初三幾何問(wèn)題之中點(diǎn)題型優(yōu)質(zhì)文檔

7.7.倍長(zhǎng)中線。二.與中點(diǎn)問(wèn)題有關(guān)的四大輔助線：1.出現(xiàn)三角形的中線時(shí)，可以延長(zhǎng)（簡(jiǎn)稱(chēng)“倍長(zhǎng)中線”）；2.出現(xiàn)直角三角形斜邊的中點(diǎn)，作斜邊中線；3.出現(xiàn)三角形邊上的中點(diǎn)，作中位線；4.出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)，構(gòu)造“三線合一”。三.幾何證明之輔助線構(gòu)造技巧：1.假如作一條輔助線，能起到什么作用；2.常作那些輔助線能與已知條件聯(lián)系更緊密，且不破壞已知條件。一、基礎(chǔ)回顧1.線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做這條線段的中點(diǎn)。2.若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則：①?gòu)木€段來(lái)看：12ACBCAB；②從點(diǎn)與點(diǎn)的相對(duì)位置來(lái)看：點(diǎn)C在點(diǎn)AB、之間，且點(diǎn)AB、關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱(chēng)。3.三角形的中線：連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它所對(duì)的邊的中點(diǎn)所得的線段叫做三角形的中線。①一個(gè)三角形有三條中線；②每條中線平分三角形的面積；③三角形的三條中線交于一點(diǎn)，每條中線被該點(diǎn)（重心）分成1:2的兩段；④三角形的三條中線把三角形分成六個(gè)面積相等的小三角形。二、如何延長(zhǎng)三角形的中線1.延長(zhǎng)1倍的中線：如圖，線段AD是ABC的中線，延長(zhǎng)線段AD至E，使DEAD（即延長(zhǎng)1倍的中線），再連接BECE、。①總的來(lái)說(shuō)，就可以得到一個(gè)平行四邊形ABCD和兩對(duì)（中心選轉(zhuǎn)型）全等三角形ABDECD、ACDEBD，且每對(duì)全等三角形都關(guān)于點(diǎn)D中心對(duì)稱(chēng)；②詳細(xì)地說(shuō)，就是可以轉(zhuǎn)移角：BADCED，CADBED，ABDECD，ACDEBD，ADBECD，ADCEDB；可以移邊：ABEC，ACEB；可以構(gòu)造平行線：AB∥EC，AC∥EB；可以構(gòu)造邊長(zhǎng)與AB、AC、AD有關(guān)的三角形：ABE、ACE。（1）延k長(zhǎng)倍的中線：（0k且1k）如左（右）下圖，點(diǎn)E為ABC中線AD（DA延長(zhǎng)線）上的點(diǎn)，延長(zhǎng)AD至F，使EDFD，連接BE、CE、BF、CF.在平行四邊形BFCE中就可以得到類(lèi)似（1）中的結(jié)論。注意：通常在已知條件或結(jié)論中測(cè)及到與BE、CE有關(guān)的邊與角時(shí)，會(huì)用這種輔助線.整體做題思路：全等三角形中線倍長(zhǎng)利用性質(zhì)解決問(wèn)題平行四邊形.如圖，ABC中，ABAC，AD是中線.求證：DACDAB。例題1AABCED【證明】：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使得ADDE，聯(lián)結(jié)CE∵AD是ABC中線∴BDCD在ADB和EDC中:∵ADDEADBEDCBDCD；∴ADB≌EDC∴ABCE，DABE又∵ABAC∴CEAC∴DACE∴DACDAB?點(diǎn)評(píng)：1.比較角度大小，常用兩個(gè)方法：一是利用三角形的角度關(guān)系，將其中一個(gè)角表示為另外一個(gè)角加上第三個(gè)角；二是利同一三角形中大邊對(duì)大角進(jìn)行比較大??；2.倍長(zhǎng)中線是常用構(gòu)造輔助線方法，并再結(jié)合同一三角形中大邊對(duì)大.如圖，已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BEAC，延長(zhǎng)BE交AC于F.求證：AFEF。例題2AABCHDEF【證明】：延長(zhǎng)ED到點(diǎn)H使得EDDH，聯(lián)結(jié)CH∵AD是ABC中線∴BDCD在EDB和CDH中:∵DEDHEDBCDHBDCD；∴EDB≌CDH∴CHBE，BEDH又∵BEAC∴CHAC∴CADH∴AEFDEBHCAD∴AEFCAD∴AFEF.已知ABC中，12AB，30AC，求BC邊上的中線AD的范圍。例題3DACDACACD，ADCD.90ACB，90BACABC，又90ACDBCD，BCDABC，BDCD，BDCDAD，2.發(fā)現(xiàn)線段CD為斜邊AB上的中線，且等于斜邊的一半。3.作斜邊中線，可以構(gòu)造出等腰三角形，從而得到相等的邊、相等的角。4.通常在知道直角三角形斜邊的中點(diǎn)的情況下，想到作斜邊中線這條輔助線。二、出現(xiàn)三角形邊上的中點(diǎn)，作中位線1.中位線：連接三角形兩邊的中點(diǎn)所得的線段叫做三角形的中位線；也可以過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)作平行于三角形另外一邊交于第三邊所得的線段也是中位線；以上是中位線的兩種作法，第一種可以直接用中位線的性質(zhì)，第二種需要說(shuō)明理由為什么是中位線，再用中位線的性質(zhì).2.中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；3.中位線輔助線能起到的作用：①在線段大小關(guān)系上，三角形的中位線是三角形第三邊的一半，起著傳遞線段長(zhǎng)度的功能.②在位置上，三角形的中位線平行三角形的第三邊，起著角的位置轉(zhuǎn)移和計(jì)算角的的功能.4.通常在以下兩種情況下，會(huì)作中位線輔助線：①有兩個(gè)（或兩個(gè)以上）的中點(diǎn)時(shí)；②有一邊中點(diǎn)，并且已知或求證中涉及到線段的倍分關(guān)系時(shí)。熟悉以下兩個(gè)圖形：.已知如圖，ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AD邊的中點(diǎn)，連結(jié)BE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F。求證：2FCAF?！咀C明】：如圖1，過(guò)點(diǎn)D做DGBF∥，交AC于G∵D是BC邊的中點(diǎn)，DGBF∥∴FGGC。同理，AFFG∴22AFFGFGGCFC即2FCAF圖5FABCENDFABCEDKM圖6ABCEDFHI圖7例題6例7.如圖1-1，已知RtABC中，ABAC，在RtADE中，ADDE，連結(jié)EC，取EC中點(diǎn)M，連結(jié)DM和BM，（1）若點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合，如圖1-1，求證：BMDM且BMDM；（2）將圖1-1中的ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針轉(zhuǎn)小于45的角，如圖1-2，那么（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請(qǐng)舉出反例；如果成立，請(qǐng)給予證明。【分析】：圖1-1中由于點(diǎn)M為直角三角形斜邊EC的中點(diǎn)，顯然要利用斜邊中線的性質(zhì)求解.圖1-2中盡管ADE繞點(diǎn)A進(jìn)行了旋轉(zhuǎn)，但M為EC的中點(diǎn)的條件依然未變，于是仍然可以利用中點(diǎn)還原出中心對(duì)稱(chēng)基本圖形，使問(wèn)題得解；另一方面，由于旋轉(zhuǎn)之后直角仍然存在，于是仍可以利用斜邊中線及中位線來(lái)解決?！咀C明】:（1）如圖2，在RtABC和RtADE中，∵M(jìn)為公共斜邊EC的中點(diǎn),54231NFMEBACD圖3圖2例題7圖1-1圖1-2∴∴90GMDBMGMBFBMG∴BMDM且BMDM5.如圖，ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，BEAC于點(diǎn)E，若30DAC，求證：ABDE【提示】：證法一：如圖1，取CE的中點(diǎn)G,連結(jié)DG，所以，DG為中位線，得DG12BE,由BEAC得90AGD,在ADG中，30DAC，得12DGAD,于是ADBE。（證法二：如圖2，取BE的中點(diǎn)M,連結(jié)DM，類(lèi)似法一可證ADBE。（其余方法略））圖2ABCEDMABCEDG圖130EDBCA圖46.如圖，已知正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、AB的中點(diǎn)。求證：AGAD【提示】：證法一，如圖1，延長(zhǎng)CF、DA交于H，易證AHFBCF≌，得AHBCAD，A為線段HD的中點(diǎn)，由CBFDCE≌能證明DECF，因此AG為直角三角形HGD斜邊中線，所以12AGHDAD。(證法二：如圖2，取CD中點(diǎn)H，連結(jié)AH，用中位線的性質(zhì)證明。)BCDEGFA圖1BCDHGFEA圖2BCDGFEAH【橫向拓展】【橫向拓展】7.如圖，正方形CGEF的邊CG與正方形ABCD的邊BC在同一直線上（CGBC＞），連結(jié)AE，取線段AE的中點(diǎn)M。探究：線段MD、MF的關(guān)系，并加以證明?！窘獯稹坎孪耄篗DMF并且MDMF證明：如圖1，延長(zhǎng)DM交EF于點(diǎn)N，M是線段AE的中點(diǎn)，∴MAME。由題意可知：EADFEM，AMDEMG，得MADMEG≌∴MDMN，ADNE