薦八年級(jí)數(shù)學(xué)：利用勾股定理求最短路徑問(wèn)題,題型詳解

八年級(jí)數(shù)學(xué)：利用勾股定理求最短路徑問(wèn)題，題型詳解利用過(guò)股定理求最短路徑問(wèn)題，有2大類型，7個(gè)題型，共12道題，對(duì)最短路徑問(wèn)題做了全面的講解剖析。其中2大類型包括類型1：平面圖形中的最短路徑問(wèn)題，類型2：立體圖形中的最短路徑問(wèn)題，7個(gè)題型包括：用平移法求最短問(wèn)題，用對(duì)稱法求最短問(wèn)題，用垂線段法求最短問(wèn)題，臺(tái)階中的最短問(wèn)題，圓柱中的最短問(wèn)題，長(zhǎng)方體中的最短問(wèn)題，正方體中的最短問(wèn)題。類型一平面圖形中的最短路徑問(wèn)題TOC\o"1-5"\h\z題型1用平移法求最短問(wèn)題 /L如圖，已知N6=NC=N0=\NE=90；且AB=CD=3.*Ch\C=KDE=EF=2,則八F的長(zhǎng)" \是1。， E題型2用對(duì)稱法求最短問(wèn)題 ；\L.高速公路的同一惻有A上兩城 \鎮(zhèn),如圖，它們到高速公路所在 >直線M.N的距離分別為八八'=2km?B&=4km,AfB'=8km.要在高速公路上X,4之間建一個(gè)出口P,使兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小.求這個(gè)最短距離.

解：作點(diǎn)li關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)C,連接AC交MN于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所建的出口■此時(shí)41兩城鎮(zhèn)到出口。的距離之和最小,最短距離為AC的長(zhǎng).作AD1H斤于點(diǎn)也在RtAADC中=A%'工8km,DC=6km.，AC=J4D2不DC2=10km.:這個(gè)最短距離為10km.題型3用垂線段法求最短問(wèn)題?某校想把一塊三角形廢地開(kāi)辟為植物園，如圖，測(cè)得AC=8。m?BC=60m,AB=iOOrru(])若人口E在邊AB上?且與A、B的距離相等?求從人口E到出口。的最短路線長(zhǎng)；(2)若線段CD是一條水渠，且點(diǎn)D在邊AH上，點(diǎn)D距點(diǎn)A多遠(yuǎn)時(shí)，水渠的長(zhǎng)度最短？TOC\o"1-5"\h\z解連接CE，則CE即為從 人入口E到出口C的最短路線,延長(zhǎng)CE至點(diǎn)F,使EF=CE'/ \連接AF-E在邊AB上,自W B與A.B距離相等.易得△CEB四△jFEACSAS）.，/月= =AF,又AC=80m,BC=60m.IAB=100m.-AC2+BC=802+602=100?=AB2.二△ABC是直角三角形■目ZACB=90W-ZB+ZBAC工90°?又/B=ZEAF.，ZEAF+/BAC=9O\即/C4F=90,,在RtACAF中,AC=80m.AF=BC=60m.，CF=，4<?+4心=100m,又CE=EF+，CE=}CF=5。4故從入口E到出的最短路線的長(zhǎng)為50m；（2）由題意知?當(dāng)CD，AB時(shí).CD最短■過(guò)「作CD±AB于點(diǎn)n1--ZACB=90^CD±AB-/.S%取，=~x100xCJJ=yX80X60m2,.\Cn=48m,在Rt△ACD中■J4D=64rti.故點(diǎn)Q距離點(diǎn)464m時(shí),水渠的長(zhǎng)度最短.類型二立體圖形中的最短路徑問(wèn)題題型1臺(tái)階中的最短問(wèn)題14,如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階?它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為2。dm-3dm,2dm*A和J3是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)那點(diǎn)有一只螞蟻,想到B點(diǎn)去吃可口的食物.則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到8點(diǎn)的最短路程為25dm.題型2柱中的最短問(wèn)題.如圖，一個(gè)網(wǎng)桶底面在徑為16cm,高為18cm,則一只小蟲(chóng)從底部點(diǎn)A爬上頂部B處，則小蟲(chóng)所爬的最短路徑長(zhǎng)是（亦取3）30cm.（第5題圖） （第6題圖）.如圖，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為4dm,圓柱高為2dm,在圓柱的側(cè)囪上,過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為4建dm.

解,由圖可知,彩帶從易拉罐底端的A處繞易拉罐4圈后Z如圖，小紅想用一條彩帶纏繞易拉罐,正好從A點(diǎn)繞到正上方的0點(diǎn).已知易拉罐底面周長(zhǎng)是12cm,高是解,由圖可知,彩帶從易拉罐底端的A處繞易拉罐4圈后到達(dá)頂端的B處.將易拉罐表茴切開(kāi)展開(kāi)呈長(zhǎng)方形,則螺旋線長(zhǎng)為4個(gè)AJ的氏在Rt上 1△ADJ中―12cm,DJ=~AB=5cm,：AJ二13cm.4AJ=52cm.所以彩帶最短是52cm.8.如圖.圓柱形玻璃杯高為12 < )cmt底面周長(zhǎng)為18cm,在杯外離杯底4cm的點(diǎn)。處有一蛆蟻\些蜂蜜.此時(shí)一只螞蟻正好也 \「蜂蜜在杯外壁,離杯上沿4cm的, 點(diǎn)a處.口)求螞蟻要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短跑離￥(2)若將蜂蜜的位置改為在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)「處，其余條件不變,請(qǐng)你求出此時(shí)螞蟻吃到蜂蜜所爬行的最短距離.解:C1)如圖①,將玻璃杯側(cè)面展開(kāi)呈長(zhǎng)方形.作CD_LA。于I九由題意可得=9cm,AD=12-4-4=4(cm),，AC=/AZX+CD2=797(cm).答:螞蟻要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距離為\/97cin；(2)如圖②將杯子側(cè)面展開(kāi)，作A關(guān)于EQ的對(duì)稱點(diǎn)G,連接4'C則AfC即為最短距離.作AfD±CQ,則A’D二:x18=9(cm),OQ=12-4=8(cm),C￡)=4+8=12(cm).在Rt/M'DC中■由勾股定理，得A"C="h+CD2=79z+12z=15(51).答:螞蟻吃到蜂蜜所爬行的最短距離為15cm.

題型3長(zhǎng)方體中的最短問(wèn)題9.如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體+4B=3.3C=5,AF=6?要在長(zhǎng)方體上系一根繩子連接4；繩子與DE交于點(diǎn)P,則所用繩子的最短長(zhǎng)度為A.10R/34C.8D.畢10.如圖.長(zhǎng)方體的高為5cm?底面長(zhǎng)為4cm,寬為(1)點(diǎn)A到點(diǎn)Ce之間的距離是多少？(2)若一只螞蚊從點(diǎn)心爬到G，則爬行的最短路程是多少？解;⑴，長(zhǎng)方體的高為5cm.底面長(zhǎng) ^~7IC,為4cm,寬為1cm.，A2C2-M4十產(chǎn)=J巾(on).J，AC= 1"江、

如圖1所示，4C=75^5^=572(cm),如圖2所示.4G=J不不？=v82(ciii).如圖3所示.小G=7^*=2/聞cm).T5JIU2/13<y82，「?一只螞蟻從點(diǎn)人爬到C.爬行的最短路程是5J2E.題型4正方體中的最短問(wèn)題1L如圖所不，一棱長(zhǎng)為3cm的正方體，把所有的面均分成3X3個(gè)小正方形.其邊長(zhǎng)都為1cmT假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm,則它從下底面點(diǎn)A沿表面爬行至側(cè)面的B點(diǎn)，最少要用25秒,12.如圖.一個(gè)長(zhǎng)方體的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒(méi)有縫隙）.有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角G處.（I）請(qǐng)你畫出螞蚊能夠最快