2019版文科數學大4.3　三角函數的圖象與性質 含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精§4。3三角函數的圖象與性質最新考綱考情考向分析1。能畫出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象，了解三角函數的周期性．2.理解正弦函數、余弦函數在[0,2π］上的性質(如單調性、最大值和最小值，圖象與x軸的交點等)，理解正切函數在區(qū)間eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(π，2)，\f(π,2））)內的單調性.以考查三角函數的圖象和性質為主，題目涉及三角函數的圖象及應用、圖象的對稱性、單調性、周期性、最值、零點．考查三角函數性質時，常與三角恒等變換結合，加強數形結合思想、函數與方程思想的應用意識．題型既有選擇題和填空題，又有解答題，中檔難度.1．用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖(1)在正弦函數y＝sinx，x∈［0，2π］的圖象中，五個關鍵點是：(0,0），eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，2），1)），（π，0），eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2）,－1)），(2π,0)．（2)在余弦函數y＝cosx，x∈［0,2π］的圖象中，五個關鍵點是：(0，1)，eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,2)，0）），（π，－1),eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3π，2），0）），（2π，1)．2．正弦、余弦、正切函數的圖象與性質（下表中k∈Z）函數y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RReq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x|x∈R，且）)x≠kπ＋eq\f(π，2)}值域［－1，1]［－1，1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數偶函數奇函數遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（2kπ－\f（π，2)，2kπ＋\f（π,2)))[2kπ－π,2kπ］eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（kπ－\f（π,2),kπ＋\f（π，2))）遞減區(qū)間eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（2kπ＋\f（π，2）,2kπ＋\f（3π，2）))［2kπ,2kπ＋π］無對稱中心（kπ，0）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（kπ＋\f（π,2)，0））eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(kπ，2），0））對稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π，2)x＝kπ無知識拓展1．對稱與周期（1）正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是eq\f(1,4)個周期．(2）正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期．2．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ）（A，ω≠0）,則：(1）f（x)為偶函數的充要條件是φ＝eq\f（π,2）＋kπ（k∈Z)；（2)f（x）為奇函數的充要條件是φ＝kπ（k∈Z）．題組一思考辨析1．判斷下列結論是否正確（請在括號中打“√”或“×”)（1)y＝sinx在第一、第四象限上是增函數．(×）(2)由sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π，6)＋\f（2π,3)）)＝sineq\f(π,6）知,eq\f(2π，3）是正弦函數y＝sinx(x∈R）的一個周期．（×）（3)正切函數y＝tanx在定義域內是增函數．(×)(4)已知y＝ksinx＋1，x∈R，則y的最大值為k＋1.（×)（5）y＝sin｜x|是偶函數．（√)題組二教材改編2．[P35例2]函數f（x）＝coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π，4）))的最小正周期是________．答案π3．［P46A組T2]y＝3sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x－\f（π，6)))在區(qū)間eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（0，\f(π,2）））上的值域是________．答案eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f（3,2)，3))解析當x∈eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（0,\f(π,2)))時，2x－eq\f(π,6）∈eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（－\f(π，6)，\f(5π，6)）），sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)））∈eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f(1，2)，1））,故3sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)））∈eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f(3，2)，3)），即y＝3sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x－\f（π，6)))的值域為eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f（3,2)，3)）。4．[P45T3]y＝tan2x的定義域是________．答案eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ，2)＋\f(π,4），k∈Z)))）解析由2x≠kπ＋eq\f（π,2），k∈Z，得x≠eq\f(kπ,2）＋eq\f（π，4),k∈Z,∴y＝tan2x的定義域是eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(x≠\f（kπ，2）＋\f（π,4），k∈Z））））.題組三易錯自糾5．函數f(x)＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f(π，4）））的圖象的一條對稱軸是()A．x＝eq\f(π,4） B．x＝eq\f(π,2)C．x＝－eq\f(π,4） D．x＝－eq\f（π,2)答案C解析∵正弦函數圖象的對稱軸過圖象的最高點或最低點，故令x－eq\f（π，4）＝kπ＋eq\f（π，2），k∈Z,∴x＝kπ＋eq\f(3π,4），k∈Z。取k＝－1，則x＝－eq\f（π，4）。6．函數y＝－taneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x－\f(3π，4))）的單調遞減區(qū)間為__________．答案eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π，8）＋\f（kπ，2)，\f（5π，8)＋\f(kπ,2））)（k∈Z）解析因為y＝tanx的單調遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π，2)＋kπ,\f(π,2）＋kπ)）（k∈Z)，所以由－eq\f（π,2)＋kπ〈2x－eq\f(3π，4）〈eq\f(π，2）＋kπ，k∈Z，得eq\f（π,8）＋eq\f(kπ,2)〈x〈eq\f(5π，8)＋eq\f（kπ,2）(k∈Z），所以y＝－taneq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x－\f（3π,4)）)的單調遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π,8）＋\f（kπ，2)，\f（5π,8)＋\f(kπ,2）））(k∈Z）．

7．cos23°,sin68°，cos97°的大小關系是________．答案sin68°〉cos23°〉cos97°解析sin68°＝cos22°，又y＝cosx在［0°，180°]上是減函數,∴sin68°>cos23°〉cos97°。題型一三角函數的定義域和值域1．函數f（x)＝－2taneq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π，6）））的定義域是（)A.eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1（x≠\f（π，6)))）) B。eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(π，12）)))）C。eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f（π，6）k∈Z））)) D。eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1（x≠\f(kπ,2)＋\f（π，6)k∈Z））))答案D解析由正切函數的定義域,得2x＋eq\f(π,6)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即x≠eq\f（kπ,2）＋eq\f（π,6)(k∈Z），故選D.2．函數y＝eq\r(sinx－cosx）的定義域為________．答案eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f（π，4），2kπ＋\f（5π,4)))（k∈Z）解析方法一要使函數有意義，必須使sinx－cosx≥0.利用圖象，在同一坐標系中畫出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的圖象,如圖所示．在[0,2π］內,滿足sinx＝cosx的x為eq\f（π，4)，eq\f(5π,4），再結合正弦、余弦函數的周期是2π，所以原函數的定義域為eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1（2kπ＋\f(π，4）≤x≤2kπ＋\f(5π,4），k∈Z））)）。方法二利用三角函數線，畫出滿足條件的終邊范圍（如圖陰影部分所示）．所以定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1（2kπ＋\f（π,4)≤x≤2kπ＋\f（5π，4），k∈Z))）)。

3．函數y＝－2sinx－1,x∈eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，\f（13π，6)）)的值域是________．答案(－2,1］解析當x∈eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（7π,6），\f(13π,6)）)時,－1≤sinx<eq\f(1,2），所以函數y＝－2sinx－1，x∈eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(7π，6），\f(13π,6）)）的值域是(－2，1］．4．（2018屆山東鄒平雙語學校月考）函數f（x)＝sin2x＋eq\r(3)cosx－eq\f(3,4）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2)))))的最大值是________．答案1解析f(x）＝sin2x＋eq\r(3）cosx－eq\f（3,4)＝1－cos2x＋eq\r(3）cosx－eq\f（3,4），令cosx＝t且t∈[0,1]，則y＝－t2＋eq\r（3）t＋eq\f（1，4)＝－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(t－\f(\r（3)，2）))2＋1,當t＝eq\f（\r(3)，2)時,ymax＝1，即f(x）的最大值是1。思維升華(1）三角函數定義域的求法求三角函數的定義域實際上是構造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數線或三角函數圖象來求解．（2）三角函數值域的不同求法①利用sinx和cosx的值域直接求；②把所給的三角函數式變換成y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0）的形式求值域；③通過換元,轉換成二次函數求值域．題型二三角函數的單調性命題點1求三角函數的單調性典例（1）函數f(x)＝taneq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x－\f（π,3)））的單調遞增區(qū)間是(）A。eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f（kπ,2)－\f(π，12）,\f(kπ，2）＋\f(5π,12）））（k∈Z）B.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（kπ，2）－\f（π,12），\f(kπ，2）＋\f(5π，12）)）（k∈Z）C.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（kπ＋\f（π,6），kπ＋\f(2π，3））)(k∈Z)D。eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f（π，12)，kπ＋\f（5π,12）)）（k∈Z）答案B解析由kπ－eq\f(π,2)＜2x－eq\f（π,3)＜kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得eq\f(kπ,2）－eq\f（π，12)＜x＜eq\f(kπ,2）＋eq\f（5π,12)（k∈Z）,所以函數f(x)＝taneq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x－\f（π,3）)）的單調遞增區(qū)間為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(kπ，2)－\f（π,12），\f（kπ,2）＋\f(5π，12)))(k∈Z)，故選B.（2)(2017·哈爾濱、長春、沈陽、大連四市聯考)函數y＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f（\r（3)，2)cosxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2）））))的單調遞增區(qū)間是____________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（0，\f（π,6)））解析∵y＝eq\f(1，2)sinx＋eq\f(\r（3），2）cosx＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f（π,3））),由2kπ－eq\f(π,2)≤x＋eq\f（π，3)≤2kπ＋eq\f(π，2)（k∈Z），解得2kπ－eq\f(5π,6）≤x≤2kπ＋eq\f(π,6)（k∈Z）．∴函數的單調遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(5π，6)，2kπ＋\f（π,6))）(k∈Z)，又x∈eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（0，\f（π，2））），∴單調遞增區(qū)間為eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f（π，6)))。命題點2根據單調性求參數典例已知ω＞0，函數f（x）＝sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π，4）)）在eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π,2)，π））上單調遞減,則ω的取值范圍是________．答案eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(1，2），\f(5，4)))解析由eq\f（π，2）＜x＜π，ω＞0,得eq\f（ωπ，2)＋eq\f（π，4）＜ωx＋eq\f(π,4)＜ωπ＋eq\f(π，4），又y＝sinx的單調遞減區(qū)間為eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f（π，2），2kπ＋\f(3π,2））)，k∈Z,所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(ωπ，2）＋\f(π,4)≥\f(π，2)＋2kπ，，ωπ＋\f(π,4)≤\f（3π,2)＋2kπ)）k∈Z，解得4k＋eq\f(1，2)≤ω≤2k＋eq\f（5,4），k∈Z.又由4k＋eq\f（1,2）－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2k＋\f（5,4）))≤0,k∈Z且2k＋eq\f（5，4)〉0，k∈Z,得k＝0，所以ω∈eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f（5,4)))。引申探究本例中,若已知ω〉0，函數f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(ωx＋\f（π，4）))在eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π，2),π)）上單調遞增,則ω的取值范圍是______．答案eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f（3,2）,\f(7，4))）解析函數y＝cosx的單調遞增區(qū)間為［－π＋2kπ，2kπ］，k∈Z，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（ωπ，2）＋\f（π，4)≥－π＋2kπ，,ωπ＋\f(π，4)≤2kπ）)k∈Z,解得4k－eq\f(5,2）≤ω≤2k－eq\f(1,4）,k∈Z,又由4k－eq\f（5，2）－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2k－\f(1,4）))≤0，k∈Z且2k－eq\f（1，4)＞0,k∈Z,得k＝1，所以ω∈eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(7，4）)）.思維升華（1）已知三角函數解析式求單調區(qū)間求形如y＝Asin(ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中ω＞0)的單調區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體,通過解不等式求解．但如果ω＜0，可借助誘導公式將ω化為正數，防止把單調性弄錯．（2）已知三角函數的單調區(qū)間求參數．先求出函數的單調區(qū)間,然后利用集合間的關系求解．跟蹤訓練（2017·濟南模擬）若函數f（x）＝sinωx(ω〉0）在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f（π,3)））上單調遞增，在區(qū)間eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3）,\f(π，2））)上單調遞減，則ω等于（)A.eq\f(2，3) B。eq\f（3，2)C．2 D．3答案B解析由已知得eq\f(T,4）＝eq\f(π,3）,∴T＝eq\f(4π，3)，∴ω＝eq\f(2π，T）＝eq\f（3，2）.題型三三角函數的周期性、奇偶性、對稱性命題點1三角函數的周期性典例（1）(2017·湘西自治州模擬)已知函數f(x）＝sin(ωx－ωπ)（ω>0）的最小正周期為π,則feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π,12）)）等于（）A。eq\f（1,2） B．－eq\f（1,2）C。eq\f(\r(3）,2) D．－eq\f（\r（3）,2)答案A解析∵T＝π，∴ω＝eq\f(2π,T）＝eq\f(2π，π）＝2,∴f(x）＝sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－2π))＝sin2x，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π，12）))＝sineq\f（π,6）＝eq\f(1，2）.(2)若函數f(x)＝2taneq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（kx＋\f（π，3））)的最小正周期T滿足1〈T〈2，則自然數k的值為________．答案2或3解析由題意得,1〈eq\f(π，k）<2，∴k〈π〈2k,即eq\f(π,2)〈k<π，又k∈Z，∴k＝2或3.命題點2三角函數的奇偶性典例(2017·銀川模擬)函數f（x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x－\f（π,3）＋φ）），φ∈（0，π）滿足f（|x|)＝f(x），則φ的值為________．答案eq\f(5π,6)解析由題意知f（x）為偶函數，關于y軸對稱，∴f(0)＝3sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(φ－\f（π，3）））＝±3，∴φ－eq\f(π,3）＝kπ＋eq\f（π,2），k∈Z，又0<φ〈π,∴φ＝eq\f（5π,6).

命題點3三角函數圖象的對稱性典例（1)下列函數的最小正周期為π且圖象關于直線x＝eq\f（π，3）對稱的是（）A．y＝2sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π,3）)) B．y＝2sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x－\f（π，6)）)C．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（x,2)＋\f（π,3）)) D．y＝2sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x－\f(π，3）））答案B解析由y＝f（x）的最小正周期為π，可排除C；其圖象關于直線x＝eq\f（π，3）對稱，根據選項，則feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))）＝2或－2，可排除A，D。故選B.（2）(2016·全國Ⅰ改編)已知函數f(x）＝sin（ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω〉0,|φ|≤\f（π,2)))，x＝－eq\f（π,4）為f(x）的零點，x＝eq\f（π，4)為y＝f(x）圖象的對稱軸,且f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π，18），\f(5π，36)）)上單調，則ω的最大值為________．答案9解析因為x＝－eq\f(π，4）為f(x）的零點，x＝eq\f(π，4）為f（x)的圖象的對稱軸,所以eq\f(π,4）－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4）))＝eq\f(T，4）＋eq\f(kT,2），即eq\f(π，2)＝eq\f（2k＋1,4)T＝eq\f(2k＋1，4）·eq\f(2π，ω），所以ω＝2k＋1（k∈N），又因為f（x）在eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π，18)，\f（5π,36)））上單調，所以eq\f（5π，36）－eq\f(π，18）＝eq\f（π，12）≤eq\f(T,2)＝eq\f（2π,2ω），即ω≤12,若ω＝11，又|φ|≤eq\f(π,2）,則φ＝－eq\f（π，4)，此時，f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(11x－\f(π，4））),f(x）在eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π，18),\f（3π，44)））上單調遞增，在eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3π,44)，\f（5π,36）））上單調遞減，不滿足條件．若ω＝9，又｜φ|≤eq\f(π，2)，則φ＝eq\f(π，4)，此時，f（x)＝sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(9x＋\f（π，4)))，滿足f(x）在eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π，18)，\f(5π,36)))上單調的條件．由此得ω的最大值為9.思維升華（1）對于函數y＝Asin(ωx＋φ），其對稱軸一定經過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標一定是函數的零點．（2）求三角函數周期的方法①利用周期函數的定義．②利用公式:y＝Asin(ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期為eq\f（2π，｜ω|）,y＝tan（ωx＋φ）的最小正周期為eq\f(π,|ω|）。

跟蹤訓練(1）(2017·大連模擬)函數f（x）＝2cos(ωx＋φ）（ω≠0）對任意x都有feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,4)＋x)）＝feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，4）－x)),則feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π,4）))等于()A．2或0 B．－2或2C．0 D．－2或0答案B解析由題意，知x＝eq\f（π,4）為函數f（x）的一條對稱軸，∴feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π，4）))＝±2。(2)若將函數f(x）＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（ωx＋\f(π,3)））的圖象向右平移eq\f（π，3）個單位長度后與原函數的圖象關于x軸對稱，則ω的最小正值是________．答案3解析若將函數f（x）的圖象向右平移eq\f（π,3）個單位長度后與原函數的圖象關于x軸對稱，則平移的大小最小為eq\f（T，2)，所以eq\f（T，2)≤eq\f（π,3）,即Tmax＝eq\f(2π,3），所以當T＝eq\f(2π，3）時，ωmin＝eq\f（2π,Tmax）＝eq\f（2π,\f(2π，3)）＝3.三角函數的圖象與性質考點分析縱觀近年高考中三角函數的試題,其有關性質幾乎每年必考，題目較為簡單,綜合性的知識多數為三角函數本章內的知識,通過有效地復習完全可以對此類題型及解法有效攻破,并在高考中拿全分．典例(1）(2017·全國Ⅲ)設函數f(x)＝coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π,3）)），則下列結論錯誤的是()A．f(x）的一個周期為－2πB．y＝f（x)的圖象關于直線x＝eq\f(8π，3）對稱C．f（x＋π)的一個零點為x＝eq\f(π，6）D．f(x）在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，2）,π）)上單調遞減解析A項，因為f（x）＝coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f（π,3)))的周期為2kπ（k∈Z），所以f（x)的一個周期為－2π，A項正確；B項,因為f（x)＝coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f（π，3））)圖象的對稱軸為直線x＝kπ－eq\f(π，3）(k∈Z），所以y＝f（x)的圖象關于直線x＝eq\f（8π,3）對稱,B項正確；C項，f(x＋π）＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(4π，3)))。令x＋eq\f(4π，3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z）,得x＝kπ－eq\f（5π，6)，當k＝1時，x＝eq\f（π,6），所以f(x＋π)的一個零點為x＝eq\f(π，6），C項正確;D項，因為f（x）＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f（π，3）))的單調遞減區(qū)間為eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π，3)，2kπ＋\f（2π,3）))（k∈Z)，單調遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)，2kπ＋\f（5π,3）))（k∈Z)，所以eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π,2)，\f(2π,3）)）是f（x）的單調遞減區(qū)間，eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（2π，3)，π))是f(x）的單調遞增區(qū)間，D項錯誤．故選D.答案D（2)函數f（x）＝cos（ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(x）的單調遞減區(qū)間為________．解析由圖象知，周期T＝2×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（5,4)－\f（1，4)))＝2，∴eq\f(2π，ω)＝2,∴ω＝π.由π×eq\f（1，4)＋φ＝eq\f（π，2)＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝eq\f（π，4），∴f（x)＝coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(πx＋\f（π，4))）.由2kπ〈πx＋eq\f(π，4)<2kπ＋π,k∈Z，得2k－eq\f(1，4)〈x〈2k＋eq\f(3,4）,k∈Z，∴f(x）的單調遞減區(qū)間為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2k－\f(1,4)，2k＋\f（3,4））)，k∈Z。答案eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2k－\f(1,4)，2k＋\f(3，4）)），k∈Z(3)設函數f(x）＝Asin(ωx＋φ）(A，ω,φ是常數,A>0，ω〉0）．若f(x）在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（π，6）,\f（π,2）））上具有單調性，且feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π，2)））＝feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2π,3）))＝－feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π,6)））,則f(x）的最小正周期為________．解析記f（x)的最小正周期為T。由題意知eq\f(T，2)≥eq\f（π，2)－eq\f（π，6)＝eq\f(π，3),又feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3）)）＝－feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(π，6)）),且eq\f(2π，3）－eq\f(π，2)＝eq\f(π，6)，可作出示意圖如圖所示（一種情況)：∴x1＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,2)＋\f(π,6））)×eq\f（1，2)＝eq\f（π，3）,x2＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(2π,3)））×eq\f(1，2)＝eq\f（7π，12），∴eq\f(T,4)＝x2－x1＝eq\f(7π,12）－eq\f(π，3)＝eq\f(π，4),∴T＝π。答案π1．（2017·廣州五校聯考）下列函數中，周期為π的奇函數為（）A．y＝sinxcosx B．y＝sin2xC．y＝tan2x D．y＝sin2x＋cos2x答案A解析y＝sinxcosx＝eq\f（1,2）sin2x,周期為π,且是奇函數．2．函數f(x）＝sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－\f（π，4)))在區(qū)間eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（0，\f(π,2）)）上的最小值為(）A．－1B．－eq\f（\r(2),2) C.eq\f(\r(2），2）D．0答案B解析由已知x∈eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f（π，2)))，得2x－eq\f(π，4）∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f（3π，4)))，所以sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x－\f(π，4）))∈eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r（2），2），1）），故函數f(x）＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x－\f（π，4））)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(0，\f（π,2))）上的最小值為－eq\f(\r(2）,2)。故選B。

3．函數y＝sinx2的圖象是(）答案D解析函數y＝sinx2為偶函數,排除A，C；又當x＝eq\r（\f（π，2))時函數取得最大值，排除B，故選D。4．(2017·成都診斷)函數y＝cos2x－2sinx的最大值與最小值分別為（)A．3，－1B．3,－2 C．2，－1D．2，－2答案D解析y＝cos2x－2sinx＝1－sin2x－2sinx＝－sin2x－2sinx＋1，令t＝sinx，則t∈［－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1）2＋2，所以ymax＝2，ymin＝－2.5．已知函數f（x)＝2sin（2x＋φ)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（｜φ|〈\f(π,2))）的圖象過點(0，eq\r（3)），則f（x）圖象的一個對稱中心是（)A。eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（π，3),0)） B。eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(π，6），0））C。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π,6)，0）) D。eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,12），0））答案B解析函數f(x）＝2sin（2x＋φ)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（|φ｜<\f（π，2））)的圖象過點(0，eq\r(3）)，則f(0)＝2sinφ＝eq\r(3)，∴sinφ＝eq\f(\r（3），2）,又|φ｜<eq\f（π,2），∴φ＝eq\f(π,3)，則f(x)＝2sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π，3））），令2x＋eq\f（π,3）＝kπ(k∈Z),則x＝eq\f（kπ,2）－eq\f(π,6）（k∈Z），當k＝0時,x＝－eq\f(π，6），∴eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（π，6)，0）)是函數f(x）的圖象的一個對稱中心．6．已知函數f(x）＝－2sin（2x＋φ）(｜φ｜<π），若feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,8））)＝－2，則f（x)的一個單調遞減區(qū)間是()A.eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(－\f(π，8）,\f(3π，8))） B。eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（π，8)，\f（9π，8))）C。eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（－\f(3π，8），\f(π,8)）） D。eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（π，8）,\f(5π,8)))答案C解析由feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π，8）))＝－2，得feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π，8)))＝－2sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2×\f(π，8)＋φ))＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,4）＋φ））＝－2，所以sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π，4）＋φ))＝1.因為｜φ|〈π，所以φ＝eq\f（π,4）.由2kπ－eq\f(π，2)≤2x＋eq\f(π，4）≤2kπ＋eq\f(π,2),k∈Z，解得kπ－eq\f(3π,8）≤x≤kπ＋eq\f（π,8)，k∈Z。當k＝0時，－eq\f（3π，8)≤x≤eq\f(π，8），故選C。7．函數y＝coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x））的單調遞減區(qū)間為__________．答案eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（kπ＋\f（π,8),kπ＋\f(5π,8)）)(k∈Z)解析因為y＝coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，4）－2x）)＝coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x－\f（π，4)）），所以令2kπ≤2x－eq\f(π，4）≤2kπ＋π(k∈Z），解得kπ＋eq\f(π,8）≤x≤kπ＋eq\f(5π,8)（k∈Z），所以函數的單調遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(kπ＋\f（π，8)，kπ＋\f（5π,8)))（k∈Z)．8．（2018·福州質檢）函數y＝cos2x＋sinxeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（｜x|≤\f（π,4））)的最小值為____________．答案eq\f(1－\r（2),2）解析令t＝sinx，∵|x｜≤eq\f（π，4)，∴t∈eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（－\f(\r(2）,2），\f（\r(2)，2））).∴y＝－t2＋t＋1＝－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2）)）2＋eq\f(5，4)，∴當t＝－eq\f（\r(2)，2)時,ymin＝eq\f(1－\r(2),2）.9．已知函數f（x）＝2sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π，6)）)＋1（x∈R）的圖象的一條對稱軸為x＝π,其中ω為常數，且ω∈(1,2),則函數f（x)的最小正周期為________．答案eq\f（6π，5）解析由函數f（x）＝2sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（ωx－\f(π,6））)＋1（x∈R）的圖象的一條對稱軸為x＝π，可得ωπ－eq\f（π,6)＝kπ＋eq\f(π，2），k∈Z，∴ω＝k＋eq\f（2，3)，又ω∈（1,2)，∴ω＝eq\f(5，3)，從而得函數f（x)的最小正周期為eq\f（2π，\f(5,3））＝eq\f（6π，5).10．（2018·珠海模擬）設函數f(x)＝3sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π,2)x＋\f（π，4））），若存在這樣的實數x1，x2，對任意的x∈R，都有f(x1）≤f(x)≤f（x2）成立，則|x1－x2｜的最小值為________．答案2解析｜x1－x2｜的最小值為函數f（x)的半個周期，又T＝4，∴｜x1－x2|的最小值為2。11．已知f（x）＝eq\r（2)sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π,4))）。(1)求函數f(x）圖象的對稱軸方程；(2)求f(x)的單調遞增區(qū)間；（3）當x∈eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（π,4)，\f(3π,4)）)時，求函數f(x)的最大值和最小值．解(1）f(x）＝eq\r（2）sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,4)）),令2x＋eq\f(π,4）＝kπ＋eq\f（π，2)，k∈Z，得x＝eq\f(kπ，2)＋eq\f(π，8）,k∈Z。所以函數f(x）圖象的對稱軸方程是x＝eq\f（kπ,2)＋eq\f(π，8)，k∈Z.（2）令2kπ－eq\f(π，2）≤2x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f（π，2），k∈Z，得kπ－eq\f(3π，8）≤x≤kπ＋eq\f（π,8),k∈Z。故f（x)的單調遞增區(qū)間為eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（kπ－\f(3π,8),kπ＋\f(π,8)）），k∈Z.(3)當x∈eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(π，4),\f(3π,4)））時,eq\f(3π,4)≤2x＋eq\f（π,4)≤eq\f（7π,4），所以－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π，4））)≤eq\f（\r(2),2)，所以－eq\r（2)≤f(x）≤1，所以當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（π，4）,\f(3π，4)）)時,函數f(x)的最大值為1，最小值為－eq\r(2）.12。（2017·武漢調研）已知函數f(x）＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f（x，2）＋sinx））＋b。(1)若a＝－1，求函數f(x）的單調增區(qū)間；(2)當x∈［0,π］時,函數f（x)的值域是［5,8]，求a，b的值．解f(x）＝a(1＋cosx＋sinx）＋b＝eq\r(2)asineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f（π，4)））＋a＋b.(1）當a＝－1時,f（x)＝－eq\r(2）sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π,4）））＋b－1，由2kπ＋eq\f（π，2）≤x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f（3π，2)(k∈Z），得2kπ＋eq\f（π,4)≤x≤2kπ＋eq\f（5π,4)(k∈Z），∴f（x)的單調增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5π,4)）)(k∈Z）．（2)∵0≤x≤π,∴eq\f(π,4）≤x＋eq\f（π,4）≤eq\f(5π,4),∴－eq\f（\r（2），2）≤sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（π，4)）)≤1.依題意知a≠0，①當a>0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r（2）a＋a＋b＝8，,b＝5，))∴a＝3eq\r(2）－3，b＝5；②當a<0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝8，,\r（2）a＋a＋b＝