第一方案一輪復(fù)習(xí)模擬試題直線平面垂直的判定及其性質(zhì)

第9章第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)一、選擇題(6×5分＝30分)1．已知直線a，b和平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：如圖，α⊥β且a⊥α，b⊥β，∴a⊥b.當(dāng)a⊥b時(shí)，a⊥α，b⊥β?α⊥β.答案：C2．(2022·浙江寧波調(diào)研)如圖所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在()A．直線AB上 B．直線BC上C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部解析：∵BA⊥AC，BC1⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.∵AC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，且交線是AB.故平面ABC1上一點(diǎn)C1在底面ABC的射影H必在交線AB上．答案：A3．如圖，ABCD－A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AG⊥平面CB1D1D．異面直線AD與CB1所成的角為60°解析：對(duì)于A，∵BD∥B1D1，B1D1?平面CB1D1，∴BD∥平面CB1D1；對(duì)于B，∵AC1在平面ABCD上的射影是AC，而AC⊥BD，∴AC1⊥BD；對(duì)于C，同B可證AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，∴AC1⊥面CB1D1.對(duì)于D，連接A1D，則DA1∥CB1，∴∠ADA1等于異面直線AD與CB1所成的角，∴∠ADA1＝45°.答案：D4．(2022·西城模擬)已知一個(gè)平面α，那么對(duì)于空間內(nèi)的任意一條直線a，在平面α內(nèi)一定存在一條直線b，使得a與b()A．平行 B．相交C．異面 D．垂直解析：當(dāng)a∥α?xí)r，顯然存在b⊥a，當(dāng)a與α斜交時(shí)，過a上一點(diǎn)A作AB⊥α于B，設(shè)a與α的交點(diǎn)為O，連OB，在α內(nèi)過B作BC⊥OB，又∵AB⊥BC，∴BC⊥面AOB，而a?面AOB，∴存在b，使得a⊥b，當(dāng)a⊥α?xí)r，顯然存在b⊥a，綜上可知，選項(xiàng)D正確．答案：D5．(2022·東莞一模)若l為一條直線，α、β、γ為三個(gè)互不重合的平面，給出下面三個(gè)命題：①α⊥γ，β⊥γ?α⊥β；②α⊥γ，β∥γ?α⊥β；③l∥α，l⊥β?α⊥β.其中正確的命題有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)解析：對(duì)于①，α與β可能平行，故錯(cuò)．②③正確，故選C.答案：C6．(2022·漳州模擬)設(shè)a、b是不同的直線，α、β是不同的平面，則下列四個(gè)命題中正確的是()A．若a⊥b，a⊥α，則b∥α B．若a∥α，α⊥β，則a⊥βC．若a⊥β，α⊥β，則a∥α D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β解析：A中，b可能在α內(nèi)；B中，a可能在β內(nèi)，也可能與β平行或相交(不垂直)；C中，a可能在α內(nèi)；D中，a⊥b，a⊥α，則b?α或b∥α，又b⊥β，∴α⊥β.答案：D二、填空題(3×5分＝15分)7．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的即可)解析：∵四邊形ABCD的邊長相等，∴四邊形為菱形．∴AC⊥BD，又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥面PAC，∴BD⊥PC.若PC⊥面BMD，則PC垂直于面BMD中兩條相交直線．∴當(dāng)BM⊥PC，PC⊥面BMD，∴面PCD⊥面BMD.答案：BM⊥PC(其它合理即可)8．(2022·合肥模擬)設(shè)m、n是兩條不同直線，α、β、γ是三個(gè)不同平面，給出下列四個(gè)命題：①若m⊥α，n∥α，則m⊥n②若α⊥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ③若m∥α，m∥β，則α∥β④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β其中正確命題的序號(hào)是________．解析：①∵n∥α，∴過n的一個(gè)平面γ與α的交線n′∥n，又∵m⊥α，∴m⊥n′，而n′∥n，∴m⊥n，②∵α∥β，β∥γ，∴α∥γ，又∵m⊥α，∴m⊥γ.③m∥α，m∥β，則α與β可能平行，也可能不平行．④α⊥γ，β⊥γ時(shí)，α與β可能平行，也可能相交．答案：①②9．(2022·長沙模擬)a、b表示直線，α、β、γ表示平面．①若α∩β＝a，b?α，a⊥b，則α⊥β；②若a?α，a垂直于β內(nèi)任意一條直線，則α⊥β；③若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，則a⊥b；④若a不垂直于平面α，則a不可能垂直于平面α內(nèi)無數(shù)條直線；⑤若a⊥α，b⊥β，a∥b，則α∥β.上述五個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________．解析：對(duì)①可舉反例如圖，需b⊥β才能推出α⊥β.對(duì)③可舉反例說明，當(dāng)γ不與α，β的交線垂直時(shí)，即可得到a，b不垂直．對(duì)④a只需垂直于α內(nèi)一條直線便可以垂直α內(nèi)無數(shù)條與之平行的直線．所以只有②⑤是正確的．答案：②⑤三、解答題(共37分)10．(12分)(2022·池州一模)四面體ABCD中，AC＝BD，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，且EF＝eq\f(\r(2),2)AC，∠BDC＝90°.求證：BD⊥平面ACD.證明：如圖所示，取CD的中點(diǎn)G，連接EG、FG、EF.∵E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，∴EG綊eq\f(1,2)AC，F(xiàn)G綊eq\f(1,2)BD.又AC＝BD，∴EG＝FG＝eq\f(1,2)AC.在△EFG中，EG2＋FG2＝eq\f(1,2)AC2＝EF2.∴EG⊥FG.∴BD⊥AC.又∠BDC＝90°，即BD⊥CD，AC∩CD＝C，∴BD⊥平面ACD.11．(12分)(2022·漳州模擬)如圖所示，已知△ABC是等邊三角形，EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，且EC、DB在平面ABC的同側(cè)，M為EA的中點(diǎn)，CE＝2BD.求證：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.證明：如圖，取AC中點(diǎn)N，連結(jié)MN、BN，∵EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，∴EC∥BD.△ECA中，M、N分別是EA、CA中點(diǎn)，∴MN∥EC，且MN＝eq\f(1,2)EC.又∵EC＝2BD，∴MN∥BD且MN＝BD.∴四邊形MNBD是平行四邊形．∴MD∥BN.∵EC⊥平面ABC，且BN?平面ABC，∴EC⊥BN.∵正三角形ABC中，N是AC中點(diǎn)，∴BN⊥AC.又AC∩EC＝C，∴BN⊥平面ECA.∴MD⊥平面ECA.(1)∵M(jìn)D⊥平面ECA，EA?平面ECA，∴MD⊥EA.∵EM＝MA，∴Rt△DME≌Rt△DMA.∴DE＝DA.(2)∵M(jìn)D⊥平面ECA，MD?平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.(3)∵M(jìn)D⊥平面ECA，MD?平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.12．(13分)(2022·東北六校一模)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分別是A1B，A1C的中點(diǎn)，點(diǎn)D在B1C1上，A1D⊥B1C.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.證明：(1)由E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點(diǎn)知EF∥BC，因?yàn)镋F?平面ABC，BC?平面ABC，所