信息與通信能量原理及其應用理想磁流體IMHD不穩(wěn)定性

信息與通信能量原理及其應用理想磁流體IMHD不穩(wěn)定性第1頁/共101頁2不穩(wěn)定性現(xiàn)象一個力學系統(tǒng)當處在力學平衡狀態(tài)(總的受力為零)時,如受到一個小擾動力的作用、就會偏離平衡態(tài).系統(tǒng)在平衡態(tài)附近的隨時間擾動一般分成三種情況

--擾動幅度隨時間而減小,即阻尼的擾動;--擾動輻度不隨時間變化,即穩(wěn)定的波動;--擾動的輻度隨時間而增大,即不穩(wěn)定的擾動,

或稱不穩(wěn)定性.第2頁/共101頁3不穩(wěn)定性起因對處在力學平衡下系統(tǒng)的小擾動會使系統(tǒng)的總能產(chǎn)生小的變化.如果擾動使系統(tǒng)總能增加,則擾動能就會轉變成系統(tǒng)的總能.這樣擾動輻度就隨時間而減少.這就是阻尼的擾動.在穩(wěn)定的擾動—波動情況下,擾動不改變平衡系統(tǒng)的總能量.在不穩(wěn)定的擾動下,系統(tǒng)會進入總能更低的狀態(tài),從而把一部份能量轉給了擾動、使它隨時間而增長.這部份可以交給擾動的能量被稱為自由能.第3頁/共101頁4等離體不穩(wěn)定性分類(1)宏觀(流體)的不穩(wěn)定性(3維坐標空間)--磁(單)流體不穩(wěn)定性

---理想的磁流體(IdealMHD)不穩(wěn)定性

---電阻(耗散)的磁流體不穩(wěn)定性

--電磁(雙)流體不穩(wěn)定性微觀(動理學)的不穩(wěn)定性(3維坐標空間+3維速度空間)第4頁/共101頁5等離體不穩(wěn)定性分類(2)按擾動的極化性質分類

--靜電型;--電磁型;--靜電-電磁混合型.按不穩(wěn)定擾動隨時間變化特征分類

--線性不穩(wěn)定的擾動(A=A0+A1,A1<<A0)--非線性不穩(wěn)定的擾動,或弱湍流、發(fā)展中湍流

--飽和的不穩(wěn)定擾動,或完全發(fā)展了的湍流按擾動本身的特征時間和空間尺度

--理想磁流體時間(τA=1/kva,k≈1/a);--電阻磁流體時間(τR=μa2/η);--混合型.第5頁/共101頁6線性不穩(wěn)定性描述方法簡正模(時間可作Laplace(A1∝exp[-iωt])變換)法

--擾動量的全部空間變量均可作Fourier變換(A1∝exp[ik·x]),它的線性微分方程、變成關于(ω,k)的齊次代數(shù)方程.由解的存在條件得出色散方程:ω=ω(k)=ωR+iωI.當ωI>0，擾動不穩(wěn)定(exp[ωIt]);當ωI<0，擾動衰減;當ωI<0，擾動是穩(wěn)定的波.--部分(等離體參量均勻)空間可作Fourier變換,全空間的微分方程變成剩余坐標的約化微分方程,由其解和邊界(或連接)條件得出色散關系;--微分方程存在奇異性,由奇點處的非平凡解存在條件得出色散關系.能量原理(僅對IMHD系統(tǒng)適用)初值(初始擾動的時間演化)問題第6頁/共101頁7Tokamak中主要的磁流體不穩(wěn)定性IMHD不穩(wěn)定性

--外kink(扭曲)模

--內(nèi)kink(扭曲)模

--Exchange(交換)模,

特別是Ballooning(氣泡)模電阻MHD不穩(wěn)定性

--Tearing(撕裂)模,--Neo-classicalTearingMode(NTM)介于IMHD和耗散MHD之中的模

--RWM(ResistanceWallMode,電阻壁)模第7頁/共101頁8MHD不穩(wěn)定性從兩個方面

決定了tokamak等離體的

運行性能和極限第8頁/共101頁9對Tokamak運行性能的第一類限制MHD不穩(wěn)定性決定了tokamak可達到的

--最大plasma電流,--最大plasma壓強(β)及其梯度,--并在決定plasma的最大密度上起重要作用.這樣,在決定反應堆水平tokamak基本設計和plasma性能的三個關鍵物理基石:β極限、密度極限和能量約束時間中,有二個和MHD不穩(wěn)定性有關.而上述三個物理量綜合起來決定了

--可以產(chǎn)生的聚變功率:Pfusion--聚變功率增益:Q=Pfusion/Pauxilary--中子在壁上的負荷第9頁/共101頁10對Tokamak運行性能的第二類限制至今已知道:有一些破裂是在任何反應堆尺度的Burningplasmas中都會不可避免地出現(xiàn)的.而破裂決定了tokamak某些結構和元件—尤其是那些與plasma功率和粒子排出有關的元件--的使用壽命.而這些破裂是MHD不穩(wěn)定性的直接或最后結果.為了減少破裂出現(xiàn)的次數(shù),以及在它不可避免出現(xiàn)時、減緩或軟化它的后果,必須通過對引發(fā)破裂的MHD不穩(wěn)定性有深入和定量的了解.第10頁/共101頁11ITER中重要的IMHD不穩(wěn)定模式鋸齒(Sautooth)模

--內(nèi)kink模,在正磁剪切下產(chǎn)生NTMs的種子磁島,結果設置了βN極限值,并使能量約束變壞.電阻壁模(RWM—ResistanceWallMode)--自舉電流驅動的外kink模,對具有反(負)磁剪切的等離體設置了βN極限值.局域的內(nèi)MHD模

--存在于具有內(nèi)部輸運壘(ITB)的高性能等離體中,限制了穩(wěn)態(tài)運行范圍.第11頁/共101頁12本講座內(nèi)容柱形等離體中理想磁流體力學(IMHD)擾動的能量原理及不穩(wěn)定模式準備知識

--擾動位移矢量ξ的IMHD線性方程

--F算子、其自伴性和相應的哈密頓量H--變分原理、能量原理一維位形下的IMHD不穩(wěn)定模式分析直柱tokamak位形中的IMHD不穩(wěn)定性分析第12頁/共101頁13參考文獻ProgressintheITERPhysicsBasis,NuclearFusion47(June,2007)Chapter3.ITERPhysicsBasis,NuclearFusion39(1999)2137-2664.胡希偉,‘等離子體理論基礎’,北京大學出版社,2006,第四章.J.Wesson,‘Tokamaks’,SecondEdition,ClarendonPress–Oxford,1997,Chapter6.第13頁/共101頁14IMHD能量原理準備知識第14頁/共101頁15能量原理的原理第15頁/共101頁16IMHD方程和總能量第16頁/共101頁17線性化磁流體方程組從磁流體力學方程組出發(fā),取平衡解為:然后令:第17頁/共101頁18引入位移矢量以直接積分二個方程第18頁/共101頁19位移矢量ξ的運動方程,力算子F第19頁/共101頁20總能量守恒與算子F

自伴第20頁/共101頁21位移矢量ξ的初值和簡正模解第21頁/共101頁22IMHD本征模的三個特點令,由F的自伴性可以證明:(1)ω2為實數(shù),ω為正負實數(shù)或純虛數(shù).(2)滿足運動方程

-ω2ρ0ξ=F(ξ)的ξ是實矢量,(3)若有分立譜本征值{ωn}(n=1,2,…),則所對應的本征矢{ξn}構成正交集.-ωn2ρ0ξn=F(ξn)第22頁/共101頁23F算子自伴性的證明在‘等離子體理論基礎’的第四章中,對兩種情況證明了F算子的自伴性。同時也給出了擾動位勢δW（ξ，ξ）的具體表達式：

--無界磁流體,--柱形，有界（r=a）磁流體.第23頁/共101頁24無限大磁流體力學體系的擾動位能第24頁/共101頁25第25頁/共101頁26力算子F

自伴性的證明第26頁/共101頁27自伴性的最后證明因為,而又能證明,第27頁/共101頁28自伴性的最后證明(續(xù))第28頁/共101頁29柱形磁流體力學體系其中是磁流體體積中的擾動位能.而后兩項分別是柱面的擾動位能和柱外真空中的擾動位能第29頁/共101頁30磁流體內(nèi)擾動位能的第II

種表達式這是物理意義最清楚的一種表達式其中第1項對應于彎曲磁力線的擾動(如剪切Alfven波);第2項出自同時壓縮了流體和磁場的擾動(如壓縮Alfven波);第3項則代表單獨壓縮流體的擾動(如離子聲波);這三種擾動都引起勢能增加,是致穩(wěn)項.第4項是平行電流所驅動的不穩(wěn)定擾動(Kinkmode);第5項是由壓強梯度和磁場曲率聯(lián)合產(chǎn)生的擾動,由于

<0,當<0(壞曲率)時,這項為負、會驅動不穩(wěn)定擾動(Interchangemode).在整個擾動勢能中只有這后兩項是解(致)穩(wěn)項.

第30頁/共101頁31磁流體內(nèi)擾動位能的第IV種表達式這種表達式在推導Screw(螺旋)Pinch及直柱tokamak等離體中擾動位能表達式時特別方便.第31頁/共101頁32變分原理第32頁/共101頁33能量原理第33頁/共101頁34如何挑選合適的ξ來極小化δWF第34頁/共101頁35首先選取合適的ξ||來極小化δWF第35頁/共101頁36第36頁/共101頁37δW∥取極小與不可壓縮性第37頁/共101頁38第38頁/共101頁39IMHD不穩(wěn)定性分類第39頁/共101頁40第40頁/共101頁41ExternalKinkMode第41頁/共101頁42InternalKinkMode第42頁/共101頁43InterchangeMode第43頁/共101頁44BallooningMode第44頁/共101頁45休息!就休息一會兒第45頁/共101頁46一維位形下的IMHD不穩(wěn)定性θ-PinchZ-PinchScrewPinch及其定域內(nèi)模的Suydam判據(jù)第46頁/共101頁47θ-Pinch第47頁/共101頁48第48頁/共101頁49第49頁/共101頁50第50頁/共101頁51Z-Pinch第51頁/共101頁52第52頁/共101頁53第53頁/共101頁54第54頁/共101頁55第55頁/共101頁56第56頁/共101頁57第57頁/共101頁58ScrewPinch第58頁/共101頁59第59頁/共101頁60極小化δWF(1):檢驗不可壓縮性第60頁/共101頁61極小化δWF(2):對η取極值第61頁/共101頁62第62頁/共101頁63引入環(huán)向波數(shù)

n=-kR0第63頁/共101頁64原始表面δWs第64頁/共101頁65真空δWv第65頁/共101頁66第66頁/共101頁67ScrewPinch

δWF的最后表達式第67頁/共101頁68從δWF

表達式可得的一般性結論第68頁/共101頁69定域內(nèi)模的Suydam判據(jù)第69頁/共101頁70直柱tokamak的IMHD不穩(wěn)定模第70頁/共101頁71直柱馬克的δW

表達式第71頁/共101頁72第72頁/共101頁73直柱馬克典型的IMHD模式定域(在有理面附近)的內(nèi)交換模—Mercier判據(jù)非定域的內(nèi)(kink,interchange)模

--m=0和m≥2的內(nèi)?？偸欠€(wěn)定的

--m=1,n=1的內(nèi)模在q(0)<1時,是不穩(wěn)定的.m=1的外kink模

—Kruskal-Shafranov極限m≥2的外kink模

-–扭曲模的穩(wěn)定圖第73頁/共101頁74定域內(nèi)模只出現(xiàn)在rq’/q≈0

處

第74頁/共101頁75Mercier判據(jù),q(0)>1穩(wěn)定充分條件第75頁/共101頁76非定域內(nèi)模，m≥2情況第76頁/共101頁77m=0

非定域內(nèi)模總是穩(wěn)定的第77頁/共101頁78m=1,n=1/q(rs)共振面不在等離體中第78頁/共101頁79m=1,n=1/q(rs)共振面在等離體中第79頁/共101頁80第80頁/共101頁81反剪切

q(r)

位形下的m=1內(nèi)模第81頁/共101頁82ITERDesignScenario4中的反剪切位形第82頁/共101頁83外扭曲模的物理機制和擾動位能第83頁/共101頁84外扭曲模的擾動位能,m=1模第84頁/共101頁85m=1

外扭曲模的穩(wěn)定條件第85頁/共101頁86m≥2

的外扭曲模第86頁/共101頁87m≥2模的穩(wěn)定條件與電流分布有關第87頁/共101頁88均勻電流剖面下的穩(wěn)定判據(jù)第88頁/共101頁89第89頁/共101頁90第90頁/共101頁91第91頁/共101頁92第