【卓越學(xué)案】高考理科數(shù)學(xué)新課標(biāo)一輪復(fù)習(xí)練習(xí)：10.3二項(xiàng)式定理(含答案解析)

一、選擇題1．在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M，則∠AMB>90°的概率為()πB．1－πC.πD．1－πA.884412[導(dǎo)學(xué)號(hào)35950787]分析：選A.由題意知所求概率P＝2π·2π＝.4×482．利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的平均隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a－1>0”發(fā)生的概率為( )12A.3B．313C.4D．4[導(dǎo)學(xué)號(hào)35950788]分析：選B.由題意知0≤a≤1事.件“3a－1>0”發(fā)生時(shí)，a>1且a≤1，取31區(qū)間長(zhǎng)度為測(cè)度，由幾何概型的概率公式得其概率P＝1－3＝2.133.某人隨機(jī)地在如下圖正三角形及其外接圓地區(qū)內(nèi)部投針(不包含三角形界限及圓的外界)，則針扎到暗影地區(qū)(不包含界限)的概率為( )π33A.3B．4π3C.4D．以上全錯(cuò)[導(dǎo)學(xué)號(hào)35950789]分析：選B.設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為a，圓的半徑為R，則正三角形的32面積為4a.由正弦定理得2R＝a得R＝3sin60°3a，3221πa2P＝4a33∴圓的面積S＝πR＝.由幾何概型的概率計(jì)算公式得概率1＝.應(yīng)選B.324π3πa4.如下圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△AED或△BEC內(nèi)部的概率等于( )11A.2B．312C.4D．3[導(dǎo)學(xué)號(hào)35950790]S△AED＋S△BEC分析：選A.點(diǎn)Q取自△AED或△BEC內(nèi)部的概率P＝S矩形ABCD12.應(yīng)選A.5．在區(qū)間[0,2π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事件“sinx>cosx”的概率為( )11A.2B．431C.4D．8分析：選A.由sinx>cosx，得2sinx－π[導(dǎo)學(xué)號(hào)35950791]4>0.ππ5π∴0<x－<π，即<x<，4445ππ4－1∴事件“sinx>cosx”的概率為4P＝2π＝.應(yīng)選A.26.把半徑為2的圓分紅相等的四段弧，再將這四段弧圍成星形放在半徑為2的圓內(nèi)，現(xiàn)在往該圓內(nèi)任投一點(diǎn)，此點(diǎn)落在星形內(nèi)的概率為( )A.4－1B．2ππC.4－1D．1π22[導(dǎo)學(xué)號(hào)35950792]分析：選A.∵圓的半徑為2，星形弧半徑為2，∴點(diǎn)落在星形內(nèi)的22π·21－－×2×2×2×44概率P(A)＝2＝4－1.應(yīng)選A.2π·2π7．在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別為a，b，則使得函數(shù)222f(x)＝x＋2ax－b＋π有零點(diǎn)的概率為()ππA．1－8B．1－4π3πC．1－2D．1－4[導(dǎo)學(xué)號(hào)35950793]分析：選B.使函數(shù)222f(x)＝x＋2ax－b＋π有零點(diǎn)，應(yīng)知足222a＋b≥π成立．而a，b∈[－π，π]，成立平面直角坐標(biāo)系，知足

222＝4a－4(－b＋π)≥0，即222a＋b≥π的點(diǎn)(a，b)如圖3232π×－2ππ－ππ暗影部分所示，所求事件的概率為P＝2π×＝2＝1－，應(yīng)選B.2π4π48.如下圖，在△AOB中，已知∠AOB＝60°，OA＝2，OB＝5，在線(xiàn)段OB上任取一點(diǎn)C，則△AOC為鈍角三角形的概率為()A．0.6B．0.4C．0.2D．0.1[導(dǎo)學(xué)號(hào)35950794]分析：選B.若△AOC為鈍角三角形，則∠ACO為鈍角，或∠OAC為鈍角．當(dāng)∠ACO＝90°時(shí)，如下圖，由勾股定理可得OC＝1；當(dāng)∠OAC＝90°時(shí)，由直角三角形中的邊角關(guān)系可得OC＝4，BC＝1，綜上可知當(dāng)0<OC<1或0<BC<1時(shí)，△AOC為鈍角三角形．故△AOC為鈍角三角形的概率等于2＝0.4，應(yīng)選B.53，－1→→→→9．已知三點(diǎn)A(2,1)，B(1，－2)，C55，動(dòng)點(diǎn)P(a，b)知足0≤OP·OA≤2，且0≤OP·OB1≤2，則動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離小于5的概率為()ππA.20B．1－2019π19πC.20D．1－20[導(dǎo)學(xué)號(hào)35950795]0≤2a＋b≤2，畫(huà)出可分析：選A.動(dòng)點(diǎn)P(a，b)知足的不等式組為0≤a－2b≤2，行域可知點(diǎn)P在以點(diǎn)C3，－1為中心且邊長(zhǎng)為25的正方形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離小于1的區(qū)5555域是以點(diǎn)123，－1為圓心且半徑為1的圓的內(nèi)部，所以所求概率為π5＝πC55525220.應(yīng)選A.510.(名師原創(chuàng)

)一只受傷的侯鳥(niǎo)在如下圖

(直角梯形

ABCD)的草原上飛，此中

AD＝3，CD＝2，BC＝5，它可能隨機(jī)落在該草原上任何一處

(點(diǎn))，若落在扇形沼澤地區(qū)

(圖中的暗影部分)CDE

之外侯鳥(niǎo)能生還，則該侯鳥(niǎo)生還的概率為

(

)ππA．1－8B．2－4ππC．1－4D．2－81[導(dǎo)學(xué)號(hào)35950796]分析：選A.直角梯形ABCD的面積S1＝2(3＋5)×2＝8，扇形CDE的面積S＝12P＝S1－S2＝8－π＝π，依據(jù)幾何概型的概率公式，得侯鳥(niǎo)生還的概率S1＝124π×28π－8，應(yīng)選A.11．在長(zhǎng)為12cm的線(xiàn)段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線(xiàn)段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形面積小于32cm2的概率為( )11A.6B．324C.3D．5[導(dǎo)學(xué)號(hào)35950797]分析：選C.依據(jù)題意求出矩形的面積為32時(shí)的值，而后求出概率．設(shè)AC＝x，CB＝12－x，所以x(12－x)＝32，解得x＝4或x＝8.所以P＝4＋4＝2.123x＋y－4≤0，12．設(shè)點(diǎn)(a，b)是地區(qū)x>0，內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，則函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，y>0＋∞)上是增函數(shù)的概率為( )12A.3B．311C.4D．2[導(dǎo)學(xué)號(hào)35950798]分析：選

A.因?yàn)槎魏瘮?shù)

f(x)＝ax2－4bx＋1

的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為

x＝2b，當(dāng)且僅當(dāng)a2ba>0且a≤1時(shí)，函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)．依題意可知試驗(yàn)的所有結(jié)果所組成的地區(qū)為{a，ba＋b－4≤0，a>0，b>0}，即基本領(lǐng)件所組成的地區(qū)為如下圖的△AOC(不包2b括a軸和b軸上的點(diǎn))，知足a≤1且a>0的部分如圖中暗影部分所示(不包含a軸上的點(diǎn))，14此中A(4，0)，B8，4，C(0,4)，故所求概率為×4×1.應(yīng)選A.23＝33132×4×4二、填空題13．在區(qū)間[0,6]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，log2x的值介于1到2之間的概率為_(kāi)_______．[導(dǎo)學(xué)號(hào)35950799]分析：由題知1<log2x<2，解得2<x<4，故log2x的值介于1到2之間的概率為4－2＝1.6－03答案：1314．已知會(huì)合A＝{y|y＝x2＋2x，－2≤x≤2}，B＝{x|x2＋2x－3≤0}，在會(huì)合A中隨意取一個(gè)元素a，則a∈B的概率是________．[導(dǎo)學(xué)號(hào)35950800]分析：A＝{y|y＝x2＋2x，－2≤x≤2}＝{y|－1≤y≤8}．B＝{x|x2＋2x－3≤0}＝{x|1≤x≤3}．3－－14則所求的概率為－＝.8－9答案：4915．一只昆蟲(chóng)在邊長(zhǎng)分別為5,12,13的三角形地區(qū)內(nèi)隨機(jī)爬行，則其到三角形極點(diǎn)的距離小于2的概率為_(kāi)_______．[導(dǎo)學(xué)號(hào)35950801]分析：如下圖，易知三角形為直角三角形，昆蟲(chóng)到三角形各極點(diǎn)的距離小于2的地區(qū)是以各極點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓在三角形地區(qū)內(nèi)的部分，實(shí)質(zhì)上就是三個(gè)扇形，將這三個(gè)扇形拼接起來(lái)就是一個(gè)半圓，其半徑長(zhǎng)為2，面積為121×5×12S′＝π×2＝2π，三角形的面積為S＝22＝30，所以昆蟲(chóng)爬行時(shí)到三角形極點(diǎn)的距離小于2的概率為