變化率與導(dǎo)數(shù)練習(xí)題

優(yōu)選文檔(時間90分鐘，滿分120分)一、選擇題(本大題共10小題，每題5分，共50分．在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項吻合題目要求的)111．已知函數(shù)f(x)＝x2，則f′2＝()1B．－1A．－48C．－8D．－1623剖析：∵f′(x)＝(x－)′＝－2x－，∴f′1＝－2×1－3＝－16.22答案：D1232．曲線y＝2x－2x在點1，－2處的切線的傾斜角為()A．－135°B．45°C．－45°D．135°剖析：y′＝x－2，因此斜率k＝1－2＝－1，因此傾斜角為135°.答案：D3．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是()A．在點x＝x0處的函數(shù)值B．在點(x0，f(x0))處的切線與x軸所夾銳角的正切值C．曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率D．點(x0，f(x0))與點(0,0)連線的斜率答案：C4．若f(x)＝sinα－cosx，則f′(x)＝()A．sinxB．cosxC．cosα＋sinxD．2sinα＋cosx剖析：函數(shù)是關(guān)于x的函數(shù)，因此sinα是一個常數(shù)．答案：A5．以下求導(dǎo)運算正確的選項是()A.x＋3′＝1＋3B．2′＝1xx(logx)xln2優(yōu)選文檔優(yōu)選文檔xx2C．(3)′＝3log3eD．(xcosx)′＝－2xsinx剖析：x＋3′＝1－32，因此不正確；x′＝x，因此不正確；2′＝xxA(3)3ln3C(xcosx)＋x2·－sinx)，因此D不正確；(log2x)′＝1，因此B正確．2xcosx(xln2答案：B6．(2011重·慶高考)曲線y＝－x3＋3x2在點(1,2)處的切線方程為()A．y＝3x－1B．y＝－3x＋5C．y＝3x＋5D．y＝2x剖析：依題意得，y′＝－3x2＋6x，y′|x＝1＝－3×12＋6×1＝3，即所求切線的斜率等于3，故所求直線的方程是y－2＝3(x－1)，整理得y＝3x－1.答案：A7．若f(x)＝log3(2x－1)，則f′(3)＝()2A.3B．2ln322C.3ln3D.5ln3剖析：∵f′(x)＝2，∴′(3)＝22x－1ln3f5ln3.答案：D13－f′2－x，則f′(1)的值為()8．若函數(shù)f(x)滿足f(x)＝x(1)·x3A．0B．2C．1D．－1剖析：f′(x)＝x2－2f′－，(1)x1因此f′(1)＝1－2f′(1)－1，則f′(1)＝0.答案：A9．函數(shù)y＝x2＋a2)x(a>0)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為0，那么x0＝(A．a(chǎn)B．±aC．－aD．a(chǎn)2x2＋a2′－′2＋a22－a2－x2x2－a2，因此x02－a2＝0，解得剖析：因為y′＝2＝2＝x2xxx0＝±a.答案：B優(yōu)選文檔優(yōu)選文檔2－2x－4lnx，則f′(x)>0的解集為()10．(2011江·西高考)若f(x)＝xA．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)剖析：令f′(x)＝2x－2－4＝2x－2x＋1＞，xx0又x＞0，因此x＞2.答案：C二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分．請把正確的答案填在題中的橫線上)11．若f(x)＝log3(x－1)，則f′(2)＝________.剖析：∵f(x)＝log3(x－1)，∴f′(x)＝[log3(x－1)]′＝1，x－1ln31∴f′(2)＝ln3.答案：1ln31212．已知0<x<4，f(x)＝x，g(x)＝x，則f′(x)與g′(x)的大小關(guān)系是____________．1剖析：由題意，得f′(x)＝2x，g′(x)＝.由0<x<14，知0<f′(x)<12，g′(x)>1，故f′(x)<g′(x)．答案：f′(x)<g′(x)13．已知物體的運動方程是s(t)＝t2＋3(t的單位是秒，s的單位是米)，則物體在時刻t＝4t秒時的速度v＝________米/秒，加速度a＝________米/秒2.3剖析：∵s′(t)＝2t－t2，∴v(4)＝s′(4)＝2×4－432＝12516，36，(t)tv2t67∴a(4)＝v′(4)＝2＋32＝32.答案：125671632優(yōu)選文檔優(yōu)選文檔x14．過原點作曲線y＝e的切線，則切點的坐標(biāo)為________，切線的斜率為________．剖析：設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，ex0)，y′＝ex，則切線斜率為ex0，切線方程為y－ex0＝ex0(x－x0)，代入原點坐標(biāo)(0,0)?x0＝1，∴切點為(1，e)，斜率為e.答案：(1，e)e三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分12分)求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1(1)y＝sinx＋x；(2)y＝(x2＋2)(3x－1)；－x(3)y＝x·e；1(4)y＝2sin2x.11解：(1)y′＝(sinx)′＋(x)′＝cosx－x2.′＝2＋2)′(3x－1)＋(x2＋2)(3x－1)′(2)y(x2x(3x－1)＋3(x2＋2)9x2－2x＋6.(3)y′＝x′·e－x＋x·(e－x)′e－x－xe－x＝(1－x)e－x.(4)y′＝1(sin2x)′＝1×2·cos2x＝cos2x.2216．(本小題滿分12分)已知曲線y＝x3＋3x2＋6x－10上一點P，求過曲線上P點的所有切線中，斜率最小的切線方程．解：y′＝3x2＋6x＋＝2＋＋2)＝＋1)2＋3.63(x2x3(x∴當(dāng)x＝－1時，斜率最小為3，此時P的縱坐標(biāo)為y＝(－1)3＋3×(－1)2＋6×(－1)－10＝－14，∴切點坐標(biāo)為(－1，－14)．∴切線方程為y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.優(yōu)選文檔優(yōu)選文檔17．(本小題滿分13712分)已知函數(shù)f(x)＝x＋3xf′(a)(其中a∈R)，且f(a)＝，求：36f(x)的表達(dá)式；(2)曲線y＝f(x)在x＝a處的切線方程．解：(1)f′(x)＝x2＋3f′(a)，于是有2f′(a)＝a2＋3f′(a)?f′(a)＝－a2，133a2∴f(x)＝3x－2x，713337又f(a)＝6，即3a－2a＝6?a＝－1，133f(x)＝3x－2x；7(2)由(1)知切點為－1，6，1切線的斜率f′(a)＝－2，1∴切線方程為y－6＝－2(x＋1)，即3x＋6y－4＝0.18．(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－b，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7xx－4y－12＝0.(1)求f(x)的剖析式；(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．7解：(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝4x－3.11當(dāng)x＝2時，y＝2，則f(2)＝2.b又f′(x)＝a＋x2，優(yōu)選文檔優(yōu)選文檔2a－b＝1，a＝1，22于是解得a＋b4＝74，b＝3，3故f(x)＝x－x.(2)證明：設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點，3由y′＝1＋x2知曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為3y－y0＝1＋2(x－x0)，x0即y－x0－33(x－x0)．x0＝1＋2x0令x＝0得y＝－6x＝0的交點坐標(biāo)為6x