留數(shù)的概念及留數(shù)的求法演示

（優(yōu)選）留數(shù)的概念及留數(shù)的求法當(dāng)前1頁，總共24頁。第六章留數(shù)理論及其應(yīng)用§6.1留數(shù)§6.2用留數(shù)定理計算實積分§6.3輻角原理及其應(yīng)用當(dāng)前2頁，總共24頁。1.留數(shù)的定義及留數(shù)定理

設(shè)函數(shù)f(z)在點a解析.作圓C:|z–a|=r

設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域0<|z-a|<R內(nèi)解析.選取r，使0<r<R，并且作圓C:|z–a|=r

如果f(z)在a也解析，則上面的積分也等于零；使f(z)在以它為邊界的閉圓盤上解析，那么根據(jù)柯西積分定理§6.1留數(shù)當(dāng)前3頁，總共24頁。

如果a是f(z)的孤立奇點，則上述積分就不一定等于零.

定義6.1設(shè)f(z)在點a的某去心鄰域0<|z–a|<R內(nèi)解析，則稱積分為f(z)在孤立奇點a的留數(shù)(residue)，記作當(dāng)前4頁，總共24頁。而且這一展式在Γ上一致收斂。逐項積分，我們有因此

注1.我們定義的留數(shù)與圓Γ的半徑ρ無關(guān)：事實上，在0<|z-a|<R內(nèi)，f(z)有洛朗展式：當(dāng)前5頁，總共24頁。

注2.f(z)在孤立奇點a的留數(shù)等于其洛朗級數(shù)展式中

的系數(shù)c-1

。

注3.如果a是f(z)的可去奇點，那么當(dāng)前6頁，總共24頁?？挛髁魯?shù)定理

定理6.1如果f(z)在周線或復(fù)周線C所圍的區(qū)域D內(nèi)，除a1，a2，…，an外解析，在閉域D+C上除a1，a2，…，an外連續(xù)，則當(dāng)前7頁，總共24頁。當(dāng)前8頁，總共24頁。留數(shù)定理的證明

以D內(nèi)每一個孤立奇點ak為心，作圓Γk，使以它為邊界的閉圓盤上每一點都在D內(nèi)，并且使任意兩個這樣的閉圓盤彼此無公共點。從D中除去以這些Γk為邊界的閉圓盤的一個區(qū)域G，其邊界是C以及Γk.

在G及其邊界所組成的閉區(qū)域上，f(z)解析。因此根據(jù)柯西定理，當(dāng)前9頁，總共24頁。

注1.留數(shù)定理在兩個完全不同，也不相干的概念之間架起了一座橋梁.

注2.具體計算一定要注意前面的系數(shù)2πi.

注3.柯西積分定理與柯西積分公式都是柯西留數(shù)定理的特殊情形.

注4.留數(shù)定理把計算周線積分的整體問題化為計算各孤立奇點處的留數(shù)的局部問題.當(dāng)前10頁，總共24頁。

2.留數(shù)的求法

計算f(z)在孤立奇點a的留數(shù)時，我們只關(guān)心其洛朗級數(shù)展式中的洛朗系數(shù)c-1，應(yīng)用洛朗級數(shù)是求留數(shù)的一般方法.但是對于奇點較多的情形此法較繁.

對于計算f(z)在極點a處的留數(shù)時，我們有下面的定理：當(dāng)前11頁，總共24頁。

定理6.2設(shè)a為f(z)的n階極點，當(dāng)前12頁，總共24頁。

推論6.3設(shè)a為f(z)的二階極點，

定理6.2的結(jié)論也可寫成

推論6.3設(shè)a為f(z)的一階極點，當(dāng)前13頁，總共24頁。

定理6.5設(shè)a為的一階極點.

其中P(z)及Q(z)在a解析，P(a)≠0，Q(a)=0.當(dāng)前14頁，總共24頁。例1.

函數(shù)因此有兩個一階極點z=±i，這時當(dāng)前15頁，總共24頁。例2.函數(shù)在z=0有三階極點，而因此由上述公式也可得：當(dāng)前16頁，總共24頁。例3.函數(shù)在z=i有二階極點.這時令z=i+t，那么在的泰勒展式中，t的系數(shù)就是f(z)在z=i處的留數(shù)。寫出h(t)中每個因子的到t的一次項，我們有：當(dāng)前17頁，總共24頁。當(dāng)|t|<1時,因此當(dāng)|t|<1時，于是當(dāng)前18頁，總共24頁。由上述公式也可得：當(dāng)前19頁，總共24頁。例6.3計算積分.

解只以z=0為三階極點.當(dāng)前20頁，總共24頁。例6.4計算積分.

解法一當(dāng)前21頁，總共24頁。例6.4計算積分.解法二的全部零點為

在|z|=1內(nèi)只有z=0一個零點.且為被積函數(shù)的一階極點.

當(dāng)前22頁，總共24頁。例6.5