函數(shù)的周期性練習(xí)題兼答案

函數(shù)周期性分類解析一．定義：若T為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一x，使f(xT)f(x)恒成立則f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個函數(shù)的一個周期。二．重要結(jié)論fxfxa，則yfx是以Ta為周期的周期函數(shù)；若函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)=-f(x)a>0),則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個周期。若函數(shù)fxafxa，則fx是以T2a為周期的周期函數(shù)1y=f(x)滿足f(x+a)=fx(a>0),則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個周期。1若函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)=x(a>0),則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個周f期。1f(x)x是以T2a為周期的周期函數(shù).6、f(xa)，則f1f(x)1f(x)x是以T4a為周期的周期函數(shù).7、f(xa)，則f1f(x)1f(x)若函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)=(x∈R，a>0),則f(x)為周期函數(shù)且4a是它的1f(x)一個周期。若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a,x=b(b>a)都對稱,則f(x)為周期函數(shù)且2（b-a）是它的一個周期。函數(shù)yf(x)xR的圖象關(guān)于兩點Aa,y、Bb,yab都對稱，則 0 0函數(shù)f(x)是以2ba為周期的周期函數(shù)；函數(shù)yf(x)xR的圖象關(guān)于Aa,y和直線xbab都對稱，則函0數(shù)f(x)是以4ba為周期的周期函數(shù)；若偶函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個周期。若奇函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)為周期函數(shù)且4a是它的一個周期。若函數(shù)y=f(x)滿足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),則f(x)為周期函數(shù),6a是它的一個周期。T若奇函數(shù)y=f(x)滿足f(x+T)=f((x∈)R，T≠0),則f()=0.2函數(shù)的周期性練習(xí)題高一一．選擇題（共15小題）1．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈x2x24．若f（x）是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f（1）=1，f（2）=3，則f（8）﹣f（4）的值為（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2A．1B．C．﹣1D．﹣2A．1B．C．﹣1D．﹣2．設(shè)偶函數(shù)f（x）對任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且當(dāng)x∈[﹣3，﹣2]時，f（x）=4x，則f（107.5）=（）A．10B．C．﹣10D．﹣3．設(shè)偶函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f（x）=﹣且當(dāng)x∈[﹣3，﹣2]時f（x）=4x，則f（119.5）=（）A．10B．﹣10C．D．﹣則f（2015）=（）A．﹣2B．C．2D．5A．3B．2C．1D．07．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，并滿足：，當(dāng)2≤x≤3，f（x）=x，則f（5.5）=（）A．5.5B．﹣5.5C．﹣2.5D．2.58．奇函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=﹣f（x），當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=3x+，則f（log354）=（）A．﹣2B．﹣C．D．2f（f（5））=（）A．﹣5B．C．D．56．設(shè)f（x）是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，如圖表示該函數(shù)在區(qū)間（﹣2，1]上的圖象，則f（2014）+f（2015）=（）9．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）+f（x）=0，且周期是4，若f（1）=5，則f（2015）（）A．5B．﹣5C．0D．3，若f，若f（1）=﹣5，則11．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+5）=f（x﹣5），且0≤x≤5時，f（x）=4﹣x，則f（1003）=（）A．﹣1B．0C．1D．212．函數(shù)f（x）是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，當(dāng)0≤x＜2時f（x）=x2﹣x，則函數(shù)y=f（x）的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點個數(shù)為（）A．6B．7C．8D．913．已知函數(shù)f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上的奇函數(shù)，若對于任意的實數(shù)x≥0，都有f（x+2）=f（x），且當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）=log2（x+1），則f（2014）+f（﹣2015）+f（2016）的值為（）A．﹣1B．﹣2C．2D．114．已知f（x）是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)x∈[0，3）時，f（x）=|2x215．已知最小正周期為2的函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的解析式是f（x）=x2，則函數(shù)f（x）在實數(shù)集R上的圖象與函數(shù)y=g（x）=|log5x|的圖象的交點的個數(shù)是（）A．3B．4C．5D．6二．填空題（共10小題）518．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（518．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=，則19．定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（﹣，0）對稱，且滿足f（x）=的值為=．20．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：，當(dāng)x∈（0，4）時，=﹣4x+1|，則方程f（x）=在[﹣3，4]解的個數(shù)（）A．4B．8C．9D．1016．已知定義在R上的函數(shù)f（x），滿足f（1）=，且對任意的x都有f（x+3）=，則f（2014）=．f（2013）的值為．﹣f（x+），f（1）=1，f（0）=﹣2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）f（x）=x2﹣1，則f（2011）=．21．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+6）=f（x）．當(dāng)﹣3≤x＜﹣1時，f（x）=﹣（x+2）2，當(dāng)﹣1≤x＜3時，f（x）=x．則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=．22．若函數(shù)f（x）是周期為5的奇函數(shù)，且滿足f（1）=1，f（2）=2，則f（8）﹣f（14）=．23．設(shè)f（x）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，若f（2）＞1，f（2014），則實數(shù)a的取值范圍是．24．設(shè)f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=2x（1﹣x），則三．解答題（共5小題）26．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x恒有f（x+2）=﹣f（x），當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=2x﹣x2（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；當(dāng)x∈[2，4]時，求f（x）的解析式；計算：f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2004）．27．函數(shù)f（x）是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=3x﹣1．（1）求f（x）在[﹣1，0]上的解析式；==．25．若f（x+2）=，則f（+2）?f（﹣14）=．（2）求的值．（2）求f（24）的值．28．已知定義域為R的函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且滿足f（x+4）=f（x），當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=2x﹣1．（1）求f（x）在[﹣1，0）上的解析式；29．已知函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是周期函數(shù)，周期為3，且x∈[0，1]時，f（x）=x2﹣x+2，求f（﹣2014）的值．30．定義在R上的奇函數(shù)f（x）有最小正周期2，且當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=2x+2﹣x．求f（x）在[﹣1，0）上的解析式；判斷f（x）在（﹣2，﹣1）上的單調(diào)性，并給予證明．

函數(shù)的周期性練習(xí)題高一參考答案與試題解析一．選擇題（共15小題）1．【解答】解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）=﹣f（x），∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)又∵f（x﹣2）=f（x+2）∴函數(shù)f（x）為周期為4是周期函數(shù)∴4＜log∴f（log220）=f（log220﹣4∴4＜log∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）時，f（x）=2x+，∴f（log2）=1故f（log220）=﹣1故選C2．【解答】解：因為f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f（x）．函數(shù)f（x）是以6為周期的函數(shù)．f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣=．故選B3．【解答】解：∵函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f（x）=﹣，∴f（x+3）=﹣，∴f（119.5）=f（20×6﹣0.5）=f（﹣0.5）=﹣=﹣，∴f（119.5）=﹣=﹣=﹣=．故選：C．則f（x+6）=f（x），即函數(shù)f（x）的周期為6，又∵偶函數(shù)f（x），當(dāng)x∈[﹣3，﹣2]時，有f（x）=4x，4．【解答】解：f（x）是R上周期為5的奇函數(shù)，f（﹣x）=﹣f（x），∵f（1）=﹣f（﹣1），可得f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，因為f（2）=﹣f（2），可得f（﹣2）=﹣f（2）=﹣3，∴f（8）=f（8﹣5）=f（3）=f（3﹣5）=f（﹣2）=﹣3，f（4）=f（4﹣5）=f（﹣1）=﹣1，∴f（8）﹣f（4）=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，故選C；5．【解答】解：∵f（x）的周期為4，2015=4×504﹣1，∴f（2015）=f（﹣1），又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（2015）=﹣f（1）=﹣21﹣log21=﹣2，故選：A．6．【解答】解：由圖象知f（1）=1，f（﹣1）=2，∵f（x）是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，∴f（2014）+f（2015）=f（1）+f（﹣1）=1+2=3，（x）∴f（x+4）=f（x），即函數(shù)f（x）的一個周期為4∴f（5.5）=f（1.5+4）=f（1.5）∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)∴f（5.5）=f（1.5）=f（﹣1.5）=f（﹣1.5+4）=f（2.5）∵當(dāng)2≤x≤3，f（x）=x∴f（2.5）=2.5∴f（5.5）=2.5故選D8．【解答】解：∵f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是以4為周期的奇函數(shù)，故選：A7．【解答】解：∵故選：A7．【解答】解：∵，∴==f∵，∴，10．【解答】解：∵f（x+2）=∴f（x+2+2）==f（x）又∵f（﹣1）===﹣，∴f（log354）=﹣2，故選：A．9．【解答】解：在R上的函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）+f（x）=0則：f（﹣x）=﹣f（x）所以函數(shù)是奇函數(shù)由于函數(shù)周期是4，所以f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣5故選：B∴f（x）是以4為周期的函數(shù)∴f（5）=f（1+4）=f（1）=﹣5f（f（5））=f（﹣5）=f（﹣5+4）=f（﹣1）則函數(shù)f（x）是周期為10的周期函數(shù)，則f（1003）=f（1000+3）=f（3）=4﹣3=1，故選：C．12．【解答】解：當(dāng)0≤x＜2時，f（x）=x2﹣x=0解得x=0或x=1，因為f（x）是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，故f（x）=0在區(qū)間[0，6）上解的個數(shù)為6，又因為f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在區(qū)間[0，6]上解的個數(shù)為7，即函數(shù)y=f（x）的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點的個數(shù)為7，故選：B．13．【解答】解：∵f（x+2）=f（x），∴f（2014）=f（2016）=f（0）=log21=0，∵f（x）為R上的奇函數(shù)，∴f（﹣2015）=﹣f（2015）=﹣f（1）=﹣1．∴f（2014）+f（﹣2015）+f（2016）=0﹣1+0=﹣1．故選A．∴f（f（5））=∴f（f（5））=﹣故選B11．【解答】解：∵f（x+5）=f（x﹣5），∴f（x+10）=f（x），由圖象可知：函數(shù)y=f（x）與y=在區(qū)間[﹣3，4]上有10個交點（互不相同），所以方程f（x）=在[﹣3，4]解的個數(shù)是10個，故選：D．在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）與y=的圖象如下圖：15．【解答】解：∵函數(shù)f（x）的最小正周期為2，∴f（x+2）=f（x），∵f（x）=x2，y=g（x）=|log5x|∴作圖如下：∴函數(shù)f（x）在實數(shù)集R上的圖象與函數(shù)y=g（x）=|log5x|的圖象的交點的個數(shù)為5，故選：C二．填空題（共10小題）∴函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，且周期T=6，16．【解答】解：16．【解答】解：∵對任意的x都有f（x+3）=，∴f（x+6）==f（x），=f（1+3）==﹣5故答案為：﹣517【解答】解：當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=2x﹣1，函數(shù)y=f（x）的周期為2，x∈[﹣1，0]時，f（x）=2﹣x﹣1，可作出函數(shù)的圖象；圖象關(guān)于y軸對稱的偶函數(shù)y=log5|x|．函數(shù)y=g（x）的零點，即為函數(shù)圖象交點橫坐標(biāo)，當(dāng)x＞5時，y=log5|x|＞1，此時函數(shù)圖象無交點，如圖：又兩函數(shù)在x＞0上有4個交點，由對稱性知它們在x＜0上也有4個交點，且它們關(guān)于直線y軸對稱，可得函數(shù)g（x）=f（x）﹣log5|x|的零點個數(shù)為8；故答案為8；18．【解答】解：由分段函數(shù)可知，當(dāng)x＞0時，f（x）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2），∴f（x+1）=f（x）﹣f（x﹣1）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2）﹣f（x﹣1），∴f（x+1）=﹣f（x﹣2），即f（x+3）=﹣f（x），∴f（x+6）=f（x），即當(dāng)x＞0時，函數(shù)的周期是6．∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3）=﹣f（0）=﹣log2（8﹣0）=﹣log28=﹣3，故答案為：﹣3．19．【解答】解：由f（x19．【解答】解：由f（x）=﹣f（x+）得f（x+3）=f[（x+）+]=﹣f（x+）由f（x）的圖象關(guān)于點（，0）對稱，知（x，y）的對稱點是（﹣﹣x，﹣y）．即若y=f（x），則必﹣y=f（﹣﹣x），或y=﹣f（﹣﹣x）．而已知f（x）=﹣f（x+），故f（﹣﹣x）=f（x+），今以x代x+，得f（﹣x）=f（x），故知f（x）又是R上的偶函數(shù)．20．【解答】解：由題意知，定義在R上的函數(shù)f（x）有，則令x=x+2代入得，∴f（x+4）===f（x），于是有：f（1）=f（﹣1）=1；f（2）=f（2﹣3）=f（﹣1）=1；f（3）=f（0+3）=f（0）=﹣2；∴f（1）+f（2）+f（3）=0，以下每連續(xù)3項之和為0．而2010=3×670，于是f（2010）=0；故答案為0．∴函數(shù)f（x）是周期函數(shù)且T=4，∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3），∵當(dāng)x∈（0，4）時，f（x）=x2﹣1，∴f（3）=8．即f（2011）=8．故答案為：8．21．【解答】解：∵當(dāng)﹣3≤x＜﹣1時，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，∵當(dāng)﹣1≤x＜3時，f（x）=x，∴f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，又∵f（x+6）=f（x）．故f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，又∵2012=335×6+2，故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=335×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）]+f（1）+f（2）=335+1+2=338，故答案為：33822．【解答】解：由題意可得，f（8）=f（8﹣10）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，f（14）=f（14﹣15）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，故有f（8）﹣f（14）=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，故答案為﹣1．23．【解答】解：解：由f（x）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，則f（x+3）=f（x），f（﹣x）=﹣f（x），∴f（2014）=f（3×672﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2），又f（2）＞1，∴f（2014）＜﹣1，即＜﹣1，即為＜0，即＜﹣1，即為＜0，即有（3a﹣2）（a+1）＜0，解得，﹣1＜a＜，故答案為：．25．【解答】解：由題意可得f（+2）=sin=sin（6π﹣）=﹣sin=﹣，∴f（，故答案為：∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故答案為：﹣．∴同理可得f（﹣14）=f（﹣16+2）=log216=4，+2）?f（﹣14）=﹣×4=三．解答題（共5小題）26．【解答】（1）證明：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期為4的周期函數(shù)；（2）解：當(dāng)x∈[﹣2，0]時，﹣x∈[0，2]，由已知得f（﹣x）=2（﹣x）﹣（﹣x）2=﹣2x﹣x2，又f（x）是奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣2x﹣x2，∴f（x）=x2+2x，又當(dāng)x∈[2，4]時，x﹣4∈[﹣2，0]，∴f（x﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4），又f（x）是周期為4的周期