自控原理課件13chapter

3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析觀察：增益(Gain)分別為1，4，7時(shí)的階躍響應(yīng)。3.6.1初始條件下的運(yùn)動(dòng)3.6.1穩(wěn)定的概念和定義平衡位置（狀態(tài)）的穩(wěn)定性：它描述系統(tǒng)在受到外界的干擾，偏離了平衡位置，在干擾除去之后，系統(tǒng)是否能回到平衡位置的能力。1系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間離平衡位置越來(lái)越遠(yuǎn)；不穩(wěn)定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間離平衡位置越來(lái)越近，無(wú)窮時(shí)回到平衡狀態(tài)。穩(wěn)定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間在平衡位置附近振蕩。

臨界穩(wěn)定穩(wěn)定性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與參數(shù)受擾運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)3.6.2線性系統(tǒng)穩(wěn)定條件擾動(dòng)作用前，系統(tǒng)位于平衡點(diǎn)0，即坐標(biāo)原點(diǎn)（輸入為零，輸出也為零）。設(shè)擾動(dòng)信號(hào)為理想的脈沖信號(hào)，系統(tǒng)的擾動(dòng)響應(yīng)就是脈沖響應(yīng)g(t)。等于零：穩(wěn)定不等于零：不穩(wěn)定3.6.2線性系統(tǒng)穩(wěn)定條件Re{si}<0時(shí)，g(t)0Re{si}=0時(shí)，g(t)有界Re{si}>0時(shí)，g(t)

3.6.2線性系統(tǒng)穩(wěn)定條件反饋系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均有負(fù)的實(shí)部。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)位于s平面的左半開(kāi)平面。S平面3.6.1穩(wěn)定的概念和定義注意：1穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的固有特性，與外輸入的大小、形式無(wú)關(guān)。本文所討論的穩(wěn)定性是漸進(jìn)穩(wěn)定性，臨界穩(wěn)定不是漸進(jìn)穩(wěn)定的。3.6.2線性系統(tǒng)穩(wěn)定條件解：D(s)=1+G(s)H(s),D(s)=0即k=0.5或10,系統(tǒng)穩(wěn)定否?例如：?jiǎn)挝回?fù)反饋系統(tǒng)的

求K=1時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。s3+s2+s+k=0,K=1s3+s2+s+1=0s2(s+1)+s+1=0(s2+1)(s+1)=0Roots-1,+j,–j系統(tǒng)穩(wěn)定？

系統(tǒng)穩(wěn)定k的取值范圍?3.6.3穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定的必要條件可推出特征根具有負(fù)的實(shí)部的必要條件是各系數(shù)同號(hào)且不缺項(xiàng)。3.6.3穩(wěn)定判據(jù)例如3.6.3穩(wěn)定判據(jù)特征方程：ansn+an-1sn-1+an-2sn-2+…+a1s+a0=0勞斯表：Snanan-2an-4an-6sn-1an-1an-3an-5an-7sn-2(an-1.an-2-an.an-3)/an-1

…SS0a0勞斯判據(jù)3.6.3Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)特征方程：ansn+an-1sn-1+an-2sn-2+…+a1s+a0=0勞斯判據(jù)：D(s)的正實(shí)部根的數(shù)目同勞斯表第一列中符號(hào)變化的次數(shù)相等。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為:勞斯表第一列元素的符號(hào)不變化。4種情況區(qū)別對(duì)待。3.6.3Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)例1：特征方程：s3+5s2+3s+2=0列勞斯表：勞斯表第一列元素不變號(hào)，系統(tǒng)穩(wěn)定。s313s252

s(15-2)/5s023.6.3Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)例2：特征方程：s4+2s3+3s2+4s+5=0列勞斯表：勞斯表第一列元素變號(hào)兩次，系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。s4135s3240

s215

s-6s053.6.3Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)例3：特征方程：a2s2+a1s+a0=0列勞斯表：s2a2a0s1a10s0a0

系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為勞斯表的第一列大于零，即ai>0課堂練習(xí)：已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)=10/s(s+1)(s+2),判斷其穩(wěn)定性。解：1)寫(xiě)出特征方程1+G(s)H(s)=02)列勞斯表：3)判斷并得出結(jié)論3.6.3Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)例5：特征方程：s4+s3+s2+s+k=0,(k>0),能否通過(guò)選擇k使系統(tǒng)穩(wěn)定？列勞斯表：s411k

s311

0s20k

第一列出現(xiàn)零元素3.6.3Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)勞斯表第一列元素變號(hào)兩次，系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。s411k

s311

0s2

ek

s1(e-k)/e0s0k3.6.3Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)例6：特征方程：s4+s3-3s2-s+2=0,求s右半平面有幾個(gè)根？列勞斯表：勞斯表中出現(xiàn)全零行s41-32

s31-10s2-22s100s023.6.3Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)例6：特征方程：s4+s3-3s2-s+2=0列勞斯表：s41-32

s31-1s2-22s1-40s02勞斯表中出現(xiàn)全零行構(gòu)造輔助多項(xiàng)式F(s)F(s)=-2s2+2求導(dǎo)：F’(s)=-4s系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部根。關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的根，可由輔助方程求得。F(s)=0,s=+1,-13.6.3Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)特征方程：s3+14s2+40s+40k=0，求系統(tǒng)穩(wěn)定k的取值范圍。勞斯表：s3140s21440k

s1(14*40-40k)/14s040k(14*40-40k)/14>040k>0穩(wěn)定的條件為0<K<14若使所有的極點(diǎn)都位于s=-1的左面，求系統(tǒng)穩(wěn)定K的取值范圍。3.6.3相對(duì)穩(wěn)定性s平面szas=z-a,a>0原特征方程D(s)=0現(xiàn)特征方程D(z)=0坐標(biāo)變換引入：s=z-1,特征方程Z3+11z2+15z+40k-27=0穩(wěn)定的條件為0.675<K<4.8(s-1)3+14(s-1)2+40(s-1)+40K=03.6.3Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)(練習(xí))勞斯表：S418-48S31-40s212-48s100某系統(tǒng)特征方程：s4+s3+8s2-4s-48=0，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，若不穩(wěn)定求出不穩(wěn)定的極點(diǎn)。3.6.3Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)(練習(xí))勞斯表：S418-48S31-40s212-48s1240s0-48系統(tǒng)不穩(wěn)定(-2,2,-3,-4)輔助多項(xiàng)式F(s)=12s2-48F’(s)=24s解輔助多項(xiàng)式F(s)=12s2-48=0得s=2,-23.6.3Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)(練習(xí))勞斯表：S418-48S31-40s21-4s120s0-4輔助多項(xiàng)式F(s)=s2-4F’(s)=2s解F(s)=0,s=2,-23.7

線性系統(tǒng)的誤差分析系統(tǒng)的外作用包括有用的輸入信號(hào)和干擾信號(hào)即，誤差E(s)=R(s)-H(s)C(s)定義1（輸入端）系統(tǒng)的誤差定義=輸入信號(hào)-主反饋信號(hào),如圖中的E(s)G1(S)H(S)G2(S)R(S)E(s)N(s)C(s)3.7.1誤差的基本概念定義2:(輸出端)

系統(tǒng)的誤差=期望輸出-實(shí)際輸出一般情況下，期望輸出等于給定輸入，所以誤差或E(s)=R(s)-C(s)單位反饋（H(s)=1)時(shí),兩種定義相同。G1(S)H(S)G2(S)R(S)N(s)C(s)3.7.1誤差的基本概念R(s)E(s)=C希-C實(shí)=-C(s)H(s)ˊG(s)H(s)R(s)E(s)C(s)H(s)1R(s)ˊˊG(S)H(S)R(S)C(s)=E(s)/H(s)3.7.1誤差的基本概念誤差=誤差的瞬態(tài)分量+誤差的穩(wěn)態(tài)分量終值定理：

穩(wěn)態(tài)誤差=誤差的穩(wěn)態(tài)分量

條件為：sE(s)在虛軸和右半平面是解析的。誤差的時(shí)間特性3.7.1誤差的基本概念如何選擇控制器減小輸入信號(hào)引起的穩(wěn)態(tài)誤差,抑制擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，G1(S)H(S)G2(S)R(S)E(s)N(s)C(s)3.7.2給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算討論給定輸入信號(hào)作用下產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差H(S)G(S)R(S)E(s)C(s)3.7.2給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算1階躍輸入：r(t)=A.1(t),R(s)=A/s靜態(tài)位置誤差系數(shù)3.7.2給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算K為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益;為系統(tǒng)的型數(shù)問(wèn)題：3.7.2給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算某系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，求系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差?3.6.2給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算斜坡輸入：R(s)=B/s2,r(t)=Btt>0設(shè)：靜態(tài)速度誤差系數(shù)3.7.2給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算斜坡輸入：R(s)=C/s3,r(t)=C/2t

設(shè)：靜態(tài)加速度誤差系數(shù)3.7.2給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算3.7.2給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算輸入：r(t)=A+Bt+C/2t2

計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的方法:終值定理靜態(tài)誤差系數(shù)方法3.7.2給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算課堂練習(xí)：系統(tǒng)如圖，求當(dāng)輸入r(t)=1+2t,t>0時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性由于為2階系統(tǒng)且各項(xiàng)系數(shù)為正,所以系統(tǒng)穩(wěn)定,滿足終止定理的條件方法1:靜態(tài)誤差系數(shù)法R(S)E(s)C(s)3.7.2給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算R(S)E(s)C(s)方法2直接計(jì)算法3.7.2給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算例題：系統(tǒng)如圖，求當(dāng)輸入r(t)=3t2時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差?？芍苯佑渺o態(tài)誤差系數(shù)法求取。R(S)E(s)C(s)3.7.2給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算課堂練習(xí)：系統(tǒng)如圖，求當(dāng)輸入r(t)=3t2時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：1判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性寫(xiě)出特征方程R(S)E(s)C(s)勞斯表：S313s228s1-1S02系統(tǒng)不穩(wěn)定3.7.3擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算

第一種定義下：

結(jié)構(gòu)圖中的E(s)G1(S)H(S)G2(S)E(s)N(s)C(s)若擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差3.7.3擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算擾動(dòng)輸入是幅值為2的階躍函數(shù)，求1K=40時(shí)，系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。

K=20時(shí)，結(jié)果如何？

R(s)E(s)

C(s)

N(s)2.53.7.3擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算

R(s)E(s)

C(s)

N(s)2.5解：1N(s)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差由于該系統(tǒng)為二階系統(tǒng)，由各項(xiàng)系數(shù)為正可知，系統(tǒng)穩(wěn)定。3.7.3擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算

R(s)E(s)

C(s)

N(s)2.5開(kāi)環(huán)增益的減小，使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的絕對(duì)值增加。3.7.3擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算

R(s)E(s)

C(s)

N(s)2.5在擾動(dòng)點(diǎn)前加積分環(huán)節(jié)可減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差。3.7.3擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算

R(s)E(s)

C(s)

N(s)2.53.7.3擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算首先關(guān)注誤差的定義：第二種定義下：

期望的輸入為零

E(s)=-Cn(s)G1(S)H(S)G2(S)N(s)C(s)3.7.4提高系統(tǒng)控制精度的措施例題：確定G1(s)的傳遞函數(shù)，使系統(tǒng)在單位斜坡作用下無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差。按輸入補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制解：當(dāng)G1(s)=0，斜坡函數(shù)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為？G1(S)G2(S)R(s)E(s)C(s)3.7.4提高系統(tǒng)控制精度的措施按輸入補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制G1(S)G2(S)R(s)E(s)C(s)3.7.4提高系統(tǒng)控制精度的措施若判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性勞斯表：S313s225s11/2S05系統(tǒng)穩(wěn)定3.7.4提高系統(tǒng)控制精度的措施當(dāng)a=43.7.4提高系統(tǒng)控制精度的措施選：則，ess=0當(dāng)G1(s)=bs+a3.7.4

提高系統(tǒng)控制精度的措施例題：例題3-21設(shè)r(t)=at(a為任意常數(shù)）。確定ki，使系統(tǒng)對(duì)斜坡輸入的響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。解：寫(xiě)出E(s)的表達(dá)式；判斷穩(wěn)定性；用終值定理R(s)C(s)由于該系統(tǒng)為二階系統(tǒng)，由各項(xiàng)系數(shù)為正可知，系統(tǒng)穩(wěn)定。3.7.4

提高系統(tǒng)控制精度的措施當(dāng)Ki=1/K3.8基本控制律分析控制器Gc(s)PIDr(t)e(t)

u(t)c(t)自動(dòng)控制系統(tǒng)是由被控對(duì)象和控制器兩部分組成，控制器按時(shí)間需要以某種規(guī)律向?qū)ο蟀l(fā)出控制信號(hào)，以達(dá)到預(yù)期的控制目的比例Ｐproportion積分Ｉintegration微分Ddifferention組合PI,PD,PID3.8基本控制律分析r(t)e(t)

u(t)c(t)3.8.1比例（Ｐ）控制律u(t)=Kpe(t)Gc(s)=Kp一階系統(tǒng)3.8.基本控制律分析其中，顯然，T2<T，說(shuō)明系統(tǒng)的慣性降低了。3.8.基本控制律分析二階系統(tǒng)此時(shí)，比例控制使系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益增大，自然頻率增加，阻尼比減小開(kāi)環(huán)增益為。開(kāi)環(huán)增益為3.8.基本控制律分析或，式中，Kp為比例系數(shù)，TD為微分時(shí)間常數(shù)，單位：1/秒。Kp與TD都是可調(diào)參數(shù)傳遞函數(shù)為3.8.2比例-微分（PD）控制律3.8.基本控制律分析，PD控制律具有“預(yù)見(jiàn)性”。比例-微分控制可增加系統(tǒng)阻尼，改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。由于增加了閉環(huán)的零點(diǎn)，提高動(dòng)態(tài)的快速性。微分控制不能單獨(dú)使用。因?yàn)槲⒎挚刂谱饔脙H在e(t)變化的瞬態(tài)過(guò)程中起作用，而當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)，偏差信號(hào)不變化了，微分控制將為零。若單獨(dú)使用微分控制律，此時(shí)相當(dāng)于信號(hào)斷路，控制系統(tǒng)將無(wú)法正常工作。另外，微分控制律雖有預(yù)見(jiàn)信號(hào)變化趨勢(shì)的優(yōu)點(diǎn)，也有易于放大噪聲的缺點(diǎn)。系統(tǒng)中能否單獨(dú)使用微分控制？3.8.基本控制律分析或，式中，TI為積分時(shí)間常數(shù)，是可調(diào)參數(shù)。傳遞函數(shù)為。3.8.3積分（I）控制律

改善穩(wěn)態(tài)特性，通常對(duì)穩(wěn)定性不利。3.8.基本控制律分析或，式中，Kp為比例系數(shù)，TI為積分時(shí)間常數(shù)，兩者都是可調(diào)參數(shù)傳遞函數(shù)為。3.8.4比例-積分（PI）控制律3.8.基本控制律分析例3-26在圖3-66中，，分析PI控制律的作用。，解

（1）穩(wěn)態(tài)性能未加PI控制器時(shí)，系統(tǒng)是Ⅰ型，加入PI控制器后，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為從上式可出，控制系統(tǒng)變?yōu)棰蛐?，?duì)階躍輸入、斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，參數(shù)選擇合適，勻加速信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差也可以大為下降。說(shuō)明PI控制律改善了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。。舉例說(shuō)明PI控制可提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能

3.8.基本控制律分析，如果系統(tǒng)穩(wěn)定必須選擇TI>T。一般采用比例-積分控制律主要是為了改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。。（2）穩(wěn)定性給出原系統(tǒng)和加比例-積分控制后的隨增益變化時(shí)閉環(huán)的根軌跡圖，3.8.基本控制律分析可通過(guò)特征方程來(lái)分析。加入比例-積分控制律后，系統(tǒng)的特征方程為