一輪全國數(shù)學(xué)聽課手冊(一)

第1講集合

考試說明1.了解集合的含義、體會元素與集合的從屬關(guān)系.

2.能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.

3.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.

4.在具體情境中，了解全集與空集的含義.

5.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會求兩個(gè)簡單集合的并集與交集.

6.理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集.

7.能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)

課前雙基鞏固鞏知識為本拓結(jié)論為根

/知識聚焦不簡單羅列/

1.集合的含義與表示方法

(1)集合的含義：研究對象叫作，一些元素組成的總體叫作.集合中元素的

性質(zhì)：確定性、無序性、.

(2)元素與集合的關(guān)系：①屬于，記為；②不屬于，記為.

(3)集合的表示方法：列舉法、和.

(4)常用數(shù)集的記法：自然數(shù)集，正整數(shù)第，整數(shù)集,有理數(shù)集,

實(shí)數(shù)集，復(fù)數(shù)集.

2.集合間的基本關(guān)系

表示關(guān)系文字語言符號語言記法

基本關(guān)系

集合力中______都是集AQB或

子集xGAnxCB

合8中的元素

集合/是集合5的子

A____B

真子集集，但集合8中______AQB,3xeS,x^-A

0或5A

有一個(gè)元素不屬于N

集合48的元素完全

之

相等AB,B￡4=A=B—

_____任何元素的集

空集合.空集是任何集合的Vx,依0,0￡40

子集

3.集合的基本運(yùn)算

表示

文字語言符號語言圖形語言記法

運(yùn)算

屬于/—

{x\x^A,

交集屬于B的元素組

x^B}—

成的集合€￡)

屬于

A

{x\x^.A,

并集

—x^B}—

屬于麻沅素組

成的集合

全集U中______期之暮遼7連

{小￡U,

補(bǔ)集屬于4的元素組3

xA}—

成的集合

4.集合問題中的幾個(gè)基本結(jié)論

(1)集合/是它本身的子集，即;

(2)子集關(guān)系的傳遞性，即NU8,BGCa；

(3)AUA=Anj=,AU0=,AD<2>=,［JJU=,［盧=

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■鏈接教材

L［教材改編］設(shè)全集U={小于9的正整數(shù)}，/={1,2,3},8={3,4,5,6},貝川江/口5)

2.［教材改編］已知集合/={〃},若/U8={〃，b},則滿足條件的集合8有

個(gè).

3.［教材改編］設(shè)全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},(必叫={1,3},40(。酒)

={2,4},則集合8=.

■易錯(cuò)問題

4.集合概念的易錯(cuò)點(diǎn)：忽視集合元素的互異性.

設(shè)集合/={1,2,3},8={4,5},M={x|x=a+6,aGA,b?B},則M中元素的個(gè)數(shù)

為.

5.集合間關(guān)系的易錯(cuò)點(diǎn)：忽視空集是任何集合的子集.

集合/={1,4,7,10,13,16,19,21},則集合/有個(gè)子集、個(gè)真

子集、個(gè)非空子集、個(gè)非空真子集.

6.集合運(yùn)算的易錯(cuò)點(diǎn):忽視補(bǔ)第的相對性;求解補(bǔ)集時(shí)忽視端點(diǎn)值.

設(shè)集合S={x|x>-2},7={x*+3x—4W0},則(］R5)UT=.

■通性通法

7.解決集合問題的兩個(gè)基本方法：列舉元素法；圖形表示法.

(1)若集合/={1，2,3},8={1,3,4},則NAB的子集個(gè)數(shù)為.

(2)已知集合/={x|0<log4xvl},8={x|xW2},貝.

8.集合中部分常見的結(jié)論：交、并運(yùn)算的補(bǔ)集；運(yùn)算關(guān)系與包含關(guān)系的轉(zhuǎn)化.

(1)4G3=4=；4UB=4=；4cB=4UBo.

(2)CMZU8)=；UA

課堂考點(diǎn)探究用知識為面

/典例探究師生互動型/

€)探究點(diǎn)一集合的含義與表示畫1(1)［2015?太原二模］已知集合/={中=幣=

xGZ},B^{p-q\p^A,qGA},則集合8中元素的個(gè)數(shù)為()

A.1B.3

C.5D.7

(2)已知集合/={x—2,2X2+5X,12},若一3G4則x的值為.

［總結(jié)反思］(1)研究集合問題時(shí)，一定要抓住元素這一要素，看元素應(yīng)滿足的屬性.對于

含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.

(2)對于集合相等的問題，首先要分析已知元素與另一個(gè)集合中哪一個(gè)元素相等，分幾種

情況列出方程(組)進(jìn)行求解，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.

圜式題(1)集合/={xGN&GN：的所有元素是()

A.1,2,3,4B.-2,2

C.-2,2,4,5D.2,4,5

(2)已知4={a+2,3+1)2,/+3a+3},若1J,則實(shí)數(shù)a=.

O探究點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系糜(1)已知全集。=1(,則正確表示集合加={-1,0,

1}和N={》,2+》=0}關(guān)系的不意圖是()

圖1-1-1

(2)已知集合「=*歸<-1或x>4},0={x|a+lWxW2a-1}.若。P,則。的取值范圍

是________

[總結(jié)反思](1)要確定非空集合力的子集的個(gè)數(shù)，需先確定集合力中的元素的個(gè)數(shù)，再求

解.不要忽略任何非空集合是它自身的子集.

(2)當(dāng)集合48滿足4U8時(shí)，不要忽略集合力為空集的情況.

(3)根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)的關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化

為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、圖示法來解決這類問題.

圜式題(1)設(shè)mbGR,集合{o,b,§={1，a,a+b},則a+26=()

A.1B.0C.-1D.不確定

(2)設(shè)集合/={鄧？+2》一。=0},若。M,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(—8,—1]B.[—1,+00)

C.(-OO,1]D.[1,+8)

o探究點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算

雕⑴[2015?沈陽三模]已知全集U={1,2,3,4,5},A={\,2,5},B={2,3,5},

則(C〃)n5=()

A.{3}B.{2,5}C.{2,3}D.{2,3,5}

(2)[2015?陜西卷]設(shè)集合M={XM=X},N={x|lgx<0},則MU，=()

A.[0,1]B.(0,1]

C.[0,1)D.(-8,1]

[總結(jié)反思](1)集合的運(yùn)算中要根據(jù)集合的定義把參與運(yùn)算的各個(gè)集合求出，再根據(jù)交、

并、補(bǔ)的定義進(jìn)行運(yùn)算.

(2)在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要注意運(yùn)算的順序.

(3)在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)，若集合中的元素是離散的，則用圖示法表示；若集合中的元素

是連續(xù)的，則用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時(shí)要注意端點(diǎn)值的取舍.

圜式題(1)[2015?鄭州一模]已知集合/={x|f-x-2W0},B={x[y=ln(l-x)},則4n8

=()

A.(1,2)B.(1,2]

C.[-1,1)D.(-1,1)

⑵[2015?唐山一模]已知全集。={1,2,3,4,5},A={1,2,4},B={2,5},則(M)U8

=()

A.{3,4,5}B.{2,3,5}

C.{5}D.{3}

/學(xué)科能力自主閱讀型/

思想方法1.數(shù)形結(jié)合思想在集合問題中的應(yīng)用

【典例】設(shè)集合z={x[(x—a)2〈l,XCR},8={x[l<

x<5,xGR},若力08=0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.{a|0WaW6}

B.{a|aW2或心4}

C.{a|aWO或心6}

D.{a|2WaW4}

思路先求出集合4在數(shù)軸上標(biāo)出集合4B,再根據(jù)其交集為空集確定實(shí)數(shù)。滿足的

不等式即得.

解析CA={x|-1+a<x<\+a},

4(18=0,；.aWO或。26.____________

」JJ!?」！—1!—>

a-1a+1i$x15a-1a+1x

①②

圖1-1-2

i

在由實(shí)數(shù)集組成的集合問題中，可以先把所涉及的集合標(biāo)注在數(shù)軸上，再根據(jù)題目

的要求確定解題方向，這是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決集合問題的一種重要方法.

【跟蹤練習(xí)】(1)已知集合/={j亞=x+l},8={(x,y),2+y2=]},則ZC8中元素的個(gè)

數(shù)為()

A.0B.1C.2D.4

(2)已知M,N為集合I的非空真子集，且M,N不相等，若NC(。陽)=0,則MUN=()

A."B.NC./D.。

第2講命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

考試說明1.理解命題的概念.

2.了解“若p,則形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的

相互關(guān)系.

3.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義.

課刖雙基鞏固明知識為本招結(jié)論關(guān)

/知識聚焦不簡單羅列/

1.命題

概念使用語言、符號或者式子表達(dá)的，可以判斷___的陳述句

特點(diǎn)(1)能判斷真假；(2)陳述句

分類______命題、______命題

2.四種命題及其相互關(guān)系

⑴四種命題間的相互關(guān)系:

(2)四種命題中真假性的等價(jià)關(guān)系：原命題等價(jià)于,原命題的否命題等價(jià)于

,在四種形式的命題中真命題的個(gè)數(shù)只能是.

3.充要條件

若q，則P是q的充分條P成立的對象的集合為A,

件，q是0的必要條件g成立的對象的集合為B

P是q的充分不必A是B是的

P?q且qAp

要條件真子集

P是q的必要不充B是A的

pa且q—P

分條件真子集集合與

.是4的充要充要條件

i>0qA=B

條件

P是q的既不充分A,B互不

且qAp

也不必要條件包含

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■鏈接教材

1.［教材改編］命題“若整數(shù)?不能被2整除，則。是奇數(shù)”的逆否命題是

2.［教材改編］圓(x-〃尸+什-6)2=/過坐標(biāo)原點(diǎn)的充要條件是.

3.［教材改編］已知/={沖;滿足條件p},8={xlr滿足條件q}.若4UB,則p是g的

條件；若則p是夕的

條件；若4=B,則p是4的條件.

■易錯(cuò)問題

4.命題中的易錯(cuò)點(diǎn)：對條件、結(jié)論的否定不當(dāng).

命題“單調(diào)函數(shù)不是周期函數(shù)”的逆否命題是.

5.充要條件的易混點(diǎn)：混淆條件的充分性和必要性.

“x(x-l)=O"是“x=l”的條件.

6.充要條件的易錯(cuò)點(diǎn)：否定形式給出的充分條件、必要條件判斷錯(cuò)誤.

“aWb”是“/彳好”的條件.

■通性通法

7.命題的等價(jià)關(guān)系：原命題與其逆否命題等價(jià)：逆命題與否命題等價(jià).

1JI

若原命題為“若COS則。=?"，則其逆命題、否命題、逆否命題中真命題的個(gè)

數(shù)為.

8.充分、必要條件的判斷方法：定義判斷法；集合判斷法.

(1)［2014?浙江卷改編］設(shè)四邊形/8CD的兩條對角線分別為/C,BD,則“四邊形/8CD

為菱形”是的條件.

(2)［2015?安徽卷改編］設(shè)p：x<3,q：-l<x<3,則0是4成立的條件.

課堂考點(diǎn)探究用知識為面學(xué)方法為旨

/典例探究師生互動型/

O探究點(diǎn)一命題及其相互關(guān)系醐1［2015?廣州一模］命題“若x=2,則一-3X+2=

0”的逆否命題是()

A.若xW2,則一―3x+2W0

B.若x?—3x+2=0,則x=2

C.若f-3x+2W0,則xW2

D.若x￥2,貝ljf—3x+2=0

［總結(jié)反思］根據(jù)原命題寫出其余三種形式的命題，只要根據(jù)這三種命題的定義寫出即可,

但要注意一些常用詞語的否定：

詞語是都是都不是等于大于

否定不是不都是至少一個(gè)是不等于不大于

固式題命題“若a,b都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的逆命題是

O探究點(diǎn)二充分必要條件的判定畫2(1)［2015,合肥一中月考］已知數(shù)列{斯}為等比

數(shù)列，則是“{斯}為遞增數(shù)列”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

(2)已知甲：xW2或y#3,乙：x+y#5,則甲是乙的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

［總結(jié)反思］判斷充分條件、必要條件有兩個(gè)基本方法：定義法和集合法.以否定形式給

出的充分條件、必要條件的判斷可以根據(jù)原命題與其逆否命題的等價(jià)性，將問題轉(zhuǎn)化后再進(jìn)

行判斷.

圜式題(1)設(shè)p：/={x［y=lg(x—1)},q：B—{x\2Tx<\},則p是q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

(2)［2015?武漢?中月考］命題''對任意實(shí)數(shù)xG［l,2］,關(guān)于x的不等式f—“W0恒成立”

為真命題的一個(gè)必要不充分條件是()

A.B.QW4C.D.aW3

O探究點(diǎn)三充要條件的應(yīng)用糜(1)若“加一〈用+1”是~2—2丫-3>0”的充分

不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

(2)若ax<m—\或是“—―2%—3>0”的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)m的取值范

圍是.

［總結(jié)反思］根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)范圍時(shí)，把問題轉(zhuǎn)化為集合之間的包含關(guān)系，

通過集合之間的包含關(guān)系確定參數(shù)范圍，但要注意轉(zhuǎn)化的準(zhǔn)確性.

圜式題設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足4GX+3Q2V0（4<0）,q：實(shí)數(shù)x滿足l一6<0或f+Z》一

8>0,且㈱〃是的必要不充分條件，則。的取值范圍是.

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I>誤區(qū)警示1.命題中否定不當(dāng)致誤

【典例】命題“若人X）是奇函數(shù)，則X—x）是奇函數(shù)”的否命題是（）

A.若大x）是偶函數(shù)，則大—x）是偶函數(shù)

B.若?v）不是奇函數(shù)，則負(fù)一力不是奇函數(shù)

C.若八-x）是奇函數(shù)，則"）是奇函數(shù)

D.若/（一X）不是奇函數(shù)，則/（x）不是奇函數(shù)

解析B由于一個(gè)命題的否命題就是命題的條件與結(jié)論分別否定，故原命題的否命題

是①若/?（x）不是奇函數(shù)|,則|②/（-x）不是奇函數(shù)

Bla

①②中均可能出現(xiàn)否定不當(dāng)?shù)腻e(cuò)誤，對“/（X）是奇函數(shù)”的否定只能是“/（X）不是奇

函數(shù)”，而不能是“/（X）是偶函數(shù)”，因?yàn)槌似婧瘮?shù)和偶函數(shù)之外，還有非奇非偶

函數(shù)，所以在否定時(shí)要特別注意細(xì)微的差異.

【跟蹤練習(xí)】⑴命題“若函數(shù)/）=1。g"（90,。之1）在其定義域內(nèi)是減函數(shù),則1。&2<0”

的逆否命題是（）

A.若log“220（4>0,aWl）,則函數(shù)./（x）=k>g1A在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)

B.若log“2<0（a>0,aWl）,則函數(shù)/（x）=lo&x在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)

C.若log?220（a>0,。#1）,則函數(shù)八》）=10室在其定義域內(nèi)是增函數(shù)

D.若log“2<0（a>0,21）,則函數(shù)段）=log?x在其定義域內(nèi)是增函數(shù)

（2）［2015?宜昌期末］命題“若/+/=（）,則。=匕=0”的否命題是（）

A.若則〃金。月"wo

B.若屋+*wo,則qWO或6W0

C.若屋+層=0,則吊0且后0

D.若『+62=0,貝ijqwo或6#o

第3講簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞

考試說明1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義.

2.理解全稱量詞與存在量詞的意義.

3.能正確地對含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.

課目ii雙基鞏固明知識為本拓結(jié)論為根

/知識聚焦不簡單羅列/

1.命題pA%p7q,㈱p的真假關(guān)系表

Pqp'qp7qP

真真真

真假真

假真真

假假假

2.量詞與含有一個(gè)量詞的命題的否定

(1)全稱量詞和存在量詞

量詞名稱常見量詞表示符號

所有、一切、任意、全部、每一個(gè)、

全稱量詞

任給等—

存在一個(gè)、至少一個(gè)、有些、某些

存在量詞

等—

(2)全稱命題和特稱命題

命題名稱命題結(jié)構(gòu)命題簡記

全稱命題對M中任意一個(gè)x,有p(x)成立

特稱命題存在”中的一個(gè)刈，使p(xo)成立

⑶全稱命題和特稱命題的否定

命題命題的否定

YxRM,p(x)

3x0eM,p(xo)

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■鏈接教材

1.［教材改編］“函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)且是周期函數(shù)”的否定是

2.［教材改編］“末位是0的整數(shù)，可以被5整除”的否定是

3.［教材改編］“有些三角形不是等腰三角形”的否定是

■易錯(cuò)問題

4.命題真假判斷錯(cuò)誤：

給出下列說法：

①若命題p!\q為假命題,則命題p,q中至少有一個(gè)為假命題;②若命題p'q為假命題，

則命題p,q中至少有一個(gè)為假命題；③命題p,p中至少有一個(gè)是真命題；④命題pAq

的否定是^N㈱q,命題的否定是解pA^/其中正確說法的序號是.

5.含量詞的命題的否定錯(cuò)誤：對結(jié)論的否定出錯(cuò).

命題“VxeR,f20”的否定是

命題'勺xoeRlgx0<0的否定是

6.命題的否定與否命題相混

命題”任意末位數(shù)字是5的整數(shù)都能被5整除”，該命題的否定是

該命題的否命題是

■通性通法

7.含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假判斷方法：p,q中至少有一個(gè)為真，則p\q為真(簡稱：

或命題一真即真)；p,q中至少有一個(gè)為假，則pAg為假(簡稱：且命題一假即假)；p,癡

一真一假.

命題P：函數(shù)y=sin2r的最小正周期為“，命題q：不等式Inx>l的解集為(1,+~),

則命題pVq,p\q,㈱4中真命題的個(gè)數(shù)是.

8.特稱命題為真的判斷方法：只要找到一個(gè)對象使結(jié)論成立即可.

命題p：3x0CR,2xo<xo2為命題（填“真”或者"假”）

■■■.■,-.■■■

課堂考點(diǎn)探究用知識為面學(xué)方法為旨

/典例探究師生互動型/

O探究點(diǎn)一含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題畫h（1）［2015?汕頭一模］已知命題P：3X0eR,X。

-2>lgx0,命題4：VxSR,e*>l,貝i」（）

A.命題pVq是假命題

B.命題p八夕是真命題

C.命題'八^夕是真命題

D.命題是假命題

（2）已知命題p：函數(shù)f=2—a"】（心0,且。#1）的圖像恒過定點(diǎn)（1,2）,命題夕：若函數(shù)y

=/（x—1）為偶函數(shù),則函數(shù)y=/（x）的圖像關(guān)于直線x=\對稱，則下列命題為真命題的是（）

A.p\JqB.p/\q

C.糠p/\qD.p\!懶q

［總結(jié)反思］判斷由邏輯聯(lián)結(jié)詞組成的命題的真假時(shí)，首先判斷簡單命題的真假，再根據(jù)

含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的

真假規(guī)律進(jìn)行判斷.注意下列等價(jià)關(guān)系的應(yīng)用：（1）〃V夕為真Op,q中至少有?個(gè)為真

=>㈱p八^夕為假；（2）pV夕為假=p，q均為假㈱夕為真；（3）〃/\q為真=p,q均為

真今㈱"V㈱夕為假；（4）p八q為假=p,q中至少有一個(gè)為假㈱夕為真；（5）^§p為真

=p為假，㈱p為假=p為真.

圜式題（1）［2015?北京海淀區(qū)期末］已知命題p,q,那么"p/\q為真命題”是“p7q為

真命題”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

（2）已知命題p：在A48C中,4>B=sinN>sinB,命題《：tn,n,廠成等比數(shù)列的充要條

件是〃2=加八則命題pVq,p!\q,糠p\Jq,夕中真命題的個(gè)數(shù)是.

O探究點(diǎn)二全稱命題與特稱命題醐2給出下列命題：

①VxGR,在sinx+cosx》一2；②VxGR,e"ex+l；

（3）Bx0GR?lnxo，x（）—1；@3XQG0,sinx0^xn.

其中真命題的序號是.

［總結(jié)反思］全稱命題與特稱命題真假的判斷方法

命題名稱真假判斷方法一判斷方法二

全稱命題

真所有對象命題真否定為假

假存在一個(gè)對象命題假否定為真

特稱命題

真存在一個(gè)對象命題真否定為假

假所有對象命題假否定為真

圜式題給出下列四個(gè)命題：

①Va￡R,sina+cos^>—1；

3

（2）3GR,sina+cosa=-；

@VaeR,sin4coso

s

?3CR,sinacos=4-

其中真命題的序號是.

O探究點(diǎn)三含有一個(gè)量詞的命題的否定雕設(shè)命題P-.任意平面向量a和4la—

b\<\a\+\b\,則^夕為（）

A.任意平面向量a和5,\a-b\^\a\+\b\

B,存在平面向量。和土|。一方|<|。|+網(wǎng)

C.存在平面向量a和b,|a—b|>|a|+步|

D.存在平面向量。和4\a-b\^\a\+\b\

[總結(jié)反思]常見命題及其否定形式

命題否定

P糠p

p'qpVq

YxRM,p（x）Bx（）SM,Sp（x（））

現(xiàn)WM,p（x。）YxGM,㈱p（x）

圜式題[2015,廈門質(zhì)檢]已知命題p：Sxo^R,sinxo^^則㈱〃是（）

A.3x0^R,sinx（）W；

B.SXQ^R,sinxoV,

C.Vx^R,sinxwg

D.Vx￡R,sin

/學(xué)科能力自主閱讀型/

思想方法2.化歸轉(zhuǎn)化思想在邏輯問題中的應(yīng)用

【典例】已知p：關(guān)于x的方程f—ax+4=0有實(shí)根，q：關(guān)于x的函數(shù)y=2f+ax+4

在[3,+8）上是增函數(shù).若p或q是真命題，p且夕是假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-12,-4]U[4,+8）

B.[-12,-4]U[4,+8）

C.（一8,-12）U（-4,4）

D.[-12,+8）

思路等價(jià)于p,夕一真一假，分類求解即得.

解析C若p為真，則/=『-1620,解得“W-4或"24;若夕為真，則-*W3,

-12.

若p或4是真命題，P且4是假命題，則命題p和4一真一假.當(dāng)p真（7假時(shí)，a<-12;

當(dāng)g真p假時(shí)，-4<a<4.故所求。的取值范圍是（-8,-12）U（-4,4）.

1

（1）解題中首先把不明顯的問題明顯化，再尋找解決問題的方法，是等價(jià)轉(zhuǎn)化的一種

形式.本題中把“p或q是真命題，p且q是假命題”化為“p,q-真一假”，就

是把不明顯的問題明顯化.

（2）解題中如果根據(jù)問題的發(fā)展需要從不同方面分別解決，那么就要分類處理，然后

再整合不同方面的解題結(jié)果，從而得出問題的最后答案.

【跟蹤練習(xí)】（1）若p：3x0eR,aro2+2xo+l<O為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.[0,1）

B.（一8,1）

C.[1,+°°）

D.（-8,1]

（2）在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次，設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”，

q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為（）

A.糠pVq

B.p\!軸q

C.p/\^q

D.pVq

第二,單元）函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第4講函數(shù)的概念及其表示

考試說明1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念.

2.在實(shí)際情境中，會根據(jù)不同的需求選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D像法，列表法，解析法）表示

函數(shù).

3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用（函數(shù)分段不超過三

段）.

課前雙基鞏固明知識為本拓結(jié)論為根

/知識聚焦不簡單羅列/

1.函數(shù)與映射的概念

函數(shù)映射

設(shè)48是兩個(gè)

兩集合

設(shè)“，8是兩個(gè)________

力，B

按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系了,按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系/

對應(yīng)

使對于集合A中的_______使對于集合/中的_______

關(guān)系

一個(gè)數(shù)x,在集合8中都有一個(gè)元素x,在集合B中都有

./：4fB

__的數(shù)火X）與之對應(yīng)__的元素y與之對應(yīng)

稱_______為從集合4到集稱對應(yīng)________為從集合A

名稱

合B的一個(gè)函數(shù)到集合B的一個(gè)映射

記法y=Xr),x&A對應(yīng)/：4fB

2.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域

在函數(shù)y=/(x),xe/中，x叫作自變量，x的取值范圍/叫作函數(shù)的，與x的

值相對應(yīng)的y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛/(x)ke/｝叫作函數(shù)的.

(2)函數(shù)的三要素：、和.

(3)函數(shù)的基本表示方法：、、.

3分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的,這樣的函

數(shù)通常叫作分段函數(shù).分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是??個(gè)函數(shù).

4.常見函數(shù)定義域的求法

(1)分式函數(shù)中分母.

(2)偶次根式函數(shù)的被開方式.

(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域?yàn)镽

(4?="(0>0且。#1),y=sinx,y=cosx的定義域均為R.

(5?=tanx的定義域?yàn)?

5.基本初等函數(shù)的值域

(1?=丘+/)伏#0)的值域是.

(2?=0?+以+&。*0)的值域：當(dāng)a>0時(shí),值域?yàn)開_______；當(dāng)。<0時(shí),值域?yàn)開_______.

(3)y=3&WO)的值域是.

(4)j=a'(a>0且a/1)的值域是.

(5?=k>g仙(tf>0且aW1)的值域是.

/正本清源不單純記憶/

■鏈接教材

1.［教材改編］如圖24-1所示，把截面半徑為25cm的圓形木頭鋸成矩形木料，如果矩

形的一邊長為xcm,面積為yen?,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是.

("""

_____圖2-4-1

2.［教材改編］函數(shù)兀0=>^的定義域是.

3.［教材改編］從集合/=｛〃，b,c｝到集合8=｛1,2,3｝可以建立的不同映射的個(gè)數(shù)是

■易錯(cuò)問題

4.函數(shù)概念的易錯(cuò)點(diǎn)

給出下列三種說法：

①只要對應(yīng)關(guān)系和定義域確定下來，函數(shù)就是確定的;

［x,xWO,

②函數(shù)/(x)=12c是兩個(gè)函數(shù)；

U,x>0

③函數(shù)y=lnl+［+qD的定義域?yàn)?0,1］.

其中正確說法的序號是.

5.兩函數(shù)相同的易錯(cuò)點(diǎn)

給出下列各組函數(shù)：

2

①/(x)=x,危尸?：額￥)=#,如)=6

③/(x)=|x|,y(x)=q?；④/(x)=21nx,y(x)=lnx2.

其中表示同一個(gè)函數(shù)的序號是.

■通性通法

6.函數(shù)解析式的求法：換元法；配湊法；待定系數(shù)法.

⑴已知./(正+l)=x+2而，則./)的解析式為.

(2)已知/(x)是反比例函數(shù)，且滿足火3)=-6,則./)的解析式為.

課堂考點(diǎn)探究

/典例探究師生互動型/

O探究點(diǎn)-函數(shù)與映射的概念醐1(1)下列各組中兩個(gè)函數(shù)相同的是()

A./(x)=lnx4,g(x)=41nx

B.{x)=x,g(x)=(正)2

C.J(x)=cosx,tanx,g(x)=sinx

D./(x)=x2,g(x)=q7

(2)下列從集合A到集合B的對應(yīng)中是映射的是()

A.4=B=N1對應(yīng)關(guān)系/x-^y=\x—3\

(1(x20),

B.N=R,B={0,1},對應(yīng)關(guān)系f尸?口。(yo)

C.4=Z,B=Q,對應(yīng)關(guān)系f

D.4={0,1,2,9},8={0,1,4,9,16},對應(yīng)關(guān)系力x^y=(x~\^

［總結(jié)反思］(1)函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的特殊映射，兩個(gè)函數(shù)相等的充要條件是它們

的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同(值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系確定的).(2)判斷從集合力到集合

B的對應(yīng)是否是映射要抓住兩點(diǎn)：一是集合4中的每一個(gè)元素是否對應(yīng)集合8中唯一確定的

元素；二是集合力中的元素是否有剩余.

HI式題下列平面直角坐標(biāo)系中的圖形可以作為函數(shù)圖像的序號是________.

€)探究點(diǎn)二函數(shù)的定義域和值域考向1求給定函數(shù)解析式的定義域

股［2015?湖北卷］函數(shù)兀0=，二百+11三產(chǎn)的定義域?yàn)?)

A.(2,3)B.(2,4］

C.(2,3)U(3,4］D.(-1,3)U(3,6］

［總結(jié)反思］根據(jù)函數(shù)的解析式求函數(shù)的定義域，就是求使解析式有意義的自變量的取值

范圍，要注意偶次被開方式不小于零、分式中分母不等于零、對數(shù)的真數(shù)大于零等條件的應(yīng)

用，解題時(shí)要全面考慮，壬可忽視任何一個(gè)方面.

圜式題函數(shù)人才)=/巖■的定義域是()

A.｛尤網(wǎng)｝

C.｛x卜不一；Kx燈)

考向2由大x)的定義域求的定義域

ft已知函數(shù)次x)的定義域是［0,1］,則函數(shù)Hlgx)的定義域是.

［總結(jié)反思］如果/)的定義域?yàn)榭冢琤］,則加力)］的定義域是aWg(x)W6的解集；如果函

數(shù)/［鼠.鑰的定義域?yàn)榭冢琤］,則/(x)的定義域是y=g(x)在口，切卜.的值域.

圖式題已知函數(shù)4爐)的定義域是(-8,1］,則函數(shù)兀0的定義域是.

考向3已知定義域確定參數(shù)問題

頤已知函數(shù)/(x)=lg(x2+x—°)的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

［總結(jié)反思］根據(jù)所給函數(shù)的定義域，將問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的不等式(組)，進(jìn)而求解參數(shù)

范圍.

圜式題函數(shù)外)=2_J上的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是

ax-\-x-ra------------

考向4函數(shù)的值域

糜(1)函數(shù)工的值域是.

［—x+6,xW2,

(2)［2015?福建卷］若函數(shù)危)=、，，3>0,且a￥l)的值域是［4,+°°),則

［3+logo%,x>2

實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

［總結(jié)反思］求函數(shù)值域的基本方法：

(1)觀察法：一些簡單函數(shù)可通過觀察法求值域.

(2)配方法：”二次函數(shù)類”用配方法求值域.

(3)換元法：形如y=ax+b^\］cx+d(a,b,c,d均為常數(shù)，且acWO)的函數(shù)常用換元法

求值域，形如y=ax+yja-bx)的函數(shù)用三角函數(shù)代換求值域.

CY+d

(4)分離常數(shù)法：形如夕=”工(aWO)的函數(shù)可用分離常數(shù)法求值域.

(5)單調(diào)性法：函數(shù)單調(diào)性的變化是求最值和值域的依據(jù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷其增

減性進(jìn)而求最值和值域.

(6)數(shù)形結(jié)合法：畫出函數(shù)的圖像，通過函數(shù)定義域在圖上確定函數(shù)值的變化范圍.

(7)若函數(shù)解析式結(jié)構(gòu)與基本不等式有關(guān)，可考慮用基本不等式求解.

圜式題(1)已知函數(shù)的值域?yàn)閧0,1,2},則滿足這樣條件的函數(shù)的個(gè)數(shù)為

()

A.8

B.9

C.26

D.27

2工2—x2

(2)函數(shù).=；+(+］的值域是.

0探究點(diǎn)三函數(shù)的解析式初6(1)已知(1—3=2"—,則.

(2)已知/(x)是一次函數(shù)，且滿足2/(X+1)-/(A—l)=2x+1,則Hx)=.

(3)已知?jiǎng)t負(fù)x)=.

(4)已知函數(shù)./(X)的定義域?yàn)镽,且/(x)+4(—x)=f--則/)=.

［總結(jié)反思］函數(shù)解析式的求法：

(1)換元法：已知復(fù)合函數(shù)./［以0］的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍.

(2)待定系數(shù)法：已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法.

(3)配湊法：已知/［g(x)］=網(wǎng)工)，可將尸(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x),

便得.危)的解析式.

(4)消去法：已知.危)與yQ)或次-x)之間的關(guān)系式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等

式，兩等式組成方程組，通過解方程組求出/(x).

蛆題(1)圖24-3中的圖像所表示的函數(shù)解析式為()

3

A.尸聲一l|(0WxW2)

B.y=|—||x—1|(0^x^2)

3

C.y=1一|x—l|(0WxW2)

D.y=l—|x—l|(0WxW2)

(2)某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每10人