彈性力學(xué)第十二章板彎曲ding新課件

Chapter12BendingofThinPlates.ClassicalSolutions

第十二章薄板彎曲問(wèn)題。經(jīng)典解答。學(xué)習(xí)指導(dǎo)1.桿件受到縱向（平行于桿軸）荷載的作用——桿件的拉壓?jiǎn)栴}；桿件受到橫向（垂直于桿軸）荷載的作用——梁的彎曲問(wèn)題。與此相似，薄板受到縱向（平行于板面）荷載的作用——平面應(yīng)力問(wèn)題；薄板受到橫向（垂直于板面）荷載的作用——薄板的彎曲問(wèn)題。薄板的彎曲，可以認(rèn)為是梁的彎曲的推廣，是雙向彎曲問(wèn)題。但不能將薄板的彎曲看成是縱、橫梁彎曲的疊加。Chapter12BendingofThinPlates.ClassicalSolutions

第十二章薄板彎曲問(wèn)題。經(jīng)典解答。學(xué)習(xí)指導(dǎo)

2.與平面問(wèn)題和空間問(wèn)題不同的是，除了前述的彈性力學(xué)的五個(gè)基本假定之外，在薄板的彎曲問(wèn)題中，根據(jù)內(nèi)力和變形的特征，又提出了三個(gè)計(jì)算假定，用以簡(jiǎn)化空間問(wèn)題的基本方程，并從而建立了薄板的彎曲理論。NOTES:與材料力學(xué)相似。Chapter12BendingofThinPlates.ClassicalSolutions

第十二章薄板彎曲問(wèn)題。經(jīng)典解答。學(xué)習(xí)指導(dǎo)3.薄板彎曲問(wèn)題屬于空間問(wèn)題。薄板彎曲理論，是從空間問(wèn)題的基本方程和邊界條件出發(fā)，應(yīng)用薄板的三個(gè)計(jì)算假定進(jìn)行簡(jiǎn)化，并按位移法導(dǎo)出薄板彎曲問(wèn)題的基本方程和邊界條件。最后歸結(jié)的基本位置函數(shù)（撓度w(x,y)）和相應(yīng)的方程、邊界條件。薄板問(wèn)題也屬于二維問(wèn)題。4.對(duì)于矩形薄板，基本的解法是納維法和萊維法。5.對(duì)于圓板問(wèn)題，類似于極坐標(biāo)中的平面問(wèn)題，可以建立相應(yīng)的圓板彎曲問(wèn)題的方程。對(duì)于軸對(duì)稱圓板的彎曲問(wèn)題，其通解已經(jīng)解出。Chapter12BendingofThinPlates.ClassicalSolutions

第十二章薄板彎曲問(wèn)題。經(jīng)典解答?；疽螅?/p>

熟悉薄板問(wèn)題的有關(guān)概念及計(jì)算假設(shè)，彈性曲面的微分方程和薄板橫截面上的內(nèi)力。

熟悉薄板問(wèn)題的邊界條件，四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的重三角級(jí)數(shù)解答，圓形薄板的彎曲和圓形薄板的軸對(duì)稱彎曲。

薄板是一種常見(jiàn)的工程構(gòu)件形式機(jī)械、航空和土建工程中應(yīng)用廣泛特殊形式——小撓度薄板Section9.1IntroductionandAssumption

§9.1有關(guān)概念與計(jì)算假設(shè)工程構(gòu)件中板的形式多樣根據(jù)幾何形狀和變形分類：板——中面為平面殼——曲面小撓度的彎曲薄板薄板——寬度與厚度的比值在15以上?！?.1有關(guān)概念與計(jì)算假設(shè)Aplateisabodyboundedbytwocloselyspacedparallelplanesandoneormoreprismaticalsurfacesnormaltotheplanes.板：兩個(gè)平行面和垂直這兩個(gè)平面的拄面或棱柱面所圍成的物體，稱為平板，或簡(jiǎn)稱板。Platethickness--thedistancebetweenthetwoplatefaces.Itisdenotedbyδ.板的厚度：兩個(gè)板面之間的距離（δ）Platemiddleplane（中面）——Theplaneparalleltothefacesoftheplateandbisectingthethicknessδiscalledthemiddleplaneoftheplate.中面：平分厚度的平面稱為板的中間平面，或簡(jiǎn)稱板的中面。Thinplate（薄板）--δ<<aδ<<bδ<min(a,b)/15Thickplate（厚板）薄板和厚板：如果板的厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于中面的最小尺寸，這個(gè)板就稱為薄板，否則，就稱為厚板。Coordinatesystem（坐標(biāo)系）--xandyareinthemiddleplaneandzaxisisperpendiculartothemiddleplane.Thesystemisarighthandsystem.xyz荷載（Loads）LongitudinalloadinthemiddleplaneandTransverseload當(dāng)薄板受一般荷載時(shí)，總是可以把每個(gè)荷載分解為兩個(gè)荷載.縱向荷載：平行于中面的荷載；橫向荷載：垂直中面的荷載。1.Longitudinalloadinthemiddleplane（縱向荷載）--Alltheexternalforcesareparalleltothefacesoftheplateanddistributeduniformlyoverthethickness.--------planestressproblem.縱向荷載：可以認(rèn)為他們沿薄板厚度均勻分布，因而他們所引起的應(yīng)力、形變和位移可以按平面應(yīng)力問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算，如第二章至第六章所述。2.Transverseload（橫向荷載）----Theyareperpendiculartothemiddleplane---platebendingproblem.

橫向荷載：將使薄板彎曲，他們所引起的應(yīng)力、形變和位移，可以按薄板彎曲問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算。Loads（荷載）Deflection（撓度）--thedisplacementofapointonthemiddleplaneinthedirectionofz,w(x,y,0),iscalledthedeflectionofthepoint.撓度：中面內(nèi)各點(diǎn)在垂直于中面方向上的位移。

Smalldeflections（小撓度）--thedeflectionismuchsmallerthanthethickness.W(x,y,0)<δ/5Onlysmalldeflectionsareconsideredhere.薄板彈性曲面：當(dāng)薄板彎曲時(shí)，中面所彎成的曲面。Assumption1：isneglected,sincetheyaresmall.

薄板假設(shè)1：垂直中面方向的線應(yīng)變可以不計(jì)。即：橫向位移w(x,y)只是x,y的函數(shù)，不隨z變化。因此，在中面的任一根法線上各點(diǎn)都具有相同的橫向位移，也就等于撓度。薄板假設(shè)2：應(yīng)力分量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其余三個(gè)應(yīng)力分量，因而是次要的，它們所引起的形變可以不計(jì)

注意：這3個(gè)次要應(yīng)力分量本身是維持平衡所必須的，不能不計(jì)。思考：梁彎曲時(shí)中性軸的概念？9.2DifferentialEquationforBendingofThinPlates

9.2彈性曲面的微分方程Basicunknownfunctionw(x,y)薄板的小撓度彎曲問(wèn)題是按位移求解的，只取撓度w(x,y)作為基本未知數(shù)。Fifteenequationsforspatialproblems------oneequationintermofforplatebendingproblem.根據(jù)空間問(wèn)題的基本方程和邊界條件，以及上述的三個(gè)計(jì)算假設(shè)，將其他未知數(shù)——縱向位移u和v，主要應(yīng)變分量，主要應(yīng)力分量，次要應(yīng)力分量及更次要應(yīng)力分量，分別都用撓度w(x,y)來(lái)表示，并導(dǎo)出求解撓度的方程。9.2DifferentialEquationforBendingofThinPlates

9.2彈性曲面的微分方程基本未知函數(shù):w(x,y)小撓度薄板位移解法位移與應(yīng)變：9.2DifferentialEquationforBendingofThinPlates

9.2彈性曲面的微分方程薄板應(yīng)力：廣義力廣義應(yīng)變曲率扭率薄板彎曲內(nèi)力：薄板彎曲剛度薄板平衡方程：1.Expressuandvintermsofw

1.將u和v用撓度w表示前面已經(jīng)導(dǎo)出：對(duì)z進(jìn)行積分由于：因此：2.Expressstraincomponentsintermsofw

2.將主要應(yīng)變分量用撓度w表示將u，v用代入幾何方程3.Expressstresscomponentsx，y，xyintermsofw

3.將主要應(yīng)力分量x，y，xyin用撓度w表示由薄板的物理方程：由于w不隨z而變，三個(gè)主要應(yīng)力分量都與z成正比，與梁的彎曲應(yīng)力相似。4.Expressstraincomponentszx,zyintermsofw

4.將次要應(yīng)力分量zx,zy用撓度

w表示

由于次要應(yīng)力分量zx,zy引起的形變忽略不計(jì)，相應(yīng)的物理方程已經(jīng)放棄。使用平衡方程推導(dǎo)。平衡方程前兩式：將應(yīng)力分量代入后，得：對(duì)z進(jìn)行積分4.Expressstraincomponentszx,zyintermsofw

4.將次要應(yīng)力分量zx,zy用撓度

w表示對(duì)z進(jìn)行積分上下板面邊界條件：兩個(gè)切應(yīng)力沿橫向?yàn)閽佄锞€分布，與材料力學(xué)中梁的切應(yīng)力相似。5.Expressstresscomponentsz

intermsofw

5.更次要應(yīng)力z

用撓度w表示平衡方程第三式：這樣處理只會(huì)對(duì)z引起誤差，對(duì)其他應(yīng)力分量無(wú)影響。這樣處理，和材料力學(xué)中對(duì)梁的處理相同。對(duì)z進(jìn)行積分5.Expressstresscomponentsz

intermsofw

5.更次要應(yīng)力z

用撓度w表示下板面邊界條件：6.ThedifferentialEquationofdeflectionw

6.推導(dǎo)撓度w的微分方程由上板面的邊界條件：q為薄板每單位面積內(nèi)的橫向荷載，包括橫向面力及橫向體力。D薄板的彎曲剛度薄板的彈性曲面微分方程，或撓曲線微分方程。在上述推導(dǎo)過(guò)程中，已經(jīng)考慮并完全滿足空間問(wèn)題的平衡方程、幾何方程和物理方程，以及薄板上下板面的主要邊界條件，并得出了求解撓度w的基本微分方程?；疚⒎址匠探Y(jié)合薄板側(cè)面的邊界條件，可以求出撓度w,然后可以求得應(yīng)力分量。D4w(x,y)=q(x,y)1.Fifteenequationsforspatialproblemsbecomeoneequationintermofw(x,y)forplatebendingproblem.

2.Boundaryconditionsonz=δ/2aresatisfied.

3.Boundaryconditionsonedgesofplatehavetobesatisfied.9.3StressResultantsandStressCouples--InternalForces

9.3薄板橫截面上的內(nèi)力薄板內(nèi)力：薄板橫截面上的內(nèi)力。是指薄板橫截面的每單位寬度上，由應(yīng)力合成的主矢量和主矩。

為什么求薄板內(nèi)力？

（1）薄板是按內(nèi)力設(shè)計(jì)的，因此，需要求內(nèi)力。（2）由于在板的側(cè)面上，通常很難使應(yīng)力分量精確滿足應(yīng)力邊界條件，但板的側(cè)面是板的次要邊界條件，可以應(yīng)用圣維南原理，用次要邊界條件代替。廣義力廣義應(yīng)變曲率扭率薄板彎曲內(nèi)力：薄板彎曲剛度9.3薄板橫截面上的內(nèi)力12.3InternalForces

12.3薄板橫截面上的內(nèi)力從薄板中取出一個(gè)平行六面體，如下圖所示：12.3薄板橫截面上的內(nèi)力—x面上合成扭矩合成彎矩合成橫向剪力12.3薄板橫截面上的內(nèi)力—x面上合成扭矩合成彎矩合成橫向剪力12.3薄板橫截面上的內(nèi)力—x面上合成扭矩合成彎矩合成橫向剪力12.3薄板橫截面上的內(nèi)力—x面上合成扭矩合成彎矩合成橫向剪力12.3薄板橫截面上的內(nèi)力—y面上方法與x面上類似：合成扭矩合成彎矩合成橫向剪力12.3薄板橫截面上的內(nèi)力—?dú)w納Expresspositiveinternalforcesonthemiddleplane

薄板內(nèi)力的正負(fù)方向的規(guī)定由應(yīng)力的正負(fù)方向的規(guī)定得出：正的應(yīng)力合成的主矢量為正，正的應(yīng)力乘以正的矩臂合成的主矩為正；反之為負(fù)。應(yīng)力分量表達(dá)式前面講過(guò)：應(yīng)力分量表達(dá)式各應(yīng)力分量與彎矩、扭矩、橫向剪力或荷載之間的關(guān)系。應(yīng)力分量沿板的厚度情況注意：以上提到的內(nèi)力，都是作用在薄板每單位寬度上的內(nèi)力，所以彎矩和扭矩的量綱為：LMT-2,橫向剪力的量綱為：MT-2。注意：在薄板彎曲問(wèn)題中，彎應(yīng)力和扭應(yīng)力在數(shù)值上最大，因而是主要應(yīng)力；橫向切應(yīng)力在數(shù)值上較小，是次要應(yīng)力；擠壓應(yīng)力在數(shù)值上最小，是更次要的應(yīng)力。因此在計(jì)算薄板的內(nèi)力時(shí)，主要計(jì)算彎矩和扭矩，橫向剪力一般無(wú)需計(jì)算。因此有關(guān)手冊(cè)中只給出彎矩和扭矩的計(jì)算公式或圖表，而并不提及橫向剪力。MxMy----bendingmomentperunitwidth.[force]Mxy=Myx--twistingmomentperunitwidth.[force]Apositivemomentcorrespondstoapositivestresscomponentinthepositivehalfoftheplate.MxMyandMxyareoforderofqa2FsxFsy---transverseshearingforceperunitwidth[force][length]-1

ThepositivedirectionofFsxisthesameasxzThepositivedirectionofFsyisthesameasyzFsxandFsyareoforderofqa薄板橫截面上的內(nèi)力的正負(fù)方向規(guī)定Mx,My,Mxy,FSx,Fsy,q之間的關(guān)系利用平衡方程：力矩式和投影式。Mx,My,Mxy,FSx,Fsy,q之間的關(guān)系9.4BoundaryConditions

9.4邊界條件滿足基本方程和給定的邊界條件基本方程為四階偏微分方程矩形薄板，每個(gè)邊界必須給出兩個(gè)邊界條件。

1．幾何邊界條件在邊界上給定邊界撓度w和邊界切線方向轉(zhuǎn)角。固定邊界2．混合邊界條件邊界同時(shí)給出廣義 力和廣義位移簡(jiǎn)支邊界

薄板彎曲問(wèn)題的典型邊界條件3．面力邊界條件

在邊界上給定橫向剪力和彎矩自由邊界9.4BoundaryConditions

9.4邊界條件

與板的上下板面相比，板邊是次要邊界條件。因此，在板邊可以應(yīng)用圣維南原理，把應(yīng)力邊界條件替換稱為內(nèi)力的邊界條件，即橫向剪力及彎矩邊界條件。同時(shí)，板邊的位移邊界條件也相應(yīng)地替換為中面的撓度及轉(zhuǎn)角的條件。9.4BoundaryConditions

9.4邊界條件—簡(jiǎn)支邊OC邊(y=0):如右圖：OA邊為固定邊，OC邊是簡(jiǎn)支邊，AB邊和BC邊為自由邊。簡(jiǎn)支邊OC邊(y=0):如果簡(jiǎn)直邊上有分布的力矩荷載M(一般是x的函數(shù))，則(My)y=0=M。但仍可以化簡(jiǎn)為撓度w的形式。9.4BoundaryConditions

9.4邊界條件—固定邊OA邊(x=0):

如右圖：OA邊為固定邊，OC邊是簡(jiǎn)支邊，AB邊和BC邊為自由邊。固定邊OA邊(x=0):簡(jiǎn)支邊OC邊(y=0):9.4BoundaryConditions

9.4邊界條件—自由邊AB邊(y=b)自由邊AB邊(y=b):薄板任一邊的扭矩都可以變換為等效的橫向剪力，即扭矩的等效剪力。與原來(lái)的橫向剪力合并，邊界條件由三個(gè)歸并為兩個(gè)。Twistingmomentsarereplacedbyastaticallyequivalentshearingforce

扭矩的等效剪力—自由邊AB（y=b）邊界AB上的分布扭矩就變換為等效的分布剪力。9.4BoundaryConditions

9.4邊界條件—自由邊AB邊(y=b)自由邊AB邊(y=b):用撓度w表示自由邊邊界條件注意：若在這個(gè)自由邊上由分布的力矩荷載M和分布的橫向荷載Ft，上式邊界條件右邊不等于零。9.4BoundaryConditions

9.4邊界條件—自由邊BC邊(x=a)自由邊BC邊(x=a)(與y=b)類似。用撓度w表示自由邊邊界條件注意