理論力學(xué)第十二章壓桿穩(wěn)定

第二章中，軸向拉、壓桿的強(qiáng)度條件為例如：一長(zhǎng)為300mm的鋼板尺，橫截面尺寸為20mm

1mm.鋼的許用應(yīng)力為[]=196MPa.按強(qiáng)度條件計(jì)算得鋼板尺所能承受的軸向壓力為[F]=A[]=3.92kN§12–1概述

實(shí)際上，其承載能力并不取決軸向壓縮的抗壓強(qiáng)度，而是與受壓時(shí)變彎有關(guān).當(dāng)加的軸向壓力達(dá)到40N時(shí)，鋼板尺就突然發(fā)明顯的彎曲變形，喪失了承載能力.一、引言當(dāng)前1頁，總共73頁。(a)(b)(a):木桿的橫截面為矩形（12cm),

高為3cm，當(dāng)荷載重量為6kN

時(shí)桿還不致破壞。(b):木桿的橫截面與(a)相同，高為1.4m(細(xì)長(zhǎng)壓桿），當(dāng)壓力為0.1KN時(shí)桿被壓彎，導(dǎo)致破壞。

(a)和(b)竟相差60倍，為什么？

細(xì)長(zhǎng)壓桿的破壞形式：突然產(chǎn)生顯著的彎曲變形而使結(jié)構(gòu)喪失工件能力，并非因強(qiáng)度不夠，而是由于壓桿不能保持原有直線平衡狀態(tài)所致。這種現(xiàn)象稱為穩(wěn)定性破壞。當(dāng)前2頁，總共73頁。

工程中有些構(gòu)件具有足夠的強(qiáng)度、剛度，卻不一定能安全可靠地工作.構(gòu)件的承載能力①?gòu)?qiáng)度②剛度③穩(wěn)定性當(dāng)前3頁，總共73頁。當(dāng)前4頁，總共73頁。二、工程實(shí)例翻斗車液壓桿當(dāng)前5頁，總共73頁。內(nèi)燃機(jī)、空氣壓縮機(jī)的連桿當(dāng)前6頁，總共73頁。高層建筑當(dāng)前7頁，總共73頁。高架鐵路橋當(dāng)前8頁，總共73頁。案例1上世紀(jì)初，享有盛譽(yù)的美國(guó)橋梁學(xué)家?guī)彀兀ㄔ谑趥愃购由辖ㄔ炜瓤舜髽?907年8月29日，發(fā)生穩(wěn)定性破壞，85位工人死亡，成為上世紀(jì)十大工程慘劇之一.三、失穩(wěn)破壞案例當(dāng)前9頁，總共73頁。案例22000年10月25日上午10時(shí)南京電視臺(tái)演播中心由于腳手架失穩(wěn)造成屋頂模板倒塌，死6人，傷34人.研究壓桿穩(wěn)定性問題尤為重要當(dāng)前10頁，總共73頁。四、平衡的穩(wěn)定性平衡物體在其原來平衡狀態(tài)下抵抗干擾的能力。穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡（臨界狀態(tài)）1、小球平衡的三種狀態(tài)當(dāng)前11頁，總共73頁。穩(wěn)定平衡當(dāng)前12頁，總共73頁。不穩(wěn)定的平衡當(dāng)前13頁，總共73頁。臨界狀態(tài)當(dāng)前14頁，總共73頁。2、對(duì)于細(xì)長(zhǎng)壓桿：（1）當(dāng)F小于某一臨界值Fcr，撤去橫向力后，桿的軸線將恢復(fù)其原來的直線平衡狀態(tài)，壓桿在直線狀態(tài)下的平衡是穩(wěn)定平衡。

當(dāng)前15頁，總共73頁。（2）當(dāng)F增大到一定的臨界值Fcr，撤去橫向力后，桿的軸線將保持微彎的平衡狀態(tài)，而不再恢復(fù)其原來的直線平衡狀態(tài)，壓桿在原來直線形態(tài)下的平衡是

不穩(wěn)定平衡。當(dāng)前16頁，總共73頁。壓桿喪失其直線狀態(tài)下的平衡而過度為曲線平衡，稱為喪失穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱失穩(wěn)，也稱屈曲。

（3）當(dāng)軸向壓力超過臨界壓力時(shí)，壓桿將失穩(wěn)破壞。當(dāng)前17頁，總共73頁。

穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡（臨界狀態(tài)）受壓直桿平衡的三種形式當(dāng)前18頁，總共73頁。結(jié)論—穩(wěn)定平衡狀態(tài)

—臨界平衡狀態(tài)

—不穩(wěn)定平衡狀態(tài)

關(guān)鍵確定壓桿的臨界力

Fcr穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡臨界狀態(tài)臨界壓力:Fcr過度對(duì)應(yīng)的壓力當(dāng)前19頁，總共73頁。其它構(gòu)件失穩(wěn)當(dāng)前20頁，總共73頁。假定壓力以達(dá)到臨界值，桿已經(jīng)處于微彎狀態(tài)且服從虎克定律，如圖，從撓曲線入手，求臨界力。①、彎矩：②、撓曲線近似微分方程：EIFkcr=2:令xwFcrFcrMwxwFcrFcrL1、兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力§12–1壓桿臨界荷載的歐拉公式當(dāng)前21頁，總共73頁。③、微分方程的解：④、確定微分方程常數(shù)：臨界力F

cr是微彎下的最小壓力，故，只能取n=1；且桿將繞慣性矩最小的軸彎曲。（n=0、1、2、3……）——兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷的計(jì)算公式：歐拉公式當(dāng)前22頁，總共73頁。當(dāng)時(shí)，撓曲線方程為撓曲線為半波正弦曲線.當(dāng)前23頁，總共73頁。2其他支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力兩端鉸支一端自由，一端固定一端鉸支，一端固定兩端固定其他約束類型：當(dāng)前24頁，總共73頁。Fcrl兩端鉸支當(dāng)前25頁，總共73頁。一端自由，一端固定lFcr2l當(dāng)前26頁，總共73頁。兩端固定lFcrl/4l/4l/2l當(dāng)前27頁，總共73頁。一端鉸支，一端固定Fcrl0.3l0.7l當(dāng)前28頁，總共73頁。臨界載荷歐拉公式的一般形式:一端自由，一端固定:

＝2.0一端鉸支，一端固定:

＝0.7

兩端固定:

＝0.5

兩端鉸支:

＝1.0當(dāng)前29頁，總共73頁。兩端鉸支一端固定，另一端鉸支兩端固定一端固定，另一端自由表9-1各種支承約束條件下等截面細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式

支承情況臨界力的歐拉公式長(zhǎng)度系數(shù)

=1=0.7=0.5=2當(dāng)前30頁，總共73頁。5.討論為長(zhǎng)度系數(shù)

l為相當(dāng)長(zhǎng)度（1）相當(dāng)長(zhǎng)度l的物理意義壓桿失穩(wěn)時(shí)，撓曲線上兩拐點(diǎn)間的長(zhǎng)度就是壓桿的相當(dāng)長(zhǎng)度l.

l是各種支承條件下，細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)時(shí)，撓曲線中相當(dāng)于半波正弦曲線的一段長(zhǎng)度.綜上所述：其它桿端約束條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力的一般形式:當(dāng)前31頁，總共73頁。zyx取Iy，Iz中小的一個(gè)計(jì)算臨界力.若桿端在各個(gè)方向的約束情況不同（如柱形鉸），應(yīng)分別計(jì)算桿在不同方向失穩(wěn)時(shí)的臨界壓力.I為其相應(yīng)中性軸的慣性矩.即分別用Iy，Iz

計(jì)算出兩個(gè)臨界壓力.然后取小的一個(gè)作為壓桿的臨界壓力.（2）橫截面對(duì)某一形心主慣性軸的慣性矩I若桿端在各個(gè)方向的約束情況相同（如球形鉸等），則I應(yīng)取最小的形心主慣性矩.當(dāng)前32頁，總共73頁。歐拉臨界力公式中的Imin

如何確定？當(dāng)前33頁，總共73頁。當(dāng)前34頁，總共73頁。當(dāng)前35頁，總共73頁。例圖示各桿材料和截面均相同，試問哪一根桿能承受的壓力最大，哪一根的最??？aP(1)P1.3a(2)P(3)1.6a因?yàn)橛挚芍?）桿承受的壓力最小，最先失穩(wěn)；（3）桿承受的壓力最大，最穩(wěn)定。當(dāng)前36頁，總共73頁。例：圖示細(xì)長(zhǎng)圓截面連桿，長(zhǎng)度，直徑,材料為Q235鋼，E＝200GPa.試計(jì)算連桿的臨界載荷Fcr

.解：1、細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷2、從強(qiáng)度分析當(dāng)前37頁，總共73頁。壓桿受臨界力Fcr作用而仍在直線平衡形態(tài)下維持不穩(wěn)定平衡時(shí)，橫截面上的壓應(yīng)力可按=F/A計(jì)算.

§12-3臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖

一、臨界應(yīng)力歐拉公式臨界應(yīng)力按各種支承情況下壓桿臨界力的歐拉公式算出壓桿橫截面上的應(yīng)力為當(dāng)前38頁，總共73頁。i

為壓桿橫截面對(duì)中性軸的慣性半徑.稱為壓桿的柔度（長(zhǎng)細(xì)比），集中地反映了壓桿的長(zhǎng)度l和桿端約束條件、截面尺寸和形狀等因素對(duì)臨界應(yīng)力的影響.越大，相應(yīng)的cr越小，壓桿越容易失穩(wěn).令令則則若壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)的支承約束條件不同，應(yīng)分別計(jì)算在各平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)的柔度，并按較大者計(jì)算壓桿的臨界應(yīng)力cr。當(dāng)前39頁，總共73頁。（細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界柔度）例：Q235鋼，二、歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍:，稱大柔度桿（細(xì)長(zhǎng)壓桿）當(dāng)前40頁，總共73頁。1、大柔度桿（細(xì)長(zhǎng)壓桿）采用歐拉公式計(jì)算。2：中柔度桿（中長(zhǎng)壓桿）采用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算。——直線型經(jīng)驗(yàn)公式臨界壓力：臨界壓應(yīng)力：材料a(MPa)b(MPa)硅鋼5773.7410060鉻鉬鋼9805.29550硬鋁3722.14500鑄鐵331.91.453松木39.20.19959是與材料性能有關(guān)的常數(shù)。直線公式適合合金鋼、鋁合金、鑄鐵與松木等中柔度壓桿。當(dāng)前41頁，總共73頁。3：小柔度桿（短粗壓桿）只需進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。三、臨界應(yīng)力總圖：臨界應(yīng)力與柔度之間的變化關(guān)系圖。slPl細(xì)長(zhǎng)壓桿?！本€型經(jīng)驗(yàn)公式中柔度桿粗短桿大柔度桿當(dāng)前42頁，總共73頁。細(xì)長(zhǎng)桿—發(fā)生彈性屈曲(p)中長(zhǎng)桿—發(fā)生彈塑性屈曲(s<p)粗短桿—不發(fā)生屈曲，而發(fā)生屈服(<s)粗短桿中長(zhǎng)桿細(xì)長(zhǎng)桿當(dāng)前43頁，總共73頁。中柔度桿——拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式是與材料性能有關(guān)的常數(shù)。拋物線公式適合于結(jié)構(gòu)鋼與低合金鋼等制做的中柔度壓桿。四、注意問題：1、計(jì)算臨界力、臨界應(yīng)力時(shí)，先計(jì)算柔度，判斷所用公式。2、對(duì)局部面積有削弱的壓桿，計(jì)算臨界力、臨界應(yīng)力時(shí)，其截面面積和慣性距按未削弱的尺寸計(jì)算。但進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)需按削弱后的尺寸計(jì)算。當(dāng)前44頁，總共73頁。例：如圖所示圓截面壓桿，E=210GPa，σp=200MPa，σs=235MPa,σcr=310-1.12λ(MPa)

1.分析哪一根壓桿的臨界載荷比較大；2.已知：d=160mm。求：二桿的臨界載荷

=l/i,a=（1×5）/（d/4）=20/d,b=（0.5×9）/（d/4）=18/d.解：1、判斷臨界荷載大小a＞bFcra

＜Fcrb9m當(dāng)前45頁，總共73頁。a=20/d＝20/0.16=125＞λp,屬于細(xì)長(zhǎng)桿b=18/d＝18/0.16=112.5>λp，屬于細(xì)長(zhǎng)桿2、計(jì)算各桿臨界力的大小當(dāng)前46頁，總共73頁。Fcr——壓桿的臨界壓力nst——壓桿的穩(wěn)定安全系數(shù)壓桿穩(wěn)定條件：

§12-4壓桿穩(wěn)定計(jì)算與合理設(shè)計(jì)F——實(shí)際工作壓力n—工作安全因數(shù)nst—規(guī)定安全因數(shù)1、安全系數(shù)法:壓桿的穩(wěn)定計(jì)算通常采用安全因數(shù)法和折減系數(shù)法。穩(wěn)定性校核和確定許可荷載用安全因數(shù)法比較方便，截面設(shè)計(jì)用折減系數(shù)法比較方便

當(dāng)前47頁，總共73頁。穩(wěn)定計(jì)算步驟（1）計(jì)算最大的柔度系數(shù)max；

（2）根據(jù)max選擇公式計(jì)算臨界應(yīng)力；（3）根據(jù)穩(wěn)定性條件，判斷壓桿的穩(wěn)定性或確定許可載荷.當(dāng)前48頁，總共73頁。例題9-4：空壓機(jī)活塞桿由45＃制成。s＝350MPa，p＝280MPa，E＝210GPa。L＝703mm，d＝45mm，F(xiàn)max＝41.6kN，規(guī)定安全系數(shù)nst＝8～10。試校核其穩(wěn)定性?！钊麠U兩端為鉸支，＝1。當(dāng)前49頁，總共73頁。中柔度桿，所以用直線公式，查表a＝461MPa，b＝2.568MPa。當(dāng)前50頁，總共73頁。當(dāng)前51頁，總共73頁。當(dāng)前52頁，總共73頁。當(dāng)前53頁，總共73頁。當(dāng)前54頁，總共73頁。2、折減系數(shù)法:－許用應(yīng)力；－折減系數(shù)，與壓桿的柔度和材料有關(guān)。此方法涉及規(guī)范較多，需查表。當(dāng)前55頁，總共73頁。例：一等直壓桿長(zhǎng)L=3.4m，A=14.72cm2，I=79.95cm4，E=210GPa，F(xiàn)=60kN，材料為A3鋼，兩端為鉸支座。試進(jìn)行穩(wěn)定校核。1、nst=2；2、〔σ〕=140MPa解：1、安全系數(shù)法：當(dāng)前56頁，總共73頁。2、折減系數(shù)法查表——λ=140，φ=0.349；λ=150，φ=0.306。當(dāng)前57頁，總共73頁。例：圖示起重機(jī)，AB桿為圓松木，長(zhǎng)L=6m，[]=11MPa，直徑為：d=0.3m，試求此桿的許用壓力。（xy面兩端視為鉸支；xz

面一端視為固定，一端視為自由）解：折減系數(shù)法1、最大柔度xy面內(nèi)，z=1.0AF1BWF2xyzozy面內(nèi)，y

=2.0當(dāng)前58頁，總共73頁。2、求折減系數(shù)3、求許用壓力當(dāng)前59頁，總共73頁。例一連桿尺寸如圖，材料為A3鋼，承受的軸向壓力為P=120KN，取穩(wěn)定安全系數(shù)nw=2，校核連桿的穩(wěn)定性。在xy面內(nèi)失穩(wěn)連桿兩端為絞支，長(zhǎng)度l=940。在xz面內(nèi)失穩(wěn)近似兩端固定，長(zhǎng)度l1=880。zyxb=25h=60當(dāng)前60頁，總共73頁。在xy面內(nèi)失穩(wěn)連桿兩端為絞支，長(zhǎng)度l=940。zyxb=25h=60解：(1)求柔度當(dāng)前61頁，總共73頁。在xz面內(nèi)失穩(wěn)近似兩端固定，長(zhǎng)度l1=880。zyxb=25h=60桿在xz面內(nèi)先失穩(wěn)，應(yīng)用