某中學(xué)高考數(shù)學(xué)立體幾何題

.、二面角a-/-〃是直二面角，4ea,Bep,設(shè)直線AB與a、/所成的角分別為/I和N2,則

(A)Zl+Z2=90°(B)Zl+Z2^90°(C)Zl+Z2<90°(D)Zl+Z2<90°

解析：C

如圖所示作輔助線，分別作兩條與二面角的交線垂直的線，則/I和N2分別為直線

AB與平面夕所成的角。根據(jù)最小角定理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成的?

切角中最小的角ZABO>Z2ZABO+Z1=90°,Z2+Z1<90°

2.卜?列各圖是正方體或正四面體，P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)中不年畫的一個(gè)圖是

(A)(B)(C)(D)

解析：A項(xiàng)：PS底面對(duì)應(yīng)的中線，中線平行QS,PQRS是個(gè)梯形

C項(xiàng)：是個(gè)平行四邊形

D項(xiàng)：是異面直線。

3.有三個(gè)平面a,8,Y,下列命題中正確的是

(A)若a,￡,r兩兩相交，則有三條交線(B)若aJ_￡,a±r,則￡〃r

(C)若aJ_r,8Ca=a,PAy=b,貝Ua_Lb(D)若a〃￡,nr=0,貝UaAy=0

D

解析：A項(xiàng)：如正方體的一個(gè)角，三個(gè)平面相交，只有一條交線。

B項(xiàng)：如正方體的一個(gè)角，三個(gè)平面互相垂直，卻兩兩相交。

C項(xiàng)：如圖

4.如圖所示，在正方體ABCD-AiBiQDi的側(cè)面AB1內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P到直線A8與直線81G的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P所在

曲線的形狀為

坐標(biāo)系畫圖時(shí)可以以點(diǎn)&B的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。

5.在正方體A8C。一481GD1中與AD1成60°角的面對(duì)角線的條數(shù)是

(A)4條(B)6條(C)8條(D)10條

C

解析:這樣的直線有4條，另外,

8條。

6.設(shè)A,B,C,。是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足而元?而=0,,貝必88是

（A）鈍角三角形（B）直角三角形（C）銳角三角形（D）不確定

C

解析：假設(shè)AB為a,AD為b,AC為c,且Q>b>C貝U,BD=J"+/，CD=Jc?+/,BC=J/如圖

>o.-./OCB最大角為銳角。所以△BC。是銳角三角

7.設(shè)a、b是兩條不同的直線，a、B是兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題)

①若aA.b,a1.a,^\b〃a②若a〃a,a1則a-L0

③a±p,a1〃，則a〃a④若a_L仇aa,匕_L民則a_L￡

其中正確的命題的個(gè)數(shù)是()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

B解析：注意①中b可能在a上；③中a可能在a上；④中b〃a,或6€￡均有&_1_/7,

故只有?個(gè)正確命題

8.如圖所示，已知正四棱錐S—ABCD側(cè)棱長(zhǎng)為后，底

面邊長(zhǎng)為百，E是SA的中點(diǎn)，則異面直線BE與SC

所成角的大小為（）

9.對(duì)于平面M與平面N,有下列條件:①M(fèi)、N都垂直于平面Q;②M、N都平行于平面Q;③M內(nèi)不共線的三

點(diǎn)到N的距離相等;④/,M內(nèi)的兩條直線,且/〃M,m〃N;⑤/,m是異面直線，且/〃M,m//M;///N,m//N,則

可判定平面M與平面N平行的條件的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2

只有②、⑤能判定乂〃M選B

10.已知正三棱柱ABC—A1B1Q中，AiBlCBp則A】B與ACi

所成的角為

（A）45°（B）60°

(C)90°(D)120°

C解析：作CD_LAB于D,作CiDi_LAiBi于Di，連B]D、AD]，易知ADBQi是平行四邊形，由三垂線定理得A$_LACi，

選Co

11.正四面體棱長(zhǎng)為1,其外接球的表面積為

/T35

A.J3nB.—nC.—"D.3〃

22

解析：正四面體的中心到底面的距離為高的皿。（可連成四個(gè)小棱錐得證

12.設(shè)有如下三個(gè)命題：甲：相交直線/、m都在平面a內(nèi)，并且都不在平面B內(nèi)；乙：直線/、m中至少有一條與

平面B相交；丙：平面a與平面B相交.

當(dāng)甲成立時(shí),

A.乙是丙的充分而不必要條件B.乙是丙的必要而不充分條件

C.乙是丙的充分且必要條件D.乙既不是丙的充分條件又不是丙的必要條件

解析：當(dāng)甲成立，即“相交直線2、m都在平面a內(nèi)，并且都不在平面6內(nèi)”時(shí)，若“/、m中至少有一條與平面B

相交”，則“平面a與平面6相交.”成立；若“平面a與平面|3相交”，則“/、m中至少有一條與平面B相交”也

成立.選（C）.

13.已知直線m、n及平面a,其中m〃/7,那么在平面a內(nèi)到兩條直線m、n距離相等的點(diǎn)的集合可能是：（1）一

條直線；（2）一個(gè)平面；（3）一個(gè)點(diǎn)；（4）空集.其中正確的是.解析：（1）成立，如m、n都在

平面內(nèi)，則其對(duì)稱軸符合條件；（2）成立，m、"在平面a的同一側(cè)，且它們到a的距離相等，則平面a為所求，

（4）成立，當(dāng)m、n所在的平面與平面a垂直時(shí)，平面a內(nèi)不存在到m、n距離相等的點(diǎn)

14.空間三條直線互相平行，由每?jī)蓷l平行線確定一個(gè)平面,則可確定平面的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.1或2C.1或3D.2或3

解析：C如三棱柱的三個(gè)側(cè)面。

15.若a、8為異面直線，直線c〃a,則c與b的位置關(guān)系是()

A.相交B.異面C.平行D.異面或相交解析：D如正方體的棱長(zhǎng)。

16.在正方體AiBiCjDj—ABCD中，AC與BQ所成的角的大小為（）

A.根據(jù)三垂線定理可得。

17.如圖，點(diǎn)P、Q、R、S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的一

個(gè)圖是（）

_________PP

(A)(C)(D)

解析：CA,B選項(xiàng)中的圖形是平行四邊形，而D選項(xiàng)中可見圖:

18.如圖，是一個(gè)無(wú)蓋正方體盒子的表面展開圖，A、B、C為其上的三個(gè)點(diǎn)，則在正方體盒子中，NABC等于

()

A.45°B.60°

C.90°D.120°

A

解析：B如圖

★右圖是一個(gè)正方體的展開圖，在原正方體中，有下列命題:

①AB與CD所在直線垂直；②CD與EF所在直線平行

③AB與MN所在直線成60°角;@MN與EF所在直線異面

其中正確命題的序號(hào)是()

A.①③B.①④C.②③D.③④

解析：D

ADB

19.線段0A,OB,。，不共面,4A0B=4BOO4COA=60°,614=1,0B=2,心3,則是

()

A.丁邊三角形B「等邊的等腰三角形

C.銳角三角形D.鈍角三角形

解析：B.設(shè)AC=x,AB=y,BC=z,由余弦定理知：x=l2+3"-3=7,六l'+22-2=3,z2=22+32-6=7(>

△/叱是不等邊的等腰三角形，選（皮.

7T

20.若a,b,/是兩兩異面的直線，a與，所成的角是一,/與a、/與8所成的角都是a,

3

則。的取值范圍是()

.%5乃、,7171、,715兀、,兀71、

A[5]

-6TB-c?3不D-[?'1]

解析：D

TT

解當(dāng)/與異面直線a,。所成角的平分線平行或重合時(shí)，a取得最小值一，當(dāng)/與a、6的公垂線平行時(shí)，a取得最

6

TT

大值！，故選（〃）.

2

21.小明想利用樹影測(cè)樹高，他在某一時(shí)刻測(cè)得長(zhǎng)為1m的

竹竿影長(zhǎng)0.9m,但當(dāng)他馬上測(cè)樹高時(shí);因樹靠近一幢建

筑物，影子不全落在地面匕有一部分影子上了墻如圖所

示.他測(cè)得留在地面部分的影子長(zhǎng)2.7m,留在墻壁部分的

影高1.2m,求樹高的高度（太陽(yáng)光線可看作為平行光線）

4.2米

CD121

解析：樹高為AB,影長(zhǎng)為BE,CD為樹留在墻上的影高，J=，=——,CE=L08米，樹影長(zhǎng)

CECE0.9

AB=~^-BE=4.2米。

BE=2.7+1.08=3.78米，樹高

0.9

22.如圖，正四面體A-BCD（空間四邊

形的四條邊長(zhǎng)及兩對(duì)角線的長(zhǎng)都相等）中,瓦尸

分別是棱的

EF和AC所成的角的大小是.

解析：設(shè)各棱長(zhǎng)為2,則EF=JL取AB的中點(diǎn)為M,cosZMFE=—=-

24

23.OX,OY,OZ是空間交于同一點(diǎn)。的互相垂直的三條直

線，點(diǎn)P到這三條直線的距離分別為3,4,7,則0P長(zhǎng)

為.

解析：在長(zhǎng)方體OXAY—ZBPC中，0X、。八0Z是相交的三條互相垂直的三條直線。又PZ1OZ,PY1OY,PX10X,

有OX2+OZ2=49,?！穼O2=9,。內(nèi)。7=16,

得歐+0戶+改=37,0P=屈.

24.設(shè)直線a上有6個(gè)點(diǎn)，直線6上有9個(gè)點(diǎn)，則這15個(gè)點(diǎn)，能確定個(gè)不同的平面.

解析：當(dāng)直線a,b共面時(shí)，可確定一個(gè)平面；當(dāng)直線a,b異面時(shí)，直線。與b上9個(gè)點(diǎn)可確定9個(gè)不同平

面，直線b與。上6個(gè)點(diǎn)可確定6個(gè)不同平面，所以一點(diǎn)可以確定15個(gè)不同的平面.

25.在空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB,BC的中點(diǎn).求證：EF和AD為異面直線.

解析：假設(shè)EF和AD在同一平面a內(nèi)，…（2分），則A,B,E,Fea；.......（4分）又A,EeAB,；.ABua,二

Bea,.......（6分）同理Cea.......（8分）故A,B,C,Dea,這與ABCD是空間四邊形矛盾。；.EF和AD為異

面直線.

26.在空間四邊形ABCD中，E,H分別是AB,AD的中點(diǎn)，F(xiàn),G分別是CB,CD的中點(diǎn)，若AC+BD=a,AC-BD=b,

求婚+產(chǎn)才.A

解析：四邊形EFGH是平行四邊形，........（4分）Z\H

EG2+FH2=1(EF2+FG2)=-(AC2+BD2)=-(a2-2b)

22

27.如圖，在三角形/ABC中，ZACB=90%AC=b,BC=a,P是/ABC所在

平面外一點(diǎn)，PB1AB,M是PA的中點(diǎn)，AB1MC,求異面直MC與PB間的距

離.

AB

解析：作MN〃AB交PB于點(diǎn)N.（2分）VPB1AB,APBlMNo（4分）又ABLMC,；.MNJLMC.（8分）MN即為異面直

線MC與PB的公垂線段，（10分）其長(zhǎng)度就是MC與PB之間的距離，則得MN=LAB='G1".

22

28.已知長(zhǎng)方體ABCD—AiBCDi中,AiA=AB,E、F分別是BDi和AD中點(diǎn).

（1）求異面直線CD1、EF所成的角；

（2）證明EF是異面直線AD和BDj的公垂線.

（1）解析：?.?在平行四邊形區(qū)42G中，E也是AG的中點(diǎn)，（2分）

C1D1

二兩相交直線DiC與CD1所成的角即異面直線CD】與EF所成的角.S（4MX7I

/A=AB,長(zhǎng)方體的側(cè)面都是正方形

.,.異面直線CD1、EF所成的角為90°.（7分）

（2）證：設(shè)AB=AAi=a,'：0^=+竺1尸,.田_1_8。1.（9分）

由平行四邊形B4AG，知E也是AG的中點(diǎn)，且點(diǎn)E是長(zhǎng)方體ABCD-一AiBiQDi的對(duì)稱中心,（12分）AEA=ED,

.,.EFXAD,又EFJ_BDi，；.EF是異面直線BDi與AD的公垂線.（14分）

C1D1

,9

29./ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，在/ABC所在平面外有,,點(diǎn)P，

PB=PC=—,PA=-,延長(zhǎng)BP至D,使BD=J7,E是BC的中點(diǎn)，求AE和

22

CD所成角的大小和這兩條直線間的距離.

解析：分別連接PE和CD,可證PE//CD,（2分）則/PEA即是AE和CD所成

A

角.（4分）在Rt』PBE中,

PBBE=1,APE=—o在/AEP中，AE=V3cosZAEP=44_1

42

2"42

AZAEP=60°,即AE和CD所成角是60°.(7分)

VAE±BC,PE1BC,PE〃DC,...CDLBC,，CE為異面直線AE和CD的公垂線段,（12分）它們之間的距離為1.（14

分）

30.在正方體ABCD—AiB￡Di中，E,F,G,H,M,N分別是正方體的棱4A,AB,BC,CC”GA，%的中

點(diǎn)，試證：E,F,G,H,M,N六點(diǎn)共面.

解析：：EN〃MF,；.EN與MF共面a,（2分）又：EF〃MH,，EF和MH共面￡.（4分）：不共線的三點(diǎn)E,F,M

確定?個(gè)平面，（6分）.?.平面a與夕重合，.?.點(diǎn)Hwa。（8分）同理點(diǎn)Gea.（10分）故E,F,G,H,M,N六

點(diǎn)共面.

31.三個(gè)互不重合的平面把空間分成六個(gè)部份時(shí)，它們的交線有)

A.1條B.2條C.3條D.1條或2條

D

解析：分類：1）當(dāng)兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與它們相交時(shí),有兩條交線;2）當(dāng)三個(gè)平面交于一條

直線時(shí)，有一條交線，故選D

32.兩兩相交的四條直線確定平面的個(gè)數(shù)最多的是()

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)

解析：c如四棱錐的四個(gè)側(cè)面，C；=6個(gè)。

33..在空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)如果EF與HG交于點(diǎn)M,則

（）

A.M一定在直線AC上

B.M一定在直線BD匕

C.M可能在AC上，也可能在BD上

D.M不在AC上，也不在BD上

解析：：平面ABCA平面ACD=AC,先證MG平面ABC,MW平面ACD,從而MGAC

A

34..用一個(gè)平面去截正方體。其截面是一個(gè)多邊形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)最多是.

解析：6條

35.已知：a<za,b（^a,ar>b-A,Peh,PQHa.

求證:PQua..（12分）

本題主要考查用平面公理和推論證明共面問(wèn)題的方法.

解析：；PQ〃a,PQ與。確定一個(gè)平面仇：.直線.u仇點(diǎn)Pep.

peb,bua,:,pea

又；auaa與乃重合/.PQua

36.已知ABC三邊所在直線分別與平面a交于P、Q、R三點(diǎn)，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線。（12分）

本題主要考查用平面公理和推論證明共線問(wèn)題的方法

解析：:A、B、C是不在同一直線上的三點(diǎn)

...過(guò)A、B、C有一個(gè)平面￡

又?.?4Bca=P，且A5up

點(diǎn)尸既在31又在a內(nèi)，設(shè)ac/3=l,則peI.同理可證：。"火《

P,Q,R三點(diǎn)共線.

37.已知：平面ac平面/?=a,。u=A,cu笈且”/a,

求證：b^c是異面直線

解析：反證法：若b與c不是異面直線，則b〃c或b與c相交

⑴若b〃c.a//c,a〃匕這與ac匕=A矛盾

（2）若瓦c相交于5,則5w4,又acb=A,Aw。

/.ABu0,即bu解8bc0=A矛盾

??.瓦。是異面直線.

38.在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2,E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，EF=JL求AD與BC所成角的大小

（本題考查中位線法求異面二直線所成角）

解析：取BD中點(diǎn)M,連結(jié)EM、MF,則

EM//AD,且EM=-AD=\,MF〃8c且MF=-BC=\,

22

在△/1/￡小中,?.?E尸=石,由余弦定理得cos/EMF=EM-*M六-F尸=I+J3=_j_

2EMMF22

NEMF=120"

.?.異面直線42BC所成角的大小為600

39.如圖，在正方體ABCD—AiBiQDi中，M、N分別為棱AA】和BB】的中點(diǎn)，求異面直線CM與D"所成角的

正弦值.（14分）”

（本題考查平移法，補(bǔ)形法等求異面二直線所成角）

解析：取DDi中點(diǎn)G,連結(jié)BG,MG,MB,GC得矩形MBCG,|,-P

則BG和MC所成的角為異面直線CM與DiN所成的角.

a

MC2=MA2+AC2=(±a)2(設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a)

2

BC=a

cosZBOC=-sinZBOC=—

99

而CM與DiN所成角的正弦值為亞

9

40.如圖，P是正角形ABC所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是AB=PC=AB=3O

（1）求證：MN是AB和PC的公垂線

(2)求異面二直線AB和PC之間的距離

解析：(1)連結(jié)AN,BN,「△APC與aBPC是全等的正三角形，又N是PC的中點(diǎn)

；.AN=BN

又是AB的中點(diǎn)，，MN_LAB

同理可證MN±PC

又：MNnAB=M,MNAPC=N

AMN是AB和PC的公垂線。

(2)在等腰在角形ANB，....=BN=[■a,AB=a,二MN=^AN2-(^AB)2=^a

即異面二直線AB和PC之間的距離為立a.

2

41空間有四個(gè)點(diǎn)，如果其中任意三個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上，那么經(jīng)過(guò)其中三個(gè)點(diǎn)的平面[]

A.可能有3個(gè)，也可能有2個(gè)B.可能有4個(gè)，也可能有3個(gè)

C.可能有3個(gè)，也可能有1個(gè)D.可能有4個(gè)，也可能有1個(gè)

解析：分類，第一類，四點(diǎn)共面，則有一個(gè)平面，第二類，四點(diǎn)不共面，因?yàn)闆](méi)有任何三點(diǎn)共線，則任何三點(diǎn)都確

定一個(gè)平面，共有4個(gè)。.

42.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是[]

①三角形是平面圖形②四邊形是平面圖形

③四邊相等的四邊形是平面圖形④矩形一定是平面圖形

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

解析：命題①是正確的，因?yàn)槿切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)不共線，所以這三點(diǎn)確定平面。

命題②是錯(cuò)誤，因平面四邊形中的一個(gè)頂點(diǎn)在平面的上、下方向稍作運(yùn)動(dòng)，就形成了空間四邊形。命題③也是錯(cuò)誤,

它是上一個(gè)命題中比較特殊的四邊形。

命題④是正確的，因?yàn)榫匦伪仨毷瞧叫兴倪呅危?組對(duì)邊平行，則確定了一個(gè)平面。

43.如果一條直線上有一個(gè)點(diǎn)不在平面上，則這條直線與這個(gè)平面的公共點(diǎn)最多有—1個(gè)。

解析：如果有兩個(gè)，則直線就在平面內(nèi)，那么直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)，這就與己知有一個(gè)點(diǎn)不在平面上矛

盾，所以這條直線與這個(gè)平面的公共點(diǎn)最多有一個(gè)。

44.空間一條直線及不在這條直線上的兩個(gè)點(diǎn)，如果連結(jié)這兩點(diǎn)的直線與已知直線，則它們?cè)谕黄矫鎯?nèi)。

答案：相交或平行

解析：根據(jù)推論2,推論3確定平面的條件。

45.三角形、四邊形、正六邊形、圓，其中一定是平面圖形的有3個(gè)。

解析：三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不在一條直線上，故可確定一個(gè)平面，三角形在這個(gè)平面內(nèi)；圓上任取三點(diǎn)一定不在一條

直線上，這三點(diǎn)即確定一個(gè)平面，也確定了這個(gè)圓所在的平面，所以圓是平面圖形；而正六邊形內(nèi)接于圓，故正六

邊形也是平面圖形；而四邊形就不一定是平面圖形了，它的四個(gè)頂點(diǎn)可以不在同一平面內(nèi)。

46.三條平行直線可以確定平面?zhèn)€。答案：1個(gè)或3個(gè)

解析：分類、一類三線共面，即確定一個(gè)平面，另一類三線不共面，每?jī)蓷l確定一個(gè)，可確定3個(gè)。

47.畫出滿足下列條件的圖形。

(1)a00=1,aUa,bUB,aOb=A

(2)anB=a,buB,b〃a

解析：如圖1-8-甲，1-8-乙

48.經(jīng)過(guò)平面a外兩點(diǎn)A,B和平面二垂直的平面有幾個(gè)？

解析：一個(gè)或無(wú)數(shù)多個(gè)。

當(dāng)A,B不垂直于平面a時(shí)，只有一個(gè)。

當(dāng)A,B垂直于平面a時(shí)、有無(wú)數(shù)多個(gè)。

49.設(shè)空間四邊形ABCD,E、F、G、H分別是AC、BC、DB、DA的中點(diǎn),若AB=

A'B

12V2,CD=4痣，且四邊形EFGH的面積為126,求AB和CD所成的角.

解析：由三角形中位線的性質(zhì)知，HG幽B,HEZED,.?.才HG就是異面直線AB和CD所成的角.

；EFGH是平行四邊形，HG=!AB=6j5,

2

1

HE=—,CD=2g

2

二.SErai=HG-HE-sin^EHG=1276sin^EHG,A12J^sin/HG=126.

sin和G=E

故4HG=45。.

2

J.AB和CD所成的角為45。

注：本例兩異面直線所成角在圖中已給，只需指出即可。

50.點(diǎn)A是BCD所在平面外一點(diǎn)，AD=BC,E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，且

5

EF=—AD,求異面直線AD和BC所成的角。（如圖）

2

解析：設(shè)G是AC中點(diǎn)，連接DG、FG。因D、F分別是AB、CD中點(diǎn)，故EGZBC

且EG=」BC,FGZ4I）,且FG=」AD,由異面直線所成角定義

可知EG與FG所成

22

銳角或直角為異面直線AD、BC所成角，即/GF為所求。由DBC=AD知

EG=GF=-AD,又EF=AD,由余弦定理可得cos/GF=0,即zEGF=90°o

2

注：本題的平移點(diǎn)是AC中點(diǎn)G,按定義過(guò)G分別作出了兩條異面直線

的平行線，然后在4EFG中求角。通常在出現(xiàn)線段中點(diǎn)時(shí)，常取另一線段中點(diǎn)，以構(gòu)成中位線，既可用平行關(guān)系,

又可用線段的倍半關(guān)系。

51-100

51.已知空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分別為BC、AD的中點(diǎn)。

求：AM與CN所成的角的余弦值；

解析：⑴連接DM,過(guò)N作NE〃AM交DM于E,則/CNE

為AM與CN所成的角。

VN為AD的中點(diǎn),NE〃AM省Z.NE=-AM且E為MD的中點(diǎn)。

2

1V3V3n1

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1,則NC=-----------=—且ME=-MD=在

2242

,2317

RtZ\MEC中，CE2=ME+CM2=一+-=一

16416

(4+7

222(7+一記2

fCN+NE-CE

.?cosZCNE---------------------------------又,：乙

2?CN?NEc663

2------

44

7T

CNEe（0,—）

2

2

...異面直線AM與CN所成角的余弦值為一.

3

注：1、本題的平移點(diǎn)是N,按定義作出了異面直線中一條的平行線，然后先在4CEN外計(jì)算CE、CN、EN長(zhǎng)，再回

到4CEN中求角。

2、作出的角可能是異面直線所成的角，也可能是它的鄰補(bǔ)角，在直觀圖中無(wú)法判定，只有通過(guò)解三角形后，根據(jù)

這個(gè)角的余弦的正、負(fù)值來(lái)判定這個(gè)角是銳角（也就是異面直線所成的角）或鈍角（異面直線所成的角的鄰補(bǔ)角）。

最后作答時(shí)，這個(gè)角的余弦值必須為正?

52..如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)，已知AB=4,CD=20,EF=7,—=—=-

FDEC3

求異面直線AB與CD所成的角。

解析：在BD上取一點(diǎn)G,使得變■=」，連結(jié)EG、FG

GD3

BEBGM5EGBE1

在△BCD中,—=——，故EG//CD,并且一=——=-

ECGDCDBC4

FGDF3

所以，EG=5；類似地，可證FG//AB,且一E=——

ABAD4

故FG=3,在AEFG中，利用余弦定理可得

cosZ

FGE/G2+G尸-定=32+52-72

故NFGE=120°0

2EGGF2-3-52

另一方面，由前所得EG//CD,FG//AB,所以EG與FG所成的銳角等于AB與CD所成的角，于是AB與CD

所成的角等于60°。

53.在長(zhǎng)方體ABCD—ABCD中,AA,=c,AB=a,AD=b,且a>b.求AG與BD所成的角的余弦.

解一：連AC,設(shè)ACCBD=0,則0為AC中點(diǎn)，取GC的中點(diǎn)F,連OF,則0F〃AC1且0F=，AC1,所以/FOB即

2

為AC1與DB所成的角。在△FOB中，OB」，/+/,OF=-7a2+b2+c2,BE=-

,由余弦定

222

理得

cosZ

-(a2+/?2)+-(a2+b2+c2)-(/?2+-c2)

a2-Z?2

0B=4--------「4

22222)

2-7a2+b2-7a2+b2+c27(a+h)(a+b+c

4

解二：取AC中點(diǎn)a,BB中點(diǎn)G.在△CQG中，/CQG即AC1與DB所成的角。

解三：.延長(zhǎng)CD到E,使ED=DC.則ABDE為平行四邊形.AE〃BD,所以/EAG即為AC與BD所成的角.連EG,在

△AEC1

中，AE=Va2+b2,ACl=7a2+b2+c2,C1E=J4a2+。由余弦定理,得

(G2+/72)+(a2+b2+c2)-(4a2+c2)b2-a2

cosZEAC,=--------,'廣、——-=,<0

2-yja2+b2-y/a2+b2+c2yl(a2+b2)(a2+b2+c2)

所以NEAG為鈍角.

a2-b2

根據(jù)異面直線所成角的定義，AC1與BD所成的角的余弦為“〃=

yl(a2+h2Xa2+b2+c2)

54.已知AO是平面a的斜線，A是斜足，OB垂直a,B為垂足，則

直線AB是斜線在平面a內(nèi)的射影，設(shè)AC是a內(nèi)的任一條直線，

0

/與AC所成角為。，則有

解析：設(shè)AO與AB所成角為。1,AB與AC所成角為斗，AO

COS0=COS01COS02。

在三棱錐s—ABC中，ZSAB=ZSAC=

ZACB=90°,AC=2,BC=43,SB=4^，求異面直線SC與AB所成角的大小。（略去了該題的1,2問(wèn)）

由SA_L平面ABC知，AC為SC在平面ABC內(nèi)的射影，

設(shè)異面直線SC與AB所成角為。，

則cos0=cosZSCA-cosNBAC,

C

由AC=2,8C=6,S8=a得AB=m,SA=26,SC=2

/.cosZSCA=—,cosABAC=~^=,

2V17

cosQ=-----,即異面直線SC與AB所成角為arccos------。

1717

55.已知平行六面體ABC。-AfiGB的底面ABCD是菱形,

NGCB="CD=/BCD=60’,證明GC^BO。

（略去了該題的2,3問(wèn)）

解析：設(shè)G在平面ABCD內(nèi)射影為H,則CH為G。在平面ABCD內(nèi)的射影,

/.cosZCtCD=cosZ.CyCH-cosZ.DCH,

，cosNGCB=cosZ.CyCH-cosNBCH,

由題意NC[CD=ZC.CS,二cosNDCH=cosNBCH。

又NDCH/BCHe[0,兀）

...NDCH=NBCH,從而CH為NDCB的平分線,

又四邊形ABCD是菱形，CHLBD

二G。與BD所成角為9（r,即GCLBO

56..在正四面體ABCD中,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn),

求異面直線AE與CF所成角的大小。

解析：連接BF、EF,易證AD_L平面BFC,

二EF為AE在平面BFC內(nèi)的射影,

設(shè)AE與CF所成角為0,

/.cos9=cosZ.AEF-cosZ.CFE,

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為“，則AE=C/=8尸=@a

2

顯然EF±BC,EF=—a

2

：.c°sZAEF=^=^,c°sZAFE=曳=^

AE3CF3

22

??cos0=一即AEA與CF所成角為arccos-。

33

57.三棱柱。48-0|A|6|,平面。6瓦。[J_平面。AB,

NO06=6O°,Z/lO6=9(r,且=2,04=5求異面直線人6與所成角的大小，（略去了該題

的1問(wèn)）

解析：在平面3a內(nèi)作于C,連AC,

由平面50016]_L平面AOB,4408=90°知，

A0L平面6。0n，AO1BC,

又A0c001=。，BC_L平面4。。出，

,AC為A1在平面區(qū)。。仙|內(nèi)的射影。

設(shè)AB與AO1所成角為0,AC與A01所成角為仇，

則cos6=cosNBA。cos%>

由題意易求得BC=6,A\C=2,A1B=/i

AC2

:.cosC=—■—=-7=，

\B77

在矩形A。。jA中易求得AC與AQ所成角%的余弦值：cos%=首

/.cos0=cosZBA,C-cos0^=—

127

即與A。1所成角為arccos—t,

117

58.已知異面直線。與。所成的角為50°,P為空間一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P且與a,匕所成的角均是30°的直線有且只有

()

A、1條B、2條C、3條D、4條

解析：過(guò)空間一點(diǎn)P作a〃a,b//b,則由異面直線所成角的定義知：。與b的交角為50°,過(guò)P與a,6成

等角的直線與a,b亦成等角，設(shè)a,從確定平面a,a,b'交角的平分線為/,則過(guò)/且與a垂直的平面（設(shè)為p）

內(nèi)的任一直線/'與a,成等角（證明從略），由上述結(jié)論知：1與a,6所成角大于或等于/與a,。'所成角25°,

這樣在P內(nèi)/的兩側(cè)與a，。'成30°角的直線各有一條，共兩條。在a,。,相交的另一個(gè)角130°內(nèi)，同樣可以作過(guò)

130。角平分線且與a垂直的平面丫，由上述結(jié)論知，丫內(nèi)任一直線與a,5所成角大于或等于65”，所以丫內(nèi)沒(méi)有

符合要求的直線，因此過(guò)P與a,匕成30°的直線有且只有2條，故選（B）

59.垂直于同一條直線的兩條直線的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交

C.異面D.以上都有可能

解析：D

60.li、匕是兩條異面直線，直線mi、與k匕都相交，貝Um1、m?的位置關(guān)系是（）

A.異面或平行B.相交

C.異面D.相交或異面

解析：D

61.在正方體ABCD-AEUD，中，與棱AA，異面的直線共有幾條

()

A.4