插值與擬合牛頓法演示文稿

插值與擬合牛頓法演示文稿當(dāng)前1頁(yè)，總共22頁(yè)。優(yōu)選插值與擬合牛頓法當(dāng)前2頁(yè)，總共22頁(yè)。Lagrange插值多項(xiàng)式的基函數(shù)：優(yōu)點(diǎn)：形式對(duì)稱(chēng)，有很強(qiáng)的規(guī)律性，便于記憶。

缺點(diǎn)：(1)

重復(fù)計(jì)算多,導(dǎo)致計(jì)算量大；(2)

插值基函數(shù)lj(x)依賴于所有節(jié)點(diǎn)，當(dāng)增加插值節(jié)點(diǎn)時(shí)，原來(lái)已算出的所有l(wèi)j(x)都需要重新計(jì)算，使計(jì)算量加大。

當(dāng)前3頁(yè)，總共22頁(yè)。

差商及其性質(zhì)牛頓插值公式牛頓插值余項(xiàng)差分以及等距節(jié)點(diǎn)牛頓插值多項(xiàng)式4.3差商與牛頓插值公式Newton(1624～1727)當(dāng)前4頁(yè)，總共22頁(yè)。

由線性代數(shù)知識(shí)可知,任何一個(gè)n次多項(xiàng)式都可表示成:這n+1個(gè)多項(xiàng)式的線性組合.問(wèn)：是否可以將這

n+1個(gè)多項(xiàng)式作為插值基函數(shù)？

已知函數(shù)

f(x)的插值節(jié)點(diǎn)

xi及相應(yīng)函數(shù)值,將上述線性無(wú)關(guān)的多項(xiàng)式取作Newton插值法的基函數(shù),即令：Newton插值基函數(shù)當(dāng)前5頁(yè)，總共22頁(yè)。則相應(yīng)的插值多項(xiàng)式為:式中,為待定參數(shù),它們可利用插值條件來(lái)求,即令：可以求得：當(dāng)前6頁(yè)，總共22頁(yè)。依此類(lèi)推,可求得.為標(biāo)記、推導(dǎo)、記憶方便,給出差商定義,可得參數(shù)的一般表達(dá)式。這也太復(fù)雜了吧！當(dāng)前7頁(yè)，總共22頁(yè)。為關(guān)于節(jié)點(diǎn)的一階均差(差商)4.3.1差商及其性質(zhì)1.差商的定義:設(shè)給定函數(shù)在個(gè)互異的節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為,稱(chēng)為關(guān)于節(jié)點(diǎn)的二階差商缺倒數(shù)第二個(gè)節(jié)點(diǎn)缺最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)－倒數(shù)第二個(gè)節(jié)點(diǎn)稱(chēng)當(dāng)前8頁(yè)，總共22頁(yè)?？梢?jiàn)：一個(gè)高階差商可由兩個(gè)低一階的差商得到缺倒數(shù)第二個(gè)節(jié)點(diǎn)缺最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)稱(chēng)為關(guān)于節(jié)點(diǎn)的

k階差商最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)－倒數(shù)第二個(gè)節(jié)點(diǎn)當(dāng)前9頁(yè)，總共22頁(yè)。由此定義,顯然:用歸納法可證：將上述結(jié)果代入：當(dāng)前10頁(yè)，總共22頁(yè)。2.差商的性質(zhì)性質(zhì)1：差商與函數(shù)值的關(guān)系

f(x)關(guān)于的

k階差商是

f(x)在這些點(diǎn)上函數(shù)值的線性組合,即例如:可以用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)前11頁(yè)，總共22頁(yè)。利用對(duì)稱(chēng)性,可對(duì)

f(x)關(guān)于的

k階差商變形注：上式是計(jì)算中常用的差商公式，可建立差商表.缺第一個(gè)節(jié)點(diǎn)缺最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)－第一個(gè)節(jié)點(diǎn)性質(zhì)2：對(duì)稱(chēng)性差商對(duì)于定義它的節(jié)點(diǎn)而言是對(duì)稱(chēng)的,也就是說(shuō)任意調(diào)換節(jié)點(diǎn)的次序,差商的值不變當(dāng)前12頁(yè)，總共22頁(yè)。3.差商的計(jì)算方法：差商表規(guī)定函數(shù)值為零階差商當(dāng)前13頁(yè)，總共22頁(yè)。性質(zhì)3:差商與函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系當(dāng)

f(k)(x)

在包含節(jié)點(diǎn)

x0,

x1,

…,

xk

的區(qū)間存在時(shí),在

x0,x1,…,xk之間必存在一點(diǎn)ξ,使得當(dāng)前14頁(yè)，總共22頁(yè)。內(nèi)容歸納Newton插值基函數(shù):并形式上給出Newton插值多項(xiàng)式:式中,待定.通過(guò)引進(jìn)均差/差商的概念,可以將系數(shù)表示為：當(dāng)前15頁(yè)，總共22頁(yè)。4.3.2牛頓插值公式為

f

(x)

關(guān)于節(jié)點(diǎn)的

n

次Newton插值多項(xiàng)式.1.定義:稱(chēng)------(1)當(dāng)前16頁(yè)，總共22頁(yè)。由插值多項(xiàng)式的唯一性,Newton插值公式的余項(xiàng)為:實(shí)用的余項(xiàng)估計(jì)式：------(2)Lagrange插值多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)型余項(xiàng)當(dāng)前17頁(yè)，總共22頁(yè)。若將視為一個(gè)節(jié)點(diǎn),則由一階均差定義4.3.3牛頓插值余項(xiàng)同理,由二階均差定義有有當(dāng)前18頁(yè)，總共22頁(yè)。因此可得:Newton插值多項(xiàng)式差商型余項(xiàng)------(3)當(dāng)前19頁(yè)，總共22頁(yè)。4.3.4差分及其等距節(jié)點(diǎn)牛頓插值多項(xiàng)式定義4.4

設(shè)

f(x)

在等距節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為稱(chēng)為f(x)在xk處的二階向前差分為f(x)在xk處的一階向前差分等距節(jié)點(diǎn)插值是比較常見(jiàn)的情況,為簡(jiǎn)化計(jì)算,引進(jìn)差分的概念.依此類(lèi)推:為f(x)在x