數(shù)列求和的常用方法

數(shù)列求和的常用方法1．直接法：直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。（1）等差數(shù)列的求和公式：Snn(a1an)na1n(n1)d22na1(q1)（2）等比數(shù)列的求和公式Sna1(1qn)(q1)（切記：公比含字母時(shí)一定要討論）1qnk2122232n2n(n1)(2n1)2．公式法：k16nk3132333n3n(n1)2k123．錯(cuò)位相減法：比如an等差,bn等比,求a1b1a2b2anbn的和.求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1①解：由題可知，{(2n1)xn1}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n－1}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{xn1}的通項(xiàng)之積設(shè)xSn1x3x25x37x4(2n1)xn②（設(shè)制錯(cuò)位）①--②得:(1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn（錯(cuò)位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得：(1x)Sn12x1xn1(2n1)xn1x∴Sn(2n1)xn1(2n1)xn(1x)(1x)2練習(xí)1：（07高考全國(guó)Ⅱ文21）設(shè){a}是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且nna1b11，a3b521，a5b313（Ⅰ）求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn．bn14．裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差、正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)。常見拆項(xiàng)公式：11)11；11(11)n(nnn1n(n2)2nn2(2n11)1(111)；nn!(n1)!n!1)(2n22n2n1例：求數(shù)列1,1,,1,的前n項(xiàng)和.12nn231解：設(shè)an1n1n（裂項(xiàng)）nn1則Sn111（裂項(xiàng)求和）1223nn1＝(21)(32)(n1n)＝n11練習(xí) 2：（06湖北卷理 17）已知二次函數(shù) y f(x)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)6x2，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n,S)(nN)均在函數(shù)yf(x)的圖像n上。（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn1是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得TnmN都成立的，Tn對(duì)所有nanan120最小正整數(shù)m；5.倒序相加法求和求證：Cn0 3C1n 5Cn2 (2n 1)Cnn (n 1)2n思路分析：由 Cnm Cnnm可用倒序相加法求和。證：令Sn Cn0 3Cn1 5Cn2 (2n 1)Cnn (1)2則Sn(2n1)Cnn(2n1)Cnn15Cn23Cn1Cn0(2)CnmCnnm(1)(2)有:2Sn(2n2)Cn0(2n2)Cn1(2n2)Cn2(2n2)CnnSn(n1)[Cn0Cn1Cn2Cnn](n1)2n等式成立練習(xí)3：求sin21sin22sin23sin288sin289的值.答案練習(xí)1：解：（Ⅰ）設(shè)a的公差為d，b的公比為q，nn則依題意有q12dq421，0且q214d13，解得d2，q2．所以1(1)21，n1n1．a(chǎn)nndnbnq2（Ⅱ）an2n1bn2n1．Sn1352n32n11222n22n1，①22Sn2352n32n122n32n2，②②-①得Sn222222n12222n22n111112n112n12n3221222n162222n22n112n12n1．12小結(jié)：錯(cuò)位相減法的求解步驟：①在等式兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列 cn的公比q；②將兩個(gè)等式相減；③利用等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和的公式求和.練習(xí)2：解：（Ⅰ）設(shè)這二次函數(shù) f(x)＝ax2+bx(a≠0),則f`(x)=2ax+b, 由于f`(x)=6x2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因?yàn)辄c(diǎn)(n,S)(nN)均在函數(shù)yf(x)的圖像上，所以Sn＝3n2－2n.n3當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－31)22(n1)＝6n－5.（n112n（nN）當(dāng)n＝1時(shí)，a＝S＝3×1－2＝6×1－5，所以，a＝6n－5bn33111)，（Ⅱ）由（Ⅰ）得知anan1＝＝((6n5)6(n1)526n56n1n11111111故T＝bi＝)（1－）.n277136n56n126n1i1因此，要使1（1－1）<m（nN）成立的m,必須且僅須滿足1≤m，即m≥26n12022010，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.ann1評(píng)析：一般地，若數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項(xiàng)也不為0，則求和：i1aiai1n1n111)則n1111)n。下列求和：首先考慮(ai1=(an1a1an1i1aiai1i1daii1aiai1da1n

1也可用裂項(xiàng)求和法。i1 ai ai1練習(xí)3：解：設(shè)Ssin21sin22sin23sin288sin289①.將①式右邊反序得Ssin289sin288222sin3sin2si