高考數(shù)學(xué)函數(shù)專題函數(shù)的奇偶性周期性與對稱性

函數(shù)專題（三）、函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性1.判斷函數(shù)奇偶性的第一步是判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱。2.幾個初等函數(shù)的奇偶性： 函數(shù)yaxb為奇函數(shù)時，b=0；為偶函數(shù)時，a=0.函數(shù)yax2bxc為奇函數(shù)時，a=c=0；為偶函數(shù)時，b=0.冪函數(shù)yx為奇函數(shù)時，為奇數(shù)；為偶函數(shù)時，為偶數(shù)。奇函數(shù)在原點有定義時一定經(jīng)過原點。定義域關(guān)于原點對稱的常函數(shù)是偶函數(shù)。既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)必是零函數(shù)。3.一個定義在R上的函數(shù)如果有兩個對稱軸或?qū)ΨQ中心，則該函數(shù)一定是周期函數(shù)；函數(shù)如果滿足奇偶性、周期性、對稱性三個性質(zhì)中的兩個，則函數(shù)一定也滿足剩余的那個性質(zhì)。例1.函數(shù)f(x)x2012x2011x1x1x2011x2012，且f(a23a2)f(a1),aZ，則滿足條件的所有整數(shù)a的和是__________2x1x32例2.已知函數(shù)f(x)的最大值為M，最小值為m，則M+m等于___________2x1變式訓(xùn)練：p1.（2006浦東新區(qū)一模）若曲線yx(p0)上存在兩個不同的點關(guān)于直線yx對稱，x則實數(shù)p的取值范圍為_____________2.（2014崇明縣一模）已知圓x2y21及以下三個函數(shù)：①f(x)x3；②f(x)xcosx；③f(x)tanx；其中圖像能等分圓的面積的函數(shù)個數(shù)為（）A.3B.2C.1D.03.（2014虹口區(qū)一模）關(guān)于曲線C:x4y21，給出下列四個命題：①曲線C關(guān)于原點對稱；②曲線C關(guān)于直線yx對稱；③曲線C圍成的面積大于；④曲線C圍成的面積小于；上述命題中，真命題的序號為（）A.①②③ B.①②④ C.①④ D.①③4.（2014嘉定區(qū)一模）定義在區(qū)間[1,)上的函數(shù)f(x)滿足：①f(2x)2f(x)；②當(dāng)2x4時，f(x)1|x3|，則集合S{x|f(x)f(34)}中的最小元素是（C）A.2；B.4；C.6；D.8； 5.（2015松江區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)，對任意x[0,)，恒有f(x2)f(x)成立，且當(dāng)xx[0,2)時，f(x)2x，則方程f(x)在區(qū)間[0,2n),nN*上所有根的和為_________n6.（2015楊浦區(qū)一模）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x[0,1]時，f(x)x2，當(dāng)x0時，f(x1)f(x)f(1)，若直線ykx與函數(shù)yf(x)的圖像恰有7個不同的公共點，則實數(shù)k的取值范圍為_____________7.（2016楊浦區(qū)一模）函數(shù)f(x)是最小正周期為4的偶函數(shù)，且在x[2,0]時，f(x)2x1，若存在x,x,x滿足0xxx， 1 2 n 1 2 n且f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)2016，則nx最小值為________ 1 22 3n1 nn2014x120132014x18.設(shè)函數(shù)f(x)的最大值為M，最小值為N，那么M+N=_________9.若函數(shù)f(x)(x2x2)(x2axb)是偶函數(shù)，則f(x)的最小值為___________10.（2015徐匯區(qū)一模）設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為D，若對于任意x,x∈D，當(dāng)xx2a 1 2 1 2時，恒有f(x)f(x)2b，則稱點（a，b）為函數(shù)yf(x)圖像的對稱中心。研究函數(shù) 1 2f(x)xsinx3的某一個對稱中心，并利用對稱中心的上述定義，可得到 1 2 3 4013f()f()f()f()的值為________2016201620162016 1 111.（2014徐匯區(qū)一模）對于方程為1的曲線C給出以下三個命題：|x||y|曲線C關(guān)于原點中心對稱；曲線C關(guān)于x軸對稱，也關(guān)于y軸對稱，且x軸和y軸是曲線C僅有的兩條對稱軸；（3）若分別在第一、第二、第三、第四象限的點M，N，P，Q，都在曲線C上，則四邊形MNPQ每一條邊的邊長都大于2；其中正確的命題是（）A.（1）（2）；B.（1）（3）；C.（2）（3）；D.（1）（2）（3）；12.（2013天津）已知函數(shù)f(x)x(1ax)．設(shè)關(guān)于x的不等式f(xa)f(x)的解集為A，1若[,]A，則實數(shù)a的取值范圍是（）215 13 15 13 15A.(,0)B.(,0)C.(,0)U(0,)D.(,) 2 2 2 2 213.（2015崇明縣一模）設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為D，如果存在非零常數(shù)T，對于任意xD，都有f(xT)Tf(x)，則稱函數(shù)yf(x)是“似周期函數(shù)”，非零常數(shù)T為函數(shù)yf(x)的“似周期”；現(xiàn)有下面四個命題：①如果“似周期函數(shù)”yf(x)的“似周期”為-1，那么它是周期為2的周期函數(shù)；②函數(shù)f(x)x是“似周期函數(shù)”；③函數(shù)f(x)2x是“似周期函數(shù)”；④如果函數(shù)f(x)cosx是“似周期函數(shù)”，那么“k,kZ”；其中是真命題的是______________________（填序號）814.設(shè)函數(shù)f(x)log(x21)，則不等式f(logx)f(logx)2的解集為______ 1 3x21 2 1 2 215.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f(x)xex，則f(ln3)=________116.給出定義：若mxm（其中m為整數(shù)），則m叫離實數(shù)x最近的整數(shù)，記作2[x]m，已知f(x)[x]x，下列四個命題：1①函數(shù)f(x)的定義域為R，值域為[0,]；②函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)；2③函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，最小正周期為1；④函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其中正確的命題是_________________（填序號）17.函數(shù)f(x)x[x]，x∈R（其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)）的最小正周期是________18.已知定義域為R的函數(shù)yf(x)在[0，7]上只有1和3兩個零點，且yf(2x)與yf(7x)都是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)在[0，2013]上的零點個數(shù)為（）A.402B.403C.404D.405 19.（2012黃浦區(qū)二模）已知函數(shù)yf(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且對xR，恒有f(1x)f(1x)，又當(dāng)x[0,1]時，f(x)x．當(dāng)x[1,0]時，求f(x)的解析式；求證：函數(shù)yf(x)是以T2為周期的周期函數(shù)；解答本小題考生只需從下列三個問題中選擇一個寫出結(jié)論即可（無需寫解題步驟）：①當(dāng)x[2n1,2n](nZ)時，求f(x)的解析式；②當(dāng)x[2n1,2n1](nN)時，若函數(shù)yf(x)的圖像與函數(shù)ykx的圖像有且僅有兩個公共點，求實數(shù)k的取值范圍；③當(dāng)x[0,2n](nN,n3)時，求f(x)的解析式； 1 12