第六章多元函數(shù)微分學(xué)

第六章多元函數(shù)微分學(xué)2§1多元函數(shù)1.多元函數(shù)的概念以前我們接觸到的函數(shù)y=f(x)有一個(gè)特點(diǎn),就是只有一個(gè)自變量,函數(shù)y是隨著這一個(gè)自變量的變化而變化的.我們稱(chēng)為一元函數(shù).如y=sinx,y=x2+3cosx等.3所謂多元函數(shù),直觀的說(shuō),就是有多個(gè)自變量的函數(shù).函數(shù)y隨多個(gè)自變量的變化而變化.圓柱體體積V=r2h體積V隨r,h的變化而變化.一對(duì)數(shù)(r,h),就有唯一的一個(gè)V與之對(duì)應(yīng).或者說(shuō),任給4長(zhǎng)方體體積V=xyz

V隨x,y,z的變化而變化.一組數(shù)(x,y,z),就有唯一的一個(gè)V與之對(duì)應(yīng).或者說(shuō),任給這些都是多元函數(shù)的例子.有二個(gè)自變量的稱(chēng)為二元函數(shù).有三個(gè)自變量的稱(chēng)為三元函數(shù),…,有n個(gè)自變量的稱(chēng)為n元函數(shù).與一元函數(shù)類(lèi)似,我們有

5二元函數(shù)定義設(shè)D是xy平面上的一個(gè)點(diǎn)集,即D

R2,若對(duì)任意的點(diǎn)X=(x,y)DR2,按照某個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則f,總有唯一確定的實(shí)數(shù)z與之對(duì)應(yīng),則稱(chēng)f是定義在D上的二元實(shí)值函數(shù),記作f:D

R,X=(x,y)z.6稱(chēng)z為點(diǎn)X=(x,y)在f下的像,記作f(X)或f(x,y),即z=f(X)=f(x,y).也稱(chēng)作X=(x,y)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.稱(chēng)D為函數(shù)

f的定義域.D在f下的像集f(D)={f(X)|XD}稱(chēng)為f的值域.習(xí)慣上,稱(chēng)z=f(X)=f(x,y)為二元函數(shù),另外,稱(chēng)x,y為自變量,z為因變量.比如z=sinx+cosy,z=3x2+ey.7注1.一般說(shuō)來(lái),自變量x,y都是獨(dú)立變化的.它們只受到(x,y)D的限制.f(x,y)的表達(dá)式,計(jì)算f(x0,y0)的方法與一元函數(shù)類(lèi)似.另外,若給出了8注2.特別,若定義域D是x

y面上一條曲線.D:y=g(x).g事實(shí)上,x

D上的點(diǎn)

(x,g(x))=(x,y)

z.f=

f(x,g(x))成為一元函數(shù).則二元函數(shù)z

=

f(x,y)9注3.

任何一個(gè)一元函數(shù)都可擴(kuò)充為一個(gè)二元函數(shù).事實(shí)上,z=f(x)=f(x)+0·y只須將z作為一元函數(shù)的定義域D

R擴(kuò)充為R2中點(diǎn)集即可.10注2,注3說(shuō)明二元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣,而一元函數(shù)則是二元函數(shù)的特殊情形.一元函數(shù)是定義在xy面上一條直線(x軸)上的二元函數(shù).類(lèi)似的,有n元函數(shù)定義.11設(shè)有一個(gè)集合D

Rn

,如果對(duì)于集合D中的每一點(diǎn)(x1,x2,…,xn)

,按照一定的規(guī)則f,都有一個(gè)惟一確定的實(shí)數(shù)uR與之對(duì)應(yīng),則稱(chēng)f是定義在D上的n元實(shí)值函數(shù).這里D被稱(chēng)作f的定義域.與(x1,x2,…,xn)相對(duì)應(yīng)的數(shù)u被稱(chēng)為f在(x1,x2,…,xn)的值,并記作f(x1,x2,…,xn).全體函數(shù)值的集合f(D)={f(x1,x2,…,xn)|(x1,x2,…,xn)D}稱(chēng)為f的值域。定義(x1,x2,…,xn)稱(chēng)作自變量，u稱(chēng)作因變量。12解:

與一元函數(shù)類(lèi)似.就是要求使這個(gè)式子有意義的平面上的點(diǎn)的集合.例1.求z=ln(x+y)的定義域D,并畫(huà)出D的圖形.x+y>0.故定義域D={(x,y)|x+y>0}畫(huà)直線y1=–x.由于D中點(diǎn)(x,y)的縱坐標(biāo)y要大于直線y1=–x上點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1,故D表示直線y1=–x上方點(diǎn)的集合.(不包括邊界y1=–x上的點(diǎn))為畫(huà)D的圖形,由x+y>0,得y>–x=(y1).13x+y=0xyo如圖y>–xD(不包括直線x+y=0)14例2.解:故故D表示到原點(diǎn)距離不超過(guò)1的點(diǎn)的集合.即,D為單位圓盤(pán)(包括圓周).15xyox2+y2=1(包括圓周)D16

2.Rn中的集合到Rm的映射設(shè)D為Rn中的一個(gè)集合，f是D→Rm的映射。對(duì)于D中的每一點(diǎn)(x1,x2,…,xn)

，在Rm中都有惟一確定的點(diǎn)(y1,y2,…,ym)與之相對(duì)應(yīng)。Rn中的集合D到Rm的映射f可用有序的m個(gè)n元函數(shù)表示，即映射f:D→Rm相當(dāng)于m個(gè)n元函數(shù)：173.Rn中的拓?fù)?.距離:Rn中兩點(diǎn)P與Q的距離d(P,Q)數(shù)軸R上x(chóng)到x0的距離：平面R2中P(x,y)到P0(x0,y0)的距離：空間R3中P(x,y,z)到P0(x0,y0,z0)的距離：Rn中P(x1,…,xn)到P0(x01,…,x0n)的距離：18(1)d(P,Q)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)P=Q時(shí)等號(hào)成立；(2)d(P,Q)=d(Q,P),對(duì)任意的P,Q∈Rn;(3)d(P,Q)≤d(P,R)+d(R,Q).(三角不等式)對(duì)任意的P,Q,R∈Rn.距離d(P,Q)滿足下列條件：192.鄰域:設(shè)P0∈Rn為給定一點(diǎn)，r是給定的正數(shù)，定義P0點(diǎn)的r鄰域是集合P0rP0r203.

集合ERn的內(nèi)點(diǎn)P如果存在一個(gè)正數(shù)r使得P點(diǎn)的r鄰域整個(gè)包含于E。即Ur(P)E則稱(chēng)P為E的內(nèi)點(diǎn).{E

的內(nèi)點(diǎn)}E.21xyox2+y2=111D易知,圓內(nèi)部的每一點(diǎn)都是D的內(nèi)點(diǎn).但圓周上的點(diǎn)不是

D的內(nèi)點(diǎn).22x+y=0xy0如圖D又如z=ln(x+y)的定義域D={(x,y)|x+y>0}易見(jiàn),直線上方每一點(diǎn)都是D的內(nèi)點(diǎn).但直線上的點(diǎn)不是D的內(nèi)點(diǎn).234.

集合ERn的外點(diǎn)P如果存在一個(gè)正數(shù)r使得P點(diǎn)的r鄰域與E不交。即Ur(P)∩E=

，則稱(chēng)P為E的外點(diǎn).{E

的外點(diǎn)}∩

E=.245.集合E的邊界點(diǎn):對(duì)任意的正數(shù)r，P點(diǎn)的r鄰域Ur(P)中既有E中的點(diǎn),又有非E中的點(diǎn),則稱(chēng)P為E的邊界點(diǎn).E的邊界點(diǎn)可能包含于E，也可能不包含于E。E的全體邊界點(diǎn)所成集合稱(chēng)為E的邊界.記作E.25xyo11x2+y2=1Dx+y=0xyoE的邊界點(diǎn)可以是E中的點(diǎn),也可以不是E中的點(diǎn).D266.開(kāi)集若集合E中每一點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn)。即E中沒(méi)有邊界點(diǎn)（充要條件）。規(guī)定,R2為開(kāi)集。7.閉集若集合E包含其全部邊界點(diǎn)。(有些集合既非開(kāi)集也非閉集)。27xyoE又比如,E如圖若E不包含邊界,則E為開(kāi)集.若E包含邊界,則E不是開(kāi)集.28結(jié)論:非空平面點(diǎn)集E為開(kāi)集的充要條件是E中每一點(diǎn)都不是E的邊界點(diǎn).即E不含有E的邊界點(diǎn).證:必要性.設(shè)E為開(kāi)集,XE,由開(kāi)集定義知X為E的內(nèi)點(diǎn).故X不是E的邊界點(diǎn).29充分性.若E中每一點(diǎn)都不是E的邊界點(diǎn).要證E為開(kāi)集.XE,由于X不是E的邊界點(diǎn).故必存在X的一個(gè)鄰域U(X,),在這個(gè)鄰域U(X,)內(nèi)或者全是E中的點(diǎn).或者全都不是E中的點(diǎn),兩者必居其一.由于XE,故后一情形不會(huì)發(fā)生.因此,U(X,)內(nèi)必全是E中的點(diǎn).故XE0,即,E

E0,所以E是開(kāi)集.30XYE連通YXE不連通8.E是連通的E∈Rn是開(kāi)集，若E中任意兩點(diǎn)都可用一條落在E中的曲線相連接。31從幾何上看,所謂E是連通集,是指E是連成一片的.E中的點(diǎn)都可用折線連接.例1,2中的D都是連通集.如圖x+y=0xyoxyo11x2+y2=1329.Rn中的區(qū)域（開(kāi)區(qū)域，開(kāi)域)

E從幾何上看,開(kāi)區(qū)域是連成一片的,不包括邊界的點(diǎn)集.若E是連通的非空開(kāi)集,則稱(chēng)E是開(kāi)區(qū)域.10.閉區(qū)域(閉域)區(qū)域G和它的全部邊界點(diǎn)組成的集合稱(chēng)為閉區(qū)域。即

E從幾何上看,閉區(qū)域是連成一片的.包括邊界的平面點(diǎn)集.34設(shè)ERn,若存在ρ>0,使的E包含于以原點(diǎn)為中心，以ρ為半徑的球內(nèi)，即EUρ(O),則稱(chēng)E為有界集合.否則稱(chēng)E

為無(wú)界集合.11.有界集合和無(wú)界集合35

三、二元函數(shù)的幾何意義設(shè)z=f(X)=f(x,y)的定義域是平面區(qū)域D.按二元函數(shù)定義,X=(x,y)D.可以唯一確定實(shí)數(shù)z,從而確定了空間一個(gè)點(diǎn)M(x,y,z).36當(dāng)X在D中變動(dòng)時(shí),點(diǎn)M(x,y,z)在空間中變動(dòng),當(dāng)X取遍D中一切點(diǎn)時(shí),M(x,y,z)在三維空間中"織"出一片曲面.即二元函數(shù)表示空間中一片曲面,D是該曲面在xy面上的投影區(qū)域.37XDM(x,y,z)yxzoz=f(X)=f(x,y)38如z=ax+by+c,表平面.注意三元函數(shù)u=f(x,y,z)的定義域是R3的一個(gè)子集.三元函數(shù)無(wú)幾何意義.39§2多元函數(shù)的極限1.二元函數(shù)的極限概念40回憶一元函數(shù)的極限.設(shè)y=f(x),當(dāng)x不論是從x0的左邊還是從x0的右邊無(wú)限接近于x0時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于數(shù)A.表示如圖xyA0f(x)f(x)y=f(x)x0xxxx0就是>0,>0.當(dāng)0<|x–x0|<時(shí),有|f(x)–A

|<.41設(shè)二元函數(shù)z=f(X)=f(x,y),定義域?yàn)镈.如圖Dz=f(x,y)XX如果當(dāng)X在D內(nèi)變動(dòng)并無(wú)限接近于X0時(shí)(從任何方向,以任何方式),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(X)無(wú)限接近于數(shù)A,則稱(chēng)A為當(dāng)X趨近于X0時(shí)f(X)的極限.MX0Ayzxof(X)42類(lèi)似于一元函數(shù),f(X)無(wú)限接近于數(shù)A可用|f(X)–A|<刻畫(huà).而平面上的點(diǎn)X=(x,y)無(wú)限接近于點(diǎn)X0=(x0,y0)則可用它們之間的距離43設(shè)函數(shù)z=f

(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義。若有一常數(shù)

A，對(duì)>0,>0,使得當(dāng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足|f

(x,y)–

A|<.則稱(chēng)(x,y)趨于(x0,y0)時(shí)f(x,y)以A為極限，記作或定義144用鄰域敘述對(duì)>0,>0,當(dāng)P點(diǎn)在P0的空心鄰域內(nèi)時(shí)，f(P)落在A的鄰域。即45設(shè)函數(shù)z=f

(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義。若有一常數(shù)

A，對(duì)>0,>0,使得當(dāng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足|f

(x,y)–

A|<.則稱(chēng)(x,y)→(x0,y0)時(shí)f(x,y)以A為極限。定義2定義1定義246對(duì)>0,>0,使得當(dāng)|f

(x,y)–

A|<.定義2定義1所以有|f

(x,y)–

A|<.xox0Dy0(x0,y0)δ47對(duì)>0,>0,使得當(dāng)|f

(x,y)–

A|<.定義1定義2從而也有|f

(x,y)–

A|<.xox0Dy0(x0,y0)δ48注意：如圖xx0xx49xoX0XD對(duì)二元函數(shù)f(X),如圖有點(diǎn)X以任何方式趨近于X0時(shí),f(X)的極限都存在且為A.Dz=f(x,y)Xf(X)MX0Ayzxo因此,如果當(dāng)X以某幾種特殊方式趨于X0時(shí),f(X)的極限為A.不能斷定二重極限若X以不同方式趨于X0時(shí),f(X)的極限不同,則可肯定二重極限極限定義可推廣到三元以上函數(shù)中去,且多元函數(shù)極限的運(yùn)算法則等都與一元函數(shù)相同.51證當(dāng)時(shí)，原結(jié)論成立．例2求證52例1.用定義證明:證:>0,|f(x,y)–0|<.)考慮|f(x,y)–0|(要證>0,使得當(dāng)53要使|f(x,y)–0|<,只須即|f(x,y)–0|<故545556例2.

設(shè)f(x,y)=證明f(x,y)在(0,0)點(diǎn)的極限不存在.證:由注2知,只須證明當(dāng)(x,y)

沿不同的線路趨于(0,0)時(shí),函數(shù)f(x,y)對(duì)應(yīng)的極限也不同即可.57考察(x,y)沿平面直線y=kx趨于(0,0)的情形.如圖對(duì)應(yīng)函數(shù)值xoy58從而,當(dāng)(x,y)沿y=kx趨于(0,0)時(shí),函數(shù)極限當(dāng)k不同時(shí),極限也不同.因此,f(x,y)在(0,0)的極限不存在.請(qǐng)考察當(dāng)(x,y)沿x軸,沿y軸趨于(0,0)的情形.59沿x軸,y=0.函數(shù)極限=0沿y軸,x=0.函數(shù)極限=0但不能由此斷定該二重極限為0(注2).60例4證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．6162確定極限不存在的方法：632.二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與基本性質(zhì)定理1（四則運(yùn)算）：設(shè)函數(shù)f(x,y)及g(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)

的空心鄰域內(nèi)有定義。若64定理2（極限不等式）：若在點(diǎn)(x0,y0)的空心鄰域內(nèi)，函數(shù)f(x,y)及g(x,y)有定義，且f(x,y)≥g(x,y),并且當(dāng)(x,y)→(x0,y0)時(shí)，f(x,y)及g(x,y)分別以A與B為極限，則A≥B，也即65定理3（夾逼定理）：設(shè)函數(shù)f(x,y),g(x,y)及h(x,y)在一點(diǎn)(x0,y0)的一個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，且成立下列不等式f(x,y)≤h(x,y)≤

g(x,y),并且當(dāng)(x,y)→(x0,y0)時(shí)，f(x,y)及g(x,y)都有極限A，則h(x,y)也以A為極限。即66例3求極限解其中67定理4（復(fù)合函數(shù)的極限）：設(shè)函數(shù)x=g(u,v)及y=h(u,v)在點(diǎn)(u0,v0)的一個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，且有極限：又設(shè)函數(shù)f(x,y)在(x0,y0)的空心鄰域內(nèi)有定義，且使得當(dāng)(u,v)在(u0,v0)的空心鄰域內(nèi)時(shí)，函數(shù)f(g(u,v),h(u,v))有定義；并且當(dāng)(x,y)→(x0,y0)時(shí)，f(x,y)的極限為A，則當(dāng)(u,v)→(u0,v0)

時(shí)，復(fù)合函數(shù)f(g(u,v),h(u,v))也以A為極限。即68定理5（復(fù)合函數(shù)的極限）：設(shè)z=f(u)是定義在u0點(diǎn)的一個(gè)空心鄰域內(nèi)的一元函數(shù)，且有極限：又設(shè)u=g(x,y)是定義在(x0,y0)點(diǎn)的空心鄰域內(nèi)的二元函數(shù)，且6970多元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)的情況類(lèi)似.

解

例2

71727374753.累次極限與全面極限全面極限與累次極限之間沒(méi)有必然聯(lián)系。

累次極限：固定二元函數(shù)f(x,y)中的一個(gè)變量，對(duì)另一個(gè)變量取極限。

76不存在777879§3多元函數(shù)的連續(xù)性80定義1.多元函數(shù)的連續(xù)性的定義設(shè)函數(shù)u=f(x,y),在點(diǎn)(x0,y0)的一個(gè)鄰域內(nèi)有定義。若函數(shù)u=f(x,y)當(dāng)(x,y)→(x0,y0)時(shí)有極限，且其極限等于函數(shù)值f(x0,y0),即則稱(chēng)函數(shù)f(x,y)在(x0,y0)點(diǎn)連續(xù)。

若u=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有定義且在D內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng)u=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)。記為f(x,y)C(D).

8182838485868788解取當(dāng)時(shí)故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).例5討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性．89解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．例6討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．90定理12.關(guān)于二元函數(shù)的連續(xù)性的幾個(gè)定理設(shè)兩個(gè)二元函數(shù)f(x,y)及g(x,y)在一點(diǎn)(x0,y0)連續(xù)，則函數(shù)u=f(x,y)±g(x,y)及u=f(x,y)·g(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)也連續(xù)。此外,若g(x0,y0)≠0,則函數(shù)u=f(x,y)/g(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)連續(xù).91定理2設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)附近有定義且在點(diǎn)(x0,y0)連續(xù)，又設(shè)函數(shù)u=g(z)在z0=f(x0,y0)點(diǎn)附近有定義且在z0點(diǎn)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)u=g(f(x,y))在點(diǎn)(x0,y0)連續(xù).定理3二元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。

92注1.二元函數(shù)f(X)在X0

連續(xù)必須滿足三個(gè)條件.在X0有定義,在X0的極限存在,兩者相等,2.多元連續(xù)函數(shù)的和,差,積,商(分母不為0)以及多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合仍是多元連續(xù)函數(shù).定義可推廣到三元以上函數(shù)中去.933.多元初等函數(shù)在它有定義的區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的.所謂多元初等函數(shù)是指以x,y,z,…為自變量的基本初等函數(shù)f(x),(y),g(z),…以及常函數(shù),經(jīng)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的函數(shù).如f(x,y)=exy

·sin(x2+y),=e0·sin0=0.944.二元連續(xù)函數(shù)的幾何意義:定義在區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)z=f(X)=f(x,y)表示了在D上的一片沒(méi)有"空洞",沒(méi)有"裂縫"的連續(xù)曲面.這里條件"D是一區(qū)域"是必要的.若D不是區(qū)域,z=f(x,y)可能不是通常意義下的連續(xù)曲面.95例.設(shè)D={(x,y)|x,y均為有理數(shù)}R2.z=f(x,y)是定義在D上的,在