2020版高考數(shù)學第七章立體幾何第43講空間向量其運算課時達標理新人教A版

第43講空間向量及其運算課時達標一、選擇題→→．(2019·大冶一中月考)關(guān)于空間隨意一點和不共線的三點，，，且有OP＝xOA→→＋yOB＋zOC(x，y，z∈，則＝2，y＝－，z＝2是，，，C四點共面的()．必需不充分條件．充分不用要條件．充要條件．既不充分又不用要條件→→→→B分析當x＝2，y＝－3，z＝2時，即OP＝OA－OB＋OC，→→→→→→→→→→則AP－AO＝2OA－3(AB－AO)＋2(AC－AO)，即AP＝－AB＋2AC，依據(jù)共面向量定理，知→→→，，，C四點共面；反之，當，，，C四點共面時，依據(jù)共面向量定理AP＝mABnAC，→→→→→→→→→→即OP－OA＝(OB－OA)＋(OC－OA)OP＝(1－－)OA＋mOB＋nOCx＝1－－ny＝，z＝n，這組數(shù)明顯不只2，－3,2.故是充分不用要條件．應(yīng)選B.．(2019·通州期末)已知兩個非零向量a＝(，，)，b＝(1，b，b)，它們平行的充要條件是()A.a|a|＝b|b|．a(chǎn)·1＝a·b＝a·b3．a(chǎn)·1＋a·b＋a·b＝0．存在非零實數(shù)k，使＝kbD分析應(yīng)選，第一清除，C項表示⊥b，A項表示，b的單位向量相等，但兩向量方向相反也叫平行．．已知＝(2,3，－4)，b＝(－4，－，－2)，b＝12x－2，則x＝()．(0,3，－6)．(0,6，－20)．(0,6，－6)．(6,6，－6)1B分析由于＝x－，因此x＝4a＋2b2即x＝(8,12，－)＋(－，－6，－4)＝(0,6，－)．已知a＝(2,1，－3)，＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，，c三向量共面，則λ＝()．9．－9．－3．3B分析由題意知c＝xa＋y，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，x－y＝，x＋2y＝，因此解得λ＝－9.－x＋3y＝λ，．若平面α，β的法向量分別為n＝(2，－3,5)，n＝(－3,1，－4)，則()．α∥β．α⊥β．α，β訂交但不垂直．以上均不正確C分析由1＝(2，－3,5)，n＝(－3,1，－4)，由于1和n2不平行，因此α與β不平行；又由于n·n＝－－3－20＝－≠，因此α與β不垂直．→→→→→ABCD－11中，向量ABAD，AA兩兩夾角均為°，且|AB|＝1|AD→→|＝2，||＝3，則|AC|＝()11．5．6．4．8→→→→A分析由題可得，AC＝AB＋AD＋AA1，→→→→→→→→→→故AC2＝AB2＋AD2＋AA2＋2(AB·AD＋AB·AA1＋AD·AA1)＝1＋4＋＋2(1×＋×＋→×3)cos60°＝，故|AC|＝5.二、填空題．在空間直角坐標系中，點(1，2，3)，過點P作平面yOz的垂線PQ，則垂足Q的坐標為________．分析依題意知，垂足為點P在平面yOz上的投影，則點Q的縱、豎坐標與點P的縱、豎坐標相等，橫坐標為0.答案(0，，3)→→→→．如下圖，在長方體ABCD－1中，O為AC的中點．用AB，AD，AA1表示OC1，則→OC1＝________.→→→分析由題意知OC＝OC＋CC1＝1111→→→→→→→→AC)＋AA1＝AB＋AD＋AA.＋CC＝(AB＋AD2222答案1→1→→ABAD＋AA1＋22．(2019·晉江模擬)設(shè)－ABC是四周體，1是△ABC的重心，G是OG1上的一點，且→→→→OG＝GG1，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，則(x，y，z)為________．分析如下圖，取BC的中點，連結(jié)AE.→OG＝34→OG1＝34→→(OA＋AG)＝→OA＋41→AE＝231→→→OA(AB＋AC)＋44＝3→OA4＋14→→→→(OB－OA＋OC－OA)＝14→→→(OA＋OB＋OC)，1因此x＝y(tǒng)＝z＝.4答案(14，14，1)4三、解答題10．如圖，在棱長為a的正方體C1中，，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點，且AE＝BF＝x，此中≤x≤a，以O(shè)為原點成立空間直角坐標系Oxyz.(1)寫出點，F(xiàn)的坐標；(2)求證：1⊥；→1→→(3)若1，，，1四點共面，求證：1F＋.＝2分析(1)(a，x,0)，(－x，a,0)．(2)證明：由于1(a,0，)，(0，，)，→→因此1＝(－x，，－)，＝(a，x－，－)，→→因此1·＝－＋(x－a)＋a2＝，→→因此1⊥，因此1⊥.→→→→→(3)證明：由于，，，1四點共面，因此，11，1共面．選1與11為一組基→→→向量，則存在獨一實數(shù)對(λ1，λ2)，使1＝λ＋λ1E，即(－x，a，－)＝λ(－a，a,0)＋λ(0，x，－a)＝(－aλ，aλ＋xλ2，－λ)，－x＝－aλ，因此a＝aλ＋xλ，－a＝－aλ，12解得λ＝，λ＝1.→于是1F＝12→→＋.→11(2019·安慶模擬)已知空間三點(－2,0,2)(－1,1,2)(－3,0,4)a＝AB，→b＝AC.→(1)若|c|＝3，且c∥BC，求c；(2)求a和b的夾角的余弦值；(3)若ka＋b與－2b相互垂直，求k的值；(4)若λ(a＋b)＋μ(a－b)與z軸垂直，求λ，μ應(yīng)知足的關(guān)系．→證明(1)由于c∥BC，→因此c＝mBC＝(－2，－1,2)＝(－，－)．因此|c|＝－2m2＋－m＋m＝3||＝3.即＝±1.因此c＝(－，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)由于＝(1,1,0)，＝(－1,0,2)，因此·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.又|a|＝1＋＋＝，||＝－1＋＋＝，||＝－1＋2＋2＝5，因此cos〈a，b〉＝·b|a|·|b|＝－1＝－1010.10因此a和b夾角的余弦值為－10.10(3)方法一由于ka＋＝(k－k,2)ka－＝(k＋k4)(k－k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k－8＝0.因此k＝2或k＝－－8＝0.因此k＝2或k＝－5.2即當＋b與ka－2b相互垂直時，k＝2或k＝－52.方法二由(2)知||＝2，|b|＝5，·b＝－，2a2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－22因此(ka＋)·(－)＝k－·b－b＝2k52.(4)由于＋＝(0,1,2)，a－b＝(2,1，－2)，因此λ(＋)＋μ(－b)＝(2μ，λ＋μ，λ－μ)．由于[λ(a＋b)＋μ(a－)]·(0,0,1)＝λ－μ＝0，即當λ，μ知足關(guān)系λ－μ＝0時，可使λ(＋)＋μ(－b)與z軸垂直．12．已知空間三點(0,2,3)，(－2,1,6)，(1，－1,5)．→→(1)求以AB，AC為邊的平行四邊形的面積；→→(2)若|a|＝3，且a分別與AB，AC垂直，求向量a的坐標．→→分析(1)由題意可得AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3,2)，→→因此cos〈AB，AC〉＝→→AB·AC→→|AB||AC|＝－＋3＋614×14＝71＝，142→→因此sin〈ABAC3→→.因此以ABAC為邊的平行四邊形的面積為＝×21→→|AB||AC|sin2→→〈AB，AC〉＝×3＝73.2(2)設(shè)＝(x，y，z)，x2＋y2＋z2＝，2＋y2＋z2＝，x＝1，x＝－，－2x－y＋3z＝0，y＝1，y＝－，由題意得解得或x－y＋z＝0.z＝1z＝－1.因此向量a的坐標為(1,1,1)或(－，－，－1)．13．[選做題]在四棱錐－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，，F(xiàn)分別是AB，PB的中點．(1)求證：EF⊥CD；(2)在平面PAD內(nèi)能否存在一點，使GF⊥平面PCB.若存在，求出點G的坐標；若不存出，試說明原因．分析(1)證明：如圖，以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸成立空間直角坐標系，設(shè)AD＝a，a則(0,0,0)(a,0,0)(a,0)(0a,0)Ea，，0(0,0a)F2a2，a，2a2→.EF＝－a2，，a2→→→→→，DC＝(0，a,0)．由于EF·DC＝，因此EF⊥DC，即EF⊥CD.(2)