圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定 教學(xué)設(shè)計(jì)

1.3.2圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定教學(xué)目標(biāo)(一)知識目標(biāo)(1)了解圓內(nèi)接多邊形和多邊形外接圓的概念；(2)掌握圓內(nèi)接四邊形的概念及其性質(zhì)定理；(3)熟練運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和證明．(二)能力目標(biāo)(1)通過圓的特殊內(nèi)接四邊形到圓的一般內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的探究，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力；(2)通過定理的證明探討過程，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)散思維；(3)通過定理的應(yīng)用，進(jìn)一步提高學(xué)生的應(yīng)用能力和思維能力．(三)情感目標(biāo)(1)充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，激發(fā)學(xué)生的探究的熱情；(2)滲透教學(xué)內(nèi)容中普遍存在的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)．教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理．難點(diǎn)：定理的靈活運(yùn)用．教學(xué)過程(一)基本概念如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓．如圖中的四邊形ABCD叫做⊙O的內(nèi)接四邊形，而⊙O叫做四邊形ABCD的外接圓．(二)創(chuàng)設(shè)研究情境問題：一般的圓內(nèi)接四邊形具有什么性質(zhì)？研究：圓的特殊內(nèi)接四邊形(矩形、正方形、等腰梯形)1、邊的性質(zhì)：(1)矩形：對邊相等，對邊平行．(2)正方形：對邊相等，對邊平行，鄰邊相等．(3)等腰梯形：兩腰相等，有一組對邊平行．歸納：圓內(nèi)接四邊形的邊之間看不出存在什么公同的性質(zhì)．2、角的關(guān)系相鄰兩內(nèi)角互補(bǔ)有兩組相等的角相對兩內(nèi)角互補(bǔ)矩形是是是正方形是是是等腰梯形不是是是猜想：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．(三)證明猜想教師引導(dǎo)學(xué)生證明．(參看思路)思路1：在矩形中，外接圓心即為它的對角線的中點(diǎn)，∠A與∠B均為平角∠BOD的一半，在一般的圓內(nèi)接四邊形中，只要把圓心O與一組對頂點(diǎn)B、D分別相連，能得到什么結(jié)果呢？思路2：在正方形中，外接圓心即為它的對角線的交點(diǎn)．把圓心與各頂點(diǎn)相連，與各邊所成的角均方45°的角．在一般的圓內(nèi)接四邊形中，把圓心與各頂點(diǎn)相連，能得到什么結(jié)果呢？(四)性質(zhì)及應(yīng)用定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對角．經(jīng)過上面的討論，我們得到了圓內(nèi)接四邊形的兩條性質(zhì).一個(gè)自然的想法是，它們的逆命題成立嗎？如果成立，就可以得到四邊形存在外接圓的判定定理.假設(shè)：四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°.求證：A、B、C、D在同一圓周上(簡稱四點(diǎn)共圓).分析：在不同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)作圓O.如果能夠由條件得到圓O過點(diǎn)D，那么就證明了命題.顯然，圓O與點(diǎn)D有且只有三種關(guān)系：(1)點(diǎn)D在圓外；(2)點(diǎn)D在圓內(nèi)；(3)點(diǎn)D在圓上.只要證明在假設(shè)條件下只有(3)成立，也就證明了命題.老師引導(dǎo)學(xué)生完成證明.可得：圓內(nèi)接四邊形判定定理如果一個(gè)四邊形的對角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.在圓內(nèi)接四邊形判定定理的證明中，我們用分類思想對點(diǎn)D與A、B、C三點(diǎn)確定的圓的位置關(guān)系進(jìn)行探討，在每一種情形中都運(yùn)用了反證法.當(dāng)問題存在多種情形時(shí)，通過對每一種情形分別論證，最后獲證結(jié)論的方法，稱為窮舉法.(五)例題解析例1如圖，圓⊙O和⊙O1相交于A，B兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A，B的直線EF，MN與兩圓分別相交于E，F(xiàn)；M，N.求證：EF//FN.證明：連接AB.因?yàn)樗倪呅蜛BEM是⊙O的內(nèi)接四邊形，所以∠ABF=∠M.又因?yàn)樗倪呅蜛BFN是⊙O1內(nèi)接四邊形，所以∠ABF+∠N=180°.所以EF//FN.例2如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，過A作⊙O的切線交CB的延長線于P，已知∠EAD=∠PCA.求證：DA2=CD×BP.證明：因?yàn)镋P是⊙O的切線，所以所以∠EAD=∠DCA，∠PAB=∠PCA.又因?yàn)椤螮AD=∠PCA，所以∠DCA=∠PAB=∠PCA，所以AD=AB.又因?yàn)閳A內(nèi)接四邊形ABCD，所以∠PBA=∠D，所以△DCA與△BAP相似，因此因?yàn)锳D=AB，所以DA2=CD×BP.例3如果兩個(gè)三角形有一條公共邊，這條邊所對的角相等，并且造公共邊的同側(cè)，那么這兩個(gè)三角形有公共的外接圓.已知：如圖，∠C，∠D在AB同側(cè)，∠C=∠D.求證：△ABC和△ABD有公共的外接圓.證明：如圖，作△ABC的外接圓⊙O，在⊙O的弧AB上取點(diǎn)E，是E與C在AB的兩側(cè).因?yàn)锳，E，B，C四點(diǎn)共圓，所以∠ACB+∠AEB=180°.又已知∠ACB=∠ADB，所以∠ADB+∠AEB=180