《等比數(shù)列的通項(xiàng)公式》示范課教案【高中數(shù)學(xué)蘇教版教學(xué)設(shè)計(jì)】

第四章數(shù)列《等比數(shù)列的通項(xiàng)公式》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的意義；2.會利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解決相關(guān)問題；3.通過等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng).教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．難點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)．教學(xué)過程教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入回顧：前面我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列，你能說出等比數(shù)列的概念嗎？答案：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么稱這個(gè)數(shù)列叫作等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示.由此定義可知，對等比數(shù)列{an}，若公比為q，有anan?1=追問：類比等差數(shù)列的學(xué)習(xí)過程，接下來我們應(yīng)該研究什么呢？答案：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.二、新知探究問題1：設(shè)an是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，則你能寫出第n項(xiàng)an答案：a2a3a4…an=問題2：如果數(shù)列an是等比數(shù)列，且已知它的首項(xiàng)a1和公比q，方法1：由等比數(shù)列的定義，可知：a2從而，a2a3a4…由此得到an當(dāng)n=1時(shí)，a1所以，這個(gè)公式對n=1時(shí)也成立.這就是說：若首項(xiàng)是a1，公比是q，則等比數(shù)列aan思考：我們知道等差數(shù)列還可以用累加法推導(dǎo)出通項(xiàng)公式，由類比的思想方法，從運(yùn)算角度出發(fā)，還可以用什么方法推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式呢？方法2：根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得a2a3a4……an把以上各式依次相乘，得a2由此得到an=當(dāng)n=1時(shí)，a1所以，這個(gè)公式對n=1時(shí)也成立.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式若首項(xiàng)是a1，公比是q，則等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為練一練：你能分別寫出下列數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？1，2，4，8，16，32，64，128.①12，14，18，116，132，答案:數(shù)列①：an=2n?1問題3：若已知等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=3×2n?3，答案：a1a2所以q=思考：能否畫出上面的等比數(shù)列an=3×追問1：類比等差數(shù)列的圖象，想一想an=3×答案：an=3×2n?3追問2：an=答案：它是函數(shù)y=38×問題4：對于等比數(shù)列an=a1答案：an=a1qn?1=fx=a1q·qx(x思考：如果一個(gè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=aqn答案：是等比數(shù)列.證明如下：由an=aq所以an因?yàn)閝是不為0的常數(shù)，所以數(shù)列an是等比數(shù)列問題5：類比等差數(shù)列，等比數(shù)列也有下標(biāo)和性質(zhì)嗎？等比數(shù)列an中，若m，n，r，s∈N*，且證明：設(shè)公比為q，因?yàn)閍n所以amar又因?yàn)閙+所以am特別地，若2p=m+n，則a練一練：遞增等比數(shù)列an中，a3+a6=9，a4答案：由等比數(shù)列的性質(zhì)知a4又a3+a所以a3=1，所以q所以公比q=小結(jié)：解決數(shù)列問題時(shí)，首先要有運(yùn)用數(shù)列性質(zhì)的意識，然后仔細(xì)觀察各項(xiàng)下標(biāo)之間的關(guān)系，以尋求滿足數(shù)列性質(zhì)的條件，這樣能簡化運(yùn)算過程.設(shè)計(jì)意圖：通過探究熟悉等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及常用性質(zhì)，并會靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式及性質(zhì)解決相關(guān)問題.同時(shí)體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,三、應(yīng)用舉例在等比數(shù)列an（1）已知a1=3（2）已知a3=20解：（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得a6（2）（方法一）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，那么a1解得q=所以an（方法二）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則有q3解得q所以an小結(jié)：等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=在243和3中間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列.解：設(shè)插入3個(gè)數(shù)為a2，a3，a243，a2，a3成等比數(shù)列.設(shè)公比為q，則3=解得q=±因此，所求3個(gè)數(shù)為81，27，設(shè)計(jì)意圖：通過例題，進(jìn)一步鞏固等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握如何利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解相關(guān)量．四、課堂練習(xí)1.已知等比數(shù)列{an}中，a1=?2，a32.在等比數(shù)列an中，已知a7a123.在等比數(shù)列an中,已知a2+a5=184.某人買了一輛價(jià)值10萬元的新車，專家預(yù)測這種車每年按10%的速度貶值．(1)用一個(gè)式子表示第n(n∈(2)如果他打算用滿3年時(shí)賣掉這輛車，他大概能得到多少錢？參考答案：1.解：∵a1=?2∴a3a1∴an=?2即an=?22.解：∵a7∴a83.解：（方法一）由已知可得a2由②①得q=12，將又因?yàn)閍n=1即26?n=2（方法二）因?yàn)閍3所以q=由a1q+又因?yàn)閍n=1即26?n=24.解：(1)從第一年起，每年車的價(jià)值(萬元)依次設(shè)為：a1由題意得a1=10，a3由等比數(shù)列定義知數(shù)列an是等比數(shù)列，首項(xiàng)a1＝10，公比q所以an所以第n年車的價(jià)值為an(2)當(dāng)他用滿3年時(shí)，車的價(jià)值為a4所以用滿3年賣掉時(shí)，他大概能得7.29萬元．五、課堂小結(jié)方法總結(jié)：①等比數(shù)列可以通過兩個(gè)獨(dú)立條件確定.這兩個(gè)獨(dú)立條件可以是兩個(gè)基本量：首項(xiàng)與公比，