利用幾何畫板嘗試指對(duì)數(shù)函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題的探究

利幾畫嘗指數(shù)數(shù)像點(diǎn)題探——從一道作業(yè)的“勘誤”說(shuō)起李永勝江蘇沛縣湖西中學(xué)2216111.作業(yè)出錯(cuò)勘引爭(zhēng)在一次作業(yè)中布置了這樣一道填空題：指數(shù)函數(shù)

y

x

和對(duì)數(shù)函數(shù)

ylog（a

）的圖像的交點(diǎn)有

個(gè)隨后“勘誤”為：把題目中“

y

x

”改為“

y

”。于是與一位同學(xué)有了如下一段對(duì)話：生：老師，這個(gè)題不用改。（該胸有成竹的樣）師：你做出答案了嗎？生：做出來(lái)了，個(gè)！該生表現(xiàn)非常自信的樣子，回答也是鏗鏘有）師：個(gè)嗎？你是怎么做的？生：畫圖呀?。樖之嫵隽艘粋€(gè)）師：你畫得準(zhǔn)確嗎？生書都是這么畫的學(xué)的情緒稍微有些激動(dòng)即把蘇教版高中數(shù)學(xué)必修1教材第66頁(yè)上圖2-3-2中“數(shù)

1y)2

與

x1

在同一坐標(biāo)系中圖像”翻開給我看，顯然學(xué)生是有備而來(lái)的）2（作為老師，沒有理由不去理解學(xué)生的此時(shí)此刻的想法。于是在這樣的情緒中我們之間對(duì)話進(jìn)步深入。）師：你認(rèn)為這個(gè)交點(diǎn)在哪里？生：它們互為反函數(shù)，交點(diǎn)應(yīng)該在直線yx上（生思考片刻回答）師并沒有動(dòng)聲請(qǐng)做一考題年高考上海

Q(1,2)

(2,3)

和

11N)24四點(diǎn)中，函數(shù)的圖像與其反函數(shù)的圖像的公共點(diǎn)只能是點(diǎn)（）A

B

C

M

D

N生：選（學(xué)生按照自己的想法，很快說(shuō)出了答）師：理由。生：只有點(diǎn)在直線x上師：你把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)試試。（望這樣能改變學(xué)生的錯(cuò)誤）生：答案不，應(yīng)該選。（此時(shí)學(xué)生的表情有些愧和迷）1

師對(duì)這個(gè)考題中們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)點(diǎn)

11()42

是指數(shù)函數(shù)

y

116

)

與對(duì)數(shù)函數(shù)

1

圖16像的一個(gè)交點(diǎn)。1師：你再驗(yàn)證一下，點(diǎn),)是不是它們的另個(gè)交點(diǎn)？24生：是它們的交點(diǎn)！此，學(xué)生被我“說(shuō)服”了！顯得有些尷尬的樣子，直點(diǎn)頭說(shuō)：“我怎么有想到呀！”師：很容易發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)點(diǎn)是關(guān)于直線yx

對(duì)稱，但不在直線x

上，其實(shí)，像你剛才認(rèn)為一樣：指數(shù)函數(shù)

y

116

)

與對(duì)數(shù)函數(shù)

1

圖像在直線yx上有一個(gè)交點(diǎn)。16生：謝謝老師！學(xué)生遲疑一下，感覺欲言又止，轉(zhuǎn)身離開了辦公）2.對(duì)話陷考畫見倪其實(shí)在與這位同學(xué)的對(duì)話中我一次驚訝和尷尬的場(chǎng)面是位學(xué)生讓我看書函

1y)2

與

logx12

在同一坐標(biāo)系中的圖像沒有想到他會(huì)用這個(gè)實(shí)例來(lái)讓折不是我想到2003年上海市的那道高考試題，我真不知道怎么讓這位學(xué)生“信服”。然而學(xué)生轉(zhuǎn)身離去前的那種惑的眼神和尷尬的表情卻讓我陷入了思考：為什么函數(shù)

1y)2

與

x1

的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)21y)16

與

1

圖像卻有三個(gè)交點(diǎn)？指數(shù)函數(shù)

y

x

和對(duì)數(shù)函數(shù)

yloga

的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與底數(shù)

16之間究竟有什么“不解之緣”？由于草圖粗糙失真，當(dāng)

0a

時(shí)，我們?cè)谕蛔鴺?biāo)系里畫出

y

x

和

yloga

的圖像常常習(xí)慣認(rèn)為只有一個(gè)交點(diǎn)的情況其實(shí)它還會(huì)出現(xiàn)有三個(gè)交點(diǎn)的情況這種情況不但是難以想象而且無(wú)法”徒手畫出它們不在直線

上交點(diǎn)。于是想到了《幾何畫板》能把較為抽象的圖像形象化、動(dòng)態(tài)化這一特色功能終利用它不但很容地在同一坐標(biāo)系里畫出了含參的指數(shù)函數(shù)

y

x

和對(duì)數(shù)函數(shù)

yloga圖像，而且還通過(guò)動(dòng)畫演示，比較直觀的發(fā)現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)

y

x

和對(duì)數(shù)函數(shù)

yloga

圖像的交點(diǎn)情況。為了讓讀者也能利用《幾何畫板》去畫出它們的圖像，并且能通過(guò)演示直觀感受它們的交點(diǎn)情，下面就以上指對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的制作過(guò)程和演示結(jié)果簡(jiǎn)單介紹如下：2

xy圖制：xyS1打開《幾何板》后，選擇“文件”→“新建畫板”命令，建立新的畫板。S2選“直尺具”按鈕，在“工作區(qū)”內(nèi)的恰當(dāng)位置，單擊后按住shift”動(dòng)鼠標(biāo)畫出一條水平的射線。S3單擊“文本具”按鈕，標(biāo)指針變?yōu)槭中危赶騽倓偫L制射線的端點(diǎn)，單擊鼠標(biāo)，顯示該點(diǎn)的標(biāo)簽為“A”S4單擊“點(diǎn)工”按鈕選擇，在射線上繪制兩個(gè)點(diǎn)，重復(fù)步，示此兩點(diǎn)的標(biāo)簽分別為“”“C”。S5單擊“選擇頭工具”按鈕，選中射線及射線上的一個(gè)控制點(diǎn)，選擇“顯示”→“隱藏對(duì)象”命令，隱藏該射線和點(diǎn)。S6選中“

”點(diǎn)和“

”點(diǎn)，選擇“構(gòu)造”→“線段”命令，構(gòu)造線段

B

，并選擇“度量”→“長(zhǎng)度”，計(jì)算出線段AB長(zhǎng)度“

”，同樣方法，構(gòu)造線段和算其長(zhǎng)度“

”。S7選量新建計(jì)算框點(diǎn)

AB

單擊“確定”按鈕，計(jì)算出“

”。S8鼠標(biāo)右鍵單“

”→屬性”，打開“度量結(jié)#3的性對(duì)話框，選擇“標(biāo)簽”，則標(biāo)簽欄中輸入”，單擊“確定”按鈕，出現(xiàn)a=?數(shù)標(biāo)簽，如圖所示。S9選擇“圖表→“繪制新函數(shù)”，打開“新建函數(shù)”對(duì)話框，依次單擊a=?^”“”，單擊“確定”按鈕，繪制出函數(shù)f(x)=a的圖像。S10采類步驟S9的方法繪函數(shù)g(y)=a和的圖像2所中的函數(shù)f(x)=a，g(y)=a和分是文中函數(shù)x,

yx和yx)。a圖1

圖23

和ylog和ylog的像有1個(gè)交點(diǎn)？又當(dāng)在么范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)x交演：演示Ⅰ不斷拖動(dòng)點(diǎn)

B

和點(diǎn)

C

改指對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)a的大小當(dāng)a的值越來(lái)越小時(shí)指對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的交點(diǎn)變化從圖2變圖3。演示Ⅱ同拖動(dòng)點(diǎn)

B

和點(diǎn)

C

，使其a值于1，a的越來(lái)越大時(shí)，此時(shí)指對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的交點(diǎn)情況如圖4、5和6所。圖3

圖圖5通過(guò)以上的演示，不難發(fā)現(xiàn)，0a時(shí)函數(shù)yx和

圖6yloga

的圖像的交點(diǎn)有1個(gè)或3個(gè)兩種情況；當(dāng)a，函數(shù)yx3.探索出論推現(xiàn)知

ylogxa

的圖像的交點(diǎn)有0個(gè)、個(gè)2個(gè)種情況。從上面的演示結(jié)果中，又有了一個(gè)更挑戰(zhàn)性的問(wèn)題出現(xiàn)了：0

這個(gè)前提下當(dāng)在么圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)

y

xa

和yloga

的圖像有3個(gè)點(diǎn)？同樣地a在么范圍內(nèi)取值時(shí)數(shù)y和

yloga的圖像有0個(gè)1個(gè)2個(gè)點(diǎn)呢？4

x問(wèn)題在不斷的發(fā)現(xiàn)，探索在時(shí)刻的進(jìn)行，結(jié)論卻在不經(jīng)意中呈現(xiàn)：x結(jié)1當(dāng)且僅當(dāng)

1a()e)e

時(shí)，函數(shù)

y

x

和

yloga

的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)在直線y

上，另外兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線

對(duì)稱；而

1a)e

時(shí)，函數(shù)

y

x

和

yloga

的圖像有且只有個(gè)交點(diǎn)在直線x上。1結(jié)2當(dāng)e

)

時(shí)

y

x

和

ylogxa

的圖像有2個(gè)交點(diǎn)在線yx

上

1e時(shí)，函數(shù)yx和

ylogxa

1的圖像有且只有個(gè)點(diǎn)且交點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；當(dāng)ee

,

時(shí)，函數(shù)

y

x

和

yloga

的圖像沒有交點(diǎn)。結(jié)論在已經(jīng)有了詳細(xì)的證明，請(qǐng)讀者查證。下面就結(jié)論2證明探討如下：由上面的演示Ⅱ已經(jīng)直觀的知道了當(dāng)時(shí)函數(shù)

x

和

yloga

的圖像的交點(diǎn)情況，并且還知道了它們交點(diǎn)為1個(gè)和個(gè)時(shí)交都在直線

上因要探討函數(shù)ax和

yloga

的圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，只需要探討

y

x

與

的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，首先探究當(dāng)a取何值時(shí)，

y

x

與y的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)？事實(shí)上，yx與yx只一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線x與數(shù)函數(shù)yx的圖像相切，設(shè)此時(shí)的切點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為

(s,t)

。則有

(a)a

a?），又s，ta，是有a?（）由（）（）式得：

sln，sea

??（）把（）代2）得：

logea

log

，即

loga

，兩邊取倒數(shù)得：

ln

1e

，故有

1e

。與此同時(shí)，把1e

代人（）可得：

s

，即

1e

時(shí)，直線

與指數(shù)函數(shù)

y

x

的圖像相切且切點(diǎn)坐標(biāo)為（

，

）

圖7（如圖所示）。在此基礎(chǔ)上，不難說(shuō)明函數(shù)與yx的像有0個(gè)2個(gè)點(diǎn)情況。事實(shí)上：5

11當(dāng)

11

時(shí)，對(duì)于任意的

x

都有

1ax

x

，所以當(dāng)

x

時(shí)，函數(shù)

y

x

的圖像恒在

1

x

的下方，所以

y

x

的圖像和x圖像有個(gè)交點(diǎn)（如圖8所）。當(dāng)

1a

x時(shí)于任意的都有以當(dāng)時(shí)yx的像恒在y的上方，所以

y

x

的圖像和yx

的圖像沒有交點(diǎn)（如圖）。圖8

圖9由函數(shù)

y

x

和

yloga

的圖像關(guān)于

對(duì)稱以

y

x

與

的交點(diǎn)情況不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)y

x

和

ylogxa

的圖像的交點(diǎn)情況是一致的，因此結(jié)論2成就不言而喻了。4.對(duì)話得獲反多慨由于受教材和我們平時(shí)在教學(xué)中畫圖的習(xí)慣性是生會(huì)認(rèn)為當(dāng)

時(shí)指對(duì)數(shù)函數(shù)的交點(diǎn)是1個(gè)和當(dāng)它們的交點(diǎn)是0個(gè)錯(cuò)認(rèn)識(shí)，就連我們老師對(duì)a有1個(gè)2個(gè)交點(diǎn)也許是從未注意而

0a

時(shí)有3個(gè)點(diǎn)也是以想象的一種情況因此在本文中與學(xué)生對(duì)話時(shí)該生認(rèn)為此業(yè)題不必“勘誤”和答案是1個(gè)點(diǎn)”的理由實(shí)在是“情理之中”的想法。當(dāng)我把指對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的交點(diǎn)課件演示和結(jié)論告訴同學(xué)們時(shí)，幾乎所有的學(xué)生才恍然大悟。美國(guó)心理學(xué)家·所：“差錯(cuò)人皆有之，作為教師不利用是不能原諒。沒有大量錯(cuò)誤作為臺(tái)階就不能攀登上正確結(jié)果