橋梁工程-拱橋的計算

第四節(jié)拱橋的計算拱橋的計算拱軸線的選擇與確定成橋狀態(tài)的內力分析和強度、剛度、穩(wěn)定驗算施工階段的內力分析和定驗算恒載內力溫度、收縮徐變拱腳變位活載內力內力調整拱上建筑的計算

拱軸線的形狀直接影響主截面的內力分布與大小，選擇拱軸線的原則，是要盡可能降低荷載產生的彎矩。最理想的拱軸線是與拱上各種荷載作用下的壓力線相吻合，使拱圈截面只受壓力，而無彎矩及剪力的作用，截面應力均勻，若以圓弧線或拋物線作為拱橋合理拱軸線型時，很容易寫出拱軸方程式，從而可以計算出各幾何關系，在此不以贅述，下面主要介紹懸鏈線作為合理拱軸時的計算。由于動載、溫度、收縮等因素的作用，實際上得不到理想的拱軸線。一般以恒載壓力線作為設計拱軸線。這里主要介紹懸鏈線合理拱軸的計算。實腹拱一、懸鏈線無鉸拱的內力計算

實腹式拱橋的恒載集度從拱頂?shù)焦澳_均勻增加，其壓力線是一條懸鏈線（如下圖）。一般采用恒載壓力線作為實腹式拱橋的拱軸線（一）合理拱軸的計算1、實腹拱的懸鏈線拱軸gd——拱頂處恒載強度γ——拱上材料單位體積重量gj——拱腳處恒載強度m——拱軸系數(shù)

任意點的恒載強度：引入系數(shù)（1）拱軸線形的確定

任意點的恒載強度假設拱軸與恒載壓力線完全吻合，拱的各個截面彎矩均為零。對于拱頂截面，由于對稱性，剪力也等于零。拱頂截面僅有恒載推力Hg。

——半拱恒載對拱腳截面的彎矩；Hg——拱的恒載水平推力（不考慮彈性壓縮）；f——拱的計算矢高對任意截面取矩，可得：對拱腳截面取矩，則有：Mx——任意截面以右的全部恒載對該截面的彎矩值；y1——以拱頂為坐標原點，拱軸上任意點的坐標.恒載壓力線的基本方程兩邊對x兩次取導數(shù)得：為使最終結果簡單，便于查表，引入?yún)?shù)：可得：令:則：解此方程，則得拱軸線方程為：

——懸鏈線方程以拱腳截面ξ＝1，y1＝f代入上式得：

通常，m為已知值，則k值可由下式求得要確定拱軸位置必須知道拱軸系數(shù)拱軸線方程為：（2）、拱軸系數(shù)m值的確定拱頂恒載分布集度gd拱腳恒載分布集度

gj其中拱頂填料、拱圈及拱腹填料的容重拱頂填料厚度拱圈厚度拱腳處拱軸線的水平傾角由上計算m值的公式可以看出，除為未知數(shù)外，其余均為已知；在具體計算m值時可采用試算法。(a)先假設(b)根據(jù)懸鏈線方程確定線形位置，求計算值時可采用試算法(c)根據(jù)計算出的計算出gj后，即可求得(d)比較

和，如兩者相符，即假定的

為真實值；如兩者相差較大，則以計算出的

作為假設值，重新計算，直到兩者相等2、空腹式拱橋的拱軸恒載組成：主拱圈與實腹段自重的分布力、空腹段通過腹孔墩傳下的集中力。由于集中力的存在，拱的恒載壓力線是一條在集中力作用處有轉折的曲線，它不是懸鏈線，甚至不是一條光滑的曲線。由于懸鏈線拱的受力情況較好，又有完整的計算表格可供利用，空腹式拱橋仍采用懸鏈線作為拱軸線當拱頂彎矩為零時，由恒載的對稱條件知，拱頂處僅有通過截面重心的恒載推力Hg，彎矩及剪力為零。為了使懸鏈線與其恒載壓力線重和，一般采用“

五點重合法”確定懸鏈線的m值。即要求拱軸線在全拱（拱頂、兩1/4點和兩拱腳）與其三鉸拱的壓力線重合。拱頂截面：彎矩Md=0；剪力Qd=0。(1)空腹式拱橋仍采用懸鏈線作為拱軸線對拱腳取矩有：對l/4截面取矩，由有：（A）代上式到式（A），可得：自拱定至拱跨1/4點的恒載對l/4截面的力矩。求得后，即可求得m值：空腹拱的m值，仍需采用試算法計算（逐次漸近法）。假定一個m值，定出拱軸線，作圖布置拱上建筑；計算拱圈和拱上建筑的恒載對1/4和拱腳截面的力矩和；利用公式算出m值；如與假定的m值不符，則應以求得的m值作為假定值，重新計算，直至兩者接近為止。

(2)確定空腹式拱橋m值的近似法

大量計算證明，從拱頂?shù)?/4點，一般壓力線在拱軸線之上；而從1/4點到拱腳，壓力線則大多在拱軸線之下。拱軸線與相應三鉸拱恒載壓力線的偏離類似于一個正弦波。應當注意，用上述方法確定空腹拱的拱軸線，僅與其三鉸拱恒載壓力線保持五點重合，其它截面，拱軸線與三鉸拱恒載壓力線都有不同程度的偏離。對大跨度空腹拱橋，這種偏離影響必須加以考慮由于懸鏈線拱的受力情況較好，空腹式拱橋仍較多地采用懸鏈線作為拱軸線（二）基本結構和彈性中心無鉸拱是三次超靜定結構，計算無鉸拱內力時，常取用懸臂曲梁或簡支曲梁作為基本結構。無論那一種基本結構，都有三個贅余力。為簡化計算，引入彈性中心概念。將三個贅余力移至彈性中心，相應為H、V、M，如圖。對稱無鉸拱若從拱頂切開取基本結構，多余力M（彎矩），H（軸力）為對稱，而V（剪力）是反對稱的，故知副系數(shù)引用彈性中心，設“剛臂”長為可以證明當時，彈性中心處

設想沿拱軸線作寬度等于1/EI的圖形，則ds/EI就代表此圖的面積，而上式就是計算這個圖形的形心公式，其形心稱為彈性中心。對于懸鏈線無鉸拱有：其中：則：這樣：拱軸線與壓力線相符拱軸線與壓力線不相符（三）、恒載內力計算恒載內力拱軸線與壓力線相符不考慮彈性壓縮彈性壓縮拱軸線與壓力線不相符拱軸線與壓力線偏離產生次內力不考慮彈性壓縮彈性壓縮

1、不考慮彈性壓縮的恒載內力（1）實腹拱實腹式懸鏈線的拱軸線與壓力線重合，恒載作用拱的任意截面存在軸力，而無彎矩。此時拱中軸力可按以下公式計算。恒載作用下的水平推力前面推得其中：拱腳的豎向反力：拱腳的豎向反力為半拱的恒載重力，即代到上式，并積分，有其中拱圈各截面的軸力N：由于不考慮彈性壓縮時恒載彎矩和剪力為零，有（2）空腹式拱橋在計算空腹式懸鏈線不考慮彈性壓縮的恒載內力時，可分為兩部分，即先不考慮拱軸線與壓力線偏離的影響，假設恒載壓力線與拱軸線完全重合，然后再考慮偏離的影響，計算由偏離引起的恒載內力，二者疊加。不考慮偏離的影響：此時拱的恒載推力Hg，拱腳的豎向反力Vg和拱任意截面的軸力可由靜力平衡條件得到（半拱恒載重力）半拱恒載對拱腳的彎矩偏離的影響計算偏離產生的附加內力對于靜定三鉸拱，各截面的偏離彎矩值Mp按下式計算：其中：y為三鉸拱壓力線在該截面的偏離值

對于無鉸拱，由于其是超靜定結構，偏離彎矩將引起次內力，其計算過程如下：取基本結構，贅余力X1，X2作用在彈性中心，則有：在設計中小跨徑的空腹式拱橋時可以偏于安全地不考慮偏離彎矩的影響。大跨徑空腹式拱橋的恒載壓力線與拱軸線一般比中、小跨徑偏離大，一般要計入偏離的影響。根據(jù)靜力平衡條件計算任意截面的軸力N，彎矩M和剪力Q。在恒載產生的軸向壓力作用下，拱圈的彈性變性表現(xiàn)為拱軸長度的縮短。首先將拱頂切開，假設拱橋圈可以自由變形，并假設彈性壓縮會使拱軸方向縮短l。如圖所示。2、彈性壓縮引起的內力由于在實際結構中，拱頂沒有相對水平位移，其變形受到約束，則在彈性中心處必有一水平拉力Hg推導得：由Hg在拱內產生的彎矩、剪力和軸力(推導略）橋規(guī)規(guī)定，下列情況可不考慮彈性壓縮的影響軸向力：彎矩：剪力：3、恒載作用下拱圈各截面的總內力不考慮壓力線與拱軸線偏離時（實腹式拱）不考慮彈性壓縮恒載內力彈性壓縮產生的內力考慮壓力線與拱軸線偏離時（空腹式拱）不考慮彈性壓縮恒載內力彈性壓縮產生的內力計入偏離影響軸向力：彎矩：剪力：其中：（四）活載內力計算計算無鉸拱活載內力時，一般先用結構力學的方法求贅余力影響線，然后再用靜力平衡條件和疊加的方法求出拱的支點反力和控制截面的內力影響線，最后在內力影響線上加載算出截面最大內力。活載內力計算仍分不考慮彈性壓縮影響和考慮彈性壓縮影響兩部分。（五）、等截面懸鏈線拱其它內力計算溫度變化產生的附加內力混凝土收縮、徐變產生的附加內力拱腳變位產生的附加內力其它內力1、溫度引起的內力計算設溫度變化引起拱軸在水平方向的變位為,與彈性壓縮同樣的道理，必須在彈性中心產生一對水平力Ht：式中：溫度變化值，即最高（或最低）溫度與合龍溫度之差，溫度上升時為正，下降時為負；材料的線膨漲系數(shù)；由溫度變化引起拱中任意截面的附加內力為：彎矩軸力剪力2、混凝土收縮引起的內力混凝土收縮引起的變形，其對拱橋的作用與溫度下降相似。通常將混凝土收縮影響折算為溫度降低。其值參見相應規(guī)范。3、拱腳變位引起的內力計算拱腳相對水平位移引起的內力設兩拱腳發(fā)生的相對位移為：式中左、右拱腳的水平位移，原位置向右移為正。由拱腳產生相對水平位移在彈性中心產生的贅余力為：

拱腳相對垂直位移引起的內力如拱腳的垂直相對位移為：式中左、右拱腳的水平位移，均自原位置向下移為正。由拱腳產生相對垂直位移在彈性中心產生的贅余力為：

拱腳相對角變位引起的內力拱腳B發(fā)生轉角(順時針為正)之后，在彈性中心除產生相同的轉腳之外，還會引起水平位移和垂直位移。因此，在彈性中心會產生三個贅余力。其典型方程為：根據(jù)上圖的幾何關系，有：求得：拱腳引起各截面的內力為：同理，如為左拱角拱順時針轉動則有：（一）內力組合在拱橋設計中，應根據(jù)建橋地區(qū)的各種條件和結構特性，按可能發(fā)生的最不利情況進行荷載組合，分別求出各個最不利內力值及相應的其他內力值，然后進行驗算。荷載組合可按下列規(guī)定進行：組合I：由恒載、材料收縮、活載(包括沖擊力)和人群荷載相組合。組合Ⅱ：在組合I的基礎上再加上溫度變化的影響除上述2種組合外，尚需進行施工驗算。在地震區(qū)，還應對地震力作用進行驗算。二、主拱檢算（二）主拱強度驗算鋼筋混凝土主拱截面均按偏心受壓構件進行驗算。其計算公式應據(jù)使用荷載(不同使用荷載采用不同規(guī)范公式)、截面形狀、偏心距的大小選用不同公式計算。目前鋼筋混凝土的鐵路規(guī)范和公路規(guī)范的設計計算方法是不同的，鐵路鋼筋混凝土拱橋主拱截面應該按容許應力法計算，公路鋼筋混凝土拱橋主拱截面應該按極限狀態(tài)法計算。具體可參考相應規(guī)范和結構設計原理書籍。（三）拱的穩(wěn)定性計算拱是一個以主要承受壓力的曲桿。它像受壓直桿一樣，當荷載逐漸增大時，壓力逐漸增加，到達某一臨界值時，拱就會偏離原來形狀而失穩(wěn)。特別是大跨度拱橋中，其穩(wěn)定問題更為突出。故規(guī)范要求對穩(wěn)定性進行驗算。拱的穩(wěn)定性問題主要包括在縱向（拱軸平面內）穩(wěn)定和橫向（拱軸平面外）穩(wěn)定。1．縱向穩(wěn)定性驗算(即拱軸平面內)根據(jù)比較性的計算和試驗指出，在豎向均布荷載作用下，無鉸拱和兩鉸拱在拱軸平面內失穩(wěn)時，拱軸成反對稱變形的臨界力為最小，而三鉸拱失穩(wěn)時，則與矢跨比有關，當時，對稱變形控制，時，則反對稱變形控制。根據(jù)研究，等截面拋物線拱的均勻荷載的臨界值為：相應于臨界均布荷載的拱的水平推力為：其中 EI——拱截面的抗彎剛度（I取全截面慣性矩，不計鋼筋）；

——拱的跨度；

——拱的矢高；

——系數(shù)，視拱的靜力圖示和矢跨比而定對變截面拱，可采用拱的換算等量截面慣性矩及相應的截面面積進行檢算。一般來講，拱的橫向抗彎剛度比縱向大得多，因此，如能遵守規(guī)范中對拱的寬度要求(B≥／20)，則拱的橫向失穩(wěn)不會比縱向失穩(wěn)早。但當寬跨比小于1／20時，則應檢算其橫向穩(wěn)定性，無支架施工的拱橋也要進行橫向穩(wěn)定性計算。目前，工程中常用與縱向穩(wěn)定相似的公式和方法驗算，但更多的是采用有限元計算的方法。其安全系數(shù)要求也為4～5。2．拱的橫向穩(wěn)定性四、拱上建筑的計算拱上建筑與拱分開各自獨立計算拱上建筑與主拱聯(lián)合作用計算對主拱圈作用偏于安全對拱上建筑偏于不安全必須考慮施工程序一般采用程序計算五、利用有限元進行拱橋計算有限元方法的主要分析步驟包括：單元離散化、施加邊界條件、建立矩陣方程、問題的求解和對結果的分析。有限元方法最終可歸結為求解矩陣方程，針對不同的問題，求解不同形式的