全概率公式和貝葉斯公式

全概率公式和貝葉斯公式第一頁(yè)，共15頁(yè)。6.3.3全概率公式和貝葉斯公式6.3.3.1全概率公式6.3.3.2貝葉斯公式用條件概率為工具計(jì)算事件的概率，主要涉及三個(gè)定理：乘法定理、全概率公式和貝葉斯公式。第二頁(yè)，共15頁(yè)。6.3.3.1全概率公式定理6設(shè)B1、B2、…為一列（有限或無(wú)限個(gè)）兩兩互不相容的事件，有則對(duì)任一事件A，有第三頁(yè)，共15頁(yè)。

證：因由概率的完全可加性及乘法定理（已知P(Bk)>0）得常稱公式P(A)為全概率公式（totalprobabilityformula）。第四頁(yè)，共15頁(yè)。

從證明過(guò)程可以看出，并不一定要，而只要成立就可以了。

這個(gè)公式在從已知的一些較簡(jiǎn)單事件的概率去推算未知的復(fù)雜事件的概率中有著重要作用。常用的做法就是將一個(gè)復(fù)雜事件分解成若干個(gè)互不相容的較簡(jiǎn)單事件之和（如圖所示，A被分解成AB1、AB2、…等若干部分之和），在通過(guò)分別計(jì)算這些較簡(jiǎn)單事件的概率并利用概率的可加性得到所要的結(jié)果。B1B2B3Bk…ΩA第五頁(yè)，共15頁(yè)。例23袋中有大小相同的a個(gè)黃球，b個(gè)白球?，F(xiàn)不放回地摸球兩次，問(wèn)第2次摸得黃球的概率是多少？第六頁(yè)，共15頁(yè)。解：第2次摸球是在第1次摸過(guò)以后再進(jìn)行，但第1次摸球的結(jié)果未知，但只有兩種可能的結(jié)果：B1=“第1次摸球，得到的是黃球”B2=“第1次摸球，得到的是白球”現(xiàn)有若用A表示“第2次摸得黃球”的事件，則用全概率公式，得第七頁(yè)，共15頁(yè)。例24盒中放有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)是新的，3個(gè)是舊的。第一次比賽時(shí)，從中任意地取出了3個(gè)來(lái)用，用完后仍放回盒中（新球用后成了舊球）。第二次比賽時(shí)再?gòu)暮兄腥〕?個(gè)球來(lái)用，求第二次取出的3個(gè)球均為新球的概率。第八頁(yè)，共15頁(yè)。解：第二次取球時(shí)，盒中有幾個(gè)新球是未知，這是與第一次取球的各種可能結(jié)果有關(guān)，故可設(shè)A=“第二次取出3球全是新球”Bk=“第一次取出3球中有k個(gè)新球”k=1,2,3，按全概率公式，有第九頁(yè)，共15頁(yè)。式中各項(xiàng)可直接計(jì)算，有

第十頁(yè)，共15頁(yè)。代入公式，得第十一頁(yè)，共15頁(yè)。例25某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%，20%，30%和35%。又知，這四條流水線的產(chǎn)品不合格率依次為0.05,0.04,0.03及0.02.

現(xiàn)從該廠的這一產(chǎn)品中任取一件，問(wèn)抽到不合格品的概率是多少？第十二頁(yè)，共15頁(yè)。解：根據(jù)問(wèn)題與已知條件可設(shè)A=“任取一件這種產(chǎn)品，結(jié)果是不合格品”BK=“任取一件這種產(chǎn)品，結(jié)果是第k條流水線的產(chǎn)品”，k=1,2,3,4，可用全概率公式，有根