自主專家筆試指導數(shù)學zzzs

一、知識與方

概率與解決概率問題要分清是互斥有一個發(fā)生的概率、相互獨立同時發(fā)生的概率還是獨立重復試驗的概率。在概率問題中的應用。華約和卓越的概率問題一直特色鮮明，題目引入離散型隨量，并不是按照傳統(tǒng)二、例題與講例1.復旦在半徑為1的圓周上隨機選取3點，他們構(gòu)成一個銳角三 1 試求針與平行線相交的概率；a與l1. a設針的中心點離最近的平行線的距離為X，與平行線的夾角為A，則X,A服從 ,0,20lsin上的均勻分布（區(qū)域設為D）。當lsinAX時相交，即PlsinAX在D中面積 D的面 a2

例3.12華約系統(tǒng)中每個原件正常工作的概率是p0p1,各個元件正常工作的 1某系統(tǒng)配置有2k1個元件，k2現(xiàn)為改善1C解法一通過組合數(shù)C2k

的變形，尋找出pk1pk的關(guān)系ppk

k

nC2kC

1pnp2k 2k 2k 2k CnCn1 Cn1Cn1Cn2 2Cn1Cn22k 2k 2k 2kpk1C

n2k n1 1pp2k 1p n1 n1 n2k

2k

2k 2k 2k 1pnp2k1n

1p Cn21pnp2k

2kn

n2k

k

2kn

2k

k

2kn nC

2k

1p

2k

1

2k

1pn2p2k

1pnp2k1np2k1n

2

kk

k1

k1k2kk2k 2k

p21pp1

1p

1 k

n2k

1pkpkp1

2k

1p

2kpk

C2kC

1pkpk2p因此，當p1時，p遞增；當p1時，p遞減；當p1時， p k 解法二通 發(fā)生的過程，尋找出pk1與pk的關(guān)系ppk

knn

C2k

1pnp2k1n。注意到前2k1次的概率是前2k1次成功k1次的概率加上前2k2k2k次成功k次而后兩次有且只有一次成功的概率以及2k2k2k2kp2k

k2k

pk1pk1

pk11pk

k2k

pk1pk1

pk11kk

C2k

pk1pk2p2因此當p1時，p遞增；當p1時，p遞減；當p1時， p2

k 1經(jīng)過兩次傳球后，球在甲乙兩人手中的概率各是多2經(jīng)過n次傳球后，球在甲手中的概率記為pnn1,2, ,試求出pn1與pn的關(guān)系式，并求pnn表達式及l(fā)impn

分析：第一問 3 (2)記An表 “經(jīng)過n次傳遞后，球在甲手中”，n1,2,,則有P1P(A1)P第n1次傳遞，球到甲手中的概率為1P

與Pn 1(1P)，n 11 1)，因此數(shù)列 1是公比為1的等比數(shù)列，其首項為11，故有 1

41

3Pn1 1n1

4

P1 Pn443 ,Pn413,n 1 1n1 4 例5.11華約將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，以pn表示未出現(xiàn)連續(xù)3次正面向上的概率1求p1p2p3,p4的2探究數(shù)列pn的遞 ，并給出證3討論數(shù)列 pn單調(diào)性及其極限，并闡述該極限的概率意義以找到求pn遞推的方法。分析：（1）p1p1p11117 1 p41 2 16現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率pn。若第n-2n-1次為正面，第n

1

1

1 2

4

8的情況：只有第n次，第n-1次，第n-2次均為正，第n-3次 ．所以，p 1

pn1 pn2

pn3,，也可以很方便的

由p 1

pnpn116知，p ，所以數(shù)列p的單調(diào)遞減；又由 n116 所 所 p n1 16 15所以pn pn1pn2 p2 16 16 16所以pn的極限p0，其概率的統(tǒng)計意義是經(jīng)無數(shù)次嘗試后，連續(xù)3次正面這樣的小概率 而其對立發(fā)生的概率為0。袋中有幾個紅球時，能使取出的3個球全為同色的概率為最?。拷庠O紅球、白球的個數(shù)分別為想，x，y，則有xy x33x22x x

y33y22yx3y33x2y22x x3y3xy3

3xyxy106300xyx2y2xy22xy1042xy970200

x2

x5022500三、鞏固練 型式：AA，Aa，aa的比例分別為u:2:(u2)(2)子二代的三種型式的比例與子一代的三種型式的比例相同嗎？并說明理由u000000000000AA:Aa:aau22u2:2u2u222:222u2:2u:(2)設ux,yx22xyy2xy1x22xyy21x2xyy2分別看成u,,,則由（1）的結(jié)論可知，子二代為AA，Aa，aa的比例為x2xy2:2x2xyxyy2:xyy2x2xy2:2xyxyxy:y2xx2:2xy:2.（2007年）已知音響設備由五個部分組成：A.電視機，B.影碟機，C.線路，D.左聲道和E.右聲道，其中每個部分工作的概率入土所示。能聽到聲音時，當且僅當A與B中由一個工作，C工作，D與E中有一個工作；且D和E同時工作則有立體聲效果。 3.（2002年交通大學）A，B兩人輪流擲一個，由A先擲，若A擲到一點，仍由A擲，若A擲不到一點，則換B擲，對B同樣適用此規(guī)則，如此依次投擲，記第nA的概率為An。An1An求 解（1）B擲的概率為1AA擲到1點的概率為1B擲不到一點的概率為5 1A5(1A2A5 （2）設limAnx，則limAn1 因為 x, 兩邊取極限得x2x5x1，所以limA1 解設紅球、白球的個數(shù)分別為想，x，y，則有xy x33x2C3xC

y33y22y