二元一次方程解法大全

二元一次方程解法大全二元一次方程解法大全1、直接開平方法：直接開平方法就是用直接開平方求解二元一次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n(nM0)的方程，其解為x=±根號(hào)下n+m.例1.解方程(1)(3x+1)2=7(2)9x2-24x+16=11分析：(1)此方程顯然用直接開平方法好做，(2)方程左邊是完全平方式(3x-4)2，右邊=11>0,所以此方程也可用直接開平方法解。解：(3x+1)2=7X???(3x+1)2=5:.3x+1=土(注意不要丟解)??x=?:原方程的解為x1=,x2=解：9x2-24x+16=11???(3x-4)2=11???3x-4=土:.x=?原方程的解為x1=,x2=2.配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(aHO)先將常數(shù)c移到方程右邊：ax2+bx=-c將二次項(xiàng)系數(shù)化為1：x2+x=-方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方：x2+x+()2=-+()2方程左邊成為一個(gè)完全平方式：(x+)2=當(dāng)b"2-4acM0時(shí)，x+=±：?x=(這就是求根公式)例2.用配方法解方程3x"2-4x-2=0(注:XT是X的平方)解：將常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊3x"2-4x=2將二次項(xiàng)系數(shù)化為1：x2-x二方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方:x2-x+()2=+()2配方：(x-)2=直接開平方得：x-=土原方程的解為x1=,x2=?3?公式法：把一元二次方程化成一般形式,然后計(jì)算判別式△二b2-4ac的值，當(dāng)b2-4acM0時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù)a,b,c的值代入求根公式x=[-b土(b"2-4ac廠(1/2)]/(2a),(b"2-4acM0)就可得到方程的根。例3?用公式法解方程2x2-8x=-5解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0??a=2,b=-8,c=5b^2-4ac=(-8)2-4X2X5=64-40=24>0??x=[(-b土(b"2-4ac廠(1/2)]/(2a)原方程的解為x1=,x2=.因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，讓兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個(gè)根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。例4.用因式分解法解下列方程：(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=06x2+5x-50=0(選學(xué))(4)x2-2(+)x+4=0(選學(xué))(1)解：(x+3)(x-6)=-8化簡整理得x2-3x-10=0(方程左邊為二次三項(xiàng)式，右邊為零)(x-5)(x+2)=0(方程左邊分解因式)?°?x-5=0或x+2=0(轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程)??x1=5,x2=-2是原方程的解。解：2x2+3x=0x(2x+3)=0(用提公因式法將方程左邊分解因式):.x=0或2x+3=0(轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程)?°?xl=O,x2=-是原方程的解。注意：有些同學(xué)做這種題目時(shí)容易丟掉x=0這個(gè)解，應(yīng)記住一元二次方程有兩個(gè)解。解：6x2+5x-50=0(2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式時(shí)要特別注意符號(hào)不要出錯(cuò))???2x-5=0或3x+10=0?.xl=,x2=-是原方程的解。解：x2-2(+)x+4=0(???4可分解為2?2,???此題可用因式分解法)(x-2)(x-2)=0???x1=2,x2=2是原方程的解。小結(jié):一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時(shí)，一般要先將方程寫成一般形式，同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)。直接開平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式法時(shí)，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在用公式前應(yīng)先計(jì)算判別式的值，以便判斷方程是否有解。配方法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學(xué)方法之一，一定要掌握好。（三種重要的數(shù)學(xué)方法:換元法，配方法,待定系數(shù)法）。二元一次方程練習(xí)題一、判斷1、是方程組的解()2、方程組的解是方程3x-2y=13的一個(gè)解()3、由兩個(gè)二元一次方程組成方程組一定是二元一次方程組()4、方程組，可以轉(zhuǎn)化為()5、若(a2T)x2+(a-1)x+(2a-3)y=0是二元一次方程，則a的值為±1()6、若x+y=0，且|x|=2,則y的值為2()7、方程組有唯一的解，那么m的值為mHTOC\o"1-5"\h\z-5()8、方程組有無數(shù)多個(gè)解()9、x+y=5且x，y的絕對(duì)值都小于5的整數(shù)解共有5組()10、方程組的解是方程x+5y=3的解，反過來方程x+5y=3的解也是方程組的解（）11、若|a+5|=5,a+b=1則（）12、在方程4x-3y=7里，如果用x的代數(shù)式表示y，則（）二、選擇：13、任何一個(gè)二元一次方程都有（）（A）—個(gè)解；（B）兩個(gè)解；（C）三個(gè)解；（D）無數(shù)多個(gè)解；14、一個(gè)兩位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為6,那么符合條件的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)有（）（A）5個(gè)（B）6個(gè)（C）7個(gè)（D）8個(gè)15、如果的解都是正數(shù)，那么a的取值范圍是（）（A）a<2；（B）；（C）；（D）；16、關(guān)于x、y的方程組的解是方程3x+2y=34的一組解，那么m的值是（）(A)2；(B)-1；(C)1；(D)-2；17、在下列方程中，只有一個(gè)解的是()(A)(B)(C)(D)18、與已知二元一次方程5x-y=2組成的方程組有無數(shù)多個(gè)解的方程是()(A)15x-3y=6(B)4x-y=7(C)10x+2y=4(D)20x-4y=319、下列方程組中，是二元一次方程組的是()(A)(B)(C)(D)20、已知方程組有無數(shù)多個(gè)解，則a、b的值等于()(A)a=-3,b=-14(B)a=3,b=-7(C)a=-1,b=9(D)a=-3,b=1421、若5x-6y=0，且xyH0,則的值等于()(A)(B)(C)1(D)-122、若x、y均為非負(fù)數(shù)，則方程6x=-7y的解的情況是()(A)無解(B)有唯一一個(gè)解(C)有無數(shù)多個(gè)解(D)不能確定23、若|3x+y+5|+|2x-2y-2|=0，則2x2-3xy的值是()(A)14(B)-4(C)-12(D)1224、已知與都是方程y=kx+b的解，則k與b的值為()(A)，b=-4(B)，b=4(C)，b=4(D)，b=-4三、填空：25、在方程3x+4y=16中，當(dāng)x=3時(shí)，y=，當(dāng)y=_2時(shí)，x=若X、y都是正整數(shù)，那么這個(gè)方程的解為26、方程2x+3y=10中，當(dāng)3x-6=0時(shí)，TOC\o"1-5"\h\zy=；27、如果0.4x-0.5y=1.2,那么用含有y的代數(shù)式表示的代數(shù)式是；28、若是方程組的解，則；29、方程|a|+|b|=2的自然數(shù)解是30、如果x=1，y=2滿足方程，那么a二；31、已知方程組有無數(shù)多解，則a=,m=；32、若方程x-2y+3z=0，且當(dāng)x=1時(shí)，y=2,貝gz=；33、若4x+3y+5=0，則3(8y-x)-5(x+6y-2)的值等于;34、若x+y二a,x-y=1同時(shí)成立，且x、y都TOC\o"1-5"\h\z是正整數(shù)，則a的值為;35、從方程組中可以知道，x:z=；y:z=；36、已知a-3b=2a+b-15=1，則代數(shù)式a2-4ab+b2+3的值為；四、解方程組37、；38、；39、；40、；41、；42、；43、；44、；45、；46、；五、解答題：47、甲、乙兩人在解方程組時(shí)，甲看錯(cuò)了①式中的x的系數(shù)，解得；乙看錯(cuò)了方程②中的y的系數(shù)，解得，若兩人的計(jì)算都準(zhǔn)確無誤，請(qǐng)寫出這個(gè)方程組，并求出此方程組的解；48、使x+4y=|a|成立的x、y的值，滿足(2x+y-l)2+|3y-x|=0,又|a|+a=O，求a的值；49、代數(shù)式ax2+bx+c中，當(dāng)x=1時(shí)的值是0,在x=2時(shí)的值是3,在x=3時(shí)的值是28，試求出這個(gè)代數(shù)式；50、要使下列三個(gè)方程組成的方程組有解,求常數(shù)a的值。2x+3y=6-6a，3x+7尸6T5a，4x+4y=9a+951、當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，方程(2b2-18)x=3與方程組都無解；52、a、b、c取什么數(shù)值時(shí),x3-ax2+bx+c程(x-1)(x-2)(x-3)恒等？53、m取什么整數(shù)值時(shí)，方程組的解：是正數(shù)；是正整數(shù)？并求它的所有正整數(shù)解。54、試求方程組的解。六、列方程(組)解應(yīng)用題55、汽車從甲地到乙地，若每小時(shí)行駛45千米，就要延誤30分鐘到達(dá)；若每小時(shí)行駛50千米，那就可以提前30分鐘到達(dá)，求甲、乙兩地之間的距離及原計(jì)劃行駛的時(shí)間？56、某班學(xué)生到農(nóng)村勞動(dòng)，一名男生因病不能參加，另有三名男生體質(zhì)較弱，教師安排他們與女生一起抬土，兩人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁擔(dān)，兩只筐），這樣安排勞動(dòng)時(shí)恰需筐68個(gè)，扁擔(dān)40根，問這個(gè)班的男女生各有多少人？57、甲、乙兩人練習(xí)賽跑，如果甲讓乙先跑10米，那么甲跑5秒鐘就可以追上乙；如果甲讓乙先跑2秒鐘，那么甲跑4秒鐘就能追上乙，求兩人每秒鐘各跑多少米？58、甲桶裝水49升，乙桶裝水56升,如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶裝滿后，乙桶剩下的水,恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶裝滿后則甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的，求這兩個(gè)水桶的容量。

59、甲、乙兩人在A地，丙在B地，他們?nèi)送瑫r(shí)岀發(fā)，甲與乙同向而行，丙與甲、乙相向而行，甲每分鐘走100米，乙每分鐘走110米，丙每分鐘走125米，若丙遇到乙后10分鐘又遇到甲，求A、B兩地之間的距離。60、有兩個(gè)比50大的兩位數(shù)，它們的差是10,大數(shù)的10倍與小數(shù)的5倍的和的是11的倍數(shù)，且也是一個(gè)兩位數(shù)，求原來的這兩個(gè)兩位數(shù)?！緟⒖即鸢浮恳?、1、J；2、J；3、X；4、X；5、X；6、X；7、J；8、J；9、X；10、X；11、X；—、13、D；—、13、D；14、B；18、A；19、C；20、A；21、A；三、25、，8，；2612、X；b=1；15、C；16、A；17、C；A；22、B；23、B；24、、2；27、；28、a=3，29、30、；31、3,-432、1；33、20；34、a為大于或等于3的奇數(shù)；35、4:3,7:936、0；四、37、；38、；39、；40、；41、；42、；43、；44、；45、；46、；五、47、，；48、a=T49、11x2-30x+19；50、；51、，b=±352、a=6,b=11,c=-6；53、（l）m是大于-4的整數(shù)，（2）m=-3,-2，0，，，；54、或；六、55、A、B距離為450千米，原計(jì)劃行駛9?5小時(shí)；56、設(shè)女生x人，男生y人，57、設(shè)甲速x米/秒，乙速y米/秒58、甲的容量為63升，乙水桶的容量為84升；59、A、B兩地之間的距離為52875米;60、所求的兩位數(shù)為52和62。二元一次方程組練習(xí)題100道（卷二）一、選擇題:1?下列方程中，是二元一次方程的是（）A.3x—2y=4zB?6xy+9=0C?+4y=6D?4x=下列方程組中，是二元一次方程組的是（）A.3?二元一次方程5a—11b=21（）A.有且只有一解B.有無數(shù)解C.無解D.有且只有兩解4?方程y=1—x與3x+2y=5的公共解是（）A.5?若|x—2|+(3y+2)2=0,則的值是()A?—1B?—2C?—3D?6.方程組的解與x與y的值相等，貝葉等于()下列各式，屬于二元一次方程的個(gè)數(shù)有()①xy+2x—y=7；②4x+1=x—y；③+y=5；④x=y；⑤x2—y2=2⑥6x-2y⑦x+y+z=1⑧y(y—1)=2y2—y2+xA.1B.2C.3D.4某年級(jí)學(xué)生共有246人，其中男生人數(shù)y比女生人數(shù)x的2倍少2人，則下面所列的方程組中符合題意的有()A.二、填空題9?已知方程2x+3y—4=0,用含x的代數(shù)式表示y為：y=；用含y的代數(shù)式表示xTOC\o"1-5"\h\z為：x=.在二元一次方程一x+3y=2中，當(dāng)x=4時(shí)，y=；當(dāng)『=—1時(shí)，x=.若x3m—3—2yn—1=5是二元一次方程,貝卩m=,n=?已知是方程x—ky=1的解，那么k=??已知|x—1|+(2y+1)2=0,且2x—ky=4,則k=??二元一次方程x+y=5的正整數(shù)解有?以為解的一個(gè)二元一次方程是?已知的解，則m=,n=三、解答題當(dāng)丫=—3時(shí)，二元一次方程3x+5y=—3和3y—2ax=a+2(關(guān)于x,y的方程)有相同的解，求a的值.如果(a—2)x+(b+1)y=13是關(guān)于x,y的二元一次方程，則a,b滿足什么條件？二元一次方程組的解x,y的值相等，求k.已知x,y是有理數(shù)，且(|x|—1)2+(2y+1)2=0，則x—y的值是多少？已知方程x+3y=5,請(qǐng)你寫出一個(gè)二元一次方程，使它與已知方程所組成的方程組的解為.根據(jù)題意列出方程組：(1)明明到郵局買0.8元與2元的郵票共13枚，共花去20元錢，問明明兩種郵票各買了多少枚？(2)將若干只雞放入若干籠中，若每個(gè)籠中放4只，則有一雞無籠可放；若每個(gè)籠里放5只，則有一籠無雞可放，問有多少只雞，多少個(gè)籠？23.方程組的解是否滿足2x—y=8?滿足2x—y=8的一對(duì)x,y的值是否是方程組的解？24.(開放題)是否存在整數(shù)m,使關(guān)于x的方程2x+9=2—(m—2)x在整數(shù)范圍內(nèi)有解,你能找到幾個(gè)m的值？你能求出相應(yīng)的x的解嗎？答案：一、選擇題D解析：掌握判斷二元一次方程的三個(gè)必需條件：①含有兩個(gè)未知數(shù)；②含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1;③等式兩邊都是整式.A解析：二元一次方程組的三個(gè)必需條件：①含有兩個(gè)未知數(shù)，②每個(gè)含未知數(shù)的項(xiàng)次數(shù)為1;③每個(gè)方程都是整式方程.B解析：不加限制條件時(shí)，一個(gè)二元一次方程有無數(shù)個(gè)解.4?C解析：用排除法，逐個(gè)代入驗(yàn)證.5?C解析：利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì).6?7?C解析：根據(jù)二元一次方程的定義來判定，含有兩個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)不超過17?8?B二、填空題9?10?一1011?，2解析：令3m—3=1,n—1=1,Am=,n=2?—1解析：把代入方程x—ky=1中，得—2一3k=1,Ak=一1.4解析：由已知得x—1=0,2y+1=0,Ax=1,y=—,把代入方程2x—ky=4中，2+k=4,.：k=1?解：解析：°?°x+y=5,?；y=5—x，又Tx,y均為正整數(shù)，.*.x為小于5的正整數(shù).當(dāng)x=1時(shí)，y=4；當(dāng)x=2時(shí)，y=3；當(dāng)x=3,y=2；當(dāng)x=4時(shí)，y=1./.x+y=5的正整數(shù)解為x+y=12解析：以x與y的數(shù)量關(guān)系組建方程，如2x+y=17，2x—y=3等，此題答案不唯一.16.14解析：將中進(jìn)行求解.三、解答題17.解:Ty=—3時(shí)，3x+5y=—3，?°?3x+5X(—3)=—3，?°?x=4，°??方程3x+5y=—3和3x—2ax=a+2有相同的解，.*.3X(—3)—2aX4=a+2，Aa18?解：???(a—2)x+(b+1)y=13是關(guān)于X,y的二元一次方程，?'?a—2H0,b+1H0,.\a^2,bH—1解析：此題中，若要滿足含有兩個(gè)未知數(shù)，需使未知數(shù)的系數(shù)不為0.(若系數(shù)為0,則該項(xiàng)就是0)19?解：由題意可知x二y,?：4x+3y=7可化為4x+3x=7,?x=1,y=1.將x=1,y=1代入kx+(k—1)y=3中得k+k—1=3,???k=2解析：由兩個(gè)未知數(shù)的特殊關(guān)系，可將一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式代替，化“二元”為“一元”，從而求得兩未知數(shù)的值.20?解：由(|x|—1)2+(2y+1)2=0,可得|x|—1=0且2y+1=0,?x二土1,y二一?當(dāng)x=1,y二一時(shí)，x—y=1+=；當(dāng)x=—1,y二—時(shí),x—y=—1+=_?解析：任何有理數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，且題中兩非負(fù)數(shù)之和為0,則這兩非負(fù)數(shù)(|x|—1)2與(2y+1)2都等于0,從而得到|x|一1=0,2y+1=0.解：經(jīng)驗(yàn)算是方程x+3y=5的解，再寫一個(gè)方程，如x-y=3.(1)解：設(shè)0.8元的郵票買了x枚，2元的郵票買了y枚，根據(jù)題意得.(2)解：設(shè)有x只雞，y個(gè)籠，根據(jù)題意得.解：滿足，不一定.解析：???的解既是方程x+y=25的解，也滿足2x-y=8，???方程組的解一定滿足其中的任一個(gè)方程，但方程2x-y=8的解有無數(shù)組，如x=10，y=12，不滿足方程組.解：存在，四組.???原方程可變形為一mx=7，?°?當(dāng)m=1時(shí)，x=_7；m=—1時(shí)，x=7；m=7時(shí)，x=_1；m=_7時(shí)x=1.二元一次方程應(yīng)用題題型一：配套問題某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個(gè)或衣袖5只.現(xiàn)計(jì)劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝（不考慮布料的損耗），應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？題型二：年齡問題甲對(duì)乙說：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才4歲”.乙對(duì)甲說：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將61歲”.請(qǐng)你算一算，甲、乙現(xiàn)在各多少歲？題型三：百分比問題有甲乙兩種銅和銀的合金，甲種合金含銀25%，乙種合金含銀37.5%，現(xiàn)在要熔制含銀30%的合金100千克，甲、乙兩種合金各應(yīng)取多少？題型四：數(shù)字問題有一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大5,如果把這兩個(gè)數(shù)字的位置對(duì)換，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143,求這個(gè)兩位數(shù).題型五：古算術(shù)問題巍巍古寺在山林，不知寺內(nèi)幾多僧。364只碗，看看用盡不差爭。三人共食一碗飯，四人共吃一碗羹。請(qǐng)問先生明算者，算來寺內(nèi)幾多僧。詩句的意思是：寺內(nèi)有三百六十四只碗