《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(2)》示范課教案【高中數(shù)學(xué)蘇教版教學(xué)設(shè)計(jì)】

第四章數(shù)列《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(2)》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，并會(huì)求前n項(xiàng)和Sn的最值；2.經(jīng)歷公式應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)一步理解公式中的幾個(gè)基本量代表的實(shí)際意義；3.通過(guò)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：靈活運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決問(wèn)題．難點(diǎn)：求前n項(xiàng)和Sn的最值教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程一、新課導(dǎo)入回顧：能否說(shuō)出我們上節(jié)課學(xué)習(xí)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式？Sn=n注意：公式中五個(gè)量：首項(xiàng)a1，公差d，項(xiàng)數(shù)n，末項(xiàng)an，前n項(xiàng)和Sn，這五個(gè)量可以“問(wèn)題1：如何選用這兩個(gè)公式能使運(yùn)算過(guò)程更簡(jiǎn)便呢？答案：已知首項(xiàng)a1、項(xiàng)數(shù)n、末項(xiàng)an，選用公式已知首項(xiàng)a1、公差d、項(xiàng)數(shù)n，選用公式S練一練：若a1=12，d=?分析：已知a1，d，Sn，選用公式解：由Sn得n=12，或n=?5（舍）.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回顧等差數(shù)列的求和公式并進(jìn)行兩個(gè)求和公式的比較，讓給學(xué)生進(jìn)一步熟悉上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，為本節(jié)課作準(zhǔn)備．二、新知探究問(wèn)題2：等差數(shù)列的求和在實(shí)際生活中有什么應(yīng)用呢？例：某劇場(chǎng)有20排座位，后一排比前一排多2個(gè)座位，最后一排有60個(gè)座位，這個(gè)劇場(chǎng)共有多少個(gè)座位？追問(wèn)1：各排的座位數(shù)組成的數(shù)列是特殊的數(shù)列嗎？答案：是公差為2的等差數(shù)列.追問(wèn)2：已知哪些條件？答案：d=2，n=20，a解：這個(gè)劇場(chǎng)各排的座位數(shù)組成等差數(shù)列{an}，其中公差d=2，項(xiàng)數(shù)n=2由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得60=所以a1由等差數(shù)列的求和公式，得S20所以這個(gè)劇場(chǎng)共有820個(gè)座位.小結(jié)：解題的關(guān)鍵是構(gòu)造合適的等差數(shù)列，遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，可以考慮與數(shù)列知識(shí)聯(lián)系，建立數(shù)列模型.注意以下兩點(diǎn)：①抓住實(shí)際問(wèn)題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型．②深入分析題意，確定是求通項(xiàng)公式an，還是求前n項(xiàng)和Sn，或是求項(xiàng)數(shù)問(wèn)題3：我們知道等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是特殊的函數(shù)，那么等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系是什么呢？答案：由Sn當(dāng)d=0，a1=0時(shí)，Sn=0②當(dāng)d=0，a1≠0③當(dāng)d≠0時(shí)，Sn與n思考1：提到拋物線就想到最值問(wèn)題，等差數(shù)列在什么情況下有最值呢？如何確定Sn答案：①當(dāng)d＞0時(shí)，{a當(dāng)a1≥0時(shí)，Sn當(dāng)a1<0時(shí)，Sn的最小值為所有非正項(xiàng)的和的值，使Sn取到最值的②當(dāng)d<0時(shí)，{an}當(dāng)a1≤0時(shí)，Sn當(dāng)a1>0時(shí)，Sn的最大值為所有非負(fù)項(xiàng)的和的值，使Sn取到最值的思考2：能否從函數(shù)的角度來(lái)分析一下Sn當(dāng)d≠0①當(dāng)d>0時(shí)，Sn關(guān)于n的函數(shù)圖象為開口向上的拋物線上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的點(diǎn)，所以當(dāng)②當(dāng)d<0時(shí)，Sn關(guān)于n的函數(shù)圖象為開口向下的拋物線上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的點(diǎn)，所以當(dāng)n設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題探究讓學(xué)生了解等差數(shù)列的求和公式的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．三、應(yīng)用舉例例1已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=10，公差d=?2，S解：(方法一)由d=?2，得an+1?an=?2＜0，得a由a1=10，d可知，當(dāng)n＜6時(shí)，an＞0；當(dāng)n＝6時(shí)，an＝0；當(dāng)n＞6時(shí)，an所以，S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞…，也就是說(shuō)，當(dāng)n=5或6時(shí)，Sn因?yàn)镾5=522×10+(方法二)由a1＝10，d＝－2，得Sn=d2n2+a1?d2n=?例2某種卷筒衛(wèi)生紙繞在盤上，空盤時(shí)盤芯直徑為40mm，滿盤時(shí)直徑為120mm（如圖）.已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1mm，問(wèn)：滿盤時(shí)衛(wèi)生紙的總長(zhǎng)度大約是多少米（精確到1m）？

解：衛(wèi)生紙的厚度為0.1mm，可以把繞在盤上的衛(wèi)生紙近似地看作一組同心圓，然后分別計(jì)算各圓的周長(zhǎng)，再求總和.由內(nèi)向外各圈的半徑分別為20.05，20.15，…，59.95.因此，各圈的周長(zhǎng)分別為40.1π，40.3π，…，119.9π.因?yàn)楦魅Π霃浇M成首項(xiàng)為20.05，公差為0.1的等差數(shù)列，設(shè)圈數(shù)為n，則59.95=解得n=顯然，各圈的周長(zhǎng)組成一個(gè)首項(xiàng)為40.1π，公差為0.2π，項(xiàng)數(shù)為400的等差數(shù)列.根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，得S=32000π(mm)≈100(答：滿盤時(shí)衛(wèi)生紙的長(zhǎng)度約為100m.例3某零存整取3年期儲(chǔ)蓄的月利率為2.7‰.（1）如果每月存入1000元，那么3年后本息合計(jì)為多少元（精確到1元）？（2）欲在3年后一次性支取本息合計(jì)5萬(wàn)元，每月存入多少元（精確到1元）？解：（1）3年后的本息和為1000×1+2.7‰=1000≈37798(元).（2）設(shè)每月存A元，則有A1+2.7‰利用等差數(shù)列的求和公式，得A36+36×2.7‰解得A≈1323答：零存整取3年期儲(chǔ)蓄每月存入1000元，3年后本息合計(jì)約37798元.欲在3年后一次性支取本息5萬(wàn)元，每月存入約1323元.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題，進(jìn)一步熟悉等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用及最值問(wèn)題，掌握利用等差數(shù)列的求和公式解決相關(guān)問(wèn)題．四、課堂練習(xí)1.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=A.15B.16C.49D.642.數(shù)列an的前n項(xiàng)和S（1）求an（2）問(wèn)an3.某鋼材庫(kù)新到200根相同的圓鋼，要把它們堆放成正三角形垛（如圖），并使剩余的圓鋼盡可能的少，那么將剩余多少根圓鋼？4.一支車隊(duì)有15輛車，某天依次出發(fā)執(zhí)行任務(wù)．第1輛車于下午2時(shí)出發(fā)，第2輛車于下午2時(shí)10分出發(fā)，第3輛車于下午2時(shí)20分出發(fā)，依此類推．假設(shè)所有的司機(jī)都連續(xù)開車，并且都在下午6時(shí)停下休息．（1）到下午6時(shí)，最后一輛車行駛了多長(zhǎng)時(shí)間？（2）如果每輛車的行駛速度都是60km/h，則這支車隊(duì)當(dāng)天一共行駛了多少路程？參考答案：1.解：a8故選A.2.解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，an又當(dāng)n＝1時(shí)，a1=S故an的通項(xiàng)公式為a（2）（方法一）令an≥0，得34－2n≥0所以n≤17，故數(shù)列an的前17又a17＝0，故數(shù)列an的前16項(xiàng)或前（方法二）由y=?x2距離332最近的整數(shù)為16，17故數(shù)列an的前16項(xiàng)或前173.解：根據(jù)題意，各層圓鋼數(shù)比上一層多一根，故其構(gòu)成等差數(shù)列：1，2，3…設(shè)共堆放了n層，能構(gòu)成正三角形垛的圓鋼數(shù)為Sn，則S可轉(zhuǎn)化為求Sn=n1+n易知當(dāng)n=19時(shí)，Sn=190；當(dāng)n=故n的最大值為19.此時(shí)，將堆放19層，剩余10根圓鋼.4.解：由題意，知第1輛車休息時(shí)行駛了240min，各輛車行駛的時(shí)間構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列an，其中a1=240，公差d(1)因?yàn)閍15=?10×15+250=100，(2)這支車隊(duì)所有車輛行駛的總時(shí)間為240+1002×15=2550所以這支車隊(duì)當(dāng)天一共行駛的路程為852×60五、課堂小結(jié)1.遇到