2022年黑龍江省高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（理科）（學(xué)生版+解析版）

2022年黑龍江省高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（理科）

一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的）

1.（5分）已知集合4={-1,0,I,2},8={x|x（x-2）<0},則ACB=（）

A.0B.{0}C.{1}D.{011}

2.（5分）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=￥3,則復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（5分）已知向=遙，b=（1,2）,KaIIb,ab<0,貝丘的坐標(biāo)為（）

A.（1,2）B.（-1,2）C.（1,-2）D.（-1,-2）

4.（5分）己知tan（a+?）=2,則tan（2a—卷=（）

4343

A.-B.-C.一:D.-7

3434

5.（5分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取，

并測(cè)零件的直徑尺寸，根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件

直徑尺寸x（cm）服從正態(tài)分布N（18,4）,若x落在［20,22］內(nèi)的零件個(gè)數(shù)為2718,則

可估計(jì)所抽取的這批零件中直徑尤高于22的個(gè)數(shù)大約為（）（附：若隨機(jī)變量服從

正態(tài)分布N（〃，。2））

P（H-oW?Wn+。）弋0.6827,P（四-2。W：W|i+2。）七0.9545,P5-3。WJWH+3

。）r0.9973.

A.27B.40C.228D.455

6.（5分）已知/,是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，命題p：若wjua,m//p,

則a〃仇命題q：若“，a,LL0,a〃0,則膽〃/；則下列命題正確的是（）

A.pf\qB.I-'p）/\qC./?VLq）D.（-'/?）A（-'q）

71

7.（5分）函數(shù)/（x）=sin⑵+（p）的圖象向右平移三個(gè)單位得到函數(shù)g（X）的圖象，若g

6

（x）=g（-x）,當(dāng)|（p|最小時(shí)，平的值是（）

jrTC

A.TyrB.7T-C.一年D.-

6633

x2y2

8.（5分）己知雙曲線的方程是0-77=l（a>0,6>0）,點(diǎn)尸1,七為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，

以Fi出為直徑的圓與雙曲線相交于點(diǎn)尸（點(diǎn)P在第一象限），若40尸2三卷，則雙曲線

離心率的取值范圍是（)

A.[―^―>+oo)B.[V3+1+8)C.(1,D.(1,V3+1]

9.（5分）密位制是度量角與弧的常用制度之一，周角的工工稱為1密位.用密位作為角的

度量單位來(lái)度量角與弧的制度稱為密位制.在密位制中，采用四個(gè)數(shù)字來(lái)記角的密位，

且在百位數(shù)字與十位數(shù)字之間加一條短線，單位名稱可以省去，如15密位記為“00-15”，

7T37T

1個(gè)平角=30-00,1個(gè)周角=60-00,已知函數(shù)/（x）=V3x-2cosx,xG[~,—],當(dāng)

/（X）取到最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的X用密位制表示為（）

A.15-00B.35-00C.40-（）0D.45-00

10.（5分）如圖，將一張邊長(zhǎng)為4的正方形ABC。硬紙片，剪拼成一個(gè)正四棱錐的模型，

以長(zhǎng)、寬分別為2和1的兩個(gè)長(zhǎng)方形拼接成邊長(zhǎng)為2的正方形作為模型的底面，使正四

棱錐的表面積等于正方形ABC。的面積（不計(jì)接縫的厚度）若將正方形A8CD按圖中虛

線剪開(kāi)，則該模型的體積為（）

4

11.（5分）已知函數(shù)/（x）=\x-\---m\（xG[l,4]）,則/（x）的最大值g（?。┑淖钚≈凳?/p>

（）

11

A.-B.-C.1D.2

32

12.（5分）在正方體A8CO-4B1C1Q1中，|43|=3,點(diǎn)E是線段A3上靠近點(diǎn)A的三等分

點(diǎn)，在三角形48。內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)尸（包括邊界），則|%|+|尸?的最小值是（）

A.2B.2V2C.3D.373

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

x—y+130

13.（5分）若實(shí)數(shù)x,y滿足％+yN0,則z=3x-4y的最小值是.

%<0

14.（5分）為了做好新冠肺炎疫情常態(tài)化防控工作，推進(jìn)疫苗接種進(jìn)度，降低新冠肺炎感

染風(fēng)險(xiǎn)，某醫(yī)院準(zhǔn)備將2名醫(yī)生和6名護(hù)士分配到2所學(xué)校，設(shè)立疫苗接種點(diǎn)，免費(fèi)給

學(xué)校老師和學(xué)生接種新冠疫苗，若每所學(xué)校分配1名醫(yī)生和3名護(hù)士，則不同的分配方

法共有種.

15.（5分）已知拋物線的方程為）2=4X,圓C：（x-2）2+y2=i,點(diǎn)A,8在圓C上，點(diǎn)P

在拋物線上，且滿足|A8|=2,則后?麗的最小值是.

16.（5分）已知〃?>0,若對(duì)任意的x6[l,+°°）,不等式2mxt—20恒成立，則，"

的最小值為.

三、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）（一）必考題：

共60分

17.（12分）己知數(shù)列｛。"｝滿足ai=1,a”--1-斯,且a”羊。.

（1）求數(shù)列｛小｝的通項(xiàng)公式；

（2）若匕=（一1嚴(yán)1（271+1）冊(cè)O(shè)n+l，數(shù)列｛加）前“項(xiàng)和為n”求72022.

18.（12分）如圖，在三棱柱A8C-4B1C1中，CCi_L平面ABC,AC1BC,AC=BC=2,

CCi=3,點(diǎn)。，E分別在棱A41和棱CC1上，且A￡>=1,CE=2,M為棱的中點(diǎn).

（I）求證：C1M_L平面BB1D：

（II）求二面角B-B1E-D的余弦值.

19.（12分）為考察本科生基本學(xué)術(shù)規(guī)范和基本學(xué)術(shù)素養(yǎng)，某大學(xué)決定對(duì)各學(xué)院本科畢業(yè)論

文進(jìn)行抽檢，初步方案是本科畢業(yè)論文抽檢每年進(jìn)行一次，抽檢對(duì)象為上一學(xué)年度授予

學(xué)士學(xué)位的論文，初評(píng)階段，每篇論文送3位同行專家進(jìn)行評(píng)審，3位專家中有2位以上

（含2位）專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”的畢業(yè)論文，將認(rèn)定為“存在問(wèn)題畢業(yè)論文”.3

位專家中有1位專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”，將再送2位同行專家（不同于前3位）進(jìn)行

復(fù)評(píng).復(fù)評(píng)階段，2位復(fù)評(píng)專家中有1位以上（含1位）專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”，將

認(rèn)定為“存在問(wèn)題畢業(yè)論文”.每位專家，判定每篇論文“不合格”的概率均為p(0<p

<1),且各篇畢業(yè)論文是否被判定為“不合格”相互獨(dú)立.

(1)若p=/,求每篇畢業(yè)論文被認(rèn)定為“存在問(wèn)題畢業(yè)論文”的概率是多少；

(2)學(xué)校擬定每篇論文需要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為180元，不需要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為90元，

則每篇論文平均評(píng)審費(fèi)用的最大值是多少？

20.(12分)圓E：/+q=l(a>b>0)的離心率為y,且過(guò)點(diǎn)(1,另■),點(diǎn)A,B分別

為橢圓E的左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn).

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)是否存在定點(diǎn)M(60)(-a<t<a),對(duì)任意過(guò)點(diǎn)M的直線CO(C,。在橢圓C

上且異于月，B兩點(diǎn))，都有&BO=3MC.若存在，則求出/的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)—e'+e^,g(x)=V7x-%2-1.

(1)求曲線y=g(x)在點(diǎn)(2,g(2))處的切線方程；

(2)設(shè)/?(x)=f(x)-?-2,求〃(x)的最小值；

(3)證明：f(x)(x).

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的

第一題計(jì)分，作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題號(hào)后的方框涂黑.［選修4-4：極坐標(biāo)與

參數(shù)方程］

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1的參數(shù)方程為(J:\sind°S6(0為參數(shù))，

以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為psin(9+

7T、3^/2

4)=丁

(1)求圓Ci的極坐標(biāo)方程及曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)射線1：8=a(0Va，)與圓Ci交于異于原點(diǎn)O的一點(diǎn)M,與曲線C1交于點(diǎn)N,

求△OC1M與△0GN面積之比的最大值.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.已知函數(shù)fGO=|x-2|+|2x-1|.

(1)求不等式/(x)》6的解集；

(2)已知對(duì)任意的x€R,都有/(x)為,若a,h,c均為正實(shí)數(shù)，a+2b+2c=2t+2,在

空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(a,b,c)在以點(diǎn)(0,-1,-1)為球心的球上，求該球表面

積的最小值.

2022年黑龍江省高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的）

1.（5分）已知集合4={-1,0,1,2},B={x\x（x-2）V0},則AC8=（）

A.0B.{0}C.{1}D.{0,

【解答】解：集合A={-1,0,1,2）,

8={?。▁-2）<0}={x[0<xV2},

則AC8={1}.

故選：C.

2.（5分）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=磬，則復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

3—1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

.__17.

,?z=io_io￡,

17

???復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(77，-二:)在第四象限.

1010

故選：D.

3(5分)已知向=遍，b=(1,2),J@LaIIb,a-h<0,貝丘的坐標(biāo)為()

A.(1,2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(-1,-2)

【解答］解:b=(1,2),且Illiab<09

可知Q=Z(-1,-2),\a\=V5,

可得左=1,

則：的坐標(biāo)為(-1,-2).

故選：D,

4.(5分)己知￡即(仇+電=2,則tan(2a—亨)=()

43A3

A.-B.一C.-5D.-7

3434

【解答】解：+9=2,

TTTTTTsmg-(a+g)]_cos(a+?1i

，tan(a—不)=-tan[——(。+可)]=—

cos匿-(a+勃-sin(Q+^)—tan(a+^)—2,

2tan(a—2x(—；)

tan(2a一])=4

l-tan2(a-1)1-i,

故選：C.

5.(5分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取，

并測(cè)零件的直徑尺寸，根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件

直徑尺寸x(c”)服從正態(tài)分布N(18,4),若x落在［20,22］內(nèi)的零件個(gè)數(shù)為2718,則

可估計(jì)所抽取的這批零件中直徑x高于22的個(gè)數(shù)大約為()(附：若隨機(jī)變量服從

正態(tài)分布N(R,。2))

P(H-。W孑Wu+o)七0.6827,P(n-2a)*=0.9545,P(口-3。WJWH+3

°)、0.9973.

A.27B.40C.228D.455

【解答】解：???零件直徑尺寸x(cm)服從正態(tài)分布N(18,4),

H=18,。=2,

|i+o=20,|i+2o=22,

1-0.9545

AP(20<%<22)?09545嚴(yán)827=Q1359)p小222)=0.02275,

2

故所抽取的這批零件中直徑x高于22的個(gè)數(shù)大約為2718+0.1359X0.02275=455.

故選：D.

6.(5分)已知/,相是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，命題p：若根ua,"2〃仇

則a〃仇命題伙若“J_a,Z±p,a〃印則加〃/；則下列命題正確的是()

A.p/\qB.Lp)f\qC./?VLq)D.(-'/?)A(-

【解答】解：若加ua,m〃仇則a〃0或a與0相交，故〃為假命題；

若m_La,a〃0,又/J_0,則加〃/,故q為真命題.

??.pA4為假命題；(［#八為真命題；P70I)為假命題；Lp)ALq)為假命

題.

故選：B.

71

7.(5分)函數(shù)/(x)=sin(2x+cp)的圖象向右平移二個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖象，若g

6

(x)=g(-x),當(dāng)|(p|最小時(shí)，(p的值是()

TCTT

【解答】解：函數(shù)次x)=sin(2x+<p)的圖象向右平移二個(gè)單位得到函數(shù)g(x)=sin(2x-g+(p)

的圖象，

由于函數(shù)滿足g(x)=g(-x),

所以一號(hào)+年=匕1+芻,

整理得(p=E+節(jié)(tez)；

當(dāng)欠=_1時(shí)，(p=一親

即明的值最小，

故選：A.

x2y2

8.(5分)已知雙曲線的方程是方一七=l(a〉O,b〉0),點(diǎn)為，尸2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，

以Fl尸2為直徑的圓與雙曲線相交于點(diǎn)尸(點(diǎn)P在第一象限)，若NPF1F2s9則雙曲線

離心率的取值范圍是()

A.呼+co)B.[V3+1/+co)C.(1,]D.(1,V3+1]

【解答】解：：以F1F2為直徑的圓與雙曲線相交于點(diǎn)P,.../為尸放=90°

IP&I\PF\_|Fifl

在△PF1F2中，由正弦定理有22=2c,

sinz.PF2F1sinz.PF1F2sinz.F1PF2

所以|PF11=2csin/PF2Q,|Pf21=2csin/PFi園,

二2a=|PF1|-\PF2\=2csinZPF2F1-2csinZPF\尸2=2c[sin(90°-ZPF1F2)-sinZ

PF1F2]

1

=2C(COSZPFIF2-sinZPFiF2)=2V2c*cos(ZPFIF2+45°),：.-

a-&OS(/PFIF2+45。)'

TTV6—V2

VZPFF<=30°,.,.ZPF1F2+4506(45°,75°],------<COS(ZPFIF2+45°)

X2o4,

.,.eG(1,V3+1],

故選：D.

9.(5分)密位制是度量角與弧的常用制度之一，周角的嬴稱為1密位.用密位作為角的

度量單位來(lái)度量角與弧的制度稱為密位制.在密位制中，采用四個(gè)數(shù)字來(lái)記角的密位,

且在百位數(shù)字與十位數(shù)字之間加一條短線，單位名稱可以省去，如15密位記為“00-15”,

7T37r

1個(gè)平角=30-00,1個(gè)周角=60-00,已知函數(shù)f（x）=V3x-2cosx,xe[-9—]f當(dāng)

/（x）取到最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x用密位制表示為（）

A.15-00B.35-00C.40-00D.45-00

【解答】解：f（x）=>/3x-2cos羽

則/（x）=A/3+2sinx,

「TC3n

又在[,~2]，

7T47r47r3TC

當(dāng)（一,—）時(shí)，f（x）>0,當(dāng)xE（一,一）時(shí)，f（x）VO,

2332

Ti47r47T37r

即函數(shù)在（3,y）為增函數(shù)，在（與，-y）為減函數(shù)，

則當(dāng)x=等時(shí)函數(shù)/（x）取最大值，

4

由密位制中角的密位的運(yùn)算可得孑個(gè)平角=40-00,

故選：C.

10.（5分）如圖，將一張邊長(zhǎng)為4的正方形ABC。硬紙片，剪拼成一個(gè)正四棱錐的模型，

以長(zhǎng)、寬分別為2和1的兩個(gè)長(zhǎng)方形拼接成邊長(zhǎng)為2的正方形作為模型的底面，使正四

棱錐的表面積等于正方形ABC。的面積（不計(jì)接縫的厚度）若將正方形A8C。按圖中虛

線剪開(kāi)，則該模型的體積為（）

4A/7

D.3V2

【解答】解：正四棱錐P-EFG”是符合題意的模型，如圖,

J\

正方形EFGH的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)。是其中心，點(diǎn)M是邊EF中點(diǎn)，連接PO,PM,0M,

則PO,PM分別是正四棱錐P-EFGH的高和斜高，

正方形EFGH的面積為4,而正四棱錐的表面積等于正方形ABCD的面積16,

則面積為3,

即有SMEF=\EF-PM=PM=3,又0M=1,于是得P。=7PM2-0M2=2五,

因此，Vp-EFGH=/X4X2V2=8j,

所以模型的體積為竽.

故選：A.

11.(5分)已知函數(shù)/(x)=|x+1-〃z|(x6[l,4]),則f(x)的最大值g(w)的最小值是

()

11

A.-B.-C.1D.2

32

【解答】解：令尸x+g(xHl，4]),則=1-3=匕±...xen，2]時(shí)，函數(shù)y=x+g

單調(diào)遞減，xe[2,4]時(shí)，函數(shù))，=x+g單調(diào)遞增，

4

所以可得y=x+-[4,5],

9

當(dāng)

時(shí)

二當(dāng)mW3時(shí)，函數(shù)/(X)的最大值為g(帆)=5-〃?;心

2-

值為g(m)=m-4,

當(dāng)〃區(qū)2時(shí)，函數(shù)g(in)—5-m>2：當(dāng)〃?>3時(shí)，g(加=〃?-4>*,

1

，函數(shù)g(w)的最小值是3.

故選：B.

12.(5分)在正方體48CQ-A1BC1D1中，|A8|=3,點(diǎn)E是線段AB上靠近點(diǎn)4的三等分

點(diǎn)，在三角形A1B。內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P(包括邊界)，則|以|+|PE|的最小值是()

A.2B.2V2C.3D.3次

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ZM、DC,￡>￡>1所在直線為無(wú)、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由正方體的對(duì)稱性可知,ACi_L平面AiB。，A(3,0,0),C\(0,3,3),E(3,1,0),

222

設(shè)A關(guān)于平面A1BO的對(duì)稱點(diǎn)為A',4乙=(一3,3,3),ACr=V3+3+3=373,

ixix3x3x3

由等體積法求得A到平面48。的距離h==V3>

|x|x3V2x3V2x^

2T

：.AA'=2V3,則44'=豺G=(-2,2,2),

設(shè)A'(x,y,z),則44'=(x-3,y,z)=(-2,2,2),即A'(1,2,2),

—>

=(—2,1,2),可得I必|+|P￡1的最小值是)(—2尸+/+22=3.

故選：C.

二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共2()分)

x—y+1N0

13.(5分)若實(shí)數(shù)JGy滿足卜+yNO,貝Uz=3x-4-的最小值是-4.

%<0

【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

由z=3x-4y得y=/一左，

平移直線產(chǎn)沁|,由圖象知當(dāng)直線產(chǎn)本寸經(jīng)過(guò)B(0,1)點(diǎn)時(shí)，直線的截距最大,

此時(shí)z最小，

貝I]z=0-4=-4,

故答案為：-4.

14.(5分)為了做好新冠肺炎疫情常態(tài)化防控工作，推進(jìn)疫苗接種進(jìn)度，降低新冠肺炎感

染風(fēng)險(xiǎn)，某醫(yī)院準(zhǔn)備將2名醫(yī)生和6名護(hù)士分配到2所學(xué)校，設(shè)立疫苗接種點(diǎn)，免費(fèi)給

學(xué)校老師和學(xué)生接種新冠疫苗，若每所學(xué)校分配1名醫(yī)生和3名護(hù)士，則不同的分配方

法共有40種.

【解答】解：根據(jù)題意，在2名醫(yī)生中選出1人，在6名護(hù)士中選出3人，安排到第一

個(gè)學(xué)校，有C21c63=40種分法，

剩下1名醫(yī)生和3名護(hù)士安排到第二所學(xué)校，有1種情況，

則有40X1=40種分配方法；

故答案為：40.

15.(5分)已知拋物線的方程為/=4x,圓C：(x-2)2+/=1,點(diǎn)A,8在圓C上，點(diǎn)P

在拋物線上，且滿足|AB|=2,則后?麗的最小值是3.

【解答】解：：圓的圓心為C(2,0),半徑r=l,|AB|=2,...AB是圓的直徑，C是AB

的中點(diǎn)，連接PC,PA,PB,設(shè)2W,

PA'PB=CCA-CPX.CB-CP)=(-CB-CPXCB-CP)=|CP|2-|CB|2=|CP|2-1

=(m2-2)2+4m2-l=m4+3>3,當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取等號(hào),

故答案為：3.

16.（5分）已知加>0,若對(duì)任意的1日1,+8）,不等式2加-1一1/。94%20恒成立，則相

的最小值為4

-eln2

【解答】解：2*1-4ogd>0變形為2儂一1一aog”20,即2"彩口Og2X,即，取

//C乙JILJIL

2儂2叫21?2的公,

設(shè)/(f)=f2'(Z>0),f(r)=2'+f2'ln2>0,則/⑺在(0,+~)上單調(diào)遞增,

由/（校）2/（log2X）恒成立得如210g2X在（1,+°°）上恒成立，即心“。號(hào)2上:在（1,

+8）上恒成立,

設(shè)g(x)=等(X>1)'g'(X"需,

1cx<?時(shí)，g'（x）>0,函數(shù)g（x）在（1,e）單調(diào)遞增,

x>e時(shí)，g'(x)<0,g(x)在(e,+<?)單調(diào)遞減,

所以g(X)max—g(e)==~^2,

所以“之壺，所以機(jī)的最小值為1

eln2

故答案為：丘

三、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）（-）必考題:

共60分

17.(12分)已知數(shù)列滿足。1=1,an-\Cln-Cln-1~dn>且

(1)求數(shù)列｛念｝的通項(xiàng)公式：

若數(shù)列｛為｝前項(xiàng)和為求了

(2)b=(-l)"+i(2n+l)a?aM+1,nTn,2022.

【解答】解：數(shù)列｛所｝滿足

(1)ai=l,an-\an—an.\-an,

,11

兩邊同除an-\a,得一----=1；

nanan-l

所以是以1為位首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

1

所以一=n,

a九

即時(shí)=I-

⑵%=(-1嚴(yán)黯=(-1嚴(yán)嗎+專)，

1111111111

72022=(1+2)-(2+3)+(3+4)—,+(2021+2022)一^2022+2023)=1-2023=

2022

2023,

18.(12分)如圖，在三棱柱ABC-AiBiCi中，CCi_L平面ABC,AC1BC,AC=BC=2,

CCi=3,點(diǎn)￡>,E分別在棱A4i和棱CCi上，且AZ)=1,CE=2,M為棱AiBi的中點(diǎn).

(1)求證：C1MJ_平面BBiD；

(II)求二面角B-B\E-D的余弦值.

【解答】(I)證明：因?yàn)镃Ci_L平面ABC,CAu平面ABC,C3u平面ABC,

所以CCiJ_C4,CCilCB,又因?yàn)?C_LBC,

所以CA、CB、CCi兩兩垂直，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

Ci(0,0,3),4(2,0,0),B(0,2,0),

D(2,0,1),M(1,1,3),

T

GM=(1,1,0),4B=(-2,2,0),AD=(0,0,1),

所以GM?AB=O,CjMMD=0,所以C\M±AD,

因?yàn)锳Bu平面BBiO,AOu平面ABClAO=A,

所以CiM_L平面BB\D.

(II)解：由(I)知E(0,0,2),B}(0,2,3),

ED=(2,0,-1),EBX=(0,2,1),

設(shè)平面B\ED的法向量為m=(x,y,z),

,Eg=2x-z=0,令7=2,薪=(1.-1,

2),

m-EBr=2y+z=0

平面BiEB的法向量為彳=(1,0,0),

->T

所以二面角B-B\E-D的余弦值為吁叼=W,

|m||n|V6,16

19.（12分）為考察本科生基本學(xué)術(shù)規(guī)范和基本學(xué)術(shù)素養(yǎng)，某大學(xué)決定對(duì)各學(xué)院本科畢業(yè)論

文進(jìn)行抽檢，初步方案是本科畢業(yè)論文抽檢每年進(jìn)行一次，抽檢對(duì)象為上一學(xué)年度授予

學(xué)士學(xué)位的論文，初評(píng)階段，每篇論文送3位同行專家進(jìn)行評(píng)審，3位專家中有2位以上

（含2位）專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”的畢業(yè)論文，將認(rèn)定為“存在問(wèn)題畢業(yè)論文”.3

位專家中有1位專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”，將再送2位同行專家（不同于前3位）進(jìn)行

復(fù)評(píng).復(fù)評(píng)階段，2位復(fù)評(píng)專家中有1位以上（含1位）專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”，將

認(rèn)定為“存在問(wèn)題畢業(yè)論文”.每位專家，判定每篇論文“不合格”的概率均為p（0<p

<1）,且各篇畢業(yè)論文是否被判定為“不合格”相互獨(dú)立.

（1）若p=],求每篇畢業(yè)論文被認(rèn)定為“存在問(wèn)題畢業(yè)論文”的概率是多少；

（2）學(xué)校擬定每篇論文需要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為180元，不需要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為90元,

則每篇論文平均評(píng)審費(fèi)用的最大值是多少？

【解答】解：(1)設(shè)每篇畢業(yè)論文被認(rèn)定為“存在畢業(yè)論文”為事件A,

則p(4)=p3+c外2(I_2)+0P(1-p)2[l-(l-p)2],

因?yàn)閜=4,所以pG4)=1f,

(2)設(shè)每篇文章的評(píng)審費(fèi)用為X元，則X的可能取值為90,18O.P(X=180)=段p(l-

p)2,p(X=90)=l-4p(l-p)2,

；.E(X)=90x[1-Cip(l-p)2]+180xCjp(l-p)2=270P(1-p)2+90.

令g(p)=p(1-p)2,(0,1),g'(p)=(1-p)2-2p(1-p)=(3/7-1)(p

-1).

當(dāng)pe(o,$時(shí)，g,(P)>0,g(0)在(o,》上單調(diào)遞增,

當(dāng)peg,1)時(shí)，g,(P)<o,g(p)在4，1)上單調(diào)遞減,

(p)的最大值為g(}=《，所以每篇論文平均評(píng)審費(fèi)用的最大值是130元.

32y2A

20.(12分)圓氏京■+京■=l(a〉b〉0)的離心率為三，且過(guò)點(diǎn)(1,彳)，點(diǎn)A,B分別

為橢圓E的左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn).

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)是否存在定點(diǎn)M60)(-a<t<a\對(duì)任意過(guò)點(diǎn)M的直線CO(C。在橢圓C

上且異于4,8兩點(diǎn))，都有依。=3&AC.若存在，則求出/的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(13

-由2H---4-b-7z=1(a=2n

【解答】解：⑴由題意得：<c_yi，解得：b=i9

￡一區(qū)(c=V3

la2=b2+c2

x2

二?橢圓上的標(biāo)準(zhǔn)方程為一4-y2=1；

4

2

(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為Go,yo),所以5x-十丫。？=1，

2

整理得與2_4=-4y0kPA=部，kpB=懸，kPAkPB=晶建=舂二=』

即心。?^AD=一不

]

由%D=3MC,得心一心°=一直,

ViVo1

設(shè)點(diǎn)C(xi,yi),D(九2,*),則;---------

12,

(%I+2)(X2+2)

由題可知直線C。傾斜角不為0且過(guò)點(diǎn)Ma,0),設(shè)直線CO的方程為x=/ny+f,

與橢圓方程聯(lián)立，得("+4)/+2研^+^-4=0,點(diǎn)M(n0)在橢圓內(nèi)部，所以△>()

由韋達(dá)定理可得%+y2=言舞，y，2=芯?，

所以一及四一=________匕絲________=______________匕絲_____________=

22

(Xi+2)(x2+2)(my1+t+2)(my2+t+2)my1y2+m(t+2)(y1+y2)+(t+2)

/-4

____________m2+4_______________________________t-4__________________

222222

而寫1+7n02)亨￡+”2)2―mt-4m-2mt(t+2)+(t+2)(m+4)-

mz+4、mz+4

t2-41

4(t+2)2一—12’

解得/=1,

所以存在點(diǎn)M(L0),對(duì)任意過(guò)點(diǎn)M的直線CO(C,。在橢圓。上且異于A,5兩點(diǎn))，

都有kBD=3kAC.

21.(12分)設(shè)函數(shù)/(尤)=e"+e%g(x)=V7x-%2-1.

(1)求曲線y=g(x)在點(diǎn)(2,g(2))處的切線方程；

(2)設(shè)〃(x)=f(x)-x2-2,求h(x)的最小值；

(3)證明：f(x)(x).

【解答】解：(1)由g(x)=Sx—/_i,g/(%)=—72%,

2^7X—X2—1

即g(2)=4,且g(2)=3,

所以曲線y=g(x)在點(diǎn)(2,g(2))處的切線方程為y-3=4(x-2),即y=：x+2；

(2)由力(x)=f(x)-x2-2,得*(x)-ex-2x,

從而1〃⑴=姬+「—222、心?L—2=0,所以〃在R上為增函數(shù)，

注意到“(0)=0,則當(dāng)xVO時(shí),K(x)<0；當(dāng)”>0時(shí),K(x)>0,

所以力(X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以x=0是力(%)的極小值點(diǎn)，也是〃(%)的最小值點(diǎn)，

故力(x)的最小值為〃(0)=0；

(3)證明：令H(x)=f(x)-xgCx)=ex+e-x-xy/7x-x2-1(^^<x<

由(1)得f(x)》/+2,從而e*+-