橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)

--標(biāo)質(zhì)１了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用2掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)高相點:在高考中所占分?jǐn)?shù):13分考查出題方式:解答題的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知識點有:求曲線方程,弦長,面積，對稱關(guān)系，范圍問題存在性問題。涉到基知1．引入橢圓的定義在平面內(nèi)與兩定點Ｆ，Ｆ的距離的和等于常數(shù)(大于|F|=2c）的點的軌１２1２跡叫做橢圓．這兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．集合P={||MF＋|ＭF|＝2aF|＝２,其中＞0,c>０,且a,c為常1212數(shù)：有以下３種情況(１）若a＞,則集合P為橢圓；(2）若a＝，則集合P為線段；(3)若a<c,則集合P為空集２.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)--

--x+＼（ａ

）＝1

＼fy，a＋錯=1標(biāo)準(zhǔn)方程（>>0)

(>ｂ０)圖形－≤≤

-≤ｘ≤b范圍-≤≤

-≤ｙ≤a對稱性

對稱軸坐軸對中心：原點性質(zhì)

頂點

A,0),A,）Ｂ０,-）,(0,)

A(0，－a),A(0，)B－,0),B,0）軸焦距離心率ａ，b，的系

長軸A的為2;短軸BB的為b｜ｅ=錯∈(，1c=-題總--

1２1錯!錯誤11--1２1錯!錯誤11類型一

橢圓的義及其應(yīng)用例1：如圖所示，一圓形紙片的圓心ＯF圓內(nèi)一定點,M圓周上一動點把紙片折疊使M與重合,然后抹平紙片,折痕為Ｃ設(shè)與OM于點,則點P軌跡是()A.橢圓?B.雙曲線C.拋物線D.圓【解析根據(jù)CD是線段MF的垂直平分線.可推斷出

,進(jìn)而可以知道結(jié)果為定值,進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義推斷出點P的軌跡【答案】根據(jù)題意知，CD

是線段

MF

的垂直平分線．

,

(定值,又顯然

，

根據(jù)橢圓的定義可推斷出點軌跡是以Ｆ、O兩點為焦點的橢圓.所以A選項是正確的2y2練習(xí)1：已知Ｆ是橢圓C：(a>b＞的兩個焦點，為橢圓a上的一點,且錯!1

⊥PF，若△F的面積為ｂ＝____＿_(dá)＿．２【解析】由題意

的面積∴

故答案為:【答案】３練習(xí)2已知FＦ是橢圓+=１的兩焦點過點F２的直線交橢圓２于A，B兩點,在△AFＢ中,若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為)A．?B.5

Ｃ．4D3--

--【解析】由橢圓方程知,橢圓的長軸長為６.所以正確答案為A.【答案】A

,則

周長為16，故第三邊類型二求圓的標(biāo)方程例2:在平面直角坐標(biāo)ｘOy中，橢圓C的中心為原點，焦F，F(xiàn)x軸１2上，離心率為

２2

.過Ｆ直線lＣ于A，B點,且△ABF周長為１6，那１2么橢圓C方程為________【解析】設(shè)橢圓方程為

錯+

錯=1(a>0）,由e＝錯，知錯誤!＝錯,故錯誤!=錯!.由于ABF的周長為｜AB|+||ＡF|AFＢF|Ｂ２22121F＝16，故ａ=4．2∴b

＝8,∴橢圓C的方程為誤!+錯=1.【答案】＼f(ｘ16)+＼f(２,８)=１練習(xí)１：設(shè)F,F分別是橢圓E：ｘ＋1２

yｂ

=1（0<<1)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓,點AFFB|,⊥ｘ軸則橢E方程為___1１2＿_(dá)＿_(dá)＿．【答案】x

2

＋3y

2

/2=1--

12--12類型三

橢圓的何性質(zhì)例3:圖,在直角標(biāo)系ｘOy中A，A，B為圓12122yab0的四個頂點,Ｆ為其右焦點,直線AB直線相交于點a22T，線段OT與橢圓的交點M恰為線段OT的中點則該橢圓的離心率為________．【解析】直線AB的方程為錯誤＋錯誤=1，直線B1F的方程為錯+錯誤!=12１,二者聯(lián)立，得T(

２aｃａ-c

,錯則M(＼f(ac,a－c),

錯）在橢圓

錯!+

錯!１(ａ>ｂ>0)上,∴

c2(a2(a))c2＋10aｃ－3a2＝0，ｅ2＋1０e-３＝解得e＝２

錯-5.【答案】2錯－5練習(xí)1:已知A、橢圓錯誤!

錯＝１(>b＞和雙曲線

錯-

錯＝1(a>０，ｂ＞0)的公共頂點P是雙曲線上的動點，M是橢圓上的動點(Ｐ、都異于A、),且滿足錯!+錯=λ錯誤!＋錯誤),其中λ∈R,設(shè)直線、BP、Ｍ、BM斜率分別記為ｋ、ｋｋ、，k＋k=５，則k＿＿_(dá)___．1２３41234【解析】設(shè)出點Ｐ、M的坐標(biāo)，代入雙曲線和橢圓的方程，再利用已知滿足及其斜率的計算公式即可求出.【答案】∵A,B

是橢圓--

和雙曲線

1112222122112123311122221221121233（x,y),M（x,y),１２２∵

--的公共頂,∴（不妨設(shè)A（0)，B(，0).設(shè)Ｐ,其中λ∈R,(x+a,y)＋x－ａ，ｙ）＝ｘ，ｙ）＋（ｘ，ｙ化為１１xy=xy．∵Ｐ、M都異A、Ｂ,∴yy0．∴

．由k+k=

＝5，化為

，(*)又∵

,

∴

，

代

入

(

＊

)

化

為.k+k=

=,又

,∴

，k+k＝

＝

=－5故答案為-類型四

直線與圓的位置關(guān)例４２01４·四川卷已知橢圓:

錯!＋錯!a>＞０)的左焦點為F（－２,0）,離心率為

＼ｒ(6)3

.(１）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點,T直線=-3上一點，過Ｆ作的垂線交橢圓于，Q．當(dāng)四邊形是平行四邊形時,求四邊形OＰTQ的面積．【解析根據(jù)已知條件求得和的值于是可得的值得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)出點坐標(biāo)和直線

和

的方,將其與橢圓方程聯(lián),根據(jù)韋達(dá)定--

錯!錯誤12錯!12錯錯!錯誤12錯!12錯!理得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)邊角關(guān)系得到平行四邊形的高，代入面積的表達(dá)式即可得到結(jié)論。

底邊的長和對應(yīng)【答案由已知可得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

,,所以。

。又由

,得設(shè)點的坐標(biāo)為

，則直線

的斜率

。當(dāng)時直線

的斜率

直線

的方程是

時,直線

的方程是

,也符合

的形式設(shè)

,

將直線的方程與圓

的方程聯(lián),得。其判別式

。消去，

,得所以

，，。因為四邊形

是平行四邊形,所以。

,即所以，解得。此時,四邊形

的面積。練習(xí)１:(2014西卷已知橢圓＼(2,ａ)+＼f(2,b

)＝1(a＞b>０經(jīng)過點（0,),離心率為，左、右焦點分別為(-c,０（ｃ,0).(1)求橢圓的方程(２)若直線ｌ:y=-x+m與橢圓交于Ａ,B兩點以ＦＦ為直徑的圓交于，D兩點,且滿足＼ｆ(|AＢ｜,|ＣＤ｜)=,求直線l的方程.--

--【解析】（1）根據(jù)橢圓上的一點和離心率建立方程，求出橢圓方程中的參數(shù)。（２根據(jù)圓心到直線的距離求出

的長度,建立直線和橢圓的方程組求出的長度，根據(jù)

和

的關(guān)系求出

?！敬鸢赣深}設(shè)知

解得

,

，所以橢圓的方程為。由題,以

為直徑的圓的方程為

,所以圓心到直線的距離,

由

得

。

所

以。設(shè)

，

，由

得

。由求

根

公

式

可

得

，

。

所

以,由方程為

得或

，解得。

，滿足。所以直線的類型五圓曲線上的對稱問題例5橢圓E過點A(2，3)，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦Ｆ，F(xiàn)在x上，離121心率e=,其中∠AF平分線所在的直線l的方程為ｙ＝2-１．2１2(１)求橢圓Ｅ的方程；(2)在橢圓上是否存在關(guān)于直線l稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由--

112B000000--112B000000【解析】）由定義法代入即可得答案。假設(shè)存在直線，先設(shè)出直線方程代入，與橢圓方程聯(lián)立后得到矛盾，即可?！敬鸢浮浚?設(shè)橢圓E的方程為+=1,由ｅ=,即,a=2ｃ，得b2=a

-c

2

=3c２∴橢圓方程具有形式

+=1.將A(2,3)代入上式得+=1,得c=２,∴橢圓E的方程為+=1.(2)解法一假設(shè)存在這樣的兩個不同的點,y)和C(x,y),２∵BＣ⊥∴k==－.Ｃ設(shè)ＢＣ的中點為Ｍ(x，y)，則=０００

,y=,由于M在l上,故2x-y－1=.①又Ｃ在橢圓上,所以有+＝1與+=1兩式相減,得

+

=0,即

+

=０將該式寫為·

+

··

=0,并將直線BC的斜率ｋ和線段Ｃ的中點表示代入該表達(dá)式中,得-y=0,3x-2y＝②０①×２-得x=2,y＝３，即BC的中點為點而這是不可能的０∴不存在滿足題設(shè)條件的點B和C.--

1112--1112解法二:假設(shè)存在（x1,y1），y2）兩點關(guān)于直線l對稱,則l⊥∴k＝－設(shè)直線BC的方程為y=-x+m，將其代入橢圓方程+=１，一元二次方程3ｘ

+４

=48,即x2

-mx+m

-1２＝則x與x是該方程的兩個根２由韋達(dá)定理得ｘ+x=m,２于是y+y=-(x＋ｘ)+2ｍ=１

,∴B,C的中點坐標(biāo)為

.又線段BC的中點在直線＝2x-1上,∴

=m-1,得m=.即B，的中點坐標(biāo)為2，3）,與點A重合,矛盾∴不存在滿足題設(shè)條件的相異兩點練習(xí)１：(201湖南如圖,正方形ＡＢ和正方形DEFG的邊長分別為a,bｂ(ａｂ),原點Ｏ為AD的中點,拋物線y2=2px(p>０經(jīng)過C,F兩點，則=_____＿a__.--

ａａ可得

aa【解析】由題可得Ｃ（,),F(22b2,故填2。a

--,

)，因為在拋物線上,代入拋物線【答案】下一講講解范圍,面積類型的題。隨堂檢1．(2015年考福建卷）已知圓

E:

2aa2

的右焦點為F

．短軸的一個端點為M，線l:3x

交橢圓

于

兩點．若

AFBF

，點M到線l的距離不小于

，則橢圓E

的離心率的取值范圍(）A.

]

B．(0,]

C．

[

D.[,1)4【答案】Ax2.已知橢圓E+錯=1(a>>0)的焦點為（過點F直線交橢圓于,兩點若Ｂ的中點坐標(biāo)為(１，-1)則方程為_＿_(dá)__＿_(dá).【答案】＼f(1８)＋錯=13.橢圓錯誤!+錯誤!=1(＞b）左、右點分別為F，焦為2.若直線=3(ｘ+)與橢圓T的一交點M滿足＝2∠MFF則該橢圓的離心率等______＿_(dá)．【答案】３-14．已知雙曲線x－錯=的左頂點為A，焦點為F，Ｐ雙曲線右支上一,則錯·誤!最小值_＿_(dá)_____＿_(dá)【答案】-２--

a2--a25.(2014·包頭測試與評)已知圓＋錯誤=1的左頂點為A左點為,點為1橢圓上任意一點；若該橢圓的上頂點到焦點的距離為2,心率e，則錯!·錯的值范圍是＿＿_(dá)_＿_(dá)．【答案】6.已知橢圓C誤!錯誤!>＞0)右焦點Ｆ上頂點為Ａ,P為Ｃ上任一點，MＮ是圓C-＝1的條直徑,與F平行在軸上的截距為3－錯誤!的直線l恰好與圓C相切.(1)求橢圓C的心;→(2）若(PM,)·錯的大值為4９,求橢圓C方程．【答案(1）由題意可知直線ｌ的方程為b＋ｃｙ-（3-)c０，因為直線ｌ與圓C

：x+(y－3)＝1相切，所以d＝

=1,即a=2c，而ｅ＝

．(2）設(shè)P(x，y),圓Ｃ的圓記Ｃ，則

+＝1(c>0),又

·＝(＋）·(＋)=－

=x+（y－3)－1＝-(y＋3)+2c+１7(-c≤y≤．①當(dāng)c≥3時（·）=17=49,解得c=4,此時橢圓方程為＋=１;②當(dāng)0<c＜３<時(

·)＝-(-c＋3)+１7＋2c=９c=±5-3但c=-5－3<0，且ｃ

－3＞3,故舍去．綜上所述，橢圓C的程為+＝1.--

12612112213212--12612112213212課作基鞏1.以橢圓兩焦點為直徑端點的圓圓四個不同點連這四個點和兩個焦點，恰好圍成一個正六邊,那么這個橢圓的離心率等于（)A.

-C.?

?．－1【答案】Ｃ設(shè)F、為圓的兩個焦點，橢圓上有一點與兩焦點張成０度的角，且∠PFF>PFF,若橢圓離心率為，∠PFF：ＰＦF為

)A.1:5【答案】

B．?Ｃ１

Ｄ設(shè)，分別是橢圓

y22516

的左、右焦點，為圓上一點M是的中點｜＝３，則P點橢圓左焦點距離)A．【答案】已橢圓

B．xy210m

C．D．的焦距為4,則m等