量子場論卷二校1-12章

符號約定 歷史介紹 相對論波動力學(xué) 量子場論的誕生 無限大的問題 參考文獻 相對論量子力學(xué) 量子力學(xué) 對稱性 oincae 單粒子態(tài) 空間反演和時間反 投影表示 對稱表示定理 群算符和同倫類 反演和簡并多重 參考文獻 散射理論 “入”態(tài)和“出”態(tài) ??-矩陣 ??-矩陣的對稱性 速率與截面 微擾論 幺正性的影響 i目錄分波展開4參考文獻分解原理玻色子與費米子產(chǎn)生和湮滅算符分解和連通振幅相互作用的結(jié)構(gòu)參考文獻量子場與反粒子自由場因果標(biāo)量場因果矢量場Dirac形式體系 因果Dirac場 齊次Lorentz群的一般不可約表示 一般因果場 CPT定理 無質(zhì)量粒子場 參考文獻 Feynman規(guī)則 規(guī)則的推導(dǎo) 子的計算 動量空間規(guī)則 離質(zhì)量殼 參考文獻 正則體 正則變量 拉格朗日體系 整體對稱性 目錄Lorentz不變性························過渡到相互作用繪景:例子···················約束與Dirac·······················場重定義與冗余耦 ·····················A從正則對易子到Dirac括號···················參考文獻···························8電動力學(xué) · · · · · · · · · · 規(guī)范不變性··························約束與規(guī)范條 ·······················Coulomb規(guī)范下的量子化···················相互作用繪景中的電動力 ··················光子子··························旋量電動力學(xué)的Feynman規(guī)則·················Compton散射·························推廣:p-形式規(guī)范場······················跡······························參考文獻··························· 路徑積分方法· · · · · · · · · ·····················過渡到??-矩陣·························路徑積分的拉格朗日版本·················Feynman規(guī)則的路徑積分推 ·················費米子的路徑積 ······················量子電動力學(xué)的路徑積分表述·················各種統(tǒng)計···························A高斯多重積 ························參考文獻···························非微擾方法 · · · · · · · · · 對稱性····························定極學(xué)···························· 場重整化和質(zhì)量重整化重整化荷與Ward恒等式規(guī)范不變性電磁形狀因子與磁矩K¨llen-Lehmann表示·色散關(guān)系參考文獻量子電動力學(xué)中的單圈輻射修正抵消項 真空極化 反常磁矩與電荷半徑 電子自能 A各種積分 參考文獻 重整化的一般理論 發(fā)散度 發(fā)散的消除 可重整性是必要的嗎？ 浮動截斷 偶然對稱性 參考文獻 符號約拉丁指標(biāo)??,??,??等一般取遍三坐標(biāo)指標(biāo),通常取做1,2,希臘指標(biāo)??,??等一般取遍時空坐標(biāo)指標(biāo)1,2,3,0,其中??0是時間坐標(biāo)。 時空度規(guī)??????是對角的,其對角元為??11??22??331??00達朗貝爾算符定義為≡????????2/????????????=?2???2/????2,其中?2是拉斯算符??2/????????????.列維-奇維塔張量??????????定義為全稱量,并有??0123=+1.空間三矢由粗體字母標(biāo)記任意矢量上的“帽子”代表相應(yīng)的單位矢量:因此^≡任意量上加點代表該量對時間的導(dǎo)數(shù)狄拉克矩陣????的定義滿足????????+????????=2??????.并且??5=i??0??1??2??3,??=階躍函數(shù)??(??):當(dāng)??0時為1,??0時為矩陣或矢量??的復(fù)共軛、轉(zhuǎn)置、厄米共軛分別記為??*,??T以及???=??*T.在強調(diào)一個算符的矩陣或矢量是非轉(zhuǎn)置時,我們用星號,除此之外,算符??的厄米共軛記為???.在方程末尾的+H.c.或c.c.表示前面幾項的厄米共軛或復(fù)共軛.Dirac旋量??上加橫線定義為ˉ=?????.除了第一章,~和??為單位1.這樣???是電子的有理化電荷,精細結(jié)構(gòu)常數(shù)是????2/4π?數(shù)據(jù)末尾括號中的數(shù)字給出了數(shù)據(jù)末尾數(shù)字的不確定度,在沒有額外指明的情況下,實驗數(shù)據(jù)取自‘ReviewofParticleProperties,’Phys.Rev.D50,1173(1994).v1章歷史沉浸在現(xiàn)代物理之中的我們很難理解哪怕只是幾年前物理學(xué)家所遇到的,也很難從他們的經(jīng)驗中獲益.與此同時,歷史知識對于我們而言是喜憂參半的,它妨礙了我們按照邏輯的順序重構(gòu)物理理論,而這種依邏輯順序的重構(gòu)向來又是必須的.在本書中,我嘗試按照邏輯的順序建立場的量子理論,強調(diào)從狹義相對論和量子力學(xué)的物理原理出發(fā)的演繹道路.這種方法必然使我偏離史實發(fā)展的真實次序.例如,歷史上,量子場論部分衍生于對相對論波動方程的研究,這包括Maxwell方程,Klein-Gordon方程以及Dirac方程.由于這些原因,量子場論相關(guān)的和專著會很自然地先介紹這些波動方程,并給予它們相當(dāng)大的篇幅.然而,長時間以來,Wigner將粒子定義為非齊次Lorentz群的表示在我看來是一個更好的出發(fā)點,盡管這個工作直到1939年才,并且在那以后的很多年里沒有很大的影響.在這本書里,我們從粒子出發(fā),然后才是波動方程.這并不意味著粒子肯定比場更基本.在1950年后的很多年,大家普遍認為自然的基本定律應(yīng)該采取量子場論的形式.在本書中,我從粒子出發(fā),并不是因為它們更基本,而是因為對于我們而言,粒子能夠更確實,更直接地從相對論和量子力學(xué)的原理中導(dǎo)出.如果發(fā)現(xiàn)一些不能用量子場論描述的物理系統(tǒng),這將引起轟動;如果發(fā)現(xiàn)從量子力學(xué)和相對則的系統(tǒng),那則是一場.事實上,稍后便有了將量子場論作為基礎(chǔ)的觀點.基礎(chǔ)理論可能不是場或粒子的理論,而是一些完全不同的東西,比如弦.這種觀點認為我們引以為傲的量子電動力學(xué)和其它量子場論僅僅是“有效場論”,是更基礎(chǔ)理論的低能近似.我們的場論如此的成功并不是因為它們是基本真理,而是因為將任何相對論性量子理論應(yīng)用于足夠低能的粒子時它們看起來都像個場論基于此,如果我們想知道為什么量子場論是這個樣子,就必須從粒子出發(fā).然而我們不想以完全忘掉過去為代價.因此本章將呈現(xiàn)出量子場論從早期直到的歷史,直到那時,它才它的現(xiàn)代形式.在本書的其余部分,我將會盡力避免在介紹物理時引入歷在本章的撰寫過程中,我發(fā)現(xiàn)一個問題:從一開始,量子場論的歷史與量子力學(xué)本身的歷史就不可避免地糾纏在一起.因此,熟悉量子力學(xué)歷史的讀者可能會發(fā)現(xiàn)一些早已熟悉的材料,尤其在第一節(jié),在這一節(jié)我討論了將狹義相對論和量子力學(xué)融合在一起的早期嘗試.遇到這種情況,我只另一方面,那些沒有接觸過量子場論的讀者會發(fā)現(xiàn)本章的部分內(nèi)容過于簡潔以至于無法完全理解.我請這樣的讀者不要擔(dān)心.本章并不是作為一個自足的量子場論簡介而準(zhǔn)備的,也不是本書其余部分的基礎(chǔ).一些讀者甚至可能更適合從下一章開始,然后再回到歷史.然而,對于大多數(shù)讀者,量子場論的歷史應(yīng)該是量子場論本身一個很好的導(dǎo)論.應(yīng)該補充說明一下:本章并不是作為歷史研究的原始工作而準(zhǔn)備的.它是基于那些真正歷史學(xué)家的書和文章,以及一些我讀過的歷史綜述和物理原始.它們中的大多數(shù)列于本章最后的參考書目和參考文獻中.我建議那些想要更深入了解的讀者去參考所列文獻.1關(guān)于符號的說明.為了保留過去的一些偏好,在本章,~和??(甚至?),但是為了方便與現(xiàn)代物理文獻進行比較,對于電荷,我將會使用更加現(xiàn)代的有理化靜電單位制,使得精細結(jié)構(gòu)常數(shù)???1/137為??2/4π~??.以后的章節(jié)我將幾乎全部使用“自然”單位制,簡單地令~=??=1.相對論波動力學(xué)開始是以相對論波動力學(xué)的面目出現(xiàn)的.事實上,正如看到的,波動力學(xué)的建立者,LouisdeBroglie(路易·德布羅意)和ErwinShr¨dinger(埃爾文·薛定諤),從狹義相對論中獲得了大量的靈感.那以后不久,人們就普遍地認識到,相對論波動力學(xué)無法成為粒子數(shù)固定的相對論量子理論.因此,盡管相對論波動力學(xué)取得了大量成功,卻最終讓位于量子場論.然而,相對論波動力學(xué)作為量子場論形式體系中的重要要素留存下來,并向場論提出了,再現(xiàn)了它的成功.物質(zhì)粒子可能像光一樣以波的形式進行描述這是LouisdeBroglie(路易·德布羅意)在1923年首先[1].除了與輻射的相似性,主要的線索是Lorentz不變:如果粒子可以描述為在位置x和時間??處的相位形式為2π(??·x?????的波,并且,如果這個相位是Lorentz不變的,那么矢量??和頻率??x和??那樣變換p和??為此,??與??p與??相同的速度關(guān)系,因而必須正比于它們,并保持比例常數(shù)不變.對于光子,已有Einstein關(guān)系??=???,因而,對于實物粒子,可以很自然地假定??=p/? ??=??/? 正好與光子相同.這樣一來,波的群速度????/????就等價于粒子速度,波包與它們所代表的粒子同通過假定任意閉合軌道是粒子波長??=1/|??|的整數(shù)倍,deBroglie可以導(dǎo)出NielsBohr(尼爾森·玻爾)和ArnoldSommerfeld(阿諾德·索末菲)的舊量子化條件,這一條件雖然相當(dāng)神秘,但用來解釋原子光譜卻十分有效.另外deBorglie和WalterElsasser(沃爾特·埃爾薩瑟)[2]認為,通過尋找電子在晶體中散射的效應(yīng),就可以檢驗deBroglie的波動理論;數(shù)年后,這種效應(yīng)被ClintonJosephDavisson(·約瑟夫·戴維森)和LesterH.Germer(萊斯特·萊默)[3]發(fā)現(xiàn).然而,對于非自由粒子,例如處在普通庫侖場中的電子,該如何對deBroglie關(guān)系(1.1.1)進行修正依舊是不清楚的.在量子力學(xué)的歷史中,波動力學(xué)是進一步發(fā)展的一個分支,另一個分支是WernerHeisen-berg(沃納·海森堡),MaxBorn(·玻恩),PascualJordan(帕斯夸爾·約當(dāng))和WolfgangPauli(沃爾夫?qū)づ堇?在1925—1926年發(fā)展起來的矩陣力學(xué)[4].至少,矩陣力學(xué)的部分靈感是堅持這個理論應(yīng)該僅包含可觀察量,例如能級,發(fā)射速率和吸收速率.Heisenberg在他1925年的里以這樣的開頭:“本篇嘗試去建立理論量子力學(xué)的基礎(chǔ),這種基礎(chǔ)只建立在原則上可觀測的物理量之間的關(guān)系上.”盡管現(xiàn)代量子場論已經(jīng)遠離這種想法了,這種實證主義在量子場論的歷史上多次出現(xiàn),例如,JohnWheeler(約翰·惠勒)和Heisenberg引入的??-矩陣(見第3章)以及20世紀50年代色散理論的復(fù)興(見第10章).然而,在任何程度詳述矩陣力學(xué)都將使我們遠離.眾所周知,ErwinSchr¨dinger(埃文·薛定諤)再次發(fā)展了波動力學(xué).在他1926年的一系列論文[5]中,著名的非相對論波動方程第一次出現(xiàn),然后被用來重現(xiàn)矩陣力學(xué)導(dǎo)出的結(jié)果.在這之后不久,在第四篇的第六節(jié),他給出了相對論波動方程.按照Dirac的說法[6],歷史是完全不同的:Schr¨dinger首先導(dǎo)出了相對論性方程,卻由于它給出錯誤的氫原子精細結(jié)構(gòu)而感到沮喪,數(shù)月之后,他就,哪怕相對論性方程是錯誤的,它的非相對論近似卻是很有價值的!正當(dāng)Schr¨dinger準(zhǔn)備去他的相對論波動方程時,OskarKlein(奧斯卡·克萊因)[7]和WalterGordon(沃爾特·戈登)[8]再次獨立地發(fā)現(xiàn)了這個方程,由于這個原因,這個方程通常稱為“Klein-Schr¨dinger的相對論波動方程的獲得是通過,首先注意到,對于處在矢勢為A和庫侖勢為??的外場中,質(zhì)量為??,電荷為??的“Lorentz電子”,哈密頓量??p存在如下關(guān)系*0=(??+????)2???2(p+??A/??)2???2??4 對于由平面波exp2πi(??·得

描述的自由粒子,deBroglie關(guān)系(1.1.1)可以通過如下的代換獲p=???→?i~? ??=???→i~???? 其中~是?/2π的簡寫(由Dirac引入通過一個完全形式上的類比,Schr¨dinger猜測,在外A,??中的電子可以由波函數(shù)??(x,??)描述,而這個波函數(shù)所滿足的方程可以通過在(1.1.2)中

)?0= i~

—

?i~?+

—

??(x,??) 特別地在氫原子的定態(tài)中A=0和??=??/4π??并且??對時間的依賴關(guān)系是0

+

+??2~2?2?

??(x) 滿足合適邊界條件的解可以在如下能量值得到 (?

??=???? 1? +··· ?+21 其中????2/4π~??是“精細結(jié)構(gòu)常數(shù)”,約為1/137;??是正整數(shù),是以~為單位的軌道角動量,為一整數(shù),并滿足0≤?≤???1.??2項與氫原子光譜的總體特征非常一致(萊曼系,巴爾末系等),并且,據(jù)Dirac所說[6],正是這種一致性引導(dǎo)Schr¨dinger最終去發(fā)展他的非相對論波動方程.另一方面,??4項所給出的精細結(jié)構(gòu)與FriedrichPaschen(弗里德里?！づ列?當(dāng)時已經(jīng)得到的更精確測量結(jié)果卻比較ArnoldSommerfeld(阿諾德·索末菲)[10a]與Schr¨dinger的結(jié)果是有意義的,Sommerfeld的 3 ??=

21

– ???

+··

其中??是電子質(zhì)量.這里的??是介于1和??之間的整數(shù),在Sommerfeld的理論中則是以軌道角動量?~的形式給定:??=?+1.這給出了與實驗吻合的精細結(jié)構(gòu):例如,對于??=2,*這是Lorentz不變的,因為A和??與??p和??有著相同的Lorentz變換性質(zhì).Schr¨odinger實際上將??和p寫成了作 程(1.1.7)給出了兩個能級(??=1和??=2),觀測到的為??4????2/32,即4.53×10?5eV.相反,Schr¨dinger的結(jié)果(1.1.6)給出的??=2的精細結(jié)構(gòu)是??4????2/12,遠大于實驗值.Schr¨dinger正確地到這個不符的根源正是他對電子自旋的忽略.堿原子中非平方反比的電場以及弱的外磁場所造成的原子能級(所謂的反常Zeeman效應(yīng))揭示出,態(tài)的多重性要遠超于Bohr-Sommerfeld理論所給出的數(shù)目;這導(dǎo)致了1925年GeorgeUhlenbeck(喬治·烏倫貝克)和SamuelGoudsmit(塞繆爾·古茲密特)[11]提出電子有一個內(nèi)稟角動量~/2.并且,Zeeman[12]的大小使得他們進一步估計出:電子存在磁矩??

很顯然,電子自旋應(yīng)該與它的軌道角動量相耦合,所以不能指望Schr¨dinger的相對論波動方程給出正確的精細結(jié)構(gòu).2事實上,在1927年,數(shù)位學(xué)者1]就已經(jīng)能夠證明自旋-軌道耦合能夠解釋Sh¨dinger的結(jié)果(1.1.6)與實驗的差異.這里其實有兩個效應(yīng):一個是電子的磁矩(1.1.8)與它在原子的靜電場中運動時所感受到的磁場的直接耦合;另一個是由自旋電子的圓周運動(即使沒有磁矩)所引起的相對論Toms進動”1].這兩個效應(yīng)使得總角動量??=?+1的能級被提高到Sommrfld所給2 出的(1.1.7)中取??=1=??+1給出的值,而??=?1的能級則降至對應(yīng)Sommerfeld 的????1的能級.因此能級僅依賴于??和??而不另外依賴于 2

??=???? 1? +··· ??+21 盡管對于各能級,軌道角動量值是錯誤的,但很巧合地,Sommerfeld2裂的正確大小??+1像??一樣取遍從1到??的所有正整數(shù)).補充一句,氫原子的精細結(jié)構(gòu)能級的簡并度現(xiàn)在給出的預(yù)測是當(dāng)??=1時,簡并度為2,當(dāng)??>1時,簡并度則是2(2??1)(對應(yīng)于取2 2值??1),這與實驗是吻合的2盡管如此成功,但這并不是一個從開始就包含電子自旋的徹底的相對論理論.那樣的理論直到1928Puli保羅·狄拉克發(fā)現(xiàn).然而,相反,他解決這一問題的方法是提出一個即使在今天看起來依舊十分奇怪的問題,在他的1928年15的開頭,他問,自然為什么要為電子選擇這個特殊的模型,而不是滿足于點電荷模型.”直到今天,:具有自旋/2,.,在1928年,大家完全有可能相信所有的物質(zhì)是由電子以及原子核一些中帶正電的類似物質(zhì)組成.因此,,i:“~/?”對Dirac來說,問題的關(guān)鍵在于幾率必須為正這一要求.當(dāng)時已經(jīng)知道[16]非相對論Schr¨dinger方程的幾率密度是|??|2,并且它滿足如下形式的連續(xù)性方程:??(|??|2)?i~?·(??*?????????*)= 所以|??|2的空間積分與時間無關(guān).另一方面,可以用相對論Schr¨dinger方程的解構(gòu)造出來的幾率密度??和幾率J,并滿足守恒律,????+?·J=0 它們的形式只

??=??Im

????

~

?? J=??

?+

?? ~其中??是一任意常數(shù)把??定義成幾率密度是不可能的因為(不管有沒有外場勢????沒有一個確定的符號.這里引述Dirac關(guān)于這個問題的回憶[17]:我記得有一次在,Bohr問我在研究什么,我,我正在嘗試得到一個令人滿意的電子的相對論理論,玻爾說“但是Klein和Gordon已經(jīng)得到了啊!”這個答案起初對我的觸動非常大.Bohr似乎對Klein的解非常滿意,但是我因為給出的負幾率而對它并不滿意.在這個問題上,我仍堅持為得到一個只根據(jù)GeorgeGamow(喬治·伽莫夫)的回憶,[18]在1928年的一個晚上,當(dāng)Dirac在凝視大學(xué)圣約翰學(xué)院里的一個壁爐時,他發(fā)現(xiàn)了這個問題的答案.他Klein-Gordon方程(或者相對論Schr¨dinger方程)能夠給出負幾率的原因是守恒方程(1.1.10)中的??包含了波函數(shù)對時間的一階偏導(dǎo)數(shù).之所以會發(fā)生這件事是因為波函數(shù)滿足的微分方程對于時間是二階的.于是問題變成了要將現(xiàn)在的波動方程換成另一個對時間是一階導(dǎo)數(shù)的方程,就像非相對論Schr¨dinger方程那樣.假定電子波函數(shù)是一個多分量的量????(??并滿足如下形式的波動方程i~????=H?? 其中H是空間導(dǎo)數(shù)的某個矩陣函數(shù).由于方程關(guān)于時間導(dǎo)數(shù)是線性的,為了使理論Lorentz不變,須假定方程關(guān)于空間導(dǎo)數(shù)也是線性的,H取如下的形式:H=?i~????·?+??4????2 其中??1,??2,??3和??4是常矩陣.我們可以從(1.1.13)2 2 ?~????2=H??=?~???????????????????? 24—i~????(??????4+??4????)????+????(這里采用了求和約定;??和??取遍值123或??,????.)但是這必須與相對論Schr¨dinger方程(1.1.4)的,.,????????+????????=2δ????1 ??????4+??4????=0 4??2=1 其中??????是克羅內(nèi)克符號??=??時值為1;???=??時值為0),1是單位陣.Dirac找到了一組滿足這些關(guān)系的4×4矩陣

0?i=?

?

0 2= ?? 0

0

0 0

4= ? 4= =

0 為了證明這套體系是Lorentz不變的,Dirac給這個方程左乘??4,

+????2??=0 其 ??≡?i???? ??0≡?i?? (希臘指標(biāo)????等取遍值1,2,3,0,其中??0????.Dirac取??4i????,相應(yīng)地,??4??4.)矩陣????滿足對易

1(????????+????????)=??????≡

??=??=1,2, ??=??= ???=Dirac注意到這些易關(guān)系是Lorentz不變的,也就是說,矩陣Λ????????也滿足上述的易關(guān)系,這里Λ????是任意的Lorentz變換.由此他Λ????????必須通過一個相似變換與????相聯(lián)系:Λ????????=???1(Λ)??????(Λ)這表明:如果在Lorentz變換????→Λ????????下,波函數(shù)發(fā)生的是一個矩陣變換??→??(Λ)??,那么波動方程就是不變的.(在第5章,這些內(nèi)容將從一個相當(dāng)不同的角度進行更加充分的討論.)為了研究電子在任意外電磁場下的性質(zhì),Dirac沿用方程(1.1.4)中的“通用手續(xù)”,i~

→i~

+ ?i~?→?i~?+??A

這樣,波動方程(1.1.13)

+

??=(?i~???+??A)·????+????2??4?? Dirac利用這個方程證明了在中心力場[H,?i~r×?+~??/2]=0 其中,H是矩陣微分算符(1.1.14),??是此前由Pauli引入的自旋矩陣的4×4版 01 00???=100?

? 10由于??的每個分量的本征值都是±1,(1.1.24)Dirac又對方程(1.1.23)進行迭代,得到了一個二階方程,這個方程與Klein-Gordon方程的差異[???~????·B?i??~????·E]?? 對于低速運動的電子第一項是主要的它代表磁矩,這個磁矩的值與Goudsmit和Uhlenbeck[11]所發(fā)現(xiàn)的(1.1.8)相符.正如Dirac看到的,磁矩再加上這個理論是相對論性的,確保了這個理論所給出的精細結(jié)構(gòu)(到??4????2階)與Heisenberg,Jordan和CharlesG.Darwin(查爾斯·G·達爾文)[13]發(fā)現(xiàn)的相符.稍后不久,Darwin[20]和Gordon[21]導(dǎo)出了Dirac理論中氫原子能級的“精確”???=????2 ?1

1

??2 ]?1}2?

2 ????? 2

??+這個結(jié)果關(guān)于??2的級數(shù)展開式的前三項與近似結(jié)果(1.1.9)一致這個理論實現(xiàn)了狄拉克的初衷:一個幾率為正的相對論性形式理論.由(1.1.13),我們可以導(dǎo)????+?·J= 其??=|??|2 J=????????? 這樣,正值|??|2可以解釋為幾率振幅,

|??|2d3??是一個常數(shù).然而,還有一個是Dirac,??∝

~

兩個是能量??=+√?2??2+??2??4的解,對應(yīng)電子??=~/2的兩個自旋態(tài).另外兩個是??√? —p2??2+??2??4的解,沒有明顯的物理解釋.正如狄拉克的,這個問題相對論Schr¨dinger程也遇到過:對于每一動量p,存在兩個如(1.1.30)形式的解,一個對應(yīng)正??,另一個對應(yīng)負 當(dāng)然,即使在經(jīng)典物理中,相對論關(guān)系??2=p2??2+??2??4有兩個解,??=±p2??2+然而,在經(jīng)典物理中,我們可以簡單地假定物理粒子是那些能量為正??的.這是因為正值解有??>????2,而負值解給出??<???,它們之間有一個有限寬的能隙,并且不存在連續(xù)的過程使負能量的問題在相對論量子力學(xué)中要麻煩得多.正如Dirac在他1928年的[15]中的那樣,電子與輻射的相互作用可以產(chǎn)生躍遷,在這個躍遷中,電子從正能態(tài)落到負能態(tài),并通過兩個或更在1930年,Dirac給出了一個卓越的解決方法[22].Dirac的方案基于不相容原理,在這里簡要元素周期表和X射線光譜學(xué)分類法,在1924年共同揭示出了原子能級的一個電子排布模式[23]:在由主量子數(shù)??表征的殼層內(nèi),電子的最大數(shù)目????等于??能級中的軌道態(tài)數(shù)的2倍 ????= (2?+1)=2??=2,8,18,··· 在1925年,WolfgangPauli(沃爾夫?qū)づ堇?[24]提出,如果????是第??個殼層內(nèi)所有可能的態(tài)的總數(shù),并附加一個神秘的“不相容原理”以超過一個的電子占據(jù)同一態(tài),這個模型就可以被解釋.他認為(1.1.31)中奇怪的因子2是緣于電子態(tài)的“奇怪的,經(jīng)典不可描述的二重性”,正如我們后來所了解到的,這正是電子的自旋[11].不相容原理回答了Bohr和Sommerfeld的舊原子論中一個一直不清楚的問題:為什么在重原子里不是所有的電子都掉到了最低能量的殼層里?隨后,泡利的不相容原理被一些研究者[25]表述為要求多電子系統(tǒng)波函數(shù)關(guān)于所有電子的坐標(biāo),軌道以及自旋是稱的.這個原理被包含在了EnricoFermi(恩里克·費米)[26]和Dirac[27]的統(tǒng)計力學(xué)中,并且由于這個原因,服從不相容原理的粒子被普遍地稱為“費米子”,類似地,像光子這樣的粒子,它的波函數(shù)是對稱的并服從Bose和Einstein的統(tǒng)計,因而被稱為“玻色子”.不相容原理在金屬、白矮星、中子星等理論中扮演了非?；镜慕巧?但是對于這些問題的討論將會使我們太遠地偏離主線.Dirac的方案是:之所以帶正能的電子不會落入到負能態(tài),是因為“除了可能會有少量速度較小的態(tài),所有的負能態(tài)已經(jīng)被占滿了.”這幾個空的態(tài),或者說“空穴”,處在負能態(tài)電子的海洋中,它們的行為就像帶有相反量子數(shù)的粒子:正能量和正電荷.當(dāng)時唯一知道的帶正電的粒子是質(zhì)子,并且正如Dirac稍后回憶到的[27a],“當(dāng)時所有觀點都趨向于新粒子”,所以Dirac認為他的空穴就是質(zhì)子事實上他1930年的[22]標(biāo)題正是“電子和質(zhì)子的理論.”空穴理論著很多立刻就能看出的.其中一個由這種無處不在的負能電子的無限大電荷密度引起的:它們的電場在哪?ic提議重新解釋Maxell方程中的電荷密度,將其解釋為:“與世界正常帶電量之差.”另外一個要解決的問題是觀測到的電子質(zhì)量和質(zhì)子質(zhì)量有巨大差異,并且它們的相互作用也有巨大差異.Diac希望電子間的庫侖相互作用將以某種方式解釋這些差異,但是Hemnneyl(赫爾曼·外爾)[8]證明了空穴理論實際上對正電荷和負電荷完全是對稱的.最后,Di[2]預(yù)測存在一個電子-質(zhì)子湮沒過程,在這個過程中,一個正能量電子遇到了負能電子海中的一個空穴并掉入這個未被占據(jù)的能級上,發(fā)射一對??光子.就其本身而言,這本不會為空穴理論帶來,甚至有些人希望用它來解釋當(dāng)時還不清楚的恒星的能量來源問題.然而,不久之后JuliusRbertOppenheimer(朱利葉斯·羅伯特·奧本海默)和Igoramm(伊·塔姆),29]原子中電子-質(zhì)子湮滅過程發(fā)生的速率會非常快以至于與觀測到的普通物質(zhì)的穩(wěn)定性不合.由于這些原因,Dic在1931年改變了他的想法,并認定這個空穴并非以質(zhì)子的形式出現(xiàn),而是一種新的正電荷粒子,這種粒子與電子質(zhì)量相同[a].隨著CarlD.Anderson(卡爾·D·安德森)30發(fā)現(xiàn)正電子,第二個問題和第三個問題被消除了,而ndson本人似乎并不知道i關(guān)于正電子的預(yù)測.,在一個磁場為15k的ilon云室里觀測到了一條特別的宇宙射線軌跡.通過觀察到的軌跡彎曲的方向,這預(yù)期是一個正電荷粒子,可是軌跡的范圍卻至少是質(zhì)子軌跡范圍期望值的十倍大!軌跡的范圍和電離比都和這是一種新粒子的假設(shè)相吻合,這種新粒子與電子的差異僅是電荷的符號,而這正是ia空穴所預(yù)期的.(P.M..lkttPM..布萊克特更早做出了這件事情,但是他沒有立即.ndson了在宇宙射線軌跡出現(xiàn)正電荷輕粒子的,而這些正是由Blktt和iusppehilini朱塞佩·獲得的.)i.對正電子的或多或少的,以及發(fā)現(xiàn)Dirac方程在解釋電子磁矩和氫原子精細結(jié)構(gòu)上的早期成功,使得Dirac理論的聲望保持了至少六十個年頭.然而,盡管Dirac理論地會在任何未來物理理論中以某種形式留存下來,但是有一些嚴格的原因使得它不滿足本身最初的基本原理:Dirac對Schr¨dinger相對論波動方程中負幾率問題的分析,似乎是排除了存在任何零自旋粒子的可能性.然而,即使是在20世紀20年代,我們就已經(jīng)知道存在零自旋粒子——例如,處在基態(tài)的氫原子,以及氦核.當(dāng)然,你可以說氫原子和??粒子不是基本的,所以不需要用一個相對論波動方程來描述然而如何將基本這個概念納入相對論量子力學(xué)的形式體系中這在那時(現(xiàn)在依然是)是不清楚的.現(xiàn)今,我們知道大量的零自旋粒子——??介子,??介子,等等——質(zhì)子與中子并不比它們基本.我們同樣也知道一些自旋1的粒子——??±??0——它們看起來和電子以及其他粒子一樣基本.更進一步的,先不管強作用的影響,對于一個束縛在原子核周圍的零自旋負??介子或??介子所組成的“介子原子”,從相對論Klein-Gordon-Schr¨dinger方程的定態(tài)解出發(fā),我們現(xiàn)在可以計算出它的精細結(jié)構(gòu)!因此,我們很難認同如下的說法,是因為零自旋相對論方程存在基本的錯誤,人們才不得已去發(fā)展Dirac方程——問題僅僅是電子碰巧有自旋~/2,而不是零.就我們現(xiàn)在所知道的,對于每一種類的粒子,都存在一個“反粒子”,它們質(zhì)量相同,反.(一些純中性粒子,例如光子,它們的反粒子就是它們本身.)但是我們該怎樣把諸如????±粒子這樣的帶荷玻色子解釋為負能態(tài)海洋中的空穴呢?對于那些按照Bose-Einstein統(tǒng)計規(guī)則進行量子化的粒子,并不存在不相容原理,因此不管負能態(tài)是否被占據(jù),都沒有什么機制正能態(tài)粒子掉落到負能態(tài).而如果這個空穴理論對玻色反粒子并不奏效,我們又憑什么相信它對費米子就是成立的呢?在1972年,我問過Dirac他對這一問題的看法;他告訴我,他并不認為諸如??介子或??±粒子之類的玻色子是“重要的”.在稍后幾年的一個講座[27a]中,Dirac提到:對于玻色子,“我們不再有一個負能態(tài)被填滿的真空態(tài)的圖景”,并說,在這種情況下,“整個理論變得更復(fù)雜”.下一節(jié)將會說明量子場論的發(fā)展是怎樣使反粒子的空穴解釋不再必要,即使不幸的是,它依舊在很多教科書中茍延殘喘.JulianSchwinger(朱利安·施溫格)的話[30a],“負能電子的無限海洋這一圖景,最好視為一個歷史古Dirac理論的偉大成功之一是它對電子磁矩的正確預(yù)測.磁矩(1.1.8)相當(dāng)于角動量為~/2帶電點粒子做軌道運動時所期望磁矩值的兩倍大,這在當(dāng)時是相當(dāng)震撼的;直到Dirac理論出現(xiàn)之前,因子2一直是個迷.然而,在Dirac解決這個問題的路線中,真的沒有什么東西明確地引出了磁矩的這個特定值.在波動方程(1.1.23)我們引入電場和磁場的地方,我們可以再加上一個帶任意系????4[????,????] (??????是通常的電磁場強張量,??12=??3,??01=??1等)這一項可以通過首先給自由場方程加上一正比于[????????](??2/????????????)??的項得到,而這樣的項顯然為零,然后像以前一樣做代換(1.1.22),就可得到Pauli項.一個更加現(xiàn)代的方法是簡單地認為(1.1.32)項與所有已知的不變原理一致,包括Lorentz不變和規(guī)范不變,因而沒有理由說為什么這樣的項不應(yīng)該被包含在場方程中.(見12.3節(jié))這一項對電子磁矩有一個正比于??的額外貢獻,所以,除了純粹為了形式簡單的可能需求,沒有理由去期待Dirac理論中的電子磁矩具有任何特定的值.正如在這本書中看到的, 量子場光子是唯一一個在被發(fā)現(xiàn)是粒子之前被當(dāng)成場的粒子. 1926年,在矩陣力學(xué)的文章之一中,Born,Heisenberg和Jordan[32]將他們的新方法應(yīng)用到自由輻射場中.為了簡化討論,他們忽略了電磁波的極化并考慮一維情況,坐標(biāo)??0取到??;??(??,??在端點處為零,??=0??=??的弦,同的.通過類比弦或全電磁場的情況1∫??{?(?????)???

)}?+??2 d?? 2 為了將這個表達式簡化為平方和,將場??展為Fourier分量的和,這些分量在??=0和??=??處為??(??,??)

(???????

????≡??π??/?? 這使

??

??{?

??因此弦或場的行為類似于獨立諧振子的和,而這些獨立諧振子的頻率是????,在20年前,Paul特別地,就像粒子的力學(xué)中那樣,如果??表示成了??和??的函數(shù),正則共軛于????(??的“動量”????(??)就被這一條件確定了,那么這給出“動量

??˙??(??)

??(??(??),??(??))所以正則對易關(guān)系可

????(??)=2

2

δ

????(??),????(??)=0 另外 ????(??)隨時間的變化由哈密頓運動方程給

2??˙(??)=?2 =???2??(??) ?? ?? ??通過前面在諧振子上的工作,Born,Heisenberg和Jordan已經(jīng)知道方程(1.2.6)—(1.2.8)所定義的矩陣的形式.??-矩陣為√????(??)

????exp(?i??????)+

其中????是不含時的矩陣,?????是它的厄米共軛,它們滿足如下對易 ????,??

=δ???? ????,

=0 這些矩陣的行與列由一組正整數(shù)??1??2···標(biāo)記,每一個整數(shù)對應(yīng)一個簡正模.1(????)??′,??′,··??1

√ ????δ??′

δ??′???? ???=??(?????)??′,??′,··????, ????+1δ??′,??

δ??′

1 ??對于單個簡正模 這些矩陣可以顯式地寫出

?

··

0··√?

··√

·· √ ?

3···

0···??= ···

??? ?

· ? ?? ?

? ? 對于帶有整數(shù)分量??1,??2,···的列矢量,它的物理解釋是:在簡正模??下有????個量子的態(tài).陣????或???作用在這樣的列矢量上將分別使????降低或提升一個單位,而所有 ??的???保持不變;它們因??個簡振模湮滅或產(chǎn)生一個量子的算符特別的所有????都等于零的矢量代表真空態(tài)它被任意????湮滅這一解釋可以通過哈密頓量進一步證實.在(1.2.4)中使用(1.2.9)和(1.2.10)給??,

???????+

.

1 1 ????′,??′,··,??,??,··=∑?~????(?????+1)?∏? 我們看到態(tài)的能量就是出現(xiàn)在態(tài)中的每個量子能量~????之和,再加上一個無限大零點能??01 ~??

將其應(yīng)用到輻射場

這套體系證實了根據(jù)每個簡正模中

對輻射數(shù)的Bose方法Born,Heisenberg和Jordan利用這套體系導(dǎo)出黑體輻射中能量漲落的方均根表達式.(為了實現(xiàn)這個目標(biāo)他們實際上僅用了對易關(guān)系(1.2.6)—(1.2.7).)然而不久之后這個方法就應(yīng)用到了一個更加急迫的問題上:自發(fā)輻射速率的計算.為了這里的,略微回溯一點歷史是必要的.在矩陣力學(xué)第一批文章中的一篇里,Born和Jordan[33]實際上做了這樣的假定,當(dāng)一個原子從態(tài)??掉落到更低的態(tài)??上時,這個原子會r(??)=r????exp(?2πi????)+r????*exp(2πi????) 的經(jīng)典帶電振子那樣發(fā)生輻射 其???=????? r????是電子位置在??,??上的矩陣元. ?? ˙22

= ????| 2直接的經(jīng)典計算就可以給出輻射功率 再除以每個光子的能量???就給出了光子發(fā)射速??(??→??)= |r|2

然而,為什么在處理自發(fā)輻射的過程中可以用經(jīng)典偶極子的輻射,這一點依舊是不清楚的稍后,Dirac[34]給出了一個盡管不夠直接但更可信的推導(dǎo).他的方法是量子化原子態(tài)在經(jīng)典的振蕩電磁場中的行為,假定電磁場在頻率(1.2.17)處單位頻率間隔的能量密度為??,他可以導(dǎo)出吸收與受激輻射的速率????(??→??)和????(??→??)的:??(??→??)=??(??→??)

|r|2

(注意表達式的右邊關(guān)于態(tài)??和??是對稱的,這是因為r????就是r????*.)Einstein[34a]在1917年已經(jīng)證明了,原子和黑體輻射之間存在熱平衡的可能性賦予了自發(fā)輻射速率??(??→??)吸收速率????一個關(guān)系??(??→??)

(?8π???3 ??(??→??) 在這個關(guān)系中應(yīng)用(1.2.20)就立刻給出Born-Jordan的自發(fā)輻射速率結(jié)果(1.2.19).然而,在推導(dǎo)僅包含單原子過程的中卻需要通過熱力學(xué)進行論證,這一點看起來仍不讓人滿意.最終,在1927年,Dirac[35]可以給出自發(fā)輻射一個完全量子力學(xué)的處理.矢勢A(x,??)像在方程(1.2.2)中那樣按簡正模展開并且它的系數(shù)被證明滿足類似(1.2.6)的對易關(guān)系結(jié)果是自由輻射場的每個態(tài)由一組整數(shù)????標(biāo)記,每個整數(shù)對應(yīng)一個簡正模,而電磁場相互作用??r˙·A采取對簡正模求和的形式,矩陣系數(shù)正比于由方程(1.2.10)—(1.2.13)定義的矩陣????和?????,√的關(guān)鍵結(jié)果是方程(1.2.13)中的因子????+1;簡正模??中的光子數(shù)目????升到????1于這個因子的平方,即????1.但在簡正模??中有????個光子的輻射場中,度??

??(????)

2??2

????×?????所以簡正模??中的自發(fā)輻射速????+1

+1+1第一項被解釋為受激輻射的貢獻,而第二項則被解釋為自發(fā)輻射的貢獻.因此,不借助任何熱力學(xué)討論,Dirac就可以得出如下的結(jié)論,受激輻射的速率????和自發(fā)輻射速率??的比值由Einstein關(guān)系給定,即方程(1.2.21).利用他關(guān)于??的早期結(jié)果(1.2.20),Dirac就能重新導(dǎo)出自發(fā)輻射速率??的Born-Jordan[33](1.2.19).不久之后,利用類似的方法,對于輻射的散射和原子激發(fā)態(tài),Dirac給出了量子力學(xué)處理,[36]V.Weisskopf(維克托·魏斯科普夫)和EugeneWigner(尤金)則對譜線型進行了更細致的研究.[36a]DiracA??0,這個形式不能保證經(jīng)典電磁學(xué)中明顯的Lorentz不變性和規(guī)范不變性.稍后,這些結(jié)果被EnricoFermi(恩里科·費米)[36b]放到了一個更加堅實的基礎(chǔ)上.20世紀30年代的很多物理學(xué)家從Fermi在1932年寫的綜述中學(xué)到了他們的量子電動力學(xué).對??和??或??和??使用對易關(guān)系也為量子理論的Lorentz不變性帶來了問題1928年JordanPauli[37]就已經(jīng)能夠證明不同時空點的場的對易子實際上是Lorentz不變的.(這些對易子將在第5章進行計算在這之后通過一些精巧的思想實驗,Bohr和LeonRosenfeld(利昂·羅森菲爾德)[38]證明了這些對易關(guān)系限制了我被量子化的場是單粒子量子力學(xué)中的波函數(shù),例如電子的Dirac波函數(shù).在這個方向上的第一步看來是Jordan在1927年邁出的.[39]JordanWigner1928年補充了一個基本要素.[40]Pauli??上的????(算上自旋和位置變量)01以外的任何值.因此,電子場不能展開為滿足對易關(guān)系(1.2.10)和(1.2.11)的算符的疊加這是因為這些關(guān)系要求????取從0到的任意整數(shù)值.他們轉(zhuǎn)而認為電子場應(yīng)該展為滿足如下易關(guān)系的算符????,?????的和 ???????+???????=δ???? ????????+????????=0 這個關(guān)系可以被一組矩陣滿足,這些矩陣由一組整數(shù)??1??2···標(biāo)記,每一個整數(shù)對應(yīng)一個簡正模,每個整數(shù)只能取0或1:

0,????1,對于?????,??′??(????)??′,??′,··??

其它情況

1?(???

??′??=0,????=1,對于???=??,??′??=

1????′,??′,··??1

其它情況例如對于單個簡正模我們只有兩行兩列對應(yīng)于????取值01矩陣???? ??=0

???=0 由整數(shù)??1,??2,···表征的列矢量在含義上與玻色子相同,即在簡正模??上有????個量子的態(tài).當(dāng)然,所不同的是,正像Pauli不相容原理要求的那樣由于每個????僅能取值0和1每個簡正模上最多有一個量子.另外,如果簡正模??上已經(jīng)有一個量子,那么????將會湮滅掉這個量子,否則就給出零;同樣地,除非簡正模??上已經(jīng)有一個量子,????上產(chǎn)生一個量子,0在這之后過了很長時間,Fierz(菲爾茲)和Pauli[40a]證明了,選擇對易關(guān)系還是易關(guān)系由粒子的自旋唯一地決定:對于像光子那樣自旋為整數(shù)的粒子必須使用對易子,而對于像電子那樣自旋為半整數(shù)的粒子則必須使用易子.(在第5章將會以一種不同的方式證明它.)量子場的一般理論是Heisenberg和Pauli在1929年的兩篇十分全面的文章中首次他們工作的出發(fā)點是將正則體系應(yīng)用到場本身,而不是場中出現(xiàn)的簡正模的系數(shù).Heisen-berg和Pauli將拉格朗日量??取為對場和場時空導(dǎo)數(shù)的一個定域函數(shù)的空間積分;化時作用量??d??應(yīng)該是穩(wěn)定的這一原理確定;而對易關(guān)系通過一個假設(shè)決定:意場量時間導(dǎo)數(shù)的變分導(dǎo)數(shù),其行為類似于共軛于這個場的“動量”(對于費米場,對易關(guān)系變成反對易關(guān)系).他們同時將這個普遍的形式體系應(yīng)用到電磁場和Dirac場,并探討了各種不變性和守恒律,其中包括荷守恒,動量守恒與能量守恒,以及Lorentz不變性和規(guī)范不變性.Heisenberg-Pauli體系本質(zhì)上與我們第7章中的內(nèi)容是相同的,因此我們現(xiàn)在僅限于討論一個例子,這個例子在本節(jié)后面是有用的.對于一自由復(fù)標(biāo)量場??(??),拉格朗日量取為∫??

??˙???˙???2(???)?·(???)

(?????2~

如果我們使??(??)有一無限小變分????(??) 那么拉格朗日量的變分∫????

??˙?????˙+??˙????˙????2????·????????2???·(?????2

???????

(?????2~

在使用最小作用量原理時,假定了場的變分在時空積分的邊界處為零.因此,在計算作用量??d??的變化時,我們可以直接使用分部積分 ??d??=

(?????–

??+

(?????–

??? 但是由于上式對任意的?????和????都必須為零,所以??必須滿足熟悉的相對論波動 (????? ??=0 ~以及上式的伴隨方程 場??和???的正則共軛“動量”由??對??˙和??˙?的變分導(dǎo)數(shù)確定,我們可??≡????=??˙? ???

這些場變量滿足通常的正則對易關(guān)系 不過克羅內(nèi)克δ-符號要換成- ??(x,??),??(y,??)=???(x,??),???(y,??)=?i~δ3(x?y) ??(x,??),???(y,??)=???(x,??),??(y,??)=0 ??(x,??),??(y,??)=???(x,??),???(y,??)=??(x,??),???(y,=0 ??(x,??),??(y,??)=???(x,??),???(y,??)=??(x,??),???(y,=0對所有的正則動量與相應(yīng)場的時間導(dǎo)數(shù)的積求“和, 再減去拉格朗日量(就像粒子力學(xué)中那樣)就得到這里的哈密頓量: ??

d3??????˙+?????˙?? 或者,利用(1.2.26),(1.2.29)和∫??

d3??

(?2??4??+

·(???)在Heisenberg和Pauli的文章之后,量子場論離它最終的戰(zhàn)前形式只差最后一個要素:負能態(tài)問題的解答.我們在上一節(jié)看到,在1930年,就在Heisenberg-Pauli的文章前后,Dirac已經(jīng)提出了,除了幾個可觀測的空穴外,電子負能態(tài)是被填滿的,而電子負能態(tài)本身無法被觀測.而1932年正電子的發(fā)現(xiàn)似乎鞏固了Dirac的想法,這之后,他的“空穴理論”被用來計算許多過程的最低階微擾,其中包括電子-正電子對的產(chǎn)生和散射.與此同時,大量的工作投入到有明顯Lorentz不變性的形式體系中.最有影響的工作是Dirac,VladimirFock(弗拉基米爾·?？?和BorisPodolsky(鮑里斯·波爾多斯基)[42]的“多時(many-time)”體系,在這系中,態(tài)矢由一波函數(shù)表示,這一波函數(shù)依賴于所有的,無論是正能的還是負能的電子的時空和自旋坐標(biāo).在這個形式體系中,不論是正能電子還是負能電子的總數(shù)都是守恒的例如一個電子-正電子對的產(chǎn)生被描述為負能態(tài)電子到正能態(tài)的激發(fā)而電子和正電子的湮滅被描述成相對應(yīng)的退激發(fā).多時體系的優(yōu)點在于它有明顯的Lorentz不變性,但它也有很多缺點:尤其是在光子的處理與電子和正電子的處理上存在著深刻的差異,光子是用量子化電磁場進行處理的.不是所有的物理學(xué)家覺得這是個缺點;不像電磁場,電子場并沒有一個經(jīng)典極限,所以關(guān)于它的物理意義存在疑問.另外,Dirac[42a]相信場是我們觀測粒子的,所以他不期望粒子和場可以以相同的形式描述.盡管我不知道這在當(dāng)時是否困擾了所有人,但多時體系有一個更實際的缺點:它很難用來描述類似核衰變的過程,在這類過程中,電子和微子的產(chǎn)生并沒有伴隨著正電子或中微子的產(chǎn)生.Fermi[43]對Beta衰變中電子能量分布所做的成功計算算得上是量子Dirac空穴理論與電子的量子場理論之間等效的基本思想是由Fock[43a]以及WendellFur-ry(溫德爾·弗里)和Oppenheimer(奧本海默)[44]在1933—1934年提出并證明的重要概念.為了從一個更現(xiàn)代的觀點這一思想,類比于電磁場或Born-Heisenberg-Jordan場(1.2.2),我們嘗試建立一個電子場.由于電子攜帶電荷,我們不想將湮滅算符和產(chǎn)生算符混在一起,??(??) ????(x)e?i?????????? 其中????(x)e?i??????是Dirac方程(1.1.13)正交平面波解的一個完全集??現(xiàn)在標(biāo)記3-動量,自旋以及能H????=~???????? H≡?i~????·?+??4????2 ∫??????d3??=δ??? ????是相應(yīng)的湮滅算符,它滿足Jordan-Wigner易關(guān)系(1.2.22)—(1.2.23).根據(jù)“二次量子化的思想或Heisenberg和Pauli[41的正則量子化手續(xù),用量子化的場(1.2.37)代替“波函數(shù)”計算出H的“期望值”,從而構(gòu)造出哈密頓量∫??

d3?????H??

~??????????? 問題顯然是這并非一個正定算符——盡管算符???????僅取征值1和0(見方程(1.2.24)和(1.2.25)),但有一半的????是負的.為了克服這個,Furry和Oppenheimer重拾了Dirac的想法,將正電子看成是空缺的負能電子[42];易關(guān)系對于產(chǎn)生和湮滅算符是對稱的,所以,他們將正電子的產(chǎn)生?≡???? ????≡ (對于????< 其中??的指標(biāo)??標(biāo)記的是動量與自旋都與相應(yīng)電子模??相反的正能正電子模.那么,Dirac場可以重寫為

??(??)

∑?

??(??) 其中和(?分別代表對??的求和取遍????>0的簡正模和????<0的簡正模,并且????(??)????(x)e?i??????.類似地,利用??的易關(guān)系,能量算符(1.2.41)重寫其中??0是無限大c

??

∑?

∑?

+??0 ??0=

(?)~|????| 為了使這個新定義不僅僅是形式上的改變, 我們還必須將物理真空指定為不包含正能電子或正電子的態(tài):????Ψ0= (????>0) ??= (????<0) 因此,(1.2.44)所給出的??0正是真空能.如果我們測量的任意能量都是相對于真空能??0的,那么物理的能量算符是?????0;并且方程(1.2.44)表明這是一個正定的算符.1934年,零自旋帶電粒子的負能態(tài)問題也被Pauli和Weisskopf[45]解決了,他們的文章部分是為了負能態(tài)被占滿的Dirac圖景.這時,產(chǎn)生湮滅算符滿足對易關(guān)系而非易關(guān)系,所以費米子那樣自由地轉(zhuǎn)換這些算符的角色是不可能的.取而代之,須要返回到Heisenberg-Pauli正則體系[41]以確定各個簡正模的系數(shù)是產(chǎn)生算符還是湮滅算符.Pauli和Weisskopf在一個空間體積??≡??3的正方體內(nèi)將自由帶荷標(biāo)量場展成了平面波1??(x,??)=

??(k,??i 波數(shù)須滿足周期性邊界條件,即??=123的??????/2π應(yīng)該是三個正整數(shù)或三個負整數(shù).類似地,正1??(x,??)≡√

??(k,ikx k指數(shù)上放進負號是為了使(1.2.29)變成??(k,??)=??˙?(k,??) 逆Fourier變換給 i??(k,??)=√??1??(k,??)=

d????(x, d3????(x,??ex 因此,對于??和??,正則對易關(guān)系(1.2.31)—(1.2.34)給出

?i~??(k,??),??(l,??)

d3??k·el=

kl ??(k,??),???(l,

??=??(k,??),??(l,??)

=??(k,??),???(l,??) =??(k,??),??(l,

=??(k,??),???(l,

= 以及通過取上式的厄米共軛得到的對易關(guān)系.通過將(1.2.48)和(1.2.49)代入哈密頓量的表達式(1.2.36),我們同樣可以將這個算符寫成用??和??的形式:??

∑?

k???(k,??)??(k,??)+??2???(k,??)??(k,k

k其k??2≡k

(?

2

這樣 ??的時間導(dǎo)數(shù)由哈密頓方程給??˙(k,??)=

k=???2???(k, k????(k,(同時也給出了它的伴隨方程),根據(jù)方程(1.2.50),這個方程等價于Klein-Gordon-Schr¨dinger波我們看到,正如Born,Heisenberg和Jordan[4]在1926年使用的模型中那樣,自由場行為類似 Pauli和Weisskopf可以構(gòu)造出滿足對易關(guān)系(1.2.53)—(1.2.54)以及“動方程”(1.2.50)和(1.2.57)的??和??,其方法是引入兩類分別對應(yīng)粒子和反粒子的湮滅產(chǎn)生算符??,??,???,???: ~ ??(k,??)=i ??(k)exp(?i??k??)????(k)exp(i??k??)

??(k,??)其

k??)+???(k)

??(k),???(l)=??(k),???(l)=δkl ??(k),??(l)=??(k),??(l)=0 ??(k),??(l)

??(k),???(l)

=???(k),=???(k),???(l)=0 可以直接驗證這些算符滿足所希望的關(guān)系(1.2.53),(1.2.54),(1.2.50)和(1.2.57).場(1.2.48)可以重 ∑???(x,??)=

~

??(k)exp(ik·x?—???(?k)exp(?ik·x+

∑? ??k

~??k???(k)??(k)+??(k)???(k)+???(k)??(k)+??(k)???(k)或者,利用(1.2.60 ?? ~??k???(k)??(k)+???(k)??(k)+??0 k其中??0是無限大c- ??0 ~??k k存在兩類不同的算符??和??,并且它們在哈密頓量中以精確相同的形式出現(xiàn),這些表明這是一個包含兩種相同質(zhì)量粒子的理論.正如ali和issopf所強調(diào)的,這兩個變量可以看作是粒子和相應(yīng)的反粒子,并且如果它們帶荷,它們會帶相反的荷.因此,正如我們前面所強調(diào)的,零自旋的玻色子和自旋1/2的費米子一樣可以有能夠區(qū)分的反粒子,而這種反粒子不能等效為負能粒子海中的空穴.k現(xiàn)在,我們可以通過取對易關(guān)系在真空態(tài)Ψ0上的期望值來分辨??和??是湮滅算符還是??和??是湮滅算符例如如果???是湮滅算符那么它作用在真空態(tài)上給出0所以(1.2.60)的真空期望值將給k—||??(k)Ψ0||2=0k???Ψ0)?= 這與左邊必須負定相.用這種方法我們可以得出結(jié)論:??k和??k才是湮滅算符,因??(k)Ψ0=k)Ψ=0 這與所有對易關(guān)系均一致.因此,正則體系迫使場(1.2.58)中i??的系數(shù)是產(chǎn)生算符,一如它在自旋1/2的Furry-Oppenheimer體系中所扮演的角色.方程(1.2.64)和(1.2.67)現(xiàn)在告訴我們??0是真空態(tài)的能量.如果我們測量的能量任意都是相對于??0的,那么,物理的能量算符就是?????0,并且(1.2.64)又一次證明它是正定的.那么作為Dirac的出發(fā)點的負幾率問題又該如何處理呢?正如Dirac認識到的,由Klein-Gordon-Schr¨dinger自由標(biāo)量方程(1.2.28)的解構(gòu)成的唯一的幾率密度??滿足一個形如(1.1.10)守恒律

??=2Im

????

因此它不一定是正定的.類似地,在“二次量子化”理論中,??由方程(1.2.64)給定,??不是一個正定算符.由于這里???(??)并不與??˙(??)對易,所以我們可以以不止一種的方式寫出(1.2.68),它們之間相差無限大的c-數(shù);將其寫為如下的形式被證明是方便的??

???

?????

這樣 就能輕松地計算出這個算符的空間積 ∑? ?? ??d3?? ???(k)??(k)? k它顯然會有兩種符號的本征值然而,從某種意義上講,1/2的量子場論中,Dirac場的密度算符?????確實是正定算符,但是為了構(gòu)造物理的密度,我們應(yīng)該扣除已填滿電子態(tài)的貢獻.特別地,利用平面波分解(1.2.43),我們可以將總的數(shù)算符寫為 ?? d3??????? ???(k)??(k) ??(k)???(k) ??的易關(guān)系使得我們可以將其重寫其中??0

???

=(+)=k

(+)–k–

k ??0 1 k根據(jù)方程(1.2.46)和方程(1.2.47),??0是真空中的粒子數(shù),所以Furry和Oppenheimer推斷出物理的數(shù)算符應(yīng)該是?????0,并且,它現(xiàn)在既有負本征值又有征值,和自旋零的情況一樣.對于這個問題,量子場論給出的解答是:無論是Furry和Oppenheimer的??還是Pauli和Wei-sskopf的??,它們都不是用來定義守恒的正幾率密度所需要的幾率振幅.作為替代,張開物理Hilbert空間的態(tài)定義為每個模中包含確定數(shù)目的粒子和(或)反粒子的態(tài).如果Φ??是這種態(tài)的正交完全集,那么測量任意態(tài)Ψ下的粒子數(shù)所得到的是發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)處在Φ??態(tài)的幾率,形如????=|(Φ??,Ψ)|2 其中(Φ??,Ψ)是通常的Hilbert空間標(biāo)量積.因此,對任何自旋都不會出現(xiàn)負幾率的問題.波場????等根本不是幾率密度,而是在不同簡正模下產(chǎn)生或湮滅粒子的算符.如果“二次量子化”這個引起誤解的表述被永久地放棄,那將是一件好事.特別的,方程1.2.70)和(1.2.71的算符??和?????0并不解釋成總幾率,而是解釋成數(shù)算符:再明確些,就是粒子數(shù)與反粒子數(shù)之差.對于帶荷粒子,荷的守恒迫使荷算符正比于這些數(shù)算符,所以(1.2.70)和1.2.71)中的減號使得我們立即推斷出粒子和反粒子具有相反的荷.在場論體系中,相互作用對哈密頓量的貢獻項是場變量的三階,四階或者更高階項,而不同過程的速率則通過在含時微擾論中使用這些相互作用算符給出.以上簡論中描述的概念框架將是本書絕大多數(shù)工作的基礎(chǔ).盡管有如此明顯的優(yōu)點,量子場論并沒有立即取代空穴理論;相反,在一段時期內(nèi)這兩種觀點共存,并且場論思想和空穴理論思想的各種結(jié)合被用來計算物理反應(yīng)速率.在這個時期,對于許多過程的截面,計算精確到了按??2冪次展開的最低階,例如,1929年,Klein和Nishina(仁科)給出了????→???+??;[46]1930年,Dirac給出了??++???→2??;[47]1932年,M?ller穆勒)給出了???+???→???+???;[48]1934年,Bethe(貝特)和Heitler(海)給出了???+??→??????????→??+????(其中??代表重原子的庫侖場);[49]1936年Bhabha(巴巴)給出了?????????.[50(這些過程的計算規(guī)則在第8章給出并且在那里會給出電子-光子散射過程的詳細推導(dǎo).)這些最低階的計算給出了有限的結(jié)果,與實驗數(shù)據(jù)基本吻合然而,對量子場論的不滿(無論是否以空穴理論的形式)持續(xù)了整個20世紀30年代.其中的一個原因是量子電動力學(xué)對宇宙射線簇射中帶電粒子能力的解釋明顯是錯誤的,這一現(xiàn)象是Oppenheimer和rnlinCls(富蘭克林·卡爾森[a]在1936年注意到的.另一個不滿意的原因是新粒子和新相互作用的連續(xù)發(fā)現(xiàn),而這個現(xiàn)象后來發(fā)現(xiàn)也與第一個相關(guān).我們已經(jīng)提到的有:電子,光子,正電子,中微子,當(dāng)然,還有氫原子的核——質(zhì)子.貫穿20世紀20年代始終,大家普遍相信重核是由質(zhì)子和電子構(gòu)成的,但是很難理解像電子這樣的輕粒子是如何被禁閉在核內(nèi)的.這一圖景的又一嚴重是Ehefst和Oppenheimer在1931年的:[1]對于普通氮元素的核N4,為了使它有原子數(shù)7和原子量14,氮核就必須由14個質(zhì)子和7個電子構(gòu)成,所以只能是一個費米子,但是分子光譜表明14是玻色子,[2]這兩個結(jié)果相.由于在1932年發(fā)現(xiàn)了中子,5]并且隨后Hisnberg提議[4]核是由質(zhì)子和中子而非質(zhì)子和電子組成,這個問題(以及其他問題)被解決了.當(dāng)時便清楚了,原子核是由一個很強的非電磁的短程力將中子和質(zhì)子聚在一起而形成的.在??-衰變的Fermi理論成功之后,幾位學(xué)者[54a]推測這個理論中的核