PQ，則可對C選項進(jìn)行判斷；由于OQ＝OB，所以只有當(dāng)OA＝OB時，AP＝BQ，則可對D選項進(jìn)行判斷．【解答】解：由作法得OP＝OA，OQ＝OB．∵∠POQ＝∠AOB，∴△OPQ≌△OAB（SAS），所以A選項的結(jié)論正確；∴∠OPQ＝∠OAB，∴PQ∥AB，所以B選項的結(jié)論正確；若∠APQ＝60°，則∠PQO＝30°，∴OP＝PQ，∵OP＝OA，∴PA＝PQ，所以C選項的結(jié)論正確；∵△OPQ≌△OAB，∴OQ＝OB，∴只有當(dāng)OA＝OB時，AP＝BQ，所以D選項的結(jié)論錯誤．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．二、填空題（共30分，每小題3分）9．（3分）點(diǎn)P（﹣2，5）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)是（﹣2，﹣5）．【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征（橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)）解決此題．【解答】解：點(diǎn)P（﹣2，5）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)是（﹣2，﹣5）．故答案為：（﹣2，﹣5）．【點(diǎn)評】本題主要考查關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解決本題的關(guān)鍵．10．（3分）計算：0.252020×42021＝4．【分析】積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，據(jù)此計算即可．【解答】解：0.252020×42021＝0.252020×42020×4＝（0.25×4）2020×4＝12020×4＝1×4＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題主要考查了積的乘方，熟記冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．11．（3分）如圖，小明從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)2米后向左轉(zhuǎn)36°，再沿直線前進(jìn)2米，又向左轉(zhuǎn)36°…照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時，一共走了20米．【分析】根據(jù)多邊形的外角和即可確定小明走的邊數(shù)，邊數(shù)乘以2即可得出答案．【解答】解：由圖可知小明回到出發(fā)點(diǎn)時走了一個正多邊形，且每個外角是36°，由360°÷36＝10可知是正十邊形，有10條相等的邊，∴小明一共走了10×2＝20米，故答案為：20．【點(diǎn)評】本題主要考查正多邊形的外角和定理，關(guān)鍵是要牢記多邊形的外角和為360°．12．（3分）如圖，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，則∠B＝120°．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠C的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝24°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝120°，故答案為：120°．【點(diǎn)評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等、全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．13．（3分）如圖，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，應(yīng)添加的條件是∠B＝∠C或AE＝AD（添加一個條件即可）．【分析】要使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，∠A＝∠A，則可以添加AE＝AD從而利用SAS來判定其全等，或添加∠B＝∠C從而利用AAS來判定其全等．【解答】解：添加∠B＝∠C或AE＝AD后可分別根據(jù)ASA、SAS判定△ABE≌△ACD．故答案為：∠B＝∠C或AE＝AD．【點(diǎn)評】本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵．14．（3分）某地地震過后，小娜同學(xué)用下面的方法檢測教室的房梁是否處于水平：在等腰直角三角尺斜邊中點(diǎn)O處拴一條線繩，線繩的另一端掛一個鉛錘，把這塊三角尺的斜邊貼在房梁上，結(jié)果線繩經(jīng)過三角尺的直角頂點(diǎn)，由此得出房梁是水平的即掛鉛錘的線繩與房梁直），用到的數(shù)學(xué)原理是等腰三角形的底邊上的中線、底邊上的高重合．【分析】根據(jù)△ABC是個等腰三角形可得AC＝BC，再根據(jù)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，即可得出OC⊥AB，然后即可得出結(jié)論．【解答】解：∵△ABC是個等腰三角形，∴AC＝BC，∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴AO＝BO，∴OC⊥AB．故答案為：等腰三角形的底邊上的中線、底邊上的高重合．【點(diǎn)評】本題主要考查了學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)的理解和掌握，此題與實際生活聯(lián)系密切，體現(xiàn)了從數(shù)學(xué)走向生活的指導(dǎo)思想，從而達(dá)到學(xué)以致用的目的．15．（3分）如圖，在△ABC中，BD是邊AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于點(diǎn)E，DE＝2，BC＝5，則△BCE的面積為5．【分析】作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得EF＝DE＝2，然后根據(jù)三角形面積公式求得即可．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴S△BCE＝BC?EF＝×5×2＝5．故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形的面積，作出輔助線求得三角形的高是解題的關(guān)鍵．16．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠C＝45°，AD是△ABC的角平分線，那么∠ADB＝85度．【分析】根據(jù)角平分線的定義求出∠CAD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝80°，∴∠CAD＝∠BAC＝×80°＝40°，∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝40°+45°＝85°．故答案為：85．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)與概念是解題的關(guān)鍵．17．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D，交AB于E點(diǎn)，連結(jié)BD，則∠DBC的度數(shù)為30度．【分析】已知∠A＝40°，AB＝AC可得∠ABC＝∠ACB，再由線段垂直平分線的性質(zhì)可求出∠ABD＝∠A，易求∠DBC．【解答】解：∵∠A＝40°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，又∵DE垂直平分AB，∴DB＝AD∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．故答案為：30．【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)．主要了解線段垂直平分線的性質(zhì)即可求解．18．（3分）（1）如圖，∠MAB＝30°，AB＝2cm．點(diǎn)C在射線AM上，利用圖1，畫圖說明命題“有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形全等”是假命題．你畫圖時，選取的BC的長約為答案不唯一如：BC＝1.2cmcm（精確到0.1cm）．（2）∠MAB為銳角，AB＝a，點(diǎn)C在射線AM上，點(diǎn)B到射線AM的距離為d，BC＝x，若△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則x的取值范圍是x＝d或x≥a．．【分析】（1）答案不唯一，可以取BC＝1.2cm（1cm＜BC＜2cm）；（2）當(dāng)x＝d或x≥a時，三角形是唯一確定的；【解答】解：（1）取BC＝1.2cm，如圖在△ABC和△ABC′中滿足SSA，兩個三角形不全等．故答案為：答案不唯一如：BC＝1.2cm．（2）若△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則x的取值范圍是x＝d或x≥a，故答案為x＝d或x≥a．【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．三、解答題：（共46分，19題5分，20、21每題6分，22、23、25每題7分，24題8分）19．（5分）如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D在同一條直線上，點(diǎn)B和點(diǎn)E在直線AD的兩側(cè)，且AF＝DC，BC∥FE，∠A＝∠D．求證：AB＝DE．【分析】根據(jù)已知條件得出△ABC≌△DEF，即可得出AB＝DE．【解答】證明：∵BC∥FE，∴∠BCA＝∠DFE．∵AF＝DC，∴AF+FC＝DC+CF．∴AC＝DF．在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）．∴AB＝DE．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定解答．20．（6分）如圖，已知A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（1，﹣2）．（1）請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A'B'C'；（其中A'、B'、C'分別是A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)，不寫畫法）（2）A'、B'、C'的坐標(biāo)分別為（2，3），（3，1），（1，﹣2）．；（3）△ABC的面積是3.5．【分析】（1）利用軸對稱變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A′，B′，C′即可．（2）根據(jù)A′，B′，C′的位置寫出坐標(biāo)即可．（3）利用分割法把三角形面積看成矩形面積減去周圍三個三角形面積即可．【解答】解：（1）如圖，△A'B'C'即為所求；（2）A'、B'、C'的坐標(biāo)分別為（2，3），（3，1），（1，﹣2）．故答案為：（2，3），（3，1），（1，﹣2）．（3）S△ABC＝4×5﹣×1×2﹣×3×4﹣×3×5＝3.5，故答案為：3.5．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換，學(xué)會用分割法求三角形面積．21．（6分）已知：如圖，線段AB和射線BM交于點(diǎn)B．（1）利用尺規(guī)完成以下作圖，并保留作圖痕跡．（不要求寫作法）①在射線BM上求作一點(diǎn)C，使AC＝AB；②在線段AB上求作一點(diǎn)D，使點(diǎn)D到BC，AC的距離相等；（2）在（1）所作的圖形中，若∠ABM＝72°，則圖中與BC相等的線段是DC，AD．【分析】（1）①以A為圓心AB長為半徑畫弧，進(jìn)而得出C點(diǎn)位置；②利用角平分線的作法得出即可；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出即可．【解答】解：（1）①如圖所示：AC＝AB；②D點(diǎn)即為所求；（2）∵∠ABM＝72°，AB＝AC，∴∠ACB＝72°，∵∠ACD＝∠DCB，∴∠A＝∠ACD＝∠BCD＝36°，∴圖中與BC相等的線段是：DC，AD．故答案為：DC，AD．【點(diǎn)評】此題主要考查了復(fù)雜作圖，正確利用角平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．22．（7分）兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連接DC．（1）請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識的字母）；（2）證明：DC⊥BE．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可以得出△ABE≌△ACD；（2）由△ABE≌△ACD可以得出∠B＝∠ACD﹣45°，進(jìn)而得出∠DCB＝90°，就可以得出結(jié)論．【解答】（1）△ABE≌△ACD．證明：∵△ABC與△AED均為等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°．∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE．即∠BAE＝∠CAD，在△ABE與△ACD中，，∴△ABE≌△ACD；（2）證明∵△ABE≌△ACD，∴∠ACD＝∠ABE＝45°，又∵∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，∴DC⊥BE．【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，垂直的判定的運(yùn)用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．23．（7分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，BD⊥AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F．（1）求證：∠ABD＝∠ACE；（2）求證：EF＝AE．【分析】（1）依據(jù)同角的余角相等，即可得出結(jié)論；（2）證明△BEF≌△CEA，依據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，∴∠A+∠ABD＝∠A+∠ACE＝90°，∴∠ABD＝∠ACE；（2）證明：∵∠ABC＝45°，CE⊥AB，∴∠BCE＝∠CBE，∠AEC＝∠FEB＝90°，∴CE＝BE，在△BEF和△CEA中，，∴△BEF≌△CEA（ASA），∴EF＝AE．【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，證明△BEF≌△CEA是解決問題的關(guān)鍵．24．（8分）如圖，在等邊△ABC內(nèi)作射線AD，∠BAD＝α（0°＜α＜60°），點(diǎn)B關(guān)于射線AD的對稱點(diǎn)為E．連接EC并延長交射線AD于點(diǎn)F．（1）補(bǔ)全圖形；（2）求∠AFE的度數(shù)；（3）用等式表示線段AF、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）補(bǔ)全圖形如圖1所示；（2）如圖2，連接AE，BE，根據(jù)對稱性可得：AE＝AB，∠EAF＝∠BAD＝α，由等腰三角形性質(zhì)可得：∠CAE＝2α﹣60°，由AC＝AE，可得∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣∠CAE）＝120°﹣α，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可得出答案；（3）如圖3，在AF上截取FG＝FC，連接CG、AE、BF、BE，根據(jù)對稱性可得：BF＝EF，再由等邊三角形性質(zhì)可證得：△CAG≌△CBF（SAS），即可證得：AF＝EF+CF．【解答】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖1所示：（2）如圖2，連接AE，BE，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵點(diǎn)B關(guān)于射線AD的對稱點(diǎn)為E，∴AE＝AB，∠EAF＝∠BAD＝α，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝2α﹣60°，∴AC＝AE，∴∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣∠CAE）＝120°﹣α，∵∠CAF＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣α，∴∠AFE＝∠ACE﹣∠CAF＝120°﹣α﹣（60°﹣α）＝60°；（3）AF＝EF+CF．證明：如圖3，在AF上截取FG＝FC，連接CG、AE、BF、BE，∵點(diǎn)B關(guān)于射線AD的對稱點(diǎn)為E，∴BF＝EF，由（2）知：∠AFE＝60°，∵FG＝FC，∴△CFG是等邊三角形，∴∠FCG＝60°，CF＝CG＝FG，∴∠ACG+∠BCG＝60°，∠BCF+∠BCG＝60°，∴∠ACG＝∠BCF，在△CAG和△