優(yōu)選教案：高中數(shù)學人教B版 必修 第一冊 一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關系

第二章等式與不等式《2.1.2一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關系》第1課時教學目標1．掌握一元二次方程一般式解集的方法．2．會用整體代入法解一元二次方程．3．學會用配方法推出一元二次方程的解集．教學重難點教學重點：1．掌握用配方法，整體代入法解一元二次方程．2．實際情景問題中構建一元二次方程模型．教學難點：用整體代入法解一元二次方程課前準備PPT課件．教學過程一、整體概述問題1：閱讀課本第47~49頁，回答下列問題：（1）本節(jié)將要研究哪類問題？（2）本節(jié)研究的起點是什么？目標是什么？師生活動：學生帶著問題閱讀課本，并在本節(jié)課中回答相應問題．預設的答案：（1）本節(jié)將要研究一元二次方程的解集．（2）起點是一次方程的解集以及因式分解法解一元二次方程，目標是會用配方法以及公式法求解一元二次方程或可化為一元二次方程的方程；提升數(shù)學建模素養(yǎng)．設計意圖：通過閱讀讀本，讓學生明晰本階段的學習目標，初步搭建學習內容的框架．二、探索新知1．情境與問題《九章算術》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學專著．是《算經十書》中最重要的一部，成于公元一世紀左右．《九章算術》內容十分豐富，全書總結了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就．同時，《九章算術》在數(shù)學上還有其獨到的成就，不僅最早提到分數(shù)問題，也首先記錄了盈不足等問題，《方程》章還在世界數(shù)學史上首次闡述了負數(shù)及其加減運算法則．它是一本綜合性的歷史著作，是當時世界上最簡練有效的應用數(shù)學，它的出現(xiàn)標志中國古代數(shù)學形成了完整的體系．《九章算術》第九章“勾股”問題二十：今有邑方不知大小，各中開門．出北門二十步有木，出南門一十四步，折而西行一千七百七十五步見木，問邑方幾何．根據題中的描述可畫出示意圖如圖所示，其中A點代表北門，B處是木，C點代表南門，而且AB=20，CD=14，DE=_______．如果設正方形的邊長為x．則有，DB=20+x+14=x+34．根據ΔABF∽ΔDBE可知，從而AF·DB=AB·DE，因此．整理得，你會解這個方程嗎？設計意圖：以中國古代數(shù)學名著中的題為情境引入，既說明學習這部分內容的重要，也說明中國古代數(shù)學成就突出，激發(fā)學生的學習熱情和愛國情懷．2．探究新知知識點1一元二次方程的解集我們知道，形如ax2+bx+c=0的方程為一元二次方程，其中a，b，c是常數(shù)，且a≠0．問題1：從上一節(jié)的內容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但是用這種方法有時候并不容易，例如情境與問題中所得到的方程就是這種情形，此時該怎么辦呢？追問1：你認為最簡單的一元二次方程具有什么樣的形式？可以怎樣得到這種方程的解集？舉例說明．師生活動：學生討論，不難發(fā)現(xiàn)：如果一個一元二次方程可以化為x2=t的形式，其中t為常數(shù)，那么這個方程的解集①是容易獲得的．（①如不特別聲明，本書中所說的一元二次方程的解均指的是實數(shù)解，下同．）【練一練】方程x2=3的解集為__________；方程x2=0的解集為__________；方程x2=－2的解集為__________．預設的答案：{一，}；{0}；?．教師總結：一般地，方程x2=t：當t>0時，解集為__________；（2）當t=0時，解集為__________；（3）當t<0時，解集為__________．預設的答案：{，－}；{0}；?．追問2：形如（x－k）2=t（其中k，t是常數(shù)）的一元二次方程的解集如何得到？【練一練】方程（x－1）2=2的解集為__________．師生活動：學生書寫解題過程：由（x－1）2=2可知x－1=﹣或x－1=，從而x=1－或x=1+，因此解集為{1－，1+}．教師總結：一般地，方程（x－k）2=t：當t>0時，解集為；當t=0時，解集為；當t<0時，解集為．預設的答案：{，}；{k}；?．結論：對于一般的一元二次方程來說，只需要將其化為（x－k）2=t的形式，就可得到方程的解集．追問3：怎樣將x2+2x+3=0化為（x－k）2=t的形式？動手試試看，并寫出這個方程的解集．師生活動：學生思考后回答：利用配方法可得x2+2x+3=x2+2x+1+2=（x+1）2+2．因此x2+2x+3=0可以化為（x+1）2=﹣2，從而解集為?．教師總結：利用配方法，總是可以將化為（x－k）2=t的形式，過程如下：因為a≠0，所以因此，可以化為．從而可知，的符號情況決定了上述方程的解集情況：（1）當時，方程的解集為；（2）當時，方程的解集為；（3）當時，方程的解集為．一般地，Δ=b2－4ac稱為一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判別式．由此可知，一元二次方程解集的情況完全由它的系數(shù)決定．師生活動：請學生回答：前述情境與問題中的方程的解，方程可以化為（x+17）2=71289，從而可解得x=250或x=－284（舍）．設計意圖：從最簡單的一元二次方程入手，逐步討論一元二次方程的解集．三、初步應用例1求下列方程的解集．（1）； （2）；（3）（）．師生活動：學生分析，化為一元二次方程的一般形式，利用公式法求解．教師寫出規(guī)范解答．預設的答案：解：（1）方程可化為：，，則． 則，所以原方程的解集為；（2）方程可化為：，則，所以原方程的解集為．（3）． 當時，原方程的解集為； 當時，原方程的解集為； 當時，原方程的解集為．設計意圖：利用公式法求一元二次方程的解集．注意，若方程中含有參數(shù)，需要對參數(shù)分類討論．例2求下列方程的解集．（1）（2）（x2+3x）2+2（x2+3x）－3=0．

師生活動：學生分組討論，派代表完成解題過程．預設的答案：解：（1）設，則y≥0，且原方程可變?yōu)?，因此可知y=1+或y=1－（舍）從而，即，所以原方程的解集為．（2）設x2+3x=y，方程化為y2+2y－3=0，即（y－1）（y+3）=0，解得y1=1，y2=－3．即x2+3x=1或x2+3x=－3．即x2+3x－1=0或x2+3x+3=0．解得，所以原方程的解集為．設計意圖：這不是一個一元二次方程，但是通過把或x2+3x看成一個整體就可以轉化為一個一元二次方程．通過本例說明可用換元法和公式法求一類可化為一元二次方程的解集．練習：教科書P50練習A1、2、3四、歸納