《勾股定理》典型題目

《勾股定理》看數(shù)學(xué)思想【附練習(xí)】1.數(shù)形轉(zhuǎn)變①“勾股定理”定理是“形→數(shù)”的轉(zhuǎn)變。條件是形---“直角三角形”，得出的結(jié)論是數(shù)---“邊之間的數(shù)目關(guān)系”。標(biāo)準(zhǔn)格式是：∵△ABC是直角三角形，∠C是直角，∴CA2+CB2=AB2②“勾股定理”的逆定理是“數(shù)→形”的轉(zhuǎn)變。條件是數(shù)---“邊之間的數(shù)目關(guān)系”，得出的結(jié)論是形---“直角三角形”。標(biāo)準(zhǔn)格式：∵CA2+CB2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠C是直角應(yīng)用舉例：如下圖，有一塊地，已知AD=，CD=，∠ADC=90°，AB=，BC=，則這塊地的面積為多少？解：∵△ADC是直角三角形AC2=AD2+DC2=42+32=52（注：這是在用勾股定理）∵AC2+BC2=52+122=169AB2=132=169AC2+BC2=AB2∴△ABC是直角三角形（注：這是在用勾股定理的逆定理）∴S地=S△ABC-S△ADC=（米2）2.方程思想我們知道，知道直角三角形的兩條邊，能夠借助勾股定理求出第三邊?？墒怯械膯栴}只知道直角三角形的一條邊，這時(shí)候，要考慮借助勾股定理列方程解決問題。例1：如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC＝，BC＝，先將直角邊AC沿AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（）Ａ．2Ｂ．4Ｃ．3Ｄ．5解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=100=102AB=10（cm）∵AE=AC=6cm，EB=4cm∵∠AED=∠C=90°∴∠DEB=90°∴△DEB是直角三角形DE2+EB2=DB2設(shè)CD=xcm，則DE=CD=xcm，DB=（8-x）cmx2+42=(8-x)2解得x=3，因此，CD=3cm例2：在筆挺的公路上A、B兩點(diǎn)相距，在A的正南方處有鄉(xiāng)村D，在B的正南方處有鄉(xiāng)村C.此刻要在AB上建一其中轉(zhuǎn)站E，是的C、D兩鄉(xiāng)村到E站的距離相等。1利用尺規(guī)作圖，做出點(diǎn)E的地點(diǎn)。計(jì)算點(diǎn)E距離點(diǎn)A多遠(yuǎn)？解：（1）如圖，點(diǎn)E就是要建中轉(zhuǎn)站的地點(diǎn)2）設(shè)AE=xkm，則EB=(20-x)km在Rt△ADE中DE2=AD2+AE2=82+x2在Rt△EBC中EC2=EB2+BC2=(20-x)2+112∵DE=EC82+x2=(20-x)2+112解得x=km因此，點(diǎn)E與點(diǎn)A的距離是km典型題目練習(xí)一．折疊問題1.一張直角三角形的紙片，如下圖折疊，使兩個(gè)銳角的極點(diǎn)A、B重合，若AC=6，BC=8，求DC的長(zhǎng)。2.如下圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD的一邊AD向下折疊，點(diǎn)D落在BC邊的F處。已知AB=CD=，BC=AD=，求EC的長(zhǎng)。其余折疊問題常有圖形：二．最短問題1.如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)，寬和高分別為50寸，30寸和10寸，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃爽口的食品，則它所走的最短2路線長(zhǎng)是多少？如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為8，4，10．若一只螞蟻從P點(diǎn)開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面爬行一圈抵達(dá)Q點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為多少？3.如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為16，高AB為15，BC是上底面的直徑．一只昆蟲從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，則昆蟲爬行的最短行程為多少？如圖,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15,寬為10,高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5,一只螞蟻假如要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離是多少？如下圖，有一根高為的木柱，它的底面周長(zhǎng)為，為了創(chuàng)造喜慶的氛圍，老師要求小明將一根彩帶從柱底向柱頂平均地環(huán)繞圈，向來纏到起點(diǎn)的正上方為止，問：小明起碼需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的一根彩帶？3三．梯子問題1.如圖，一架云梯AC長(zhǎng)為，斜靠在一豎直的墻CO上，這時(shí)梯子底端A離墻的距離AO是，假如梯子的頂端C沿墻下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑動(dòng)了多少米？2.如圖，兩墻之間的距離BC=，當(dāng)云梯靠在西墻的時(shí)候，此時(shí)能夠達(dá)到的高度AB=；若云梯底部O不動(dòng)，使云梯靠在東墻上，此時(shí)云梯能夠達(dá)到的高度DC=，試求BO的距離。四．蘆葦問題1.有一個(gè)邊長(zhǎng)為1O尺的正方形水池，一棵蘆葦AB生長(zhǎng)在它的中央，超出水面BC為l尺．如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽遇到岸邊的B'（如圖）時(shí)，水恰巧沒過蘆葦．問水深和長(zhǎng)各多少？4如圖，小亮將升旗的繩索拉到旗桿底端，繩索尾端恰巧接觸到地面，而后將繩索尾端拉到距離旗桿處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩索尾端距離地面，則旗桿的高度為（滑輪上方的部分忽視不計(jì)）為多少米？五．結(jié)構(gòu)直角三角形1.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B、C是小正方形的極點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)為（）A．90°B．60°C．45°D．30°2.如圖，A，B是公路l（l為東西走向）兩旁的兩個(gè)鄉(xiāng)村，A村到公路l的距離AC＝B村到公路l的距離BD＝，CD=（1）求出A，B兩村之間的距離；（2）為方便村民出行，計(jì)劃在公路邊新建一個(gè)公共汽車站P，要求該站到兩村的距離相等，請(qǐng)用尺規(guī)在圖中作出點(diǎn)P的地點(diǎn)（保存清楚的作圖印跡，并簡(jiǎn)要寫明作法）．六．綜合題目如圖，西安路與南京路平行，而且與八一街垂直，曙光路與環(huán)