第三章圓的性質(zhì)(56節(jié))圓的有關(guān)計(jì)算講義

龍文教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義

11課外輔導(dǎo)專家課 題教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)、難點(diǎn)考點(diǎn)及考試要求一、知識(shí)梳理：C2r圓面積：Sr2

第三章圓的性質(zhì)（5-6節(jié)圓的有關(guān)計(jì)算能夠運(yùn)用弧長(zhǎng)、扇形面積公式進(jìn)行有關(guān)計(jì)算靈活公式進(jìn)行有關(guān)計(jì)算教學(xué)內(nèi)容CRC2R360°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)，因此，1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是2R。360n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是nR180lnR180

P120*這里的180、n在弧長(zhǎng)計(jì)算公式中表示倍分關(guān)系，沒有單位。由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圓形叫做扇形。發(fā)現(xiàn)：扇形面積與組成扇形的圓心角的大小有關(guān)，圓心角越大，扇形面積也就越大。R360°的圓心角所對(duì)的扇形的面積就是圓面積SR2的扇形面積是：S nR21lR（n1°的倍數(shù)，無單位）扇形 360 2龍文教育·教務(wù)管理部11課外輔導(dǎo)專家圓錐的概念如果把這個(gè)側(cè)面展開在一個(gè)平面上，展開圖是一個(gè)扇形。SO，SOS的頂點(diǎn)。SOASOSO另外，連結(jié)圓錐的頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段SA、SASA1 2錐的母線長(zhǎng)都相等。母線定義：連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線。P由圖可得

122圓錐的高所在的直線是圓錐的軸，它垂直于底面，經(jīng)過底面的圓心；圓錐的母線長(zhǎng)都相等圓錐的側(cè)面展開圖與側(cè)面積計(jì)算圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線、圓心是圓錐的頂點(diǎn)、弧長(zhǎng)是圓錐底面圓的周長(zhǎng)。圓錐側(cè)面積是扇形面積。c，n（如圖，則它們之間有如下關(guān)系：cnl180同時(shí)，如果設(shè)圓錐底面半徑為r，周長(zhǎng)為c，側(cè)面母線長(zhǎng)為l，那么它的側(cè)面積是：龍文教育·教務(wù)管理部S圓側(cè)面

1clrl2

中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家圓錐的全面積為：rlr22rh。8、陰影部分的面積：1)2）不按規(guī)則圖形：采取“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法，把不規(guī)則圖形的面積采取“割補(bǔ)法圖形面積。二、典例剖析：例：1、在⊙中，120°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為80cm，那么⊙O的半徑為 cm答案：120解：由弧長(zhǎng)公式：l

nR得：180180lRn

18080120

120cm例：2、若扇形的圓心角為120°，弧長(zhǎng)為10cm，則扇形半徑為 ，扇形面積為 。答案：15；25π例：3、如果一個(gè)扇形的面積和一個(gè)圓面積相等，且扇形的半徑為圓半徑的2倍，這個(gè)扇形的中心為 。答案：90°例4：已知扇形的周長(zhǎng)為28cm，面積為則它的半徑為 cm答案：75：

AB10

，CD6，

，又AC=12，求陰影部分面積。解：OC=r，OA=r+12，∠O=n°l n(r12AB 180AB

10l nrCD 180CD

6n60r18∴OC=18，OA=OC+AC=30S S S陰 扇AOB 扇COD3 龍文教育·教務(wù)管理部1l2

OA1l2

OC

中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家AB CD110302

1618296例6：如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為a，求以各邊為直徑的半圓所圍成的葉形的總面積。解：∵正方形邊長(zhǎng)為a∴S a2，

1 R2

a( )

1 a2正S正方形

2S

半圓 2S半圓 兩個(gè)空白

2 2 8S

a22

1a28

a21

1a24S

2S

2

2a

a221 1S S陰

S

a2

(2a

a2)2

a2a222

a2

a2*也可看作四個(gè)半圓面積減去正方形面積S 4S

S 4

1 a( )

a

1 a

a2陰 半

2 2 2AB7：AB、CDOAB=8，CD=6，AB圓中的陰影部分的總面積為？解：CDB，D、B如圖，CE

的度數(shù)與

CD的度數(shù)的和為180°，那么CDABE

的度數(shù)為180°龍文教育·教務(wù)管理部∴AE是⊙O的直徑∴∠ABE=90°又∵AB=8，BE=CD=6

中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家由勾股定理AE

826210∴半徑OA

110521

1 25S S陰 半

SABE

52

862

24AB2AB8：在△AOBO=90°，OA=OB=4cmO陰影部分的面積。

為半徑畫

，以AB為直徑作半圓，求解：∵OA=4cm，∠O=90°∴S扇形AOB

90424cm360AB4 2cm，(2 2)2，S 8(cm2) S 4(cm2)AOB 半圓 2S S S (48)(cm2)弓形AmB 扇形AOB AOB則陰影部分的面積為：S S S 4(48)8(cm2)陰影 半圓 弓形AmB例9：①、②?m 是邊長(zhǎng)均大于2的三角形，四邊形、??、凸n邊形，分別以它們的各頂點(diǎn)圓心，以1為半徑畫弧與兩鄰邊相交，得到3條弧，4條弧，??圖①中3條弧的弧長(zhǎng)的和為 圖②中4條弧的弧長(zhǎng)的和為 求m 中n條弧的弧長(zhǎng)的和（用n表示）龍文教育·教務(wù)管理部中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家（1）π，2π1：∵n（n－2）180°n(n360

1n212∴n2112

(n2)(n2)解法2：設(shè)各個(gè)扇形的圓心角依次為, , , 1 2 n則1

2

n

(n2)180∴n條弧長(zhǎng)的和為：11

2 1

n1180 180

180( 1

180)n 180

(n2)180(n2)10：Rt△ABCBCA=90°，∠BAC=30°，AC=6m，把△ABCBCABC'AC（陰影部分）的面積為？分析：Rt△ACBC=90°，∠BAC=30°，AB=61BC

AB3,CBA602AC

AB

BC

3 3

A'C

1 BC'A'C'2

33 39 32龍文教育·教務(wù)管理部S

nr21206212

中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家扇A'BAS 扇形C'BC

36012032360

3603S S S S S 9陰影 扇A'BA A'C'B 扇C'BC ACB法二：以B為圓心，BC為半徑畫弧A'BD，ABD'有SA'C'B

S ，S SACB 扇C'BD 扇CBD'S 陰

扇ABA'

S扇D'BD

12062360

12032360

123911：Rt△ABCAB=13cmAC=5cmACAB解：BC 1325212(cm)以直線AC為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的圓錐如圖所示，它的表面積為：S S S 1221213300(cm2)表 底 側(cè)龍文教育·教務(wù)管理部中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的圖形如圖所示。1CD13260

15122CD13SS S CDBCCDAC上 下60136013

6012 513171020 13例12：一個(gè)圓錐的模型，這個(gè)模型的側(cè)面是用一個(gè)半徑為9cm，圓心角為240°的扇形鐵皮制作，用一塊圓形鐵皮做底，則這塊圖形鐵皮的半徑為 。答案：6例13：若圓錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的等邊三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是 答案：2π例14：已知圓錐的底面半徑為40cm，母線長(zhǎng)為90cm，則它的側(cè)面展開圖的圓心角為 答案：160°例15：若圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則側(cè)面展開圖的圓心角是 答案：180°龍文教育·教務(wù)管理部中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家例16：如圖，圓錐形的煙囪帽的底面直徑是80cm，母線長(zhǎng)50cm。畫出它的展開圖；計(jì)算這個(gè)展開圖的圓心角及面積。（1）煙囪帽的展開圖是扇形，這個(gè)扇形的半徑是圓錐的母線長(zhǎng)，弧長(zhǎng)是圓錐底面周長(zhǎng)（如圖）（2）c，圓心角為α，l=50cmc80cm180cllc180

1808050

=288（度）S rl40506280(cm2)扇形例17：一個(gè)圓錐的高是10cm，側(cè)面展開圖是半圓，求圓錐的側(cè)面積。解：設(shè)圓錐底面半徑為r，圓錐母線長(zhǎng)為l，扇形弧長(zhǎng)（即半圓）為c，則由題意得2lc ,c2r222

2r,l2rRt△SOAl

r2

102由此求得r10 3

20(cm),l3

3(cm)故所求圓錐的側(cè)面積為S

rl 10

3203

32003

(cm2)龍文教育·教務(wù)管理部中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家18：蒙古包可以近似地看作圓錐和圓柱組成，如果想用毛氈搭建209m24m解：Sr2,9r2,r31∵h(yuǎn)=4，∴l(xiāng)1SS S錐 柱rl2rh

h2r25135233.5152136S 2036720總答：至少要720平方米的毛氈。點(diǎn)將練兵已知扇形的弧長(zhǎng)為6πcm，圓心角為60°，則扇形的面積為 。已知弓形的弧所對(duì)的圓心角為60°，弓形弦長(zhǎng)為a，則這個(gè)弓形的面積是 。如圖，在平行四邊形ABCD中，AB4 3，AD2 3，BD⊥AD，以BD為直徑的⊙O交AB于E，CD于F，則圖中陰影部分的面積為 。龍文教育·教務(wù)管理部中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家如圖，ABO1

的直徑，AO1

是⊙O2

MN//AB，MN⊙O2

CO1

的半徑2，OB、CN、

所圍成的陰影部分的面積是 。BN OC1 1如圖，△ABC為某一住宅區(qū)的平面示意圖，其周長(zhǎng)為800m，為了美化環(huán)境，計(jì)劃在住宅區(qū)周5m內(nèi)（虛線以內(nèi)，△ABC之外）作綠化帶，則此綠化帶的面積為 。如圖，兩個(gè)同心圓被兩條半徑截得陰影部分的面積為 。

AB6cm

，CD10cm，

，⊙O'與

都相切，則圖中如圖，在同心圓中，兩圓半徑分別為2、4，∠AOB=120°，則陰影部分的面積為（ ）AB，CDA.4 B.2 C.43AB，CD

D.龍文教育·教務(wù)管理部中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家如圖，OA⊙OABOAO’的弦，O’BOC，OA=4，AB，AC∠OAB=45°，則由 AB，AC

和線段BC所圍成的圖形面積是